Корень n-й степени с примерами решения
Содержание:
Перейдем к изучению корней степени п для произвольного натурального числа
Определение:
Пусть называется такое число степень которого равна .
Таким образом, утверждение « — корень -й степени из » означает, что .
Корень 3-й степени называется также кубическим.
Например, кубический корень из числа — это число , так как . Кубический корень из числа — это число , так как .
Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как . Корень 7-й степени из числа -128 — это число -2, так как . Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как .
Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени п из любого числа . Этот корень обозначается
Например, .
Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.
Согласно определению, когда п нечетное, то при любом значении а верно равенство
Например,
Заметим, что 0 — это единственное число, -я степень которого равна 0. Поэтому при любом натуральном существует единственный корень -й степени из 0 — это число 0, т. е. .
Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: -7 и 7 — квадратные корни из 49, а -15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и -3, так как и . Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и -2, так как и .
Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени п из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается
Например,
Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда четное, то при любом положительном, значении а верно равенство
Например, .
Не существует такого числа, 4-я степень которого равна -81.
Поэтому корня 4-й степени из числа -81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то не существует корня четной степени из отрицательного числа.
Определение:
Неотрицательный корень -й степени из числа называется арифметическим корнем -й степени из .
При четном символом обозначается только арифметический корень -й степени из числа (при чтении записи слово «арифметический» обычно пропускают).
Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.
Извлечь корень -й степени из числа — это значит найти значение выражения
Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение при четном и отрицательном не имеет смысла.
Например, не имеют смысла выражения
Как мы установили, при любом значении , при котором выражение имеет смысл, верно равенство
(1)
Поэтому равенство (1) является тождеством.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ (от латинского слова radix — корень). Так, выражение в символике Шюке имело вид
Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.
Знак еще называют радикалом.
Определение корня n-й степениКорнем степени из числа называется число, степень которого равна .
Например, корнем степени из числа является , потому что . Корнем степени из числа является и , потому что и .
Если нечетное число, то для любого числа существует единственное действительное число, степень которого равна .
Если четное число, то при существуют два действительных числа, степень которых равна . Эти числа являются взаимно противоположными.
Если четное число, при не имеет действительного корня.
Арифметическим корнем степени из числа называется неотрицательное число, степень которого равна . Обозначается и читается так: «корень степени из числа ». Число называется подкоренным числом или подкоренным выражением, — показателем корня. При отрицательный корень четной степени из числа обозначается
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень той же степени. Например,
Если , то
Если нечетное число, то выражение имеет смысл для любого
Если четное число, то выражение имеет смысл только при
При всех значениях имеющего смысл выражения , справедливо
Если нечетное число, Если четное число, то
Пример 1:
Если , то
Пример 2:
Примеры:
- Уравнение с нечетной степенью имеет единственный действительный корень:
- Уравнение не имеет действительных корней, т.к. степень с четным показателем не равна отрицательному числу.
- Уравнение имеет два действительных корня:
Свойство 1.
Если и то,
Корень степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней степени сомножителей.
Пример:
Свойство 2.
Если и то,
Корень из дроби степени с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен отношению корней степени числителя и знаменателя.
Пример:
Свойство 3.
Если — натуральные числа и , то
Пример:
Свойство 4.
Если — натуральные числа и , то
Действительно, при выражения и имеют смысл и их значения неотрицательны. Т.к. то,
Пример:
Свойство 5.
Если натуральные числа и то, . Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.
Действительно, согласно свойству 4,
Пример: Вычислите значение выражения
- Заказать решение задач по высшей математике
Примеры:
Примеры с решением
Пример №1Верно ли, что:
а) б)
Решение:
а) По определению арифметический корень -й степени из неотрицательного числа (—четное число) является неотрицательным числом, -я степень которого равна подкоренному выражению .
Поскольку , то равенство неверное. Верно равенство
б) По определению корень -й степени из числа ( — нечетное число) является числом, -я степень которого равна подкоренному выражению .
Поскольку — верное равенство, то равенство верное.
Пример №2Решить уравнение:
Решение:
а) Решением этого уравнения является такое значение , 3-я степень которого равна 7, т.
е. по определению кубического корня имеем:
б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают , то второй корень равен , т. е.
Ответ:
В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:
Решение:
Ответ:
Пример №3Решить уравнение:
Решение:
а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при , поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения
б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении , поэтому решением уравнения является любое действительное число, a R — множество всех его корней.
