Непрерывные функции примеры: 1.4.6. Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»

1.4.6. Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»

Задача 1.

При каком значении числа А функция

Будет непрерывной?

Указание

Функция может иметь разрыв только в точке Х = 5, поэтому А следует выбрать так, чтобы в этой точке выполнялось равенство

Решение

Областью определения функции является все множество действительных чисел, причем по обе стороны точки Х = 5 функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке Х = 5 поставим условие

Ответ: 5.

Задача 2.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Решение

Найдем предел данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, если принять

F (0) = 3, функция станет непрерывной точке Х = 0.

Ответ: 3.

Задача 3.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Вычисляя предел функции в точке Х = 0, воспользуйтесь тем, что второй множитель – ограниченная функция, и примените свойства бесконечно малых.

Решение

Ограниченная функция. Как известно, произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая, поэтому

То есть предел существует и конечен. Поэтому можно доопределить функцию так: F (0) = 0.

Ответ: F (0) = 0.

Задача 4.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Указание

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Решение

Найдем односторонние пределы данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, предел данной функции в точке Х = 0 в обычном смысле не существует, поэтому добиться ее непрерывности в этой точке невозможно.

Ответ: это невозможно.

Задача 5.

Найти количество точек разрыва функции

Исследовать характер этих точек.

Указание

На область определения накладываются два ограничения: логарифмируемое выражение должно быть положительным, а знаменатель дроби – не равным нулю.

Решение

Данная функция не существует при трех значениях аргумента: Х = 0 и Х = +1 (в первом случае знаменатель не существует, во втором он равен нулю). Каждая из найденных точек является внутренней точкой области определения и, следовательно, точкой разрыва.

Исследуем характер точек разрыва:

Следовательно, Х = 0 – устранимая особенность.

Следовательно,

И Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Ответ: Х = 0 – устранимая особенность, Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Задача 6.

Выяснить, какие из функций

Имеют точки разрыва 1-го рода.

Указание

В точке разрыва 1-го рода существуют конечные односторонние пределы функции, но они не равны между собой.

Решение

Найдем точки разрыва каждой функции и исследуем их характер.

1) Функция

Не определена при Х = 0.

Следовательно, единственная точка разрыва этой функции – это точка разрыва 2-го рода.

2) Функция

Не определена при Х = 0 (заметим, что знаменатель основной дроби не равен нулю ни при каком значении Х).

Найдем односторонние пределы F (X) в точке Х = 0:

Следовательно, Х = 0 – точка разрыва 1-го рода.

3) Функция

Не определена при Х = 5.

Следовательно, точка Х = 5 – точка разрыва 2-го рода.

4) Функция

Не определена при Х = -0,5. При этом

Таким образом, односторонние пределы в точке Х = -0,5 равны соответственно 1 и -1, то есть эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Ответ: 2,4.

< Предыдущая		Следующая >

Непрерывные функции (Лекция №4)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x).

Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂‘.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция

f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях).

Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое x.

Разность x– x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что

x=x₀+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x₀ значение функции было f(x₀), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x₀ +Δx).

Разность y – y₀ = f(x) – f(x₀) называется приращением функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом Δy. Таким образом,

Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 +Δx) — f(x0).

(1)

Обычно исходное значение аргумента x₀ считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y₀ = f(x₀) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x₀ и обозначают f ‘(x₀). Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f ‘(x)

Производная обозначается символами f ‘(x),y ‘, . Конкретное значение производной при x = aобозначается f ‘(a) или y ‘|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.

Примеры.

1. Найти производную функции y = x²

   а) в произвольной точке;

   б) в точке x= 2.

   а)

   1. f(x + Δx) = (x + Δx)²;
   2. Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x²;
   3. .

      б) f ‘(2) = 4

2. Используя определение найти производную функции в произвольной точке.
1. .

