Решить пример 2 3: Решение примера 2:3 1/5 +(3 1/4 -2/3 ):2/3-(2 5/18-17/36) × 18/65

alexxlab / / Разное

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1Найти объемсфера (5)
2Найти площадьокружность (5)
3Найти площадь поверхностисфера (5)
4Найти площадьокружность (7)
5Найти площадьокружность (2)
6Найти площадьокружность (4)
7Найти площадьокружность (6)
8
Найти объем		сфера (4)
9Найти площадьокружность (3)
10Вычислить(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11Разложить на простые множители741
12Найти объемсфера (3)
13Вычислить3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14Найти площадьокружность (10)
15Найти площадьокружность (8)
16Найти площадь поверхностисфера (6)
17Разложить на простые множители1162
18Найти площадьокружность (1)
19Найти длину окружностиокружность (5)
20Найти объемсфера (2)
21Найти объемсфера (6)
22Найти площадь поверхностисфера (4)
23Найти объемсфера (7)
24Вычислитьквадратный корень из -121
25Разложить на простые множители513
26Вычислитьквадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27Найти объемпрямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)
28Найти длину окружностиокружность (6)
29Найти длину окружностиокружность (3)
30Найти площадь поверхностисфера (2)
31Вычислить
2 1/2÷22000000
32Найти объемпрямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
33Найти объемпрямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)
34Найти длину окружностиокружность (4)
35Перевести в процентное соотношение1. 2-4*-1+2
45Разложить на простые множители228
46Вычислить0+0
47
Найти площадь		окружность (9)
48Найти длину окружностиокружность (8)
49Найти длину окружностиокружность (7)
50Найти объемсфера (10)
51Найти площадь поверхностисфера (10)
52Найти площадь поверхностисфера (7)
53Определить, простое число или составное5
54
Перевести в процентное соотношение		3/9
55Найти возможные множители8
56Вычислить(-2)^3*(-2)^9
57Вычислить35÷0. 2
60Преобразовать в упрощенную дробь2 1/4
61Найти площадь поверхностисфера (12)
62Найти объемсфера (1)
63Найти длину окружностиокружность (2)
64Найти объемпрямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)
65Сложение2+2=
66Найти площадь поверхностипрямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)
67Вычислитькорень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68Вычислить7/40+17/50
69Разложить на простые множители1617
70Вычислить27-( квадратный корень из 89)/32
71Вычислить9÷4
72Вычислить2+ квадратный корень из 21
73Вычислить-2^2-9^2
74Вычислить1-(1-15/16)
75Преобразовать в упрощенную дробь8
76Оценка656-521
77Вычислить3 1/2
78Вычислить-5^-2
79Вычислить4-(6)/-5
80Вычислить3-3*6+2
81Найти площадь поверхностипрямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)
82Найти площадь поверхностисфера (8)
83Найти площадьокружность (14)
84Преобразовать в десятичную форму11/5
85Вычислить3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86Вычислить(11/-7)^4
87Вычислить(4/3)^-2
88Вычислить1/2*3*9
89Вычислить12/4-17/-4
90Вычислить2/11+17/19
91Вычислить3/5+3/10
92Вычислить4/5*3/8
93Вычислить6/(2(2+1))
94Упроститьквадратный корень из 144
95Преобразовать в упрощенную дробь725%
96Преобразовать в упрощенную дробь6 1/4
97Вычислить7/10-2/5
98Вычислить6÷3
99Вычислить5+4
100Вычислитьквадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Решить пример (2: 3 1/5+(3 1/4: 13): 2/3+(2 5/18-17/36)*18/65)*1/3

Математика, 31. 05.2019 08:20, димка20032

Ответ разместил: Гость

Считаем сколько мёда собрано с одного улья: 2 т/100=0,02 т (или 20 кг) считаем сколько мёда собрали из 8 ульев: 8*0,02 т= 0,16 т (или 160 кг)

