Неравенства в каких случаях меняется знак: основные ошибки и полезные лайфхаки

Содержание

Решение неравенств когда меняется знак. Линейные неравенства

Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше () называются строгими. Со значками больше или равно (≥ ), меньше или равно (≤ ) называются нестрогими. Значок не равно (≠ ) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)

Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы…

Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 — верное неравенство. 5 2 — неверное.

Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия.

Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях — и есть основная ошибка в решении неравенств, да… Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:

Тождественные преобразования неравенств.

Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и… приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:

1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.

На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях.

Поэтому я выделяю их красным цветом:

2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное не изменится.

3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.

Вы помните (надеюсь…), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.

Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:

5 > 2

Умножим обе части на +3, получим:

15 > 6

Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:

15 > -6

А это уже откровенная ложь. ) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:

15 -6

Про враньё и обман — это я не просто так ругаюсь.) «Забыл сменить знак неравенства…» — это главная ошибка в решении неравенств. Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли…) Вот и ругаюсь. Может, запомнится…)

Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное… Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.

Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для любых неравенств. А теперь можно переходить к конкретным видам.

Линейные неравенства. Решение, примеры.

Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:

х+3 > 5х-5

Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу. Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)

Решаем это неравенство:

х+3 > 5х-5

Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:

Внимательно следим за знаком неравенства!

Первый шаг самый обычный. С иксами — влево, без иксов — вправо… Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.

Знак неравенства сохраняется:

х-5х > -5-3

Приводим подобные.

Знак неравенства сохраняется:

4х > -8

Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.

Делим на отрицательное число.

Знак неравенства изменится на противоположный:

х 2

Это ответ.

Так решаются все линейные неравенства.

Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал. Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.

Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да… Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся

правее двойки, а числа 1, 0, -1 и т.д. — левее.

Неравенство х — строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: «Два меньше двух? Нет, конечно!» Именно так. Неравенство 2 неверное. Не годится двойка в ответ.

А единичка годится? Конечно. Меньше же… И ноль годится, и -17, и 0,34… Да все числа, которые меньше двух — годятся! И даже 1,9999…. Хоть чуть чуть, да меньше!

Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый — штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х

. Вот и всё.

Второй вариант рассмотрим на втором примере:

х ≥ -0,5

Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:

Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить… Эта точка — чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:

-0,5 ≥ -0,5

Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется…

Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.

Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.

Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет — рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Запутаться можно.

Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.

Запись ответа для неравенств.

В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна — в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:

Это полноценный ответ.

Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):

х ∈ (-∞; 2)

Под значком ∈ скрывается слово «принадлежит».

Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово

«не включая».

А где это в ответе видно, что «не включая» ? Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства.

Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство − 8 x + 11 Решение.

1. Перенесём член − 3 x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у − 3 x и у 11 .
Тогда получим

− 8 x + 3 x

− 5 x

2. Разделим обе части неравенства − 5 x , т. е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (

Чтобы решить неравенство можно:

Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x 1) (x — x 2) > 0 (

Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
Определить знак a (x — x 1) (x — x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Решить неравенство. x 2 + x — 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x — 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15

Здесь D 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1 + х — 2х²
3х² — 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3х² — 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
2х² — 12х + 18 > 0. Ответ:
При каких значениях a неравенство

x² — ax > выполняется для любых х? Ответ:

II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x — x 1) (x — x 2) ·…· (x — x n) > 0 (

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x

x 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x = x (x 3 — 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 — x 2 — 5x 2 + 5x +6x — 6) =x (x — 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3)

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x — ½) 7 (2x + 1) 4

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = — ½.

В точке х = — ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1) 4 не меняет знак при переходе через точку х = — ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0} ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Например, неравенством является выражение $x>5$.

Виды неравенств:

Если $a$ и $b$ – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5

$17+3\geq 115$ — неверное числовое неравенство, так как $17+3=20$, а $20$ меньше $115$ (а не больше или равно).

Если же $a$ и $b$ – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

$2x+1\geq4(5-x)$				Переменная только в первой степени
$3x^2-x+5>0$				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т. {5x-2}\)

… и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется

решением неравенства . Если же нет — то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство $x+6>10$, подставим вместо икса число $7$ –получим верное числовое неравенство: $13>10$. А если подставим $2$, будет неверное числовое неравенство $8>10$. То есть $7$ – это решение исходного неравенства, а $2$ – нет.

Однако, неравенство $x+6>10$ имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и $5$, и $12$, и $138$. .. И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

$x+6>10$ $|-6$
$x>4$

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: $x\in(4;+\infty)$

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства $3>1$. Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

$3>1$ $|\cdot2$
$6>2$

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

$3>1$ $|\cdot(-3)$
$-9>-3$

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9 С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1Решение:


\(2x+2-1	Перенесем $8x$ влево, а $2$ и $-1$ вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x
\(-6x	Поделим обе части неравенства на $-6$, не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение $-1$ «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: $x\in(-1;\infty)$

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше $3$, подкоренное выражение должно быть меньше $9$ (ведь из $9$ как раз $3$). Получаем:

\(x+1 \(x

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее $8$? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение $-5$ – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1} \(\sqrt{-4}

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

$x+1\geq0$
$x\geq-1$

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше $8$ (чтобы быть решением) и больше $-1$ (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: $\left[-1;8\right)$

В каких случаях в уравнении меняется знак. Неравенства. Виды неравенств

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

Решить неравенство − 8 x + 11 Решение.

− 8 x + 3 x

− 5 x

2. Разделим обе части неравенства − 5 x , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (

Чтобы решить неравенство можно:

Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x 1) (x — x 2) > 0 (

Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
Определить знак a (x — x 1) (x — x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Решить неравенство. x 2 + x — 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x — 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15

Здесь D 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1 + х — 2х²
3х² — 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3х² — 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
2х² — 12х + 18 > 0. Ответ:
При каких значениях a неравенство

x² — ax > выполняется для любых х? Ответ:

II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x — x 1) (x — x 2) ·…· (x — x n) > 0 (

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x

x 4 — 6x 3 + 11x 2 — 6x = x (x 3 — 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 — x 2 — 5x 2 + 5x +6x — 6) =x (x — 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3)

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x — ½) 7 (2x + 1) 4

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = — ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0}

Пример 1. Верны ли неравенства 5 0, 0 0?

Неравенство 5 0 — это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой «или» (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 — истинно, второе высказывание 5 = 0 — ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно.

Аналогично обсуждается запись 00.

Неравенства вида а > b, а будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab — нестрогими.

Неравенства а > b и с > d (или а и с ) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и c — неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а неравенство с является неравенством того же смысла, а в записи d > c (означающей то же самое) — неравенством противоположного смысла.

Наряду с неравенствами вида a > b , ab употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а , ас , a ,
a cb . По определению запись

а (1)
означает, что имеют место оба неравенства:

а и с

Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас

Двойное неравенство (1) можно записать так:

а двойное неравенство a ≤ c ≤ b можно записать в следующем виде:

(a c b) [(a

Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с обозначают действительные числа, а n означает натуральное число.

1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как по условию а > b и b > c , то числа а — b и b — с положительны, и, следовательно, число а — с = (а — b) + (b — с) , как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с .

2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как а > b , то число а — b положительно. Следовательно, число (а + с) — (b + с) = a + c — b — c = а — b также является положительным, т. е.
a + с > b + с.

3) Если a + b > c, то a > b — c , т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с прибавить число — b.

4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу определения неравенства достаточно показать, что разность
(а + с} — (b + c) положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) — (b + d) = {а — b) + (с — d) .
Так как по условию числа а — b и с — d положительны, то (a + с) — (b + d) также есть число положительное.

Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d , то a — d > b — с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d прибавить число — c — d ).

5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с

Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если а > b , то а — b есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс = с(а — b) совпадает со знаком числа с : если с — положительное число, то и разность ас — bc положительна и потому ас > bс , а если с , то эта разность отрицательна и потому bc — ас положительно, т. е. bc > ас .

