Простая дробь пример: Обыкновенные (простые) дроби: понятие, числитель, знаменатель, примеры

Содержание

Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Справочник по математике

Арифметика

Обыкновенные и десятичные дроби

Содержание

Дробь. Числитель и знаменатель дроби

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь

Дробь. Числитель и знаменатель дроби

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дробью называют одну или несколько одинаковых долей (частей) предмета или некоторой величины.

Дробь записывают при помощи двух натуральных чисел, одно из которых стоит над горизонтальной чертой, а второе – под нею.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число, стоящее над чертой, называют числителем дроби. Число, стоящее под чертой, называют знаменателем дроби.Числитель и знаменатель называют членами дроби.

Знаменатель дроби показывает, на сколько одинаковых долей мы делим предмет или величину, а числитель дроби показывает, сколько таких долей взято.

Например, дробь

у которой числитель равен 8 , а знаменатель равен 17 , означает, что предмет или величину мы делим на 17 равных долей (частей) и берем 8 таких долей.

ПРИМЕР 1. В классе 25 учеников, из которых посещают театральный кружок. Сколько учеников ходят в театральный кружок?

РЕШЕНИЕ. Для решения примера нужно 25 учеников разделить на 5 частей и взять 2 таких части.

ОТВЕТ. 10 учеников.

ПРИМЕР 2. Турист в первый день похода прошел намеченного маршрута, а во второй день – оставшиеся 24 километра. Сколько всего километров прошел турист?

РЕШЕНИЕ. Весь маршрут разделен на 7 равных частей, 3 из которых турист прошел в первый день (рис. 1).

1 день

2 день

Рис. 1

Из рисунка 1 видно, что 24 километра составляют 4 из 7 частей маршрута. Таким образом, 1 часть маршрута равна

24 : 4 = 6 (км) ,

а весь маршрут равен

(км) .

ОТВЕТ. 42 километра.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если не указано, от какого предмета или какой величины берется дробь, то считают, что дробь взята от числа 1 .

Термин дробь имеет синонимы: простая дробь, обыкновенная дробь, рациональная дробь, дробное число.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если у дроби числитель меньше знаменателя, то ее называют правильной дробью. В противном случае – неправильной дробью.

Из этого определения, в частности, вытекает, что правильная дробь меньше единицы, а неправильная — больше единицы или равна единице.

ПРИМЕР 3

– правильная дробь, и – неправильные дроби.

Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эту операцию называют выделением целой части из неправильной дроби и осуществляют при помощи деления с остатком числителя неправильной дроби на знаменатель.

ПРИМЕР 4 .

Число является примером смешанного числа. Целое число 2 и правильную дробь называют целой и дробной частью смешанного числа соответственно.

Любое смешанное число всегда можно обратить в неправильную дробь, например,

Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь

Основным свойством дроби называют следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Дробь превращается в равную дробь, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Операцию, при которой числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, называют сокращением дроби.

ПРИМЕР 5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то такую дробь называют несократимой.

При помощи сокращений любую дробь можно превратить в равную ей несократимую дробь.

Куб дроби. Дробь в третьей степени.

Альфашкола
Статьи
Куб дроби

Какие действия необходимо сделать, чтобы выполнить возведение в куб дроби? Для этого стоит определить какая дробь смешанная или обыкновенная, десятичная или недясятичная.

Для того чтобы возвести обыкновенную дробь в куб надо числитель и знаменатель возвести в степень. Пример :

Для того чтобы возвести смешанную дробь в куб надо ее перевести в неправильную дробь, а затем числитель и знаменатель возвести в степень и в полученной дроби выделить целую часть.

Пример:

При возведении в третью степень десятичного числа надо вычислить произведение трех ее множителей, равных самой дроби. Пример:

Дробь: ————

———-

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Камо Аркадьевич Филипосян

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Самаркандский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 8-11 классов и по физике для 7-9 классов. Я твёрдо убежден, что образовательный процесс должен быть пронизан живой, позитивной энергией учителя, находящий ключ к сердцу ученику с помощью индивидуальных подходов к урокам, подаче нового материала. Мое кредо – «Математика – ключ к новым возможностям, добыть его мало, надо найти замок открываемый этим ключом»! Могу помочь с высшей математикой (Арифметика и теория чисел, математическая логика, математический анализ, линейная алгебра, аналитическая геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения.)