Ответ разместил: Гость

50+40=90 км — расстояние, пройденное , 130-90=40 км — расстояние между , которое осталось

Ответ разместил: Гость

31  7                43      3                78    10                  917    4

_=3-                      _=4  _                  _=  4 _                      _=83_

8        8                10      10            17        17                  11        11

Ответ разместил: Гость

(55,2*,6*3)=99км

Другие вопросы по: Математика

Настоящее прошедшее и будущее время глаголов…

Опубликовано: 27.02.2019 11:50

Ответов: 1

Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 120км. сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал a км? составте выражение и найдите его значение при a…

Опубликовано: 01.03.2019 01:50

Ответов: 2

Участок прямоугольной формы примыкает к дому, длина которого 10 м. с трех сторон участок обнесен изгородью длиной 130 м. чему равна площадь этого участка?…

Опубликовано: 01.03.2019 06:30

Ответов: 3

Заметка, на тему: человек это звучит гордо?…

Опубликовано: 01.03.2019 08:50

Ответов: 2

Вычислить массу оксида углерода (4), который образуется при сгорании 3 моль метана….

Опубликовано: 01.03.2019 19:20

Ответов: 1

Багаж массой 836 кг грузчики положили на 3 тележки масса багажа на второй тележки в 2 раза больше чем на первой какова масса багажа на третьей тележке если масса багажа на первой и. ..

Опубликовано: 02.03.2019 09:00

Ответов: 1

Знаешь правильный ответ?

Решить пример (2: 3 1/5+(3 1/4: 13): 2/3+(2 5/18-17/36)*18/65)*1/3…

Популярные вопросы

Для реакции были взяты вещества при температуре 40 градусов затем их нагрели до 60 градусов . как изменится скорость реакции если температурный коэффициент ее равен 4?…

Опубликовано: 28.02.2019 07:40

Ответов: 1

Автомобиль который движется равномерно и прямолинейно со скоростью 54км/ч прошел за время 10сек такой же путь как и мотоциклист за время 12сек. чему равна скорость мотоциклиста есл…

Опубликовано: 28.02.2019 13:30

Ответов: 1

Сдвух мотков шерсти сплели 3 шапочки. сколько таких шапок можно сплести с 10 метков шерсти?…

Опубликовано: 01. 03.2019 10:10

Ответов: 1

Собственная скорость катера 15 1\2 км\ч. скорость течения реки 2 1\4км\ч. 1 за какое время проплывет катер расстояние 71км, если будет плыть по течению? 2 за какое время проплывет…

Опубликовано: 02.03.2019 21:40

Ответов: 2

Восстановите числа в примере ворон + стая = летела, если разные буквы обозначают разные цифры и число сто делится на 139….

Опубликовано: 03.03.2019 11:30

Ответов: 1

Выполните действия: (3а-4ах+-14ах)…

Опубликовано: 03.03.2019 13:10

Ответов: 3

Два велосип. выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. скорость перв. 20 км в час ,второго 30.через 30 мин. из этого же пункта вслед за ними выехал третий ,…

Опубликовано: 04. 03.2019 06:20

Ответов: 2

Из этого текста сделайте стих! ! этот длинный, длинный день, заполненный всем, что я люблю, достаточно длинный для сотни вещей, для серьёзности и также для смеха, для гимнастики…

Опубликовано: 04.03.2019 12:20

Ответов: 1

Какова глубина моря h, если промежуток времени междутизлучением и приемом сигнала эхолота t=4c. скорость звука в воде равна 1500м/с….

Опубликовано: 06.03.2019 16:50

Ответов: 2

Реагирует ли h3so4 (разбавленная) с ртутью (hg) , если да, напишите ур-е реакции….

