Числа рациональные и иррациональные
Числа рациональные и иррациональные
ОглавлениеОт редактораВведение ГЛАВА I.  § 1. Простые числа § 2. Единственность разложения на простые множители § 3. Целые числа § 4. Четные и нечетные целые числа § 5. Свойства замкнутости § 6. Замечания о природе доказательства ГЛАВА II. Рациональные числа § 1. Определение рациональных чисел § 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби § 3. Различные сгюсобы формулировки и доказательства предложений § 4. Периодические десятичные дроби § 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби § 6. Краткие выводы ГЛАВА III. Действительные числа § 1. Геометрическая точка зрения § 2. Десятичные представления § 3. Иррациональность числа V2 § 4. Иррациональность числа V3 § 5. Иррациональность чисел V6 и V2+V3 § 6. Слова, которыми мы пользуемся § 7. Приложение к геометрии § 8. Краткие выводы ГЛАВА IV. Иррациональные числа § 1. Свойства замкнутости § 2. Алгебраические уравнения § 3.  Рациональные корни алгебраических уравнений§ 4. Дальнейшие примеры § 5. Краткие выводы ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций § 1. Иррациональные значения тригонометрических функций § 2. Одно общее правило § 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов § 4. Трансцендентные числа § 5. Три знаменитые задачи на построение § 6. Дальнейший анализ числа V2 § 7. Краткие выводы ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными § 1. Неравенства § 2. Приближение целыми числами § 3. Приближение рациональными числами § 4. Лучшие приближения § 5. Приближения с точностью до 1/n2 § 6. Ограничения точности приближений § 7. Краткие выводы ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел § 1. Предварительные сведения из алгебры § 2. Один способ приближения числа а § 4. Свойства многочленов § 5. Трансцендентность числа а § 6. Краткие выводы ПРИЛОЖЕНИЕ А.  Доказательство бесконечности числа простых чиселПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы арифметики ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Доказательство иррациональности значений тригонометрических фуннций И. М. Яглом Ответы и указания к упражнениям ПРИЛОЖЕНИЕ В Литература |
Урок математики. Тема: «Четные и нечетные числа» | План-конспект урока по математике на тему:
ОГКУЗ «Детский противотуберкулёзный санаторий п. Ивня»
Учитель начальных классов Захарова Марина Александровна.
Тема: Чётные и нечётные числа.
Цель: знакомство с чётными и нечётными числами .
Задачи:
- познакомить с чётными и нечётными числами;
- закрепить знания таблицы умножения;
- закрепить знания таблицы умножения и деления с числом 2;
- расширять кругозор учащихся;
- прививать интерес к предмету.
- решать простые задачи на деление, основываясь на знании взаимосвязи умножения и деления.
- развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
- развивать организационные общеучебные умения, в том числе самостоятельно оценивать результаты своих действий, самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.
Оборудование: учебник «Математика» ( авторы Т. Е. Демидова, С. А. Козлова) , детская энциклопедия «Я познаю мир», рисунки, изречения Пифагора.
Ход урока
I. Организация урока (Мотивация, ведущая к выдвижению гипотез решения проблем):
-Добрый день, дорогие ребята. Поприветствуем друг друга хорошим настроением, добрыми улыбками. А сейчас урок математики.
Вступительное слово учителя:
Изучать науку математику люди начали очень давно. Греки обогнали в математике все другие народы.
— Как вы думаете? Почему? Вы спросите почему?
— Да потому, что они хорошо умели спорить.
В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали, спорили, голосовали
Древние греки считали, что спор помогает найти самое лучшее, самое правильное решение.
Они даже придумали следующее изречение:
В споре рождается истина»
И в науке греки стали поступать так же, как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а спорили друг с другом, старались найти в рассуждениях ошибки.
Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей помогали чудесные сапоги- скороходы, которых раньше у других народов не было. Они назывались «Рассуждение», «Доказательство».
- ( Краткий рассказ о Пифагоре.) «Первый греческий учёный, который начал рассуждать о числах явился Пифагор. Затем он пришёл к выводу, что всё на свете можно выразить с помощью чисел.