Елена Вячеславовна Гришаева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Рязанский государственный педагогический университет имени С. А. Есенина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор для 5-10 классов.

Выстрою с учеником его индивидуальное занятие, исходя из знаний математики. Не все задачи решаются моментально, но мы вместе будем искать самые быстрые и понятные пути решения.

Аурика Витальевна Чуева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку и по математике для 1-4 классов, подготовка к школе. Помогу в выполнении домашнего задания. Использую индивидуальный подход к каждому ребенку, легко нахожу общий язык, стараюсь достигать поставленных целей.

Занятия провожу в игровой форме и в виде путешествий. Доступное объяснение, использование современных методик обучения. Помогаю размышлять логически. Мои ученики после занятий при подготовки к школе поступают в гимназию. Буду рада видеть вас на своих занятиях.

Нам провести сокращение обыкновенной.

Примеры сокращения дробей

Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.

Что значит «сократить дробь «?

Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые — сокращаются, а те, которые несократимые — не сокращаются.

Сократить дробь — это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.

Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием «сократите дробь » это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.

Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)

Итак, здесь всего два правила.

Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.

Как сократить неправильную дробь?

Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.

Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Основное свойство дроби

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по $\mathbf{\frac{5}{3}}$ яблока.

А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по $\mathbf{\frac{5}{3}}$

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по $\mathbf{\frac{10}{6}}$

Но это одно и то же.

$\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}$

Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной .

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби ».

$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$

Например, Путь от города до деревни- 14 км.

Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли $\mathbf{\frac{6}{14}}$ пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- $\mathbf{6\cdot40 = 240}$ столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- $\mathbf{\frac{240}{560}}$

$\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}$

Пример 1

Отметьте точку с координатами (5; 7 ) на координатной плоскости XО Y . Она будет соответствовать дроби $\mathbf{\frac{5}{7}}$

Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?

Решение

Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь $\mathbf{\frac{5}{7}}$, отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X . Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби $\mathbf{\frac{10}{14}}$

Они являются эквивалентными: $\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}$

В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.

Примеры .

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.

Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:

Получили несократимые дроби.

Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.

Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:

Все полученные числа являются несократимыми дробями.

Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:

Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:

Полученную дробь еще можем сократить на 3:

Эта дробь — несократимая.

Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.

Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.

В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.

II. Для справки:

Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

III. Примечание:

Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

дробей в простейшей форме: как упростить дроби?

Автор Мадхурима дас
Последнее изменение 06-10-2022

Автор Мадхурима дас
Последнее изменение 06-10-2022

Дробь в простейшей форме: Простейшая форма дроби — это дробь с разумным простым числителем и знаменателем. Это означает, что числитель (верхняя часть или вершина) и знаменатель (нижняя часть или нижняя часть) дроби не имеют общего компонента, кроме $1$. Дробь — это значение, представляющее часть целого. Простейшая форма дроби также известна как сокращенная форма дроби. Например, $\frac{3}{4}$ — простейшая форма дроби с общим компонентом, равным единице. Однако $\frac{2}{4}$ не самая простая форма, потому что $\frac{2}{4}$ можно сократить и выразить как $\frac{1}{2}\ ). В этом случае мы также можем сказать, что \(\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$ являются эквивалентными дробями. Найти простейшую форму любой дроби — простой процесс. Нам нужно упростить числитель и знаменатель дроби, разделив их оба на наибольший общий множитель, который их полностью делит. И числитель, и знаменатель должны быть целыми числами после деления. Этот подход дробного упрощения также известен как сокращение дробей.

Этот пост расскажет вам все о дробях в их простейшем виде, их определении, примерах и проверке. Читайте дальше, чтобы узнать больше.

Если определенное количество риса разделить на четыре равные части, то говорят, что каждая полученная часть составляет одну четвертую $\left( {\frac{1}{4}} \right)$ от всего количества риса. рис. Точно так же, если апельсин разделить на пять равных частей, каждая часть составляет одну пятую $\left( {\frac{1}{5}} \right)$ всего апельсина. Теперь, если две части из этих пяти равных частей съедены, останется три части, и мы скажем, что осталось три пятых $\left({\frac{3}{5}} \right)$ апельсина.

Числа $\left( {\frac{1}{4}} \right),\,\left( {\frac{1}{5}} \right),\,\left( {\frac{ 3}{5}} \right)$, рассмотренные выше, каждая из которых представляет собой часть целого количества, называются дробями.