Опубликовано: 06.03.2019 18:50

Ответов: 2

Больше вопросов по предмету: Математика Случайные вопросы

первый, второй, третий закон кратко с объяснением, формулами

Мы уже говорили об основах классической механики. Настала пора поговорить о них подробнее и затронуть в обсуждении чуть больше, чем просто основу. В этой статье мы подробно разберем основные законы классической механики. Как вы уже догадались, речь пойдет о законах Ньютона.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Основные законы классической механики Исаак Ньютон (1642-1727) собрал и опубликовал в 1687 году. Три знаменитых закона были включены в труд, который назывался «Математические начала натуральной философии».

Был долго этот мир глубокой тьмой окутан
Да будет свет, и тут явился Ньютон.

(Эпиграмма 18-го века)

Но сатана недолго ждал реванша —
Пришел Эйнштейн, и стало все как раньше.

(Эпиграмма 20-го века)

Что стало, когда пришел Эйнштейн, читайте в отдельном материале про релятивистскую динамику. А мы пока приведем формулировки и примеры решения задач на каждый закон Ньютона.

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона гласит:

Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тела движутся равномерно и прямолинейно, если на них не действуют никакие силы или действие других сил скомпенсировано.

Проще говоря, суть первого закона Ньютона можно сформулировать так: если мы на абсолютно ровной дороге толкнем тележку и представим, что можно пренебречь силами трения колес и сопротивления воздуха, то она будет катиться с одинаковой скоростью бесконечно долго.

Инерция – это способность тела сохранять скорость как по направлению, так и по величине, при отсутствии воздействий на тело. Первый закон Ньютона еще называют законом инерции.

До Ньютона закон инерции был сформулирован в менее четкой форме Галилео Галилеем. Инерцию ученый называл «неистребимо запечатленным движением». Закон инерции Галилея гласит: при отсутствии внешних сил тело либо покоится, либо движется равномерно. Огромная заслуга Ньютона в том, что он сумел объединить принцип относительности Галилея, собственные труды и работы других ученых в своих «Математических началах натуральной философии».

Понятно, что таких систем, где тележку толкнули, а она покатилась без действия внешних сил, на самом деле не бывает. На тела всегда действуют силы, причем скомпенсировать действие этих сил полностью практически невозможно.

Например, все на Земле находится в постоянном поле силы тяжести. Когда мы передвигаемся (не важно, ходим пешком, ездим на машине или велосипеде), нам нужно преодолевать множество сил: силу трения качения и силу трения скольжения, силу тяжести, силу Кориолиса.

 

Второй закон Ньютона

Помните пример про тележку? В этот момент мы приложили к ней силу! Интуитивно понятно, что тележка покатится и вскоре остановится. Это значит, ее скорость изменится.

В реальном мире скорость тела чаще всего изменяется, а не остается постоянной. Другими словами, тело движется с ускорением. Если скорость нарастает или убывает равномерно, то говорят, что движение равноускоренное.

Если рояль падает с крыши дома вниз, то он движется равноускоренно под действием постоянного ускорения свободного падения g. Причем любой дугой предмет, выброшенный из окна на нашей планете, будет двигаться с тем же ускорением свободного падения.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой, ускорением и силой, действующей на тело. Приведем формулировку второго закона Ньютона:

Ускорение тела (материальной точки) в инерциальной системе отсчета прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе.

 

Если на тело действует сразу несколько сил, то в данную формулу подставляется равнодействующая всех сил, то есть их векторная сумма.

В такой формулировке второй закон Ньютона применим только для движения со скоростью, много меньшей, чем скорость света.

Существует более универсальная формулировка данного закона,  так называемый дифференциальный вид.

В любой бесконечно малый промежуток времени dt сила, действующая на тело, равна производной импульса тела по времени.

Третий закон Ньютона

В чем состоит третий закон Ньютона? Этот закон описывает взаимодействие тел.

3 закон Ньютона говорит нам о том, что на любое действие найдется противодействие. Причем, в прямом смысле:

Два тела воздействуют друг на друга с силами, противоположными по направлению, но равными по модулю.

Формула, выражающая третий закон Ньютона:

Другими словами, третий закон Ньютона — это закон действия и противодействия.