6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем ас — bd = ac — bc + bc — bd = c(a — b) + b{c — d) . Так как с > 0, b > 0, a — b > 0, с — d > 0, то ас — bd > 0, т. е. ас > bd.

Замечание. Из доказательства видно, что условие d > 0 в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0 . Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d ) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b =1, c = -2, d = -3 имеем a > b, с > d , но неравенство ас > bd (т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно.

7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.

Замечание. Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о. то.

Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака (меньше), так как неравенство b означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b . Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс , то ас .

Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х) монотонно возрастает на отрезке [а, b] , то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x 2). Аналогично, если функция y = f{x) монотонно убывает на отрезке [а, b] , то при х 1 > х 2 (где х 1 и х 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) ). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.

Так, например, для любого натурального n функция у = х n является монотонно возрастающей на луче }

Метод интервалов для решения неравенств в математике с примерами решения

Оглавление:

Метод интервалов для решения неравенств

Наряду с указанным выше общим методом, неравенства (рациональные алгебраические в том числе) часто решаются методом интервалов (не путать с методом интервалов для задач с модулями). Метод интервалов, пожалуй, является одним из самых распространённых методов решения неравенств вида

(количество сомножителей в числителе и знаменателе дроби, а также знак неравенства могут быть произвольными). Слово «обобщённый» перед словосочетанием «метод интервалов» используют обычно в тех случаях, когда множители в левой части неравенства не имеют чисто алгебраический вид. Суть метода состоит в следующем.

1) Все члены неравенства переносятся в одну сторону (например, в левую часть) и приводятся к общему знаменателю (т.е. неравенство приводится к виду (1)).

2) Определяются критические точки, т.е. точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль. Для этого решаются уравнения и . При этом точки, обращающие в нуль знаменатель, следует «выколоть», а остальные — в зависимости от строгости или нестрогости решаемого неравенства.

3) Критические точки наносятся на числовую прямую, разбивая сё (в общем случае — ОДЗ) на интервалы, в каждом из которых функция, находящаяся в левой части неравенства, сохраняет знак.

4) Определяется знак на крайнем справа интервале, что обозначается на числовой прямой с помощью знака «+» или «-».

5) Определяются знаки на остальных интервалах. В частности, при переходе через очередную критическую точку знак меняется на противоположный, если критическая точка является корнем нечётной кратности (т.е. встречается нечётное число раз среди корней числителя и знаменателя), и знак сохраняется, если точка имеет чётную кратность (или соответствующий множитель находится, например, под знаком модуля). Если числитель и знаменатель имеют совпадающие критические точки, то предварительно необходимо произвести сокращение, «выколов» данные точки на числовой оси.

6) Множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком, при этом в случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

Подчеркнём, что этим методом решаются не только алгебраические неравенства.

Пример №212.

Решить неравенство

Решение:

Запомнив, что , вначале сократим числитель и знаменатель на общий множитель (х + 2):

Найдём остальные критические точки, это x = 1, х = -1/2, x = 5, x = 0, x=3/5, и нанесём все точки (включая x = -2) на числовую прямую ,выколов те из них, которые обращают в нуль знаменатель дроби (x = — 2, x = 0, x = 3/5):

Оценим знак левой части неравенства на крайнем справа промежутке x > 5 . Для этого подставим любое число из этого промежутка, например 10, в выражение слева от знака равенства. Получим знак «-». Начнём рисовать кривую знакоопределённости для левой части неравенства. На рассмотренном промежутке изобразим её ниже числовой прямой, что символизирует отрицательный знак. Теперь начинаем мысленно «движение» справа налево вдоль оси x. Доходим до точки x = 5 . Чтобы выяснить, поменяется ли в этой точке знак левой части неравенства, найдём множитель (5 — х) в числителе, который обращается в нуль при этом значении. Он имеет нечётную степень, равную 1, и, следовательно, при прохождении справа налево через эту точку этот множитель (а с ним и вся левая часть) поменяет знак. На промежутке 1 < x < 5 общий знак будет «плюс», а кривая знакоопределённости пойдёт выше оси x .

Продолжаем «движение» налево, подходим к точке x = 1. Выясним, поменяет ли знак левая часть неравенства при прохождении через эту точку. Найдём множитель, из которого мы определили данную критическую точку, это . Так как степень, равная 5, нечётная, то этот множитель, а с ним и вся левая часть поменяют знак, и кривая знакоопределённости пойдёт вниз. И так далее… Очевидно, в точке x = 0 знак левой части поменяется на противоположный, а в точках x = -2 , х = -1/2 , x = 3/5 — сохранится.

Когда кривая полностью построена, нужно лишь, учитывая знак неравенства , отобрать те промежутки, которые лежат ниже числовой прямой, не забывая про те значения x, которые обращают числитель в нуль (в данном случае это х = -1/2 ). Таким образом, получаем окончательный ответ.

Ответ:

Рассмотрим применение метода интервалов к решению задачи.

Пример №213.

Решить неравенство

Решение:

ОДЗ: . Перепишем неравенство: и воспользуемся методом интервалов. Найдём все значения неизвестной x, при которых числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для этого решим уравнение

Итак, на ОДЗ имеем две критические точки x = 0 и x = 1, в которых числитель или знаменатель дроби обращаются в нуль (точку x = 0 при этом следует «выколоть»). Определим знак левой части неравенства на интервалах, на которые эти точки разбивают ОДЗ.

При x < 0 числитель и знаменатель отрицательны, а значит, их отношение положительно. При 0 < x < 1 числитель ещё отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому их отношение отрицательно. При числитель и знаменатель, как и их отношение, положительны. Построим кривую знакоопределённости для левой части неравенства:

С учётом знака неравенства выписываем ответ:

Замечание. Можно было на этапе определения знака дроби поступить иначе: найти знак этой дроби, например на промежутке ч < 0 (подставив любое удобное значение x, скажем, x = -2 ), а затем, двигаясь вдоль оси xслева направо, лишь отслеживать, меняется ли знак дроби в каждой из критических точек (он, очевидно, будет меняться в каждой из них).

Пример №214.

При всех значениях параметра а решить неравенство

Решение:

Найдём критические точки: . Приравнивая их друг к другу попарно, найдём все значения параметра, при которых эти точки совпадают: . Рассмотрим четыре случая.

1) подставляя в выражения для критических точек в качестве а любую внутреннюю точку промежутка (например, ), определяем порядок, в котором критические точки располагаются на числовой прямой x. При рассматриваемых а они оказываются упорядоченными так: а, 2, -2а . После этого методом интервалов решаем неравенство:

Итак, при указанных значениях а получили решения:

Замечание. При а = — 1 интервал (2,-2а) вырождается (пропадает), и ответ будет иметь вид

2) опять подставляем любую внутреннюю точку а из данного промежутка (например, а= -1/2 ) в выражения для критических точек и определяем порядок, в котором эти точки располагаются на числовой прямой. Затем методом интервалов решаем неравенство:

Итак, при получили решения:

3) поступая аналогичным образом, находим:

Итак, при получили решения:

Замечание. При а= 2 интервал (a,2) вырождается (пропадает), и ответ будет иметь вид

4) Наконец, в случае имеем

Поэтому при решениями будут .

В ответе объединяем все полученные результаты.