Дробь – это величина, выражающая часть целого. Итак, числа вида $\frac{x}{y}$, где $x$ и $y$ — целые числа, а $y≠0$, называются дробями.

Здесь $x→$ числитель и $y→$ знаменатель.

Типы фракций

Существуют различные типы фракций. Давайте разберемся с каждым типом.

1. Правильные дроби

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью. Значение правильной дроби всегда меньше $1$.

Например, \(\frac{3}{4},\,\frac{7}{{10}},\,\frac{1}{4},\,\frac{3}{7}\ ) — все правильные дроби.

2. Неправильные дроби

Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.

Например, $\frac{7}{4},\,\frac{{13}}{5},\,\frac{{11}}{6},\,\frac{{23}} {7}$ — все неправильные дроби.

3. Смешанные фракции

Сочетание целого числа и правильной дроби называется смешанной дробью.

Например, $2\frac{2}{4},\,6\frac{5}{{10}},\,5\frac{1}{5},\,6\frac{2} {{13}}$ — все смешанные дроби.

4. Как дроби

Группа из двух или более дробей, имеющих одинаковые знаменатели, подобна дробям.

Например, $\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5},\, \frac{7}{5}$ похожи на дроби.

5. В отличие от дробей

Группа из двух или более дробей, имеющих разные знаменатели, является разнородной дробью.

Например, $\frac{1}{6},\,\frac{2}{4},\,\frac{2}{5},\,\frac{4}{7},\, \frac{5}{8}$ не похожи на дроби.

6. Доли единиц

Единичная дробь — это любая дробь, у которой $1$ в числителе и ненулевое целое число в знаменателе.

Например, $\frac{1}{9},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\,\frac{1}{3},\, \frac{1}{8}$ — все дроби единиц.

7. Десятичные дроби

Десятичная дробь – это дробь, знаменатель которой представляет собой степень $10$ или кратное $10$, например $100, 1 000, 10 000$ и т. д.

Например, $\frac{3}{{10}},\,\frac{4}{{100}},\,\frac{{13}}{{10}},\,\frac{ 9}{{1000}}$ — все десятичные дроби.

Простейшая форма дроби

Говорят, что дробь имеет простейшую форму, если $1$ является единственным общим делителем ее числителя и знаменателя. Таким образом, нельзя сказать, что дробь имеет простейшую форму, если числитель и знаменатель имеют какой-либо общий делитель, кроме $1$.

Например, $\frac{3}{4}$ имеет простейшую форму, поскольку $1$ является единственным общим делителем $3$ и $4$ в этой дроби. Мы можем упростить дроби, поскольку это снижает сложность вычислений.

правил нахождения простейшей формы дроби

Пусть данная дробь равна $\frac{a}{b}$, а HCF дробей $a$ и $b$ равен $h$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{{a \div h}}{{b \div h}}$ является простейшей формой.

Например, простейшая форма $\frac{8}{{24}}$.

Теперь найдем ВКФ $8, 24$. HCF двух чисел известен как самый высокий или самый большой общий делитель между двумя или более числами.

ХКФ $(8, 24)=8$

$\стрелка вправо \frac{8 \div 8}{24 \div 8}=\frac{1}{3}$

Следовательно, мы можем получить простейшую форму дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число, и число должно быть HCF числителя и знаменателя дроби.

Мы также можем применить этот метод, но здесь нам нужно проделать этот процесс несколько раз, так как после деления числителя и знаменателя $\frac{8}{{24}}$ на $2$ мы получение $\frac{4}{{12}}$, что не является самой простой формой.

Итак, мы будем продолжать процесс, пока не получим $1$ как общий делитель числителя и знаменателя. В первом способе проще найти самую простую форму, чем во втором, так как второй — длительный процесс.

Решенные примеры – дробь в простейшей форме

Q.1. Является ли дробь $\frac{3}{7}$ простейшей формой?
Ответ: Данные дроби равны $\frac{3}{7}$.
Числитель равен $3$, а знаменатель равен $7$. Чтобы проверить, является ли дробь простейшей формой, мы найдем HCF числа $3, 7$.
Теперь HCF $(3, 7)=1$, так как $3, 7$ являются взаимно простыми числами.
Следовательно, $\frac{3}{7}$ в своей простейшей форме представляет собой старший общий делитель числителя, а знаменатель равен $1$.