 

Пример задачи на законы Ньютона

Вот типичная задачка на применение законов Ньютона. В ее решении используются первый и второй законы Ньютона.

Десантник раскрыл парашют и опускается вниз с постоянной скоростью. Какова сила сопротивления воздуха? Масса десантника – 100 килограмм.

Решение:  

Движение парашютиста – равномерное и прямолинейное, поэтому, по первому закону Ньютона, действие сил на него скомпенсировано.

На десантника действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Силы направлены в противоположные стороны.

По второму закону Ньютона, сила тяжести равна ускорению свободного падения, умноженному на массу десантника.

Ответ: Сила сопротивления воздуха равна силе тяжести по модулю и противоположна направлена.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

А вот еще одна физическая задачка на понимание действия третьего закона Ньютона.

Комар ударяется о лобовое стекло автомобиля. Сравните силы, действующие на автомобиль и комара.

Решение:

По третьему закону Ньютона, силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Сила, с которой комар действует на автомобиль, равна силе, с которой автомобиль действует на комара.

Другое дело, что действие этих сил на тела сильно отличаются вследствие различия масс и ускорений.

Исаак Ньютон: мифы и факты из жизни

На момент публикации своего основного труда Ньютону было 45 лет. За свою долгую жизнь ученый внес огромный вклад в науку, заложив фундамент современной физики и определив ее развитие на годы вперед.

Он занимался не только механикой, но и оптикой, химией и другими науками, неплохо рисовал и писал стихи. Неудивительно, что личность Ньютона окружена множеством легенд.

Ниже приведены некоторые факты и мифы из жизни И. Ньютона. Сразу уточним, что миф – это не достоверная информация. Однако мы допускаем, что мифы и легенды не появляются сами по себе и что-то из перечисленного вполне может оказаться правдой.

  • Факт. Исаак Ньютон был очень скромным и застенчивым человеком. Он увековечил себя благодаря своим открытиям, однако сам никогда не стремился к славе и даже пытался ее избежать.
  • Миф. Существует легенда, согласно которой Ньютона осенило, когда на наго в саду упало яблоко. Это было время чумной эпидемии (1665-1667), и ученый был вынужден покинуть Кембридж, где постоянно трудился. Точно неизвестно, действительно ли падение яблока было таким роковым для науки событием, так как первые упоминания об этом появляются только в биографиях ученого уже после его смерти, а данные разных биографов расходятся.
  • Факт. Ньютон учился, а потом много работал в Кембридже. По долгу службы ему нужно было несколько часов в неделю вести занятия у студентов. Несмотря на признанные заслуги ученого, занятия Ньютона посещались плохо. Бывало, что на его лекции вообще никто не приходил. Скорее всего, это связано с тем, что ученый был полностью поглощен своими собственными исследованиями.
  • Миф. В 1689 году Ньютон был избран членом Кембриджского парламента. Согласно легенде, более чем за год заседания в парламенте вечно поглощенный своими мыслями ученый взял слово для выступления всего один раз. Он попросил закрыть окно, так как был сквозняк.
  • Факт.
    Неизвестно, как бы сложилась судьба ученого и всей современной науки, если бы он послушался матери и начал заниматься хозяйством на семейной ферме. Только благодаря уговорам учителей и своего дяди юный Исаак отправился учиться дальше вместо того, чтобы сажать свеклу, разбрасывать по полям навоз и по вечерам выпивать в местных пабах.

Дорогие друзья, помните — любую задачу можно решить! Если у вас возникли проблемы с решением задачи по физике, посмотрите на основные физические формулы. Возможно, ответ перед глазами, и его нужно просто рассмотреть. Ну а если времени на самостоятельные занятия совершенно нет, специализированный студенческий сервис всегда к вашим услугам!

В самом конце предлагаем посмотреть видеоурок на тему «Законы Ньютона».

Решение полиномиальных уравнений с помощью факторинга

4.