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Понимание неравенств — SAT Mathematics

Все ресурсы SAT по математике

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

SAT Mathematics Help » Неравенства и абсолютное значение » Понимание неравенств

Какое из следующих выражений выражает полный набор значений для , которые удовлетворяют приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Неравенства можно решать так же, как уравнения, с одной важной оговоркой: если вы умножаете или делите на отрицательное число, вы должны перевернуть знак неравенства. Здесь, как вы увидите, в этом нет необходимости, поэтому вы можете решить это так же, как уравнение. Сначала умножьте обе части на 2, чтобы исключить знаменатель:

Затем добавьте 2 к обеим сторонам, чтобы выделить член:

Затем разделите обе части на 3, чтобы получить одно:

Сообщить об ошибке

Какое из следующих значений представляет собой полный набор значений , которые удовлетворяют приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Эта задача демонстрирует важную концепцию работы с неравенствами. Если вы умножаете или делите неравенство на отрицательное число, вы должны перевернуть знак неравенства. Здесь вы можете разделить обе части исходного неравенства на , чтобы остаться в одиночестве. Однако, если вы это сделаете, вы должны перевернуть знак, чтобы получить:

Вы можете выбрать число, соответствующее вашему ответу, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет исходному неравенству. Если бы вы выбрали , то увидели бы, что данное неравенство принимает вид: , что работает, потому что

Обратите внимание, что во многих задачах можно избежать умножения/деления на отрицательное число путем прибавления или вычитания (для которых нет таких ограничений) членов к сторонам неравенства, где они будут положительными. Например, учитывая , если вы прибавите к обеим сторонам и вычтете 10 из обеих сторон, вы получите , и теперь вы будете делить на положительное 2, и вам не придется беспокоиться о смене знака, чтобы получить .

Сообщить об ошибке

Если , что из следующего должно быть правдой?

II.

III.

Возможные ответы:

I и III только

II и III только

I Только

Ничего из них не должно быть истинным

Правильный ответ:

Не должен быть правдой

. Объяснение:

На первый взгляд, вы можете просто умножить обе части исходного неравенства на и поверить, что . Однако что, если это отрицательное число? Помните, что когда вы умножаете или делите на отрицательное число в неравенстве, вы должны перевернуть знак. Но здесь вы не знаете, означает ли умножение на умножение на положительное или отрицательное число, поэтому вы не знаете, в каком направлении должен указывать знак. Важным соображением при работе с неравенствами является то, что вы никогда не сможете умножать или делить на переменную, если не знаете знак переменной. В результате возможны и I, и II, но ни один из них не гарантирован:

Если положительный, то
Если отрицательное значение, необходимо перевернуть знак и
Данное утверждение подразумевает, что x и y либо оба отрицательны, либо оба положительны, но вы не знаете, что именно.

В результате ни одно из этих утверждений «не должно быть истинным», поэтому правильный ответ «ни одно из этих утверждений не должно быть истинным».

Сообщить об ошибке

Если , что из следующего должно быть правдой?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Неравенства можно решать точно так же, как уравнения (с оговоркой, что если вы умножаете/делите на минус, вы должны поменять знак неравенства, но это не играет роли в этой задаче). Таким образом, вы можете решить эту проблему, проделав одно и то же с обеими сторонами неравенства. Начиная с , вы можете:

1) Прибавьте 2 к обеим сторонам, чтобы получить:

2) Разделите обе части на 2, чтобы получить:

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел

представляет собой полный набор значений , которые удовлетворяют приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Неравенства можно решать так же, как и уравнения, с одной важной оговоркой, как вы увидите в этой задаче: если вы умножаете или делите на отрицательное число, вы должны изменить направление знака неравенства.

Здесь вы можете начать с умножения обеих сторон на 2, чтобы исключить знаменатель. Это приводит вас к:

Теперь у вас есть выбор, как вы перемещаете оставшиеся члены, чтобы изолировать и найти переменную. Если вы вычтете 6 из обеих сторон, вы получите:

Здесь обратите внимание, что для решения набора решений вам придется разделить на -1, чтобы удалить минус. Если вы это сделаете, вам нужно будет изменить направление знака, чтобы получить правильный ответ:

Теперь также признайте, что вы могли бы вообще избежать шага деления на минус. На этом этапе:

Вы могли бы прибавить к обеим сторонам, чтобы получить:

И затем, когда вы вычтете 8 из обеих сторон, вы также получите правильный ответ:

Сообщить об ошибке

Что из следующего представляет собой полный набор значений , которые удовлетворяют указанному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Неравенства можно решать так же, как уравнения, с той лишь оговоркой, что если вы умножаете или делите на отрицательное число, вы должны поменять знак неравенства. В этой задаче вам не нужно делать этот шаг.

Во-первых, ваша цель состоит в том, чтобы получить все термины с одной стороны и числовые термины с другой. Для этого вы можете прибавить к обеим сторонам и вычесть из обеих сторон, чтобы получить:

Теперь вы хотите остаться наедине, так что вы можете разделить обе стороны на . Это оставляет:

или сокращенную дробь .

Обратите внимание, что вы можете читать неравенства слева направо или справа налево, поэтому здесь «две трети больше, чем» — это то же самое, что «меньше двух третей». Таким образом, вы найдете ответ, записанный как .

Обратите внимание, что вы можете проверить значение, близкое к вашему неравенству, чтобы убедиться, что оно работает. Поскольку у вас есть , вы можете попробовать . Если вы подключите это к заданному неравенству, вы увидите, что оно работает, возвращая истинное утверждение . Это поможет подтвердить ваш ответ.

Сообщить об ошибке

Что из следующего представляет собой полный набор решений для значений , которые удовлетворяют приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При работе с неравенствами очень важно учитывать, что всякий раз, когда вы умножаете или делите на отрицательное число, вы должны перевернуть знак неравенства. Здесь это означает, что если вы сделаете (логический) первый шаг деления обеих частей на , вам нужно изменить знак неравенства с больше на меньше, чтобы получить:

Обратите внимание, что вы также можете справиться с этим, используя только сложение/вычитание, где правила точно такие же, как и в уравнениях. Для этого сложите и вычтите из обеих частей данного неравенства. затем становится:

Затем вы делите на положительное число, , чтобы изолировать . Это дает вам соответствие правильному ответу, указанному выше.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих неравенств представляет собой полный набор решений для значений , удовлетворяющих приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Неравенства можно решать так же, как и уравнения — проделайте то же самое с обеими сторонами, пока не изолируете переменную — за одним важным исключением. Если вы умножаете или делите на отрицательное число, вы должны изменить знак неравенства. Этой ситуации (как вы увидите здесь) обычно легко избежать.

Здесь, если вычесть из обеих частей, вы можете получить все члены в одной части уравнения, причем с положительным коэффициентом, поэтому вам не нужно беспокоиться о делении на отрицательное. Это дает вам:

Затем прибавьте к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную справа:

Разделите на и вы получите ответ:

, который совпадает с

Сообщить об ошибке

900 выражает полный набор значений для , которые удовлетворяют приведенному выше неравенству?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны иметь в виду, что неравенства подчиняются тем же правилам и операциям, что и уравнения, за одним важным исключением. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны перевернуть знак неравенства, поскольку мы в основном «переворачиваем» отношение над 0 на числовой прямой. (Число, которое больше, когда оно положительное, становится «более отрицательным» и, следовательно, меньше, когда оно отрицательное, и наоборот).

В этом случае мы начинаем с того, что избавляемся от знаменателя, умножая обе части нашего неравенства на 4

мы можем затем вычесть два из обеих сторон, чтобы получить

и разделить обе части на -3, (имейте в виду, что при этом нам нужно перевернуть знак!)

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по математике SAT

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Свойства неравенств

Неравенство говорит нам о относительном размере двух значений.

(Возможно, сначала вы захотите прочитать небольшое введение в неравенства)

4 неравенства

Символ	Слова	Пример
>	больше	х+3 > 2
<	меньше	7x < 28
≥	больше или равно	5 ≥ x−1
≤	меньше или равно	2 года+1 ≤ 7

Символ «указывает» на меньшее значение

Свойства

Неравенства имеют свойства. .. все со специальными именами!

Здесь мы перечисляем каждый с примерами.

Примечание: значения a , b и c , которые мы используем ниже, являются действительными числами.

Переходное свойство

Соединяя неравенства по порядку, мы можем «перепрыгнуть» среднее неравенство.

Если a < b и b < c, то a < c

Аналогично:

Если a > b и b > c, то a > c

Пример:

Если Алекс старше Билли и
Билли старше Кэрол,

тогда Алекс должен быть старше Кэрол!