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т. е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t₀. К этому моменту точка прошла путь s=s(t₀). Определим скорость vматериальной точки в момент времени t₀.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t₀+Δt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t₀+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t₀+Δt)–s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t₀ (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t₀ (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t₀ до t₀+Δt, когда Δt→0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М₀ (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M₀M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М₀ остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М₀ с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М₀Т, то прямая М₀Т называется касательной к кривой в данной точке М₀.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М₀.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х₀ функция принимает значение y₀=f(x₀). Этим значениям x₀ и y₀ на кривой соответствует точка М₀(x₀; y₀). Дадим аргументу x₀ приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y₀+Δ y=f(x₀–Δx). Получаем точку М(x₀+Δx; y₀+Δy). Проведем секущую М₀М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М₀. Тогда секущая М₀М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М₀, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f ‘(x) = tg α .

Т.о., геометрически у ‘(x₀) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x₀, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀ (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х² в точке М(-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x²)’ = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y‘|_x=-1 = – 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Δy=f ‘(x₀) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x₀)→0 при x→x₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – «точка перегиба» cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – «точка возврата» с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .

   Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

   f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx|

   Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)

   А при Δx > 0

   Т.о., отношение при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная «кривая» не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.

   Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.

2.3: Пределы и непрерывные функции

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

ID Page

6476

• Jeremy Orloff
• Массачусетского технологического института через MIT OpenCourse

Определение: Предел

Если \(f(z)\) определено на проколотом диске вокруг \(z_0\), то мы говорим

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0 \nonumber \]

если \(f(z)\) идет к \(w_0\) независимо от того, в каком направлении \(z\) приближается к \(z_0\).

На рисунке ниже показаны несколько последовательностей точек, приближающихся к \(z_0\). Если \(\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0\), то \(f(z)\) должно перейти в \(w_0\) по каждой из этих последовательностей.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Последовательности, идущие к \(z_0\), сопоставляются с последовательностями, идущими к \(w_0\). (CC BY-NC; Юмит Кая) 93 + 1} = 6/9. \nonumber \]

Вот пример, когда предел не существует, потому что разные последовательности дают разные пределы.

Пример \(\PageIndex{2}\): Без ограничений

Показать, что

\[\lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{z \to 0 } \dfrac{x + iy}{x — iy} \nonumber \]

не существует.

Решение

На действительной оси имеем

\[\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{x}{x} = 1, \nonumber \]

поэтому предел как \ (z \to 0\) вдоль действительной оси равно 1. Напротив, на мнимой оси мы имеем

\[\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{iy}{-iy} = -1, \nonumber \]

поэтому предел как \(z \to 0\) вдоль мнимая ось равна -1. Поскольку два предела не согласуются, предел как \(z \to 0\) не существует!

Свойства пределов

У нас есть обычные свойства пределов. Предположим, что

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_1 \text{ и } \lim_{z \to z_0} g(z) = w_2 \nonumber \]

, затем

• \( \lim_{z \to z_0} f(z) + g(z) = w_1 + w_2\)
• \(\lim_{z \to z_0} f(z) g(z) = w_1 \cdot w_2\).
• Если \(w_2 \ne 0\), то \(\lim_{z \to z_0} f(z)/g(z) = w_1 /w_2\)
• Если \(h(z)\) непрерывна и определена в окрестности \(w_1\), то \(\lim_{z \to z_0} h(f(z)) = h(w_1)\) (Примечание : мы дадим официальное определение непрерывности в следующем разделе.)

Мы не будем приводить доказательство этих свойств. В качестве задачи вы можете попробовать дать его, используя формальное определение пределов, данное в приложении.

Мы можем переформулировать определение предела в терминах функций от \((x, y)\). Для этого запишем

\[f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv (x, y) \nonumber \]

и сократим

\[P = ( х, у), P_0 = (x_0, y_0), w_0 = u_0 + iv_0. \nonumber \]

Тогда

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0 \text{ iff } \begin{cases} \lim_{P \to P_0} u(x, y) = u_0 \\ \lim_{P \to P_0} v(x, y) = v_0 \end{cases} \nonumber \]

Примечание. Термин «iff» означает «если и только если», что является другим способом сказать «эквивалентно».

Непрерывные функции

Функция считается непрерывной , если она не имеет внезапных скачков. В этом суть следующего определения.