Q.2. Найдите дроби в простейшей форме из следующих. $\frac{3}{6},\,\frac{1}{3},\,\frac{2}{5},\,\frac{4}{6},\,\frac{5 {{15}}$.
Ответ: Данные дроби: $\frac{3}{6},\,\frac{1}{3},\,\frac{2}{5},\,\frac{4} {6},\,\frac{5}{{15}}$
Чтобы найти простейшую форму, сначала найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя каждой дроби. Можно сказать, что дроби, у которых HCF числителя и знаменателя равен $1$, имеют простейшую форму.
В $\frac{3}{6}$ HCF $3,\,6$ равен $3.$
В $\frac{1}{3}$ HCF $1, 3$ равен $1.$
In $\frac{2}{5}$, HCF $2, 5$ равен $1.$
In $\frac{4}{6}$, HCF $4,6$ равен $2.$
In $\frac{5}{15}$, HCF $ 5, 15$ равно $5.$
Следовательно, $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ имеют простейшую форму.

Q.3. Какова упрощенная форма дроби $\frac{144}{36}$?
Ответ: Данная дробь равна $\frac{144}{36}$
Нам нужно найти низшую форму или простейшую форму данной дроби.
Теперь наибольший общий делитель $144, 36$ равен $36.$
Итак, $\frac{{144 \div 36}}{{36 \div 36}} = \frac{4 }{1} = 4.$
Следовательно, простейшая форма — это $4.$

Q.4. Является ли $\frac{5}{15}$ самой низкой формой $\frac{25}{75}$?
Ответ: Нет, $\frac{5}{15}$ не является младшей формой $\frac{25}{75}. $
$\frac{5}{15}$ можно снова упростить, если разделить числитель и знаменатель на $5$.
Таким образом, младшая форма $\frac{25}{75}$ равна $\frac{1}{3}$, как $\frac{{25 \div 25 }}{{75 \div 25}} = \frac{1}{3}.$ 90 108 Следовательно, $\frac{5}{15}$ не является низшей формой $\frac{25} {75}.$

Q.5. Какова простейшая форма дроби $\frac{2}{5}$ ?
Ответ: Данные дроби равны $\frac{2}{5}.$
Числитель равен $2$, а знаменатель равен $5.$ Чтобы проверить, является ли дробь простейшей формой или нет, мы найдем HCF $2, 5.$
Теперь HCF $(2, 5)=1$, так как $2, 5$ являются взаимно простыми числами.
Следовательно, $\frac{2}{5}$ имеет простейшую форму, и мы не можем сократить или упростить ее еще больше.

Резюме

В этой статье мы рассмотрели определение дроби, типы дробей, простейшую форму дроби, способы определения, является ли дробь простейшей формой или нет, и как найти простейшую форму дроби.

Часто задаваемые вопросы (FAQ) — дробь в простейшей форме

В.1. Объясните дробь в простейшей форме на примере.
Ответ: Говорят, что дробь имеет простейшую форму, если $1$ является единственным общим делителем ее числителя и знаменателя. Таким образом, дробь не может быть названа в ее простейшей форме, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от $1$. Например, $\frac{3}{4}$ имеет простейшую форму, поскольку $1$ является единственным общим делителем $3$ и $4$ в этой дроби.

Q.2. Какова простейшая дробная форма $1,33$?
Ответ: Десятичное число $1,33$ представляет собой дробь $\frac{{133}}{{100}}$.
$100$ и $133$ взаимно простые числа и их HCF равен $1$.
Следовательно, простейшая дробная форма данного десятичного числа $\frac{{133}}{{100}}$.

Q.3. Как выразить дроби в простейшей форме?
Ответ: Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби. Если HCF равен $1$, то дробь имеет простейшую форму. Если HCF отличен от $1$, то разделите и числитель, и знаменатель на HCF и получите простейшую форму дроби.

Q.4. Можем ли мы найти простейшую форму дроби, умножив числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число?
Ответ: Нет, не можем. Мы можем получить наименьшую или простейшую форму дроби, разделив числитель и знаменатель на HCF числителя и знаменателя.

Q.5. Чем отличается простейшая форма дроби от эквивалентных ей дробей?
Ответ: Простейшая форма дроби также является эквивалентной дробью, но способы нахождения эквивалентной дроби и простейшей формы дроби немного отличаются. Если мы умножим или разделим числитель и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое число, мы получим эквивалентные дроби. Чтобы найти простейшую форму дроби, нам нужно разделить числитель и знаменатель на HCF числителя и знаменателя.