Свойство обращения

Мы можем поменять местами на и на , если убедимся, что символ по-прежнему «указывает» на меньшее значение.

Если a > b, то b < a
Если а < b, то b > а

Пример: Алекс старше Билли, поэтому Билли моложе Алекса

Закон трихотомии

«Закон трихотомии» гласит, что верно только одно из следующего:

Логично, правда? a должно быть либо на меньше, чем b , либо на равно b , либо на больше, чем b . Это должен быть один из тех, и только один из них.

Пример: У Алекса больше денег, чем у Билли

Мы могли бы написать это так:

a > b

Итак, мы также знаем, что:

Алекс действительно не имеет меньше денег, чем Билли (не a
Алекс имеет , а не ту же сумму денег, что и Билли (не a=b)

(Конечно!)

Сложение и вычитание

Добавление c к обеим частям неравенства всего сдвигает все по , а неравенство остается прежним.

Если a < b, то a + c < b + c

Пример: У Алекса меньше денег, чем у Билли.

Если и Алекс, и Билли получат на 3 доллара больше, то у Алекса все равно будет меньше денег, чем у Билли.

Аналогично:

Если a < b, то a − c < b − c
Если a > b, то a + c > b + c, и
Если a > b, то a − c > b − c

Таким образом, добавление (или вычитание) одного и того же значения к a и b не изменит неравенство

Умножение и деление

Когда мы умножаем a и b на положительное число , неравенство остается тем же .

Но когда мы умножаем a и b на отрицательное число , неравенство заменяет !

Обратите внимание, что a становится b после умножения на (-2)
Но неравенство остается тем же при умножении на +3

Вот правила:

Если a < b и c положительно , то ac < bc
Если a < b и c отрицательно , то ac > bc (неравенство меняется местами!)

«Положительный» пример:

Пример: 3 балла Алекса на ниже, чем балла Билли 7.

a < b

Если и Алекс, и Билли сумеют набрать в два раза больше своих баллов (×2), результат Алекса все равно будет ниже, чем балл Билли .

2а < 2б

Но при умножении на минус происходит обратное:

Но если количество очков станет минус , то Алекс потеряет 3 очка, а Билли теряет 7 очков

Итак, теперь Алекс сделал лучше , чем Билли!

−а > −b

Почему при умножении на минус знак меняется на противоположный?
Ну, вы только посмотрите на числовой ряд!
Например, от -3 до -7 это уменьшение , а от 3 до 7 увеличение .
Обратите внимание, что −7 < −3
, но+7 > +3
Таким образом, знак неравенства меняется на противоположный (от < к >)
Добавка, обратная
Как мы только что видели, постановка минусов перед a и b меняет направление неравенства. Это называется «Аддитивная инверсия»:
Если a < b, то -a > -b
Если a > b, то -a < -b
Это действительно то же самое, что и умножение на (-1), и именно поэтому оно меняет направление.
Пример: У Алекса больше денег, чем у Билли, поэтому Алекс впереди.
Но новый закон гласит, что «все ваши деньги теперь являются долгом , который вы должны погасить тяжелым трудом»
Итак, теперь Алекс находится в худшем положении, чем Билли.
Мультипликативное обратное
Взяв обратную величину (1/значение) как a, так и b , можно изменить направление неравенства.
Когда a и b равны , оба положительные или , оба отрицательные :
Если a < b, то 1/a > 1/b
Если a > b, то 1/a < 1/b
Пример: Алекс и Билли проехали 12 километров.
Алекс бежит со скоростью 6 км/ч , а Билли идет со скоростью 4 км/ч .
Скорость Алекса больше скорости Билли
6 > 4
Но время Алекса меньше времени Билли:
12/6 < 12/4
2 часа < 3 часа
Но когда либо a, либо b отрицательно (не оба) направление остается прежним:
Если a < b, то 1/a < 1/b
Если a > b, то 1/a > 1/b
Пример: a = +7 и b = −3
a > b, и одно из них отрицательное, поэтому:
1 +7 > 1 −3
1 7 > − 5
9 0727 9
Неотрицательное свойство квадратов
Квадрат числа больше или равен нулю:
а ² ≥ 0
Пример:
(3) ² = 9
(−3) ² = 9
(0) ² = 0
Всегда больше (или равно) нулю
Свойство квадратного корня
Извлечение квадратного корня не изменит неравенство (но только когда и a, и b больше или равны нулю) .
Если a ≤ b, то √a ≤ √b
(для a,b ≥ 0)
Пример: a=4, b=9
4 ≤ 9, поэтому √4 ≤ √9