Ответ:
Пример №4Решить уравнение:
Решение:
Обозначим , тогда получим уравнение
Корни этого уравнения
Таким образом, имеем
откуда (поясните, почему уравнение не имеет корней).
Ответ:
| 1 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 50 | |
| 2 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 45 | |
| 3 | Вычислить | 5+5 | |
| 4 | Вычислить | 7*7 | |
| 5 | Разложить на простые множители | 24 | |
| 6 | Преобразовать в смешанную дробь | 52/6 | |
| 7 | Преобразовать в смешанную дробь | 93/8 | |
| 8 | Преобразовать в смешанную дробь | 34/5 | |
| 9 | График | y=x+1 | |
| 10 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 128 | |
| 11 | Найти площадь поверхности | сфера (3) | |
| 12 | Вычислить | 54-6÷2+6 | |
| 13 | График | y=-2x | |
| 14 | Вычислить | 8*8 | |
| 15 | Преобразовать в десятичную форму | 5/9 | |
| 16 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 180 | |
| 17 | График | y=2 | |
| 18 | Преобразовать в смешанную дробь | 7/8 | |
| 19 | Вычислить | 9*9 | |
| 20 | Risolvere per C | C=5/9*(F-32) | |
| 21 | Упростить | 1/3+1 1/12 | |
| 22 | График | y=x+4 | |
| 23 | График | y=-3 | |
| 24 | График | x+y=3 | |
| 25 | График | x=5 | |
| 26 | Вычислить | 6*6 | |
| 27 | Вычислить | 2*2 | |
| 28 | Вычислить | 4*4 | |
| 29 | Вычислить | 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6) | |
| 30 | Вычислить | 1/3+13/12 | |
| 31 | Вычислить | 5*5 | |
| 32 | Risolvere per d | 2d=5v(o)-vr | |
| 33 | Преобразовать в смешанную дробь | 3/7 | |
| 34 | График | y=-2 | |
| 35 | Определить наклон | y=6 | |
| 36 | Перевести в процентное соотношение | 9 | |
| 37 | График | y=2x+2 | |
| 38 | График | y=2x-4 | |
| 39 | График | x=-3 | |
| 40 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2+5x+6=0 | |
| 41 | Преобразовать в смешанную дробь | 1/6 | |
| 42 | Преобразовать в десятичную форму | 9% | |
| 43 | Risolvere per n | 12n-24=14n+28 | |
| 44 | Вычислить | 16*4 | |
| 45 | Упростить | кубический корень из 125 | |
| 46 | Преобразовать в упрощенную дробь | 43% | |
| 47 | График | x=1 | |
| 48 | График | y=6 | |
| 49 | График | y=-7 | |
| 50 | График | y=4x+2 | |
| 51 | Определить наклон | y=7 | |
| 52 | График | y=3x+4 | |
| 53 | График | y=x+5 | |
| 54 | График | 3x+2y=6 | |
| 55 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2-5x+6=0 | |
| 56 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2-6x+5=0 | |
| 57 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2-9=0 | |
| 58 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 192 | |
| 59 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень из 25/36 | |
| 60 | Разложить на простые множители | 14 | |
| 61 | Преобразовать в смешанную дробь | 7/10 | |
| 62 | Risolvere per a | (-5a)/2=75 | |
| 63 | Упростить | x | |
| 64 | Вычислить | 6*4 | |
| 65 | Вычислить | 6+6 | |
| 66 | Вычислить | -3-5 | |
| 67 | Вычислить | -2-2 | |
| 68 | Упростить | квадратный корень из 1 | |
| 69 | Упростить | квадратный корень из 4 | |
| 70 | Найти обратную величину | 1/3 | |
| 71 | Преобразовать в смешанную дробь | 11/20 | |
| 72 | Преобразовать в смешанную дробь | 7/9 | |
| 73 | Найти НОК | 11 , 13 , 5 , 15 , 14 | , , , , |
| 74 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2-3x-10=0 | |
| 75 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2+2x-8=0 | |
| 76 | График | 3x+4y=12 | |
| 77 | График | 3x-2y=6 | |
| 78 | График | y=-x-2 | |
| 79 | График | y=3x+7 | |
| 80 | Определить, является ли полиномом | 2x+2 | |
| 81 | График | y=2x-6 | |
| 82 | График | y=2x-7 | |
| 83 | График | y=2x-2 | |
| 84 | График | y=-2x+1 | |
| 85 | График | y=-3x+4 | |
| 86 | График | y=-3x+2 | |
| 87 | График | y=x-4 | |
| 88 | Вычислить | (4/3)÷(7/2) | |
| 89 | График | 2x-3y=6 | |
| 90 | График | x+2y=4 | |