- «ЧИСЛА ПРАВЯТ МИРОМ» — провозгласил он»
II .Математическая разминка. Рассуждаем и доказываем.
Представьте, что мы юные Пифагоры. Я предлагаю всем надеть на головы вот такие головные уборы. Вот и мы сейчас с вами займёмся рассуждениями и доказательствами.
1) Проверяем таблицу умножения на 2 (работа в парах)
(каждая пара задаёт друг другу выражение на знание таблицы умножения
на 2 и вычисляет значение)
2) Составь выражение и посчитай:
— сколько лапок у 3 гусят? 2*3 = 6
— сколько лапок у 2 котят? 4*2 = 8
— сколько крыльев у 4 утят? 2*4 = 8
3) Определите истинные высказывания и докажите, что они истинные
Квадрат – это четырёхугольник?.
.. И
(это геометрическая фигура, которая имеет четыре угла)
10см=10л Л 1кг=1л Л
(нельзя сравнивать разные величины)
Сложение – это математическое действие?… И (Составьте выражения на сложение)
Периметр квадрата со стороной 3 см равен 12 см И
10- однозначное число Л
(нет, потому что стоит из двух знаков 1 и 0)
Одинаковые слагаемые можно заменить действием умножения И
Пример: 4+4=8 по4 взяли 2 раза 2+2+2+2+2=10 по2 взяли 5раз
4·2=8 2·5=10
От перестановки множителей произведение не изменяется И
2·7=7·2 2·6=6·2
Умножение с нулём и единицей
1·а=а а·1=а 0·а=0 а·0=0
III. Формулирование темы и целей урока
Какие из этих предметов используются только по два?
ТАПОК ПЕРЧАТКА
НОСОК ВАРЕЖКА
ШАПКА ШАРФ
Работа с учебником
- Задание 1 (стр. 66)
66)Как разложить варежки по 2 (парами)?
(Проанализировать вместе с детьми задание и рисунок. Сделать вывод, как должны производить деление: варежки разложить парами в соответствии с их цветами, при этом варежка останется без пары.)
Практическая работа
(Варежки разложить в классе не можем, заменим их кругами.)
Возьми 7 кружков и разложи их по 2.
Сколько пар получилось?(получилось 3 пары)
Сколько кружков осталось без пары? (один кружок остался без пары)
(Дети раскладывают на партах 7 кружков по 2. Делают вывод: 7 по 2 не делится, один кружок остается.)
- Задание 2 (стр. 66)
Попробуйте разложить:
а) по два 4 красных кружка, 6 синих кружков, 10 зеленых кружков;
б) 3 красных кружка, 5 синих кружков, 9 зеленых кружков.
Практическая работа
а) дети раскладывают красные, синие, зеленые кружки по 2;
(Дети самостоятельно на партах раскладывают кружки, а два человека работают у доски.
После того, как задание выполнено, они объясняют, как делили кружки «по 2».
Учитель записывает на доске числа в две строчки:4 6 10
3 5 9
Остальные ребята оценивают выполненное задание, выставляют оценку.
Дети делают вывод сами:
Какие кружки удалось разложить парами?
а) 6, 4, 10- удалось разложить парами ( делятся на 2)
Какие кружки не удалось разложить парами?
б) 3, 9, 5 – нельзя разложить парами ( не делятся на 2)
IV. «Открытие» нового знания
Сравнивают свой вывод с учебником на стр. 66
(дети читают из оранжевой рамочки учебника 1 строчка))
-Как называются числа, которые делятся на 2?
(Числа, которые делятся на 2 называются — чётными)
(Учитель записывает на доске числа:
4, 6, 10- чётные числа
-Как называются числа, которые не делятся на 2)
(Числа, которые не делятся на 2 называются -нечётными)
(Учитель записывает на доске числа:
3, 5, 7, 10-нечётные числа
В тетрадях появляется запись:
4, 6, 10- чётные числа
3, 5, 7, 9- нечётные числа
Что нового мы узнали? (мы узнали, что числа бывают чётные и нечётные)
Чему мы будем учиться? (мы будем учиться определять чётные и нечётные числа)
V.
Применяем новые знания
- Задание 3 (стр. 66).