2064, 2065, 2066, 2067, 445, 446, 2320, 2321, 2322, 2323
(ЕДИНСТВЕННОЕ) Полное руководство по неравенствам GMAT
GMAT квант
Бонус: На экзамене GMAT вам нужно будет ответить на 80 вопросов, включая вопрос-эссе. И у вас есть 3,5 часа, чтобы сдать экзамен.
Мы понимаем, что по сравнению с другими типами вопросов GMAT вопросы о неравенствах могут быть немного сложнее. GMAT использует неравенство как мощное оружие, чтобы снизить баллы кандидатов.
Некоторые из самых сложных вопросов уровня GMAT 700 будут зарезервированы для этого раздела GMAT. Даже умеренно сложные вопросы о неравенстве GMAT могут создать хаос, если применяются неправильные стратегии или если у вас плохие основы.
На самом деле, мы знаем многих сдавших GMAT, которые получили не очень хорошие результаты GMAT Quant, потому что:
1. Они не понимали основ неравенств GMAT
2. Они не знали, как применять понятия, когда сталкивались с вопросами о неравенствах на GMAT
3. Они относились к ним аналогично уравнениям (например, если x /y > 1, они считали бы x>y, не понимая, что знаки x и y неизвестны, и если x отрицательно, анализ останется ошибочным!)
4. Они почти не использовали «числовую прямую», хотя и знать об этом (Числовая строка и визуализация ряда решений — мощный арсенал для решения вопросов о неравенстве GMAT менее чем за 2 минуты
5. Они рассматривают такие значения, как x/y, как дробь, вместо того, чтобы сосредотачиваться на знаках, когда это неравенство (Не волнуйтесь! Мы скоро углубимся в детали)
Сталкиваетесь ли вы с подобными проблемами?
Вы хотите получить четкое представление о концепциях неравенства GMAT, прежде чем приступить к практике?
Если вы просто кивнули «да» на оба вопроса выше, вы попали в нужное место. 😉
Потому что мы собираемся ответить на все ваши вопросы о неравенствах GMAT:
1. Что такое неравенства GMAT и знаки неравенств?
2. Каковы основные правила неравенства GMAT?
3. Каковы расширенные правила для неравенств GMAT?
4. Как решать вопросы о неравенствах GMAT с помощью метода волнистой кривой?
5. По какому правилу возводят в квадрат неравенства?
6. Что следует помнить при решении вопросов о неравенствах GMAT?
7. БОНУС! Как решать вопросы о неравенствах на GMAT? (10 вопросов с решениями!)
Если у вас есть другие вопросы о неравенстве на GMAT, не стесняйтесь оставлять их в комментариях ниже. Наши специалисты Quant с удовольствием ответят на них.
2. Каковы основные правила неравенства GMAT?
Существуют два основных правила для неравенств GMAT :
1. Добавление или вычитание одного и того же выражения к обеим частям неравенства не меняет знак неравенства . Итак, если a < b
a+k < b+k и a-k < b – k (всегда верно)
Проще говоря, если у A больше денег, чем у B, и на счета A и B добавлено по 3 доллара, у A ВСЕ ЕЩЕ будет больше денег, чем у B, и знак «больше» останется неизменным. То же самое верно, если у каждого отнять по 3$. Знак «больше чем» остается прежним.
Умножение или деление одного и того же положительного числа на обе части неравенства не меняет неравенство .
2. Умножение или деление одного и того же отрицательного числа на обе части неравенства обращает неравенство на противоположное — это также называется перевернутым правилом неравенств .
Давайте теперь попробуем понять эти два правила для неравенств, используя приведенные ниже примеры.
Правило неравенства GMAT 1
Добавление или вычитание одного и того же выражения к обеим частям неравенства не меняет неравенство .
И
Умножение или деление одного и того же положительного числа на обе части неравенства не меняет неравенства .
Если рассматривать истинное неравенство,
4 < 8
Прибавление 2 к обеим сторонам 6 < 10 (знак неравенства верен)
Вычитание 2 из обеих сторон 2 < 6 (знак неравенства верен)
Умножение обоих сторон на +2 8 < 16 (знак неравенства верен)
Деление обеих сторон на +2 2 < 4 (знак неравенства верен)
Как видно из приведенного выше примера, сложение, вычитание, умножение или деление обе части неравенства с одним и тем же положительным числом не меняют неравенство.
Знак неравенства верен во всех четырех случаях.
Мы надеемся, что теперь вы поняли это правило неравенства GMAT. 🙂
Правило неравенства GMAT 2:
Умножение или деление одного и того же отрицательного числа на обе части неравенства обращает неравенство — это также называется перевернутым правилом неравенств.
Принимая во внимание истинное неравенство, мы объясняли здесь первое правило:
4 < 8 Умножая обе части на -2 -8 > -16 (знак неравенства меняется на противоположный)
Деление обеих частей на -2 -2 > -4 (знак неравенства меняется на противоположный)
Есть вопросы?
Теперь, когда мы закончили с основными правилами неравенства GMAT, мы уверены, что у вас возникнет несколько вопросов. Итак, давайте, пользуясь случаем, ответим на них.
Вот несколько вопросов о неравенствах GMAT, которые заставят вас задуматься.
Можем ли мы добавить или вычесть переменную с обеих сторон неравенства?
Да, потому что добавление или вычитание переменной аналогично добавлению или вычитанию числа.
Можно ли умножить или разделить обе части неравенства на переменную?
Нет, мы не можем, если мы не знаем знак числа, которое обозначает переменная. Причина в том, что вы не будете знать, следует ли перевернуть знак неравенства.
Проиллюстрируем это на примере:
Если x/y > 1, большинство испытуемых делают ошибку, делая вывод, что x>y, умножая обе части на y. Но нам не дали никакой информации о знаке числа, которое обозначает переменная y.
Если x = 3 и y = 2, то приведенное выше соотношение x/y > 1 будет верным, и x будет больше y.
Однако, если x = -3 и y = -2, то приведенное выше соотношение x/y > 1 снова будет верным, но x не будет больше y.
Если x/y > 1, единственный факт, который можно однозначно вывести, это то, что x и y имеют один и тот же знак.
Практические вопросы по неравенствам GMAT – проверьте, правильно ли вы поняли понятия
Если a, b, c ненулевые целые числа и a > bc, то что из следующего должно быть правдой?
I. а/б > с
II. а/с > б
III. a/bc > 1
Варианты ответов (Обязательно исключите неправильные ответы!)
A. Только I
B. Только II
C. Только III
D. I, II и III
E. Ничего из перечисленного
Ответ на миллион долларов здесь
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: E
Решение
Ответ-ловушка здесь будет D (I, II и III). Общая тенденция будет состоять в том, чтобы умножить обе части первого неравенства a/b > c на b, чтобы получить a > bc, обе части второго неравенства на c, чтобы получить a > bc, и обе части третьего неравенства на bc, чтобы получить получить > до н.э.
Помните, что мы никогда не сможем умножить или разделить обе части неравенства на переменную, если знак переменной неизвестен. В этой задаче знаки b и c неизвестны. Приведенные выше утверждения I, II и III могут быть истинными, если оба b и c положительны. Но они не будут истинными, если b и c отрицательны. Поскольку вопрос относится к типу «должен быть верным», ответ здесь должен быть E.
Хотите попрактиковаться в вопросе о неравенствах GMAT?
Нажмите здесь, чтобы задать вопрос.
Решить: -6x + 4 ≤ -2
Научиться решать неравенство
Решить неравенство означает найти все его решения. «Решение» неравенства — это диапазон значений, удовлетворяющий неравенству.
Прежде чем мы начнем решать неравенство, позвольте нам дать вам шаги для решения линейного неравенства здесь.
Три шага решения линейного неравенства:
i. Изолируйте переменную и всегда держите переменную положительной
ii. Решите, используя свойства неравенств. Не отменяйте и не умножайте перекрестно, если вы не знаете знаки задействованных переменных
iii. Представьте неравенство на числовой прямой
Если вы еще не решили его, взгляните на решение, представленное ниже. 🙂
Возвращаясь к нашему вопросу,
Решить: -6x + 4 ≤ -2
Решение
Выделив переменную вычитанием 4 с обеих сторон, получим
-4 + 6x
-4 -2 -4 => -6x ≤ -6
Разделив обе части на -6 и изменив знак неравенства (поскольку мы делим на -6, что меньше 0), мы получим x ≥
ВЫВОДЫ
ОБЕИ СТОРОНЫ НЕРАВЕНСТВА НЕ МЕНЯЮТ НЕРАВЕНСТВА
2. УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ ОДНОГО ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА НА ОБЕИХ СТОРОНАХ НЕРАВЕНСТВА ОБРАЩАЕТ НЕРАВЕНСТВО – ЭТО ТАКЖЕ НАЗЫВАЕТСЯ ПРАВИЛОМ ПЕРЕВЕРТЫВАНИЯ НЕРАВЕНСТВ
903 правила для неравенств GMAT?
Неравенство GMAT может существовать в различных формах. Это не обязательно должны быть просто два числа, разделенные знаком неравенства.
У вас будут дробные неравенства, неравенства квадратного корня, квадратные неравенства, такие как неравенства, неравенства максимум-минимум и многое другое.
Чтобы решить эти неравенства, вам нужно знать, что они собой представляют и как к ним подходить. Это именно то, что мы будем делать здесь. Мы рассмотрим:
1. Неравенства в дробях
2. Неравенства квадратного корня
3. Обратные неравенства
4. Подобные неравенства
5. Неравенства Макса-Мина
6. Квадратные неравенства
Рассмотрим каждое из них подробно.
1. Неравенства в дробях
Вы должны быть знакомы с дробями, верно?
Но как решать неравенства в дробях?
Мы также используем числовую прямую для представления дробей. Вот как.
Все правильных дробей на числовой прямой можно представить с помощью диапазона -1 < х < 1 . «x» здесь представляет правильную дробь.
Все положительных правильных дробей могут быть представлены в диапазоне 0 < x < 1 где x представляет собой положительную правильную дробь
Для всех правильных дробей (0 < x < 1),
√x > x > x2
Если x = ¼, то √x = ½ и x2 = 1/16
Здесь ½ > ¼> 1/16
Практические вопросы по неравенствам GMAT – проверьте, правильно ли вы поняли понятия
Если x = 0,888, y = √0,888 и z = (0,888)2, что из следующего верно?
Варианты ответов (Обязательно исключите неправильные ответы!)
A. x < y < z
B. x < z < y
C. y < x < z
D. z < y < x
E. z < x < y
Ответ на миллион долларов здесь
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: E
Решение
0,888 — десятичная дробь от 0 до 1 = x
√0,888 = √x = y
(0,888)2 = x2 = z
√0,888 > 0,888 > (0,888)2
y > x > z; Поскольку мы знаем, что при 0 x > x2
Обращая неравенство, получаем z < x < y
2.
Неравенства квадратного корня
Вы знакомы с решением уравнений квадратного корня?
Если да, то вам может быть проще решать неравенства квадратного корня.
В любом случае неравенство с квадратным корнем — это математическое выражение, имеющее квадратный корень по крайней мере в одной части выражения.
Допустим, √x+7 ≥ 3. Это пример неравенства квадратного корня.
Вот еще пример:
Если x2 < a2, то x > -a и x < a, диапазон x будет равен – a < x < a
Например, если x2 < 100, то значения x, которые будут удовлетворять неравенству, - это значения x < 10 и значения x > -10.
Если x2 > a2, то x > a и x < -a, диапазон значений x будет от (-∞, -a) до (a, ∞)
Например, если x2 > 100, то значения x, удовлетворяющие неравенству, — это значения x > 10 и значения x < -10.
Решение
Если x2 < a2, то диапазон значений x равен -a < x < a.
Теперь x заменяется на y – 5, а a заменяется на 6 (поскольку 62 = 36).
(y – 5)2 < 36 --> -6 < y – 5 < 6.
Теперь прибавляя 5 повсюду и выделяя переменную y, получаем
(y – 5)2 < 36 --> — 6 + 5 < у – 5 + 5 < 6+ 5