| 91 | График | x=7 | |
| 92 | График | x-y=5 | |
| 93 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2+3x-10=0 | |
| 94 | Решить, используя свойство квадратного корня | x^2-2x-3=0 | |
| 95 | Найти площадь поверхности | конус (12)(9) | |
| 96 | Преобразовать в смешанную дробь | 3/10 | |
| 97 | Преобразовать в смешанную дробь | 7/20 | |
| 98 | Преобразовать в смешанную дробь | 2/8 | |
| 99 | Risolvere per w | V=lwh | |
| 100 | Упростить | 6/(5m)+3/(7m^2) |
Арифметический корень n-й степени: свойства, определение и примеры
Арифметический корень натуральной степени
Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a \ge 0$ называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
3 = 7-5 = 2 $
Пример 3. Сравните числа:
$ а) \sqrt[3]{14} и \sqrt[3]{17} $
$ 14 \lt 17 \Rightarrow \sqrt[3]{14} \lt \sqrt[3]{17} $
$ б) \sqrt[3]{-14} и \sqrt[3]{-17} $
$ -14 \gt -17 \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \gt \sqrt[3]{-17} $
$ в) \sqrt[3]{-14} и \sqrt{5} $
$ \sqrt[3]{-14} \lt 0 \lt \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \lt \sqrt{5} $
$ г) \sqrt[3]{29} и \sqrt[4]{78} $
$ \sqrt[3]{29} \gt \sqrt[3]{27} = 3, \sqrt[4]{78} \lt \sqrt[4]{81} = 3 $
$ \sqrt[4]{78} \lt 3 \lt \sqrt[3]{29} \Rightarrow \sqrt[3]{29} \gt \sqrt[4]{78} $
Пример 4. Найдите область определения функции:
$ а) y = — \sqrt[4]{\frac{x+3}{x-1}} $
Выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным:
$ \frac{x+3}{x-1} \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x-1 \gt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \le 0 \\ x -1 \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x ≥ -3 \\ x \gt 1 \end{array} \right.
3}{3} = A+6$. Решим его графически:
A = 3 — искомое значение выражения
Ответ: 3
3-8 И мне нужно найти реальное решение(я) указанного уравнения, но я не знаю как.
Это домашнее задание, и я не знаю, как найти решение уравнения, и Ньютон-Рафсон кажется маловероятным решением, если я собираюсь решить это уравнение в среднесрочной перспективе.
Я думаю, что есть способ узнать, имеет ли уравнение более одного действительного корня, но я не помню, как это сделать, если кто-то захочет объяснить мне, правда ли это, я буду благодарен.
Я хочу научиться «простому» способу решения такого рода уравнений без использования вычислительных средств. Мне нужно не решение, а способ добраться до решения и с помощью простого калькулятора ввести числа в конце и найти ответ. Любые идеи?
- полиномы
- корни
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Это похоже на вопрос о «внутренней норме доходности», где обычно требуется $x>-1$.
При $x>-1$ функция строго убывает с ростом $x$.
Ясно, что если $x$ очень велико, то значение отрицательное, а когда $x=0$, оно равно $20000$, так что у вас есть один положительный действительный корень. Вы можете использовать численные методы для поиска решения, например, бинарный поиск.
Я не знаю, что бы вы использовали в среднесрочной перспективе — это зависело бы от того, какие инструменты расчета вам были разрешены в среднесрочной перспективе.
Один из быстрых способов — написать $t=\frac{1}{1+x}$ и заметить, что мы решаем $g(t)=0$ для некоторого многочлена с $g(1)=20000$ и $ г'(1)=730000$. Таким образом, оценка составляет $t\приблизительно 1-\frac{2}{73}$ или $x\приблизительно 0,028$. Это метод Ньютона, только немного более простая формула относительно $t$, и он быстро сходится, потому что корень $x$ близок к $0$. Это может не сработать в целом. 92+71t_n+38}{200}}$. Подходящим начальным значением является $t=1$, что приводит к решению $t\приблизительно1,0293$ и $x\приблизительно-0,02849$.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Сначала сделайте замену $t=\frac{1}{1+x}$, чтобы найти многочлен степени $5$.