(Дети читают про себя числа:)
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
-Назовите сначала чётные числа.
(дети читают по очереди и записывают в тетрадь)
2,4,6,8,10,12,14,16,18.
-Теперь назовите нечётные числа.
(дети читают по очереди и записывают в тетрадь)
1,3,5,7,9,11,13,15,17.
-Какой вывод можем сделать?
(дети из оранжевой рамочки учебника читают вывод)
Вывод: Четные и нечетные числа в числовом ряду чередуются.
ФИЗМИНУТКА
Если я называю чётное число, вы приседаете.
Если называю нечётное число – 1 хлопок
2, 3, 1, 12, 14, 5, 11, 16, 9, 8, 7, 20, 6, 4, 10, 13, 15, 18, 17, 19
VI. Первичное закрепление
(использование нового знания при решении задач)
Задание 5 (а) стр. 67.
(Прочитайте и объясните задание. Как будем его выполнять?)
(Ответы детей, составление плана действий, выполнение задания в тетрадях, на доске)
— Что мы будем делать? (мы будем решать задачу)
(прочитайте задачу про себя)
Восемь ребят разделились в группы по 2 человека.
Сколько групп получилось.
— Что нам надо сделать? (Сделать рисунок и решить задачу.)
— Что нам известно из условия задачи?
Нам известно, что 8 ребят разделились в группы по 2 человека
Практическая работа (в тетрадях и на доске появляется рисунок)
О О О О О О О О
-Что надо найти в задаче?
Нам надо найти сколько групп получилось.
-Как это показать на рисунке?
Нам надо кружочки разделить по 2(на доске и в тетрадях дети делят
по 2 при помощи вертикальных линий )
О О/ О О/ О О/ О О
-Как записать решение при помощи выражения?
8:2=4(г.)
Ответ: 4 группы получилось.
Оценить работу учащихся. Какую оценку заслужил?
— Ещё во времена Пифагора продавцу на базаре приходилось раскладывать товар попарно и иногда яблок в мешке или баранок оказывалось больше и оставались лишние. И Пифагор стал думать о свойствах чётных и нечётных чисел.
VII. Выполнение задания 4.
Выполни действия:
а) умножь на 2 все четные числа в числовом ряду от 1 до 10.
Расскажи, какие получились числа – четные или нечетные?
б) умножь на 2 все нечетные числа в этом же ряду. Расскажи, какие получились числа – четные или нечетные?
Дети записывают в тетрадь
а) 2 4 6 8 10
4 8 12 16 20
б) 1 3 5 7 9
2 6 10 14 18
Делают вывод: записанные числа четные и нечетные.
Какое число, четное или нечетное получается при умножении любого числа на 2?
Вывод: При умножении любого числа на 2 получается четное число.
.
VIII .Закрепление нового материал
Игра «Найди лишнее»
1) 2 4 7 6 8 10 (все числа чётные, а число 7 нечётное)
-Какие числа называются чётными?
(Числа, которые делятся на 2 называются – чётными
2) 1 3 5 7 9 4 (все числа нечётные, а число 4 чётное )
— Какие числа называются нечётными?
(Числа, которые не делятся на 2 называются – нечётными)
— Где мы можем встретиться с расположениями чётных и нечётных чисел.
(Нумерация домов на улицах нашего посёлка).
— Как располагаются чётные и нечётные числа в числовом ряду?
(Чётные и нечётные числа в числовом ряду чередуются
ХI . Итог урока:
— Чему учились сегодня на уроке?
(Мы учились определять чётные и нечётные числа)
-Какое задание захотелось выполнить еще раз?
-Где мы можем применить полученные знания
Х. Предполагаемая домашняя работа
1) Задание 6, 8, стр. 67.
2) Задание 9 (по желанию), стр. 67.
3) Запомнить вывод в оранжевой рамочке на стр. 66
ХI. Чтобы убедиться, что материал вами усвоен, предлагаю «блиц-опрос»
Он сложил 2 чётных числа и получил снова чётное число. То же самое вышло, когда он сложил 2 нечётных числа. А от сложения чётного числа с нечётным получилось нечётное. Такое много раз случалось и у египтян, и у вавилонян, греков живших до Пифагора.