4 Решение полиномиальных уравнений методом факторинга

Цели обучения

  1. Повторить общие стратегии факторинга.
  2. Решите полиномиальные уравнения факторингом.
  3. Найти корни полиномиальной функции.
  4. Найдите полиномиальные уравнения, зная решения.

Обзор общих стратегий факторинга

Мы изучили различные методы факторизации многочленов, содержащих до четырех членов. Задача состоит в том, чтобы определить тип многочлена, а затем решить, какой метод применить. Ниже приведены общие рекомендации по факторингу полиномов:

  1. Проверка общих факторов. Если термины имеют общие делители, то вынести за скобки наибольший общий делитель (GCF).

  2. Определить количество членов многочлена.

    1. Фактор четырехчленных многочленов путем группировки.
    2. Факторные трехчлены (3 термина) методом проб и ошибок или методом переменного тока.

    3. Факторные биномы (2 члена) с использованием следующих специальных произведений:

      Разность квадратов:a2−b2=(a+b)(a−b)Сумма квадратов:a2+b2   нет общей формулыРазность кубов:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)Сумма кубов :a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
  3. Ищите факторы, которые можно дополнительно учесть.
  4. Проверить умножением.

Примечание : Если двучлен представляет собой как разность квадратов, так и разность кубов, то сначала разложите его как разность квадратов. Это приведет к более полной факторизации. Кроме того, не все полиномы с целочисленными коэффициентами учитываются. В этом случае говорят, что многочлен простой.

Если у выражения есть GCF, сначала вынесите его на множитель. Это часто упускается из виду и обычно приводит к факторам, с которыми легче работать. Кроме того, ищите полученные факторы для дальнейшего факторинга; многие проблемы факторинга требуют более одного шага. Многочлен полностью разложен на множители, если ни один из множителей нельзя разложить на множители.

Пример 1

Коэффициент: 54×4−36×3−24×2+16x.

Решение:

Этот четырехчленный многочлен имеет GCF 2x. Учтите это в первую очередь.

54×4−36×3−24×2+16x=2x(27×3−18×2−12x+8)

Теперь разложите полученный четырехчленный многочлен путем группировки и найдите результирующие множители для дальнейшего разложения.

Ответ: 2x(3x−2)2(3x+2). Чек остается читателю.

Пример 2

Коэффициент: x4-3×2-4.

Решение:

У этого трехчлена нет НОК.

x4–3×2–4 = (x2) (x2) = (x2+1) (x2–4) Разница квадратов = (x2+1) (x+2) (x — 2)

Коэффициент (x2 +1) является простым, а трехчлен полностью разложен на множители.

Ответ: (x2+1)(x+2)(x−2)

Пример 3

Коэффициент: x6+6×3−16.

Решение:

Начните с факторизации x6=x3⋅x3 и найдите множители 16, которые в сумме дают 6. ) сумма кубов =(x3−2)(x+2)(x2−2x+4)

Множитель (x3−2) нельзя разложить на множители, используя целые числа, и факторизация завершена.

Ответ: (x3−2)(x+2)(x2+2x+4)

Попробуйте! Коэффициент: 9×4+17×2−2

Ответ: (3x+1)(3x−1)(x2+2)

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Решение полиномиальных уравнений методом факторизации

В этом разделе мы рассмотрим метод которые можно использовать для решения некоторых полиномиальных уравнений. Начнем со свойства нулевого произведения. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

свойство продукта верно для любого числа факторов, составляющих уравнение. Другими словами, если какое-либо произведение равно нулю, то хотя бы один из переменных множителей должен быть равен нулю. Если выражение равно нулю и может быть разложено на линейные множители, то мы сможем установить каждый множитель равным нулю и решить для каждого уравнения.

Пример 4

Решите: 2x(x−4)(5x+3)=0.

Решение:

Приравняйте каждый переменный коэффициент к нулю и решите.