Определение: непрерывная функция

Если функция \(f(z)\) определена на открытом диске вокруг \(z_0\) и \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0 )\), то мы говорим, что \(f\) является непрерывным в \(z_0\). Если \(f\) определено на открытой области \(A\), то фраза «\(f\) непрерывна на \(A\)’ означает, что \(f\) непрерывно в каждой точке \( А\). 9х \ грех (у). \nonumber \]

Итак, как действительная, так и мнимая части явно непрерывны как функция (\(x, y\)).

(iii) Главная ветвь \(\text{Arg} (z)\) непрерывна на плоскости минус неположительная вещественная ось. Причина: это понятно, и именно по этой причине мы определили переходы для arg. Мы должны удалить отрицательную вещественную ось, потому что \(\text{Arg} (z)\) прыгает на \(2 \pi\), когда вы ее пересекаете. Мы также должны удалить \(z = 0\), потому что \(\text{Arg} (z)\) даже не определено в 0,

(iv) Главная ветвь функции \(\text{log} (z)\) непрерывна на плоскости за вычетом неположительной действительной оси. Причина: основная ветка журнала имеет

\[\text{log} (z) = \text{log} (r) + i \text{Arg} (z). \nonumber \]

Итак, непрерывность \(\text{log} (z)\) следует из непрерывности \(\text{Arg} (z)\).

Свойства непрерывных функций

Поскольку непрерывность определяется в терминах пределов, мы имеем следующие свойства непрерывных функций.

Предположим, что \(f(z)\) и \(g(z)\) непрерывны в области \(A\). Тогда

• \(f(z) + g(z)\) непрерывно на \(A\).
• \(f(z)g(z)\) непрерывно на \(A\).
• \(f(z)/g(z)\) непрерывна на \(A\), за исключением (возможно) точек, где \(g(z) = 0\).
• Если \(h\) непрерывно на \(f(A)\), то \(h(f(z))\) непрерывно на \(A\).

Используя эти свойства, мы можем утверждать непрерывность каждой из следующих функций: 9{-из})/2\)

Если \(P(z)\) и \(Q(z)\) многочлены, то \(P(z)/Q(z)\) непрерывен, кроме корней \(Q(z)\).

---

Эта страница под названием 2.3: Ограничения и непрерывные функции распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Орлоффом (MIT OpenCourseWare) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано в соответствии со стилем и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Джереми Орлофф

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   MIT OpenCourseWare

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. непрерывные функции
   2. source@https://ocw. mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-with-applications-spring-2018

7. Непрерывные и прерывистые функции

М. Борна

Этот раздел связан с предыдущим разделом, посвященным домену и диапазону функции. Есть некоторые функции, которые не определены для определенных значений x .

Непрерывные функции

Рассмотрим график f ( x ) = x ³ — 6 x ² — x 92 — x + 30`, непрерывный граф.

Мы видим, что на кривой нет «пробелов». Любое значение x даст нам соответствующее значение y . Мы могли бы продолжить график в отрицательном и положительном направлениях, и нам никогда не пришлось бы отрывать карандаш от бумаги.

Такие функции называются непрерывными функциями .

Функции с разрывами

Теперь рассмотрим функцию `f(x) = 1/(x-1)`.

Заметим, что кривая не непрерывный в `x = 1`.

12345-1-2-351015-5-10-15xyОткрыть изображение на новой странице

График `y=1/(x-1)`, прерывистый граф.

Мы видим, что мелких изменений в x вблизи `x = 1` дает очень большое изменение значения функция.

Чтобы функция была непрерывной в точке, функция должна существовать в точке и любое небольшое изменение в разрешении x производит лишь небольшое изменение `f(x)`.

92-x)`, разрывная функция.

Мы видим, что небольшие изменения в x около 0 (и около 1) производят большие изменения значения функции.

Мы говорим, что функция является прерывистой , когда x = 0 и x = 1.

Для этой функции существует 3 асимптот (линий, к которым кривая приближается, но не касается). Это ось «x», ось «y» и вертикальная линия «x=1» (обозначена пунктирной линией на графике выше). 92-x)` в представлении графика по умолчанию в Scientific Блокнот:

Он показывает нам все вертикальные значения, которые он может (от чрезвычайно малое отрицательное число в очень большое положительное число) — но мы не можем видеть никаких деталей (конечно, ни одной из кривых).

No related posts.