- какое число получится, если
а) сложить два четных числа;
три четных числа;
два нечетных числа;
три нечетных числа.
б) из четного вычесть четное;
из нечетного вычесть четное;
из нечетного вычесть нечетное.
(Обоснуйте свои ответы)
(после каждого ответа на доске выставляются карточки с буквами
Ч – четное, Н – нечетное)
ч ч ч н ч н ч
А теперь получите оценку за урок.
(карточки переворачиваются, там слово МОЛОДЦЫ)
Рефлексия. Группы оценивают работу каждого участника. Учитель оценивает работу групп в целом.
— Оцените своё участие в уроке, используя условные обозначения:
Мне было очень интересно.
Мне было скучно.
Я затруднялся, работая в группе
Спасибо, ребята, вам за урок. Вы сегодня очень хорошо работали. Мне с вами было интересно.
Фронтальная работа
а) соревнования по группам
«Кто первый решит?»
18 : 9 = 2 4 – 2 = 8 5 – 2 = 10
8 : 2 = 4 12 : 2 = 6 10 : 5 = 2
2 – 3 = 6 2 – 2 = 4 6 – 2 = 12
16 : 2 = 8 14 : 7 = 2 16 : 8 = 2
6 : 2 = 3 18 : 2 = 9 2 – 8 = 16
10 : 2 = 5 14 : 2 = 7 9 – 2 = 18
Что можно сказать об ответах, которые получились в 1, 2, 3 столбиках? Что это за числа?
Физминутка
Мы устали, засиделись
Мы устали, засиделись,
Нам размяться захотелось.
Отложили мы тетрадки,
Приступили мы к зарядке
(Одна рука вверх, другая вниз, рывками менять руки.)
То на стену посмотрели,
То в окошко поглядели.
Вправо, влево поворот.
(Повороты корпусом.)
А потом наоборот.
Приседанья начинаем,
Ноги до конца сгибаем.
Вверх и вниз, вверх и вниз,
Приседать не торопись!
(Приседанья.)
И в последний раз присели,
А теперь за парты сели.
(Дети садятся за парты.)
- Фронтальная работа, на перестановку четырех элементов.
№ 9 (стр. 67)
Сколько различных четных и двузначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 3, 2, 0, если:
а) цифры в числе могут повторяться;
б) цифры в числе не повторяются.
Последовательность работы:
а) на доске записаны цифры 1, 3, 2, 0
Детям предлагается назвать все возможные способы получения двухзначных чисел, когда цифры в числе повторяются, отобрать из них только четные. Получается, что возможен только один вариант – 22.
б) устанавливается закономерность, по которой записываются двузначные числа, когда цифры в числе не повторяются (фиксируется первая цифра, а вторые меняются), при этом двузначные числа должны быть четными. Из всех возможных вариантов выбираются следующие числа: 10, 12, 20, 30, 32.
- Познакомиться с понятиями четности-нечетности
(учить видеть, что:
- сумма двух четных чисел – четное число;
- сумма двух нечетных чисел – четное число;
- сумма четного и нечетного чисел – нечетное число).
Тип урока :изучение нового материала с элементами исследовательской деятельности .
Формы обучения: работа под руководством учителя , групповая , самостоятельная работа, фронтальная.
2$ это 225$ — 196 = 29$30: не работает
Вы можете представить 22 из 30 чисел как разность двух полных квадратов. В этих решениях наблюдается закономерность: все нечетные числа могут быть представлены разностью двух полных квадратов, а также все числа, дающие целое число при делении на четыре.
Джошуа из школы Святого Иоанна использовал алгебру, чтобы показать, как можно составить нечетные числа, кратные четырем:
Вы можете составить любое нечетное число, собрав последовательные квадраты. 92$.
Если $2$ можно представить как разность двух квадратов, то $(a + b) = 2$ и $(a — b) = 1$, поскольку $2$ простое число, и ясно, что $a — b < a + b$ для положительных $b$.
Таким образом, решая одновременные уравнения, $b = 2 — a$, поэтому $a — (2 — a) = 1$, $2a = 3$ и $a = \frac{3}{2}$. Таким образом, $2$ нельзя представить в виде разности двух целых квадратов.