Теперь, когда вам предоставлена подробная статья о простейшей форме дроби, мы надеемся, что все ваши сомнения по этой теме рассеялись. Если у вас есть какие-либо вопросы или вопросы, вы можете задать их в поле для комментариев ниже. Мы будем более чем рады помочь вам. Желаем удачи в учебе!

Практика дробей Вопросы с советами и решениями

Упрощение дробей и неправильных дробей [Краткое руководство + примеры]

Эта статья покажет вам, как упростить дроби и неправильные дроби. Мы уверены, что вы уже знакомы с основами дробей, но давайте все же проведем их краткий обзор, чтобы освежить вашу память!

Также помните, что наш калькулятор дробей всегда доступен для вас.

Представьте, что ваша мама приготовила вкусный пирог, который теперь будет поделен между вами и вашими братьями и сестрами.

Если у вас трое братьев и сестер, пирог будет разделен на 4 равных части, и каждый из вас съест по одной части. Дробь $\frac{1}{4}$ представляет собой «часть», которую вы съедите, разделенную на общее количество частей или «целое». Очевидно, что если каждый из четырех детей съест свой кусок, то весь пирог пропадет!

Напомним, правильное определение «части» дроби — это числитель, а «целого» — знаменатель.

А что, если твоему брату не понравился пирог, и он отдал свой кусок тебе? Вы подумали, что пирог был вкусным, и съели его прямо сейчас! Какую часть всего пирога вы в итоге съели?

Итак, вы начали с $\frac{1}{4}$, и ваш брат дал вам свою долю $\frac{1}{4}$. Если сложить их вместе, получится доля $\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1+1}{4}$ или $\ гидроразрыва{2}{4}$. Это изображение помогает проиллюстрировать, сколько пирога вы съели:

Съев кусок пирога брата и свой, вы на самом деле съели половину пирога. Как видите, значение $\frac{2}{4}$ совпадает со значением $\frac{1}{2}$. В математике эти дроби называются эквивалентными дробями. Знаменатели разные, значит, «целое» было разделено на разное количество равных «частей».

Предположим, пирог разрезали на шесть равных частей. Сколько кусочков вам нужно съесть, чтобы половина пирога закончилась?

Половина из шести частей равна трем, поэтому дробь $\frac{3}{6}$ эквивалентна $\frac{1}{2}$.

Это подводит нас к теме этой статьи об упрощении дробей. Как вы видели, дроби могут представлять одно и то же количество, но выглядеть по-разному, в зависимости от того, сколько «частей» содержится в «целом».

Процесс упрощения дробей означает уменьшение числителя и знаменателя на их наибольший общий множитель или их НОД. В приведенном выше примере числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{6}$ делят НОД, равный 3. Разделение обоих чисел на НОД, равное 3, дает:

$\frac{3\div 3}{6\div 3}$=$\frac{1}{2}$

статья о поиске GCF и LCM. Такое упрощение дробей облегчает работу с более сложными задачами.

Теперь, когда у вас есть визуальный справочник для дробей, давайте перейдем к некоторой практике, чтобы ознакомиться с терминологией и пошаговым процессом упрощения дробей:

Пример 1:

Дробь $\frac{5}{25}$ имеет числитель 5 и знаменатель 25.

Шаг 1

Запишите простые множители числителя и знаменателя:

5 = 1 × 5

25 = 1 × 5 × 5

Шаг 2

Определите множители, которые входят в оба числа, они называются общими множителями.

Этап 3

Умножьте общие коэффициенты, указанные на этапе 2.

Этот результат называется наибольшим общим делителем , или НОД: 1 × 5 = 5

Шаг 4

Разделите числитель и знаменатель на НОД, чтобы получить упрощенную дробь:$\frac {5\div 5}{25\div 5}=\frac{1}{5}$

Поскольку $\frac{5}{25}$ упрощается до $\frac{1}{5} $, они равны эквивалентным дробям .

Пример 2:

Дробь $\frac{12}{18}$ имеет числитель 12 и знаменатель 18,

Шаг 1

Напишите простые множители числителя и знаменателя:

12 = 1 × 2 × 2 × 3

18 = 1 × 2 × 3 × 3

Шаг 2 Определите

Шаг 2 Общие факторы :
Шаг 3
Умножение общих факторов, идентифицированных на шаге 2 для GCF:
1 × 2 x 3 =
. и знаменатель на GCF, чтобы получить упрощенную дробь: $\frac{12\div 6}{18\div 6}=\frac{2}{3}$
Поскольку $\frac{12}{18}$ упрощается до $\frac{2}{3}$, они представляют собой эквивалентных дробей .