(y – 5)2 < 36 --> -1 < y < 11
3. Взаимные неравенства
Рассмотрим a и b как две компоненты.
Взятие обратной величины a и b может изменить направление неравенства.
Общее правило состоит в том, что когда a < b, то:
Если (1/a ) > (1/b), когда a и b положительны.
То есть перевернуть неравенство.
Если 2 < 3, то ½ > 1/3
Если (1/a) > (1/b), когда a и b отрицательны .
То есть перевернуть неравенство.
Если -3 < -2, то 1/-3 > 1/-2
Если (1/a) < (1/b), когда a отрицательно, а b положительно.
Не переворачивать неравенство.
Если -3 < 2, то 1/-3 < ½
Если вы не знаете знак a или b, вы не можете брать обратные числа.
Таким образом, если вы знаете знаки переменных, вы должны инвертировать неравенство, если a и b не имеют разных знаков.
Практические вопросы по неравенствам GMAT – проверьте, правильно ли вы поняли понятия
Если 3 ≤ 6/(x+1) ≤ 6, найдите диапазон значений x.
Решение
Возьмем обратную величину указанного выше диапазона и изменим знак неравенства, поскольку все неравенство положительное
1/3 ≥ (x + 1)/6 ≥ 1/6 2 ≥ (x + 1) ≥ 1
Вычитание 1 со всех сторон
1 ≥ x ≥ 0 -> 0 ≤ x ≤ 1
4. Подобно неравенствам
5 90 два набора неравенств при условии, что знак неравенства один и тот же, является сложением.
Если знаки не совпадают, используйте свойства, чтобы изменить знак неравенства, а затем сложите два набора неравенств.
Тренировочные вопросы по неравенствам GMAT – Проверьте, правильно ли вы поняли понятия
Если 4a + 2b < n и 4b + 2a > m, то b – a должно быть:
A. < (m – n )/2
B. ≤ (m – n)/2
C. > (m – n)/2
D. ≥ (m – n)/2
E. ≤ (m + n)/2
ответ на миллион долларов здесь
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: C
Решение
Учитывая 4a + 2b < n и 4b + 2a > m. Мы всегда можем добавить «подобные» неравенства.
Умножая второе неравенство
4b + 2a > m на -1, получаем -4b – 2a < -m.
Теперь складывая два неравенства
4a + 2b < n и -4b – 2a < -m
4a + 2b < n
-4b – 2a < -m
________________
2a – 2b < n – m
Разделив обе части на 2
a – b < (n – m)/2 Умножение обеих сторон на -1 b – a > (m – n )/2 (вариант c)
Хотите больше БЕСПЛАТНЫХ ресурсов GMAT?
5. Минимальное и максимальное неравенства
Что это за вопросы о минимальном и максимальном неравенствах?
На GMAT вы столкнетесь с вопросами о неравенствах, в которых вам нужно будет найти минимальное и максимальное возможные значения. Например, учитывая выражение неравенства, вас могут попросить найти минимальное и максимальное значения «ab».
Проблемы, связанные с оптимизацией: в частности, проблемы минимизации или максимизации являются обычным явлением на GMAT. В этих задачах нужно сосредоточиться на максимальном и наименьшем возможных значениях каждой из переменных.
Это связано с тем, что некоторая их комбинация обычно приводит к наибольшему или наименьшему возможному результату.
Давайте лучше разберемся с некоторыми примерами.
Если -7 ≤ x ≤ 6 и -7 ≤ y ≤ 8, , какое максимально возможное значение xy?
Чтобы найти максимальное и минимальное возможные значения xy, поместите неравенства одно под другим и убедитесь, что знаки неравенств совпадают. Вам нужно проверить экстремальные значения x и y, чтобы определить, какие комбинации экстремальных значений максимизируют ab.
-7 ≤ x ≤ 6
-7 ≤ y ≤ 8
Четыре крайних значения xy: 49, 48, -56 и -42. Из них максимально возможное значение xy равно 49, а минимально возможное значение равно -56.
Всякий раз, когда для x и y заданы два диапазона неравенств, и вам необходимо оценить значение x + y, x * y и x – y, используйте концепцию макс-мин:
1. Поместите два диапазона неравенства один под другим
2. Убедитесь, что знаки неравенства одинаковы в обоих случаях
3. Если знаки не совпадают, используйте свойства, которые мы обсуждали ранее, чтобы сделать их одинаковыми
4. Теперь сложите/умножьте/вычтите как по прямой, так и по диагонали, чтобы получить 4 значения
5. Наибольшее значение будет «max», а наименьшее значение будет «min»
Хотите решить еще один вопрос?
Нажмите здесь, чтобы получить вопрос
Является ли xy < 6 ?
I. х < 3 и -у > -2
II. y2 < 100 , 1/2 < x < 2/3
Узнайте, как решить неравенство
Индивидуальная оценка утверждения 1
x < 3 и y < 2 (умножение обеих сторон на -1 и изменение знака неравенства)
Теперь Если x = 2 и y = 1, то xy = 2, что дает ДА
Если x = -3 и y = -2, то xy = 6, что дает НЕТ
Утверждение 1 недостаточно0014
Индивидуальная оценка утверждения 2
y2 < 100 —> -10 < y < 10 ;
1/2 < х < 2/3.
Поместив диапазоны x и y один под другим и используя концепцию max-min, мы получим максимальное значение xy, равное 20/3, что дает ДА, и минимальное значение xy, равное -20/3, что дает НЕТ.
Утверждение 2 недостаточно
Объединение утверждений 1 и 2,
Теперь диапазон x по-прежнему будет 1/2 < x < 2/3, но диапазон y будет – 10 < y < 2 (Поскольку y < 2 из утверждения 1)
Теперь, используя концепцию максимум-минимум для вышеуказанных диапазонов x и y, мы получаем, что максимальное значение xy равно 4/3, а минимальное значение xy равно -20/3. Все возможные значения xy здесь меньше 6, что дает определенное ДА.
Теперь давайте посмотрим на квадратные неравенства.
6. Квадратные неравенства
Проще говоря, квадратные неравенства — это математические выражения, которые похожи на квадратные уравнения, но используют знаки неравенства вместо знака «=».
Рассмотрим пример.
3×2 – 7x + 4 ≤ 0
Факторизация приведенного выше квадратного неравенства
3×2 – 7x + 4 ≤ 0 —> 3×2 – 3x – 4x + 4 ≤ 0 -> 3x(x — 1) — 4(x — 1) ≤ 0 -> (3x — 4)(x — 1) ≤ 0
Мы получаем 1 и 4/3 как критические точки. Размещаем их на числовой прямой.
Поскольку числовая прямая разделена на три области, теперь мы можем получить 3 диапазона x:
i) x < 1 (все значения x при подстановке в (3x – 4)(x – 1) дают продукт положительный)
ii) 1 ≤ x ≤ 4/3 (все значения x при подстановке в (3x – 4)(x – 1) делают произведение отрицательным)
iii) x > 4/3 (все значения x при подстановке в (3x – 4)(x – 1) делает произведение положительным)
К этому моменту мы должны понимать, что для выполнения неравенства (3x-4)(x-1) ≤ 0 ровно одно из (3x- 4) и (x-1) должны быть отрицательными, а другой должен быть положительным. Давайте рассмотрим 3 возможных диапазона один за другим.
i) Если x > 4/3, очевидно, что оба множителя, т. е. (3x-4) и (x-1), будут положительными, и в этом случае неравенство не будет иметь места. Так что это не может быть диапазон x.
ii) Если x находится в диапазоне от 1 до 4/3 включительно, (3x-4) будет отрицательным или равным нулю, а (x-1) будет положительным или равным нулю. Следовательно, с этим диапазоном неравенство выполняется. Правильный.
iii) Если x < 1, то и (3x-4), и (x-1) будут отрицательными, поэтому неравенство не выполняется.
Таким образом, диапазон x, удовлетворяющий неравенству 3×2 – 7x + 4 ≤ 0, равен 1 ≤ x ≤ 4/3.
Шаги решения квадратного неравенства следующие:
и. Изолируйте переменную и всегда держите переменную положительной.
ii. Сохраните неравенство в виде ax2 + bx + c > 0 или < 0.
iii. Получите коэффициенты неравенства.
iv. Расположите их на числовой прямой. Числовая линия будет разделена на три области.
v. Отметьте крайний правый регион знаком +, следующий регион знаком – и третий регион знаком + (чередование + и – начиная с крайнего правого региона).
VI. Если неравенство имеет вид ax2 + bx + c < 0, то область со знаком – будет решением данного квадратного неравенства.
Другими словами,
Если неравенство ax2 + bx + c < 0, областью решений будет часть в середине, т. е. наименьший корень < x < наибольший корень
Например, если (a-3)( a-6) < 0 ,
диапазон для a будет 3 < a < 6
vii. Если неравенство имеет вид ax2 + bx + c > 0, то область со знаком + будет решением данного квадратного неравенства.
Другими словами,
Если неравенство ax2 + bx + c > 0, областью решений будет самая правая часть и самая левая часть, т. е. x> наибольший корень ИЛИ x< наименьший корень
Например,
x2 – 5x+6 > 0
=>(x-3)(x-2) >0
x>3,x<2
4. Как решать вопросы о неравенствах GMAT методом волнистой кривой?
Вы слышали о методе «Волнистая кривая», но не знаете, как с его помощью решать вопросы неравенства GMAT?
Вот как можно использовать метод волнистой кривой для решения вопросов о неравенствах GMAT:
i. Сначала нарисуйте горизонтальную линию — это будет числовая линия, чтобы определить диапазон рассматриваемой переменной.
ii. Представляют «нулевые точки» на линии: обратите внимание на значения, при которых хотя бы один из факторов в выражении становится равным нулю
Например, если (x-3) как член в неравенстве равен 0, то пометьте x- 3 как 0. То же самое происходит в (x-1) и (x-2) как 0
iii. Начните создавать волнистую кривую с верхней правой части
iv. Если степень терма нечетная, волнистая кривая проходит через соответствующую корневую/нулевую точку
v. Если степень терма четная, волнистая кривая отскакивает от соответствующей нулевой точки
ПРИМЕЧАНИЕ
1. НА ОБЛАСТИ(АХ) НАД ЧИСЛОВОЙ ЧИСЛОМ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДОЛЖНО БЫТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ
2. В ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ РАВНО НУЛЮ
3. НА ОБЛАСТИ(S) ЧИСЛОВАЯ СТРОКА, ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДОЛЖНО БЫТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
Как работать с дробями, используя волнистую кривую?
Давайте рассмотрим вопрос, чтобы понять это:
Решение
Здесь важно отметить, что основу вопроса можно перефразировать как
Является ли (x+1)(x-3) < 0? (После умножения (x-3) как в числителе, так и в знаменателе)
Критические точки будут равны -1 и 3
Используя метод волнистой кривой, мы можем установить диапазон x как -1 < x <3
Что если знак < заменить на ≤ ?
В таком случае вы должны быть немного осторожны и заметить, что с (x-3) в исходной основе вопроса в качестве знаменателя подразумевается, что мы не можем рассматривать ни один случай, когда знаменатель равен 0. Другими словами, мы не можем включать x=3 и, следовательно, значение x=3 будет исключено.
Тогда диапазон будет равен -1 < x < 3 (если < в вопросе заменить на ≤)
Вопрос: Будет ли приведенная выше процедура верна даже для кубического уравнения или уравнения четвертой степени?
Ответ: ДА. Для кубического неравенства мы получаем 3 критические точки, которые при нанесении на числовую прямую делят числовую прямую на 4 области. Отметьте крайнюю правую область как +ve и чередуйте знак, как показано ниже
Например, если (x-1)(x-2)(x-3) > 0 и мы хотим найти диапазон для x в этой кубической неравенства получим 1< x < 2 или x > 3 в качестве области решения
Все еще не знаете, как подходить к вопросам о неравенстве GMAT?
Не стесняйтесь оставлять свой запрос в разделе комментариев ниже. Наши специалисты Quant будут рады помочь вам. 🙂
Тренировочные вопросы по неравенствам GMAT – проверьте, правильно ли вы поняли понятия
Сколько целых чисел, удовлетворяющих неравенству (x + 2) (x + 3) (x – 2) >=0 , меньше 5?
А. 1
Б. 2
В. 3
Г. 4
E. 5
Ответ на миллион долларов здесь
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенстве GMAT: E
Решение
Три критические точки здесь -2, -3 и 2. Теперь используя концепцию квадратных неравенств и нанося критические точки на числовую прямую, мы получаем