Этот метод можно обобщить для любого простого числа $p$, решив $(a + b) = p$ и $(a — b) = 1$
Сложение уравнений дает $2a = p + 1$, поэтому $a = \frac{p+1}{2}$. Так как $a — b = 1$, $b = a-1$, значит, $b = \frac{p+1}{2} — 1 = \frac{p-1}{2}$. Таким образом, любое нечетное простое число можно представить как разность двух квадратов.
Любое квадратное число $n$ также можно представить как разность двух квадратов, взяв $a = \sqrt{n}$ и $b = 0$.
Обычно число может быть записано как разность двух квадратов, если оно имеет два множителя одной и той же четности, так как если $a + b$ нечетно, а $a — b$ четно, то при сложении двух уравнений мы получится $2a$ нечетным, поэтому решение не будет целым числом. Таким образом, число не может быть записано как разность двух квадратов тогда и только тогда, когда оно эквивалентно $2$ по модулю $4$ (при делении оставляет остаток $2$).
на $4$). 92$ можно переписать в виде $(a+b)(a-b)$.
Предположим, что $u$ и $v$ — два множителя $x$, такие что $u = a + b$ и $v = a — b$.
Вычитая два уравнения, мы получаем $u — v = 2b$.
Это говорит нам о том, что разница между двумя множителями всегда будет четной, если число может быть записано в такой форме.
Теперь, чтобы получить четную разницу, нам нужно, чтобы $u$ и $v$ были либо нечетными, либо оба четными. Следовательно, любое число с двумя четными или нечетными делителями может быть записано в этой форме.
Остаются числа, которые всегда будут иметь один нечетный и один четный делитель.
Если $v$ является нечетным множителем $x$, то он должен иметь простую факторизацию только нечетных чисел.
Предположим, что $u$ является четным делителем $x$ и содержит более одного $2$ в своей простой факторизации.
Это означает, что $u$ можно разделить на два и остаться четным, и в то же время $v$ можно удвоить, чтобы оно тоже было четным. Это означает, что $x$ имеет пару множителей, которые оба четны, и поэтому может быть записано как разность двух квадратов.
Если оба множителя нечетны, то будет получена четная разность, поэтому, если в простой факторизации $x$ нет двоек, то x можно записать как разность двух квадратов.
Это оставляет случай, когда в простой факторизации имеется ровно одна $2$. Это означает, что один фактор должен содержать $2$, а другой — нет, и что этими факторами нельзя манипулировать способом, описанным выше. Это всегда будет оставлять множители с нечетной разницей, предполагая, что $x$ нельзя записать как разность двух квадратов.
Это также дает очень хороший алгоритм для нахождения двух квадратов, разность которых равна $x$:
1. Определите, сколько $2$ приходится на простую факторизацию $x$. Если есть только один, х нельзя записать как разность двух квадратов.
2. Выберите пару факторов, которые оба четны или оба нечетны, назовите их $u$ и $v$. Найдите их разность и разделите ее на 2, чтобы найти меньший квадрат. $\frac{u — v}{2}=b$ ранее.
3. Возведите в квадрат $b$ и прибавьте к $x$. Квадратный корень из суммы, и это $a$. 92 = 60 $
Как решить _ + _ + _ = 30, используя 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и 15? [Обновлено] — «Уникальные факты», блог Акшата
On By Akshat SInhaIn Experience, Gate, Mathematics, my blog, Science and Technology
Ответ Акшата Синха:
Сначала я покажу вам, что это невозможно с помощью прямой суммы, а затем я продемонстрирую различные способы сделать это.
ОТВЕТ:- Невозможно путем прямой суммы по основанию 10, потому что
Если взять числа по модулю 2, пять нечетных чисел в сумме дадут 1, но 30 равно 0 по модулю 2
ПОЧЕМУ: —
Требования: — Знание основ математики.
Числа нечетные
1=2*0+1
3=2*1+1
5=2*2+1
.
.
.
13= 2*6+1
15= 2*7+1
Или мы можем сказать, что 2*n+1 — нечетное число
Теперь
мы можем сказать, что число, которое мы должны доказать
Для всех x,y,z ∈ 2n+1, где n∈N(натуральные числа) .