Пример 3:
Дробь $\frac{12}{53}$ имеет числитель 12 и знаменатель 51.
Шаг 1 9001 числитель и знаменатель:
12 = 1 x 2 x 2 x 3
53 = 1 x 53
0237 нельзя упростить , потому что нет других общих делителей, кроме 1.
Говорят, что этот тип дроби имеет простейшую форму .
Обратите внимание, что во всех рассмотренных нами примерах числитель на меньше знаменателя на . Этот тип дроби называется правильной дробью . Как вы понимаете, структура неправильной дроби отличается тем, что числитель равен больше , чем знаменатель.
К счастью, шаги по упрощению правильных дробей применимы и к упрощению неправильных дробей. Однако есть дополнительная работа, если вас попросят переписать упрощенную неправильную дробь в смешанное число . Мы перейдем к смешанным числам чуть позже.
Давайте сделаем еще несколько примеров.

Пример 4:
Упростите неправильную дробь, $\frac{24}{9}$.
Выполните шаги с 1 по 4, как описано выше:
Шаг 1
Запишите простые множители числителя и знаменателя:
24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3
9 = 1 × 3 × 3
Шаг 2
Идентифицируйте Общие факторы :
Шаг 3
Умножение Сумма Шаг 4
Разделите числитель и знаменатель на GCF, чтобы получить упрощенную дробь: $\frac{24\div 3}{9\div 3}=\frac{8}{3}$
Поскольку дробь , $\frac{24}{9}$, упрощается до $\frac{8}{3}$, это эквивалентные дроби.
Примечание: Упрощение неправильной дроби всегда приводит к неправильной дроби.
Как упоминалось ранее, учащиеся иногда должны преобразовать неправильную дробь в смешанное число , которое представляет собой просто представление с целым числом и дробью.
По сути, знаменатель делится на числитель целого числа, а дробь представляет собой остаток, записанный как дробь от знаменателя.
Шаг 5
Преобразуйте дробь $\frac{8}{3}$ в смешанное число.
Разделить числитель на знаменатель.
В этом примере числитель 8 — это делимое , а знаменатель 3 — делитель :
частное задачи на деление — это ответ на вопрос: «Сколько раз 3 делится на 8?»
Поскольку 3 делится на 8 два раза с остатком 2, который известен как остаток , смешанное числовое представление: $2\frac{2}{3}$.
Дробная часть смешанного числительного всегда будет правильной дробью , потому что она представляет «часть» следующего «целого».
Теперь давайте соберем все вместе на последнем примере.

Пример 5:
Упростите неправильную дробь,$\frac{28}{12}$.
Шаг 1
Напишите основные коэффициенты как числителя, так и знаменателя:
28 = 1 × 2 × 2 × 7
12 = 1 × 2 × 2
Шаг 2
Определите общих факторов :
Шаг 3
Умножьте общие факторы, определенные на шаге 2 для GCF:
1 × 2 × 2 = 4
Шаг 4
Разделите числитель и знаменатель на GCF, чтобы получить упрощенную дробь: $\frac{28\div 4}{12\div 4}=\ frac{7}{3}$
Шаг 5
Преобразуйте дробь $\frac{7}{3}$ в смешанное число.
Разделите числитель на знаменатель, как показано:
Запишите результат в виде смешанного числа: $2\frac{1}{3}$.
Есть над чем подумать:
Предположим, у вас есть смешанное число, $4\frac{3}{9}$.
Учитывая то, что вы знаете об эквивалентных дробях, что нужно сделать, чтобы упростить это смешанное число ?
Только дробь бы упростить!
Поскольку наибольший общий делитель чисел 3 и 9 равен 3, разделите числитель и знаменатель дроби на 3, в результате чего получится $\frac{1}{3}$. Дроби $\frac{3}{9}$ и $\frac{1}{3}$ эквивалентны, поэтому упрощенное смешанное число равно $4\frac{1}{3} }$.
Заключительные мысли!
В этой статье мы рассмотрели, как упростить дроби, как правильные, так и неправильные, и расширили концепцию, чтобы упростить смешанные числа. Как уже упоминалось, упрощение дробей перед их использованием в вычислениях значительно упрощает работу.
Посетите наш веб-сайт, чтобы найти дополнительные статьи о дробях и связанных с ними операциях.
Нужна дополнительная помощь, видеообзоры или практические вопросы? Кликните сюда!
Как упростить дроби | Методы и примеры
Допустим, вы получили дробь в конце вычислений. Нас традиционно учили сокращать такую дробь до наименьших членов или переписывать ее в простейшей форме. Вы задавались вопросом, почему? Что ж, в этом уроке мы узнаем, как упрощать дроби, а также узнаем, почему мы должны просто дроби.