Теперь, поскольку правая часть >= 0, нам нужно рассмотреть положительные области числовой прямой. Диапазон x, в котором данное выражение неравенства является положительным, составляет x >= 2 и -3<= x < = -2. Из диапазона x целыми значениями меньше 5 являются 2, 3, 4, -3 и -2.
Чувствуете, что теперь вы знакомы с различными типами вопросов о неравенстве GMAT?
Да, это здорово! Если нет, оставьте свои вопросы, чтобы мы могли вам помочь.
В то время как мы обсуждали различные вопросы о неравенстве на GMAT выше, мы пропустили один. Это возведение в квадрат неравенств.
Мы подробно рассмотрим их, потому что мы видели, что многие соискатели GMAT сомневаются в возведении в квадрат неравенств.
Мы упростим для вас
5. По какому правилу возводят в квадрат неравенства?
Можете ли вы возвести в квадрат обе части неравенства?
Мы не можем возвести в квадрат обе стороны неравенства, если не знаем знаки обеих сторон неравенства.
ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, что ОБЕ СТОРОНЫ ОТРИЦАТЕЛЬНЫ, ТО ИЗМЕНЯЙТЕ ЗНАК НЕРАВЕНСТВА ПРИ ВОЗВОДЕ
Например, если a < -4, то левая часть должна быть отрицательной. Поскольку обе стороны отрицательны, вы можете возвести в квадрат обе стороны и поменять знак неравенства: a2 > 16. Однако, если a > -4, то вы не можете возвести обе стороны в квадрат, потому что неясно, положительна левая часть или отрицательна. Если а отрицательно, то а2 < 16, но если х положительно, то х2 может быть больше 9.или меньше 9.
Если известно, что обе стороны положительны, не переворачивайте знак неравенства при возведении в квадрат.
Например, если a > 4, то левая часть должна быть положительной; поскольку обе стороны положительны, вы можете возвести обе стороны в квадрат, чтобы получить a2 > 16. Однако, если a < 4, вы не можете возвести в квадрат обе стороны, потому что неясно, положительна левая сторона или отрицательна.
Если одна сторона положительная, а другая отрицательная, то возведение в квадрат невозможно.
Например, если вы знаете, что a < b, a отрицательно, а b положительно, вы не можете определить соотношение x2 и y2.
Если, например, x = -2 и y = 2, то x2 = y2.
Если x = -2 и y = 3, то x2 < y2.
Если x = -2 и y = 1, то x2 > y2.
Примечание: Если одна сторона неравенства отрицательна, а другая положительна, то возведение в квадрат, вероятно, не требуется.
Если знаки неясны, то возводить неравенства в квадрат нельзя.
Проще говоря, мы не знали бы, следует ли поменять знак неравенства после его возведения в квадрат.
Например, если x>- 3, x не обязательно положителен. Оно может быть отрицательным или равным 0. Если x = 0, x2 = 0. В этом случае 0 < x2 < бесконечность.
То же самое можно наблюдать для x< 3, где диапазон равен 0<=x2 < бесконечности.
6. Что нужно помнить при решении вопросов о неравенствах GMAT?
Вы знаете знаки неравенства. Мы также дали вам представление о неравенствах GMAT, а также об основных и расширенных правилах неравенств GMAT. Теперь, когда у вас есть представление о том, как решать различные типы вопросов о неравенстве GMAT, вот несколько моментов, которые вам нужно иметь в виду.
Вы можете попытаться запомнить эти семь пунктов, когда будете использовать свойства неравенств для упрощения решения сложных задач и вопросов достаточности данных в GMAT Проблемы с количественным неравенством:
i. Добавьте или вычтите любую величину в обеих частях неравенства, не меняя знака неравенства.
ii. Умножьте или разделите на положительное значение без изменения знака неравенства.
III. Возведение обеих сторон в квадрат только тогда, когда обе величины положительны.
ив. При умножении и делении на отрицательное число всегда переворачивайте знак неравенства.
v. Никогда не умножайте и не делите обе величины на переменную, если знак этой переменной неизвестен.
в.и. Если знак переменной всегда положительный, то обе величины можно умножить или разделить на положительную переменную (например, на x2, поскольку x2 всегда положителен).
vii. Единственная математическая операция, которую вы можете выполнить между двумя наборами неравенств, — это сложение. Никогда не вычитайте, не умножайте и не делите.
7. БОНУС! Как решать вопросы о неравенствах на GMAT?
Вот вам бонусный раздел!
Как и было обещано, мы дадим вам 12 вопросов о неравенствах GMAT, которые вы сможете попрактиковать.
Что делать, если вы не уверены в ответе?
В худшем случае, что, если вы не сможете решить вопросы о неравенстве?
Не беспокойтесь. Все, что вам нужно сделать, это щелкнуть вкладку «Решение» под каждым вопросом, чтобы перепроверить свой ответ и найти решение.
Итак, вот вам 12 вопросов о неравенствах GMAT:
Q1. Эми прошла контрольную по математике и обнаружила, что конкретный вопрос гласил: «Какое из следующих неравенств должно быть верным, если 0 < a < 1»?
I. а5 < а3
II. а5 + а 4 < а2 + а3
III. a4−a5
A. Только I
B. Только II
C. Только I и II
D. I, II и III
E. Нет
Проверьте ответ и решение здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенстве GMAT: D
Решение
0 < a< 1, тогда a > a2> a3> a4 > a5 …
I. a5 < a3 (Истина)
II. а5 + а 4 < а2 + а3. Каждый член в левой части меньше, чем каждый член в правой части, поэтому LHS < RHS и, следовательно, верно.
III. a4−a5a4(1−a) Так как 0 < a < 1, то 1 – a > 0, поэтому на него можно сократить: a4
Q2. Если 1 < a< b < c, какое из следующих значений имеет наибольшее значение?
A. c(a+ 1)
B. c(b + 1)
C. a(b+ c)
D. b(a + c)
E. c(a + b)
Проверить ответ и решение здесь! Если мы используем эти значения в вариантах ответа