Доказательство: здесь нет комбинации. Это невозможно. Каждое число в этом списке нечетное.
Мы знаем, что любое четное число можно выразить как 2n, где n — целое число. Любое нечетное число может быть выражено как 2n−1.
Пусть m, n и k — целые числа.
Тогда сумму трех нечетных чисел можно записать в виде:
(2m−1)+(2n−1)+(2k−1)
=2(m+n+k−1)−1. Обратите внимание, что m+n+k−1 — другое целое число. Если мы назовем его N, то результатом будет просто
2N−1
, что, как мы знаем, является нечетным числом. Следовательно, сумма трех нечетных чисел всегда является нечетным числом.
Отсюда доказано .
Простыми словами, нечетных чисел не бывает, где, прибавив любые 3 из них, мы получим 30, потому что
нечетное + нечетное + нечетное = (нечетное + нечетное) + нечетное = четный + нечетный = нечетное (а 30 — четное число)
Пример:-
Пусть это число 15,13 и 3, тогда 15=2*7+1 13=2*6+1 3=2*1+1 где 1,6 и 7 сейчас 15+13+3=2*7+1+2*6+1+281+11 =2(7+6+1)+3 = 2 * 14 + 3 (24 - это наша «м») и 2*14≠30. ИЛИ 15+13+3≠30.
ВЫВОД:- Итак, сложив 3 нечетных числа, мы не получим 30.
Есть ли другой способ сделать это?
Да… Читать ниже..
С использованием любой функции внутри оператора
Насколько возможно?:-
- Факторный метод:-
3!+11+13=30 3!+9+15=30 3!+3!+3!+3!+3!=30 11+1+3!+3!+3!=30 5+7+3!+3!+3!=30 11+7+3!+3!+3!=30 3+5+7+9+3!=30 1+5+7+11+3!=30 1+1+3!+11+13=30 1+3+5+3!+15=30 и многое другое.
Нажмите здесь, чтобы узнать, как найти факториал программы (Зеркальная ссылка)
- Изменение базового метода: —
[(3) + (3) + (3) + (3) + (3)] 5 = [(6)+(6)+(6)+(6)+(6)] 10 = [30] 10 (1)7+(5)7+(5)7+(5)7+(5)7=(30)710 + 10 + 10 = 30 в любом нечетном основании (семь, девять, одиннадцать и т. д.) .
Нажмите здесь, чтобы learn_base_conversion (Зеркальная ссылка)
15+(13-11)+(9+7-5+3-1)=30
15+(13-11)+(9+7-3)=30
15+(13-9 )+(7+3+1)=30
15+(13-9)+(7+5-1)=30
15+(13-7)+(5+3+1)=30
15+13+(3-1)=30
15+13+(5-3)=30
15+13+(7-5)=30
15+13+(9-7)= 30
15+13+(9-5-3+1)=30
15+13+(11-9-7+5+3-1)=30
15+13+(11-9 )=30
15+13+( 11-9+7-5-3+1)=30
15+13+(11-7-5+3)=30
15+13+(11-7-3+1)=30
15+13+(11-5-3-1)=30
- ДРУГОЙ МЕТОД
1) 30 см=(15 см+13 см)+ 1 см +(7 мм+3 мм)
2)( 1+3)+(13+7) +6 (инвертирование 9 с помощью зеркала) = 30
3) 11,3 + 15,7 + 3 = 30 (с использованием десятичного числа)
4) 30 лет = 15 лет + 13 лет + 1 год + 7 месяцев + 5 месяцев (ИСПОЛЬЗУЯ календарь Mathematics)
5) ((13+11)/3) + 1 + 5 + 7 + 9 = 30 ( с использованием чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)
6) 3 недели + 1 день + 7 дней + 13 часов + 11 часов = 30 дней (ИСПОЛЬЗУЯ Calendar Mathematics)
7) (9/3)+(15/5)+(13+1/7)+(11)+(11)=30 (с использованием оператора деления) =>3+3+2+11+11=30
- Запятые использовались вместо десятичных точек в прошлой истории арабами и даже во Франции.