Как сократить дроби
Возьмем, к примеру, пиццу и разделим ее на шесть равных частей.
Если вы съедите 3 куска, какая часть пиццы останется?
У нас будет 3 6 .
Теперь, чтобы упростить эту дробь, мы можем сложить оставшиеся части вместе.
Вы видите, что половина пиццы осталась. Таким образом, 3 6 в сокращенном или упрощенном виде составляет не что иное, как половину.
Зачем упрощать дроби
✯ Посмотрите на приведенный выше пример с пиццей и найдите, как проще говорить о том, что вы съели: три шестых пиццы или половину пиццы. Вы, скорее всего, будете болеть за «половину», что позволит нам раскрыть наше первое преимущество – дроби в простейшем виде легко понять. Вот почему дроби изобилуют и в наших повседневных разговорах.
✯ Мы используем упрощенные дроби при измерении ингредиентов, например, «четверть столовой ложки сахара», или воды в баке, как, например, «три пятых бака».
✯ Когда мы говорим о партнерстве, упрощенные дроби экономят время! Например, мы говорим: «Одна треть этой собственности принадлежит Фреду, а оставшиеся две трети принадлежат Нику».
✯ Наконец, когда у нас есть сложные ответы при решении математических задач, скажем, 78 104 , лучше если сократим ответ до минимальных условий. Здесь 78 104 в простейшей форме будет 3 4 .
Это просто, не так ли?
А теперь вернемся к делу! Давайте посмотрим, как математически можно упростить дробь.
Упрощение дробей с использованием простых множителей
Один простой, но очень эффективный способ — записать числитель и знаменатель как произведение их простых множителей.
Как видите, 3 в числителе и 3 в знаменателе компенсируют друг друга, и у нас остается 1 2 . Теперь мы не можем сократить это дальше, так как единственный общий множитель между числителем (1) и знаменателем (2) равен 1.
Отсюда мы можем заключить, что дробь называется простейшей формой, если 1 является единственным множитель его числителя и знаменателя.
Все просто как азбука, не так ли?
Проскочим, сократив или упростив еще одну дробь.
Пример
Упрощение 12 15 .
12 = 2 x 2 x 3
15 = 3 x 5
Умножая то, что осталось, мы имеем 4 5 .
Итак, 12 15 сокращается до 4 5 .
Эквивалентность дробей и упрощение
Это метод, который вводит в игру эквивалентные дроби. Однако каждый шаг потребует применения правил делимости. Давайте, например, перепишем 45 108 в минимальном выражении.
Оба числа делятся на 3. Таким образом, когда мы делим на 3, получается эквивалентная дробь:
Снова числа делятся на 3. Повторяя шаг, мы создаем другую эквивалентную дробь.
Ни один фактор теперь не является общим, кроме 1; таким образом, 45 108 в своей простейшей форме равно 5 12 .
Сокращение дробей с помощью GCF одним махом!
Вместо того, чтобы выполнять множество шагов, связанных с устранением общих множителей один за другим, мы можем одним махом представить любую дробь в ее простейшей форме. Просто найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократите его. Этот метод работает быстрее, когда речь идет о больших числах.
Возьмем дробь 225 240 .
Следовательно, GCF(225, 240) = 3 x 5 = 15.
Примечание. Мы также можем найти простую факторизацию, используя метод деления.
Теперь, когда мы вычтем из дроби 15, мы получим простейшую форму дроби.
Таким образом, простейшая форма 225 240 — это 15 16 .
Это было быстро, не так ли?
Теперь твоя очередь!
1. Являются ли эти дроби простейшей формой?
а) 3 11 – Да, в самой простой форме.
б) 13 27 – Да, в самой простой форме.
в) 16 48 – Нет, не в самой простой форме.
Скрыть ответ
Показать ответ
2. Упростите следующие дроби.
No related posts.