1. Приложения неопределенного интеграла
М. Борна
Смещение от скорости и скорость от ускорения
Скоростной поезд [Источник изображения]
Очень полезным применением исчисления является перемещение, скорость и ускорение.
Напомним (из «Производная как мгновенная скорость изменения»), что мы можем найти выражение для скорости , продифференцировав выражение для перемещения:
92)`
Из этого следует (поскольку интегрирование является процессом, противоположным дифференцированию), что для получения смещения , `с` объекта в момент времени `t` (данное выражение для скорости `v`) мы должны использовать :
`s=int v\ dt`
Аналогично, скорость объекта в момент времени `t` с ускорением `a` определяется как:
`v=inta\ dt`
Пример 1
9-1` Вот графики ускорения протона и скорости, которые мы нашли в примере 2.
Графики ускорения и скорости в момент времени t . Обратите внимание на `v(0)=30`.
Пример 3
Факел выбрасывается вертикально вверх из-под земли со скоростью 15 м/с. Найди высота факела через 2,5 с. 92+15t`
В момент времени `t = 2,5`, `s = 6,875\»м»`.
Формулы смещения и скорости
Используя интегрирование, мы можем получить известные выражения для перемещения и скорости при заданном постоянное ускорение a , начальное смещение ноль, и начальная скорость `v_0`:
`v=int a\ dt`
`v=at+K`
Поскольку скорость при `t=0` равна `v_0`, мы имеем `K=v_0`. Итак:
92`Напряжение на конденсаторе
Определение: Ток, i (ампер), в электрической цепи
равна скорости изменения заряда q , (в
кулонов), который проходит через заданную точку цепи.
Мы можем написать
это (с t в секундах) как:
`i=(dq)/(dt)`
Записав i dt = dq и , интегрируя , у нас есть:
`q=inti\ dt`
Напряжение, В С (в вольт) через конденсатор емкостью C (в фарадах) дано
`V_C=q/C`
Отсюда следует, что
`V_C=1/Cinti\ dt`
Вы можете увидеть некоторые более продвинутые приложения этого в Приложениях Обыкновенных Дифференциальных Уравнений.
Пример 4
электрический ток (в мА) в компьютерной цепи как функция время `i = 0,3 − 0,2t`. Какой суммарный заряд проходит через точку цепи за 0,050 с? 9-9`
`=9.88\ текст[нВ]`
Неопределенные интегралы (Видео)
Теперь, когда вы поняли, что такое производные и как их найти, мы собираемся перейти к одной из последних основных тем Исчисления I: первообразным.
Как следует из названия, первоначальная производная , по сути, представляет собой уничтожение производной. Например, для некоторой функции \(f(x)\) ее первообразная, которую обычно называют \(F(x)\), — это функция, которая, когда вы берете ее производную, дает вам \(f(x) )\). 9{4}+7x=g(x)\)
Первообразные более формально называются « неопределенными интегралами ». Как мы уже говорили, первообразные можно идентифицировать по их записи с заглавной буквы. Однако, продвигаясь вперед, вы, вероятно, столкнетесь с интегральной записью более заметно. Это означает, что вместо использования слов «найдите первообразную этой функции» эти неопределенные интегральные задачи сокращаются, вместо этого запрашивая интеграл …
\(\int \)
…этой функции…
\(\int f(x)\)
…с относительно до \(x\).
\(\int f(x) dx\)
Длинная буква «S» — это то, что мы называем интегральным символом, а буквы \(dx\) указывают, что мы берем интеграл по переменная \(х\).
Время от времени у вас могут возникать проблемы с какой-то другой переменной, но они могут быть решены таким же образом. Как мы уже обсуждали, первообразная или неопределенный интеграл некоторой функции \(f(x)\) по \(x\) есть \(F(x)\) плюс константа \(C\).
\(\int f(x) dx=F(x)+C\)
Если вы еще этого не сделали, возьмите карандаш и бумагу. Я собираюсь поделиться с вами интегралами от нескольких распространенных функций, и ваше знакомство с ними поможет вам в дальнейшем при выполнении заданий. Готовый? Начнем с некоторых полезных триггерных интегралов.
Во-первых, интеграл от \(sin(x)\) равен \(-cos(x)+C\).
\(\int sin(x) dx=-cos(x)+C\)
Это должно показаться знакомым, потому что мы знаем, что производная от \(-cos(x)\) равна \(sin( Икс)\). Точно так же известен интеграл от \(cos(x)\); мы знаем, что это должно быть \(sin(x)+C\). 9{x}+C\)
И, наконец, интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(ln(x)+C\).
\(\int \frac{1}{x} dx= ln(x)+C\)
Я знаю, что это кажется большим количеством информации, но если вы потратите несколько минут на написание каждого из этих несколько раз, вы начнете знакомиться с ними, и запоминание будет не за горами.
Помните, что при интегрировании \(x\) в некоторую степень можно обратить правило степени, добавив 1 к показателю степени, а затем разделив на новую степень. Интегралы триггерных функций потребуют некоторого запоминания, но вы сможете хорошо усвоить их всего за несколько минут написания. Показательная функция ex не меняется при интегрировании, а интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(ln(x)\). И во всех задачах на неопределенные интегралы очень важно помнить свое «\(+C\)»! 92+c\)
Показать ответ
Ответ:
Помните, что одним из свойств интегралов является то, что любой интеграл вида \(\int k\text{ }dx=kx+c\), где \( k\) и \(c\) являются константами. В этой задаче \(365\) стоит вместо константы \(k\), поэтому чтобы получить решение, просто умножьте ее на \(x\) и добавьте константу интегрирования \(c\). Результат равен \(365x+c\), что можно проверить, взяв производную: \(\frac{d}{dx}(365x+c)=365\).