A. c(a + 1) = 4(3) = 12
B. c(b + 1) = 4(4) = 16
C. a(b + c) = 2(7) = 14
D. b(a + c) = 3(6) = 18
E. c(a + b) = 4(5) = 20
Q3. Джейн считала свои числа, и она насчитала x целых чисел. Сколько существует целых чисел x, таких что 1 < 5x +5 < 25?
A.1
B.2
C.3
D.4
E.5
Ознакомьтесь с ответом и решением здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: D
Решение
1<5x+5<25 --> вычесть 5 из каждой части: −4<5x<20 --> разделить на 5 каждую часть =>−4/5
Q4. Если замечено, что 5|5-s|=3, какова сумма всех возможных значений s?
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
Ознакомьтесь с ответом и решением здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: B
Решение
5 * |5-s| = 3
=> |s-5| = 3/5
=> s находится на расстоянии 3/5 от 5.
=> одно значение будет на 3/5 больше 5, а другое значение будет на 3/5 меньше 5. 9a< 0. Из этого утверждения следует, что b — отрицательное число. Теперь, если b=-1 и a=1, то a>b, НО если b=-1 и a=-1, то a=b недостаточно.
(1)+(2)
Из (2) получаем, что b — отрицательное число
=> -b — положительное число.
Следовательно, из (1) имеем, что a>-b = положительное,
=> a — положительное число. Итак, у нас есть a = положительный > b = отрицательный. (Достаточно)
Q6. p>q?
(1) 6p>5q
(2) pq<0
Ознакомьтесь с ответом и решением здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: C
Решение
Утверждение 1: 6p>5q
Если p=1 и q=1, ответ на основу вопроса НЕТ. Если p=3 и q=2, тогда ответ на основу вопроса — ДА. (Недостаточно)
Утверждение 2: — pq<0 оба знака противоположны, но мы не знаем, какое из них больше >5q, p положительное, q отрицательное, p>q (достаточно)
Q7. Если 6/a(a+1)>1, что из следующего может быть значением a?
A. -3,5
B. -2,5
C. 2,5
D. 3,5
E. 4,5
Проверьте ответ и решение здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: B
Решение
6/(произведение) > 1
=>Знаменатель должен быть МЕНЬШЕ 6.
=> 6/(что-то меньше 6) будет > 1,
=> Мы ищем продукт меньше 6.
Мы ищем значение «а», относительно близкое к 0,
Начнем с вариантов B и C.
B: X = -2,5
Знаменатель = (-2,5)(-1,5)
C: X = 2,5
Знаменатель = (2,5)(3,5)
Поскольку отрицательные знаки сокращаются в ответе B, вам не нужно выполнять математику чтобы увидеть, что ответ B меньше. Поскольку есть только один ответ, удовлетворяющий условию, это должно быть B.
Q8. Если x (x + y)≠0 и x>0
Является ли 1/(x +y) < (1/x ) +y?
(1) x+ y>0
(2) y>0
Ознакомьтесь с ответом и решением здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: B
Решение
(1) x +y>0
Поскольку x+y>0 & x>0, то x(x+y)> 0
Если y>0, то -y/x(x+y)<0, то –y/x(x+y)≥0≥y (Недостаточно)
(2) y >0, так как x>0 и y>0,
тогда –y/x(x +y)<0 (Достаточно)
Q9. Если верно, что a > -2 и a < 7, что из следующего должно быть верно?
A. a > 2
B. a > -7
C. a< 2
D. -7 < a < 2
E. Ничего из вышеперечисленного
Ознакомьтесь с ответом и решением здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенствах GMAT: B
Решение
Дано: -2
Теперь любой x из этого истинного диапазона больше -7, поэтому x>-7 должно быть истинным. (вариант b)
Q10. На числовой прямой, если m
A. 1/4
B. 1/3
C. 4/3
D. 3
E. 4
Проверьте ответ и решение здесь!
Правильный вариант ответа на этот вопрос о неравенстве GMAT: D
Решение
Пусть m=0 и n=4 —> p находится посередине между m и n
=>p=2
q находится посередине между p=2 и m=0
=>q= 1
(n-q) /(q-m)
=(4-1)/(1-0)=3
Теперь, когда мы предоставили вам все подробности о том, как решать вопросы неравенства GMAT, с помощью этого руководства вы теперь вы сможете анализировать ловушки, подставлять значения и решать их.
No related posts.