2x=0  или  x−4=0  или  5x+3=02×2=02x=45×5=−35x=0x=−35

Чтобы убедиться, что это решения, мы можем подставить обратно в исходное уравнение и посмотреть, получим ли мы истинное утверждение. Обратите внимание, что каждое решение дает нулевой коэффициент. Это остается читателю.

Ответ: Решения равны 0, 4 и −35.

Конечно, большинство уравнений не будут представлены в факторизованной форме.

Пример 5

Решите: 4×3−x2−100x+25=0.

Решение:

Начните с полного разложения левой стороны на множители.

4×3−x2−100x+25=0Множитель по группировке.x2(4x−1)−25(4x−1)=0(4x−1)(x2−25)=0Фактор как a разность квадратов.(4x− 1)(x+5)(x−5)=0

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите.

4x−1=0orx+5=0orx−5=04x=1x=−5x=5x=14

Ответ: решения равны 14, −5 и 5.

Использование свойства нулевого произведения после факторизации уравнение, равное нулю, является ключом к этой технике. Однако уравнение не может быть приравнено к нулю, и поэтому могут быть некоторые предварительные шаги перед факторингом. Шаги, необходимые для решения с помощью разложения на множители Процесс решения уравнения, равного нулю, путем его разложения на множители, а затем приравнивания каждого переменного фактора к нулю. изложены в следующем примере.

Пример 6

Решите: 15×2+3x-8=5x-7.

Решение:

Шаг 1: Выразите уравнение в стандартной форме, равной нулю. В этом примере вычтите 5x и добавьте 7 к обеим сторонам.

15×2+3x−8=5x−715×2−2x−1=0

Шаг 2: Разложите выражение на множители.

(3x−1)(5x+1)=0

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный фактор равным нулю.

3x−1=0        или        5x+1=0

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

3x−1=0или 5x+1=03x=15x=−1x=13x=−15

Ответ: решения равны 13 и −15. Проверка необязательна.

Пример 7

Решите: (3x+2)(x+1)=4.

Решение:

Это квадратное уравнение выглядит факторизованным; следовательно, может возникнуть соблазн установить каждый фактор равным 4. Однако это приведет к неправильным результатам. Мы должны переписать уравнение равным нулю, чтобы мы могли применить свойство нулевого произведения.

(3x+2)(x+1)=43×2+3x+2x+2=43×2+5x+2=43×2+5x−2=0

Приняв стандартную форму, мы можем факторизовать и установить каждый коэффициент равен нулю.

(3x —1) (x+2) = 03x — 1 = 0 или x+2 = 0 3x = 1 x = −2 x = 13

Ответ: растворы составляют 13 и −2.

Нахождение корней функций

Напомним, что любой полином с одной переменной является функцией и может быть записан в виде

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0

Значение rootA в домене функции, которое дает ноль. функции — это значение в домене, которое приводит к нулю. Другими словами, корни возникают, когда функция равна нулю, f(x)=0.

Пример 8

Найдите корни: f(x)=(x+2)2−4.

Решение:

Для нахождения корней приравняем функцию к нулю и решим.

f(x)=0(x+2)2−4=0x2+4x+4−4=0x2+4x=0x(x+4)=0

Затем приравняйте каждый множитель к нулю и решите.

х=0  или   х+4=0х=-4

Мы можем показать, что эти x -значения являются корнями путем вычисления.

f(0)=(0+2)2−4    f(−4)=(−4+2)2−4=4−4 =(−2)2−4=0    ✓=4−4= 0    ✓

Ответ: Корни равны 0 и −4.

Если построить график функции в предыдущем примере, мы увидим, что корни соответствуют x -перехватам функции. Здесь функция f представляет собой базовую параболу, сдвинутую на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз.

Пример 9

Найдите корни: f(x)=x4−5×2+4.

Решение:

Чтобы найти корни, приравняем функцию к нулю и решим.

f(x)=0x4−5×2+4=0(x2−1)(x2−4)=0(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)=0

Затем приравняйте каждый множитель к нулю и решите.

x+1 = 0 или x — 1 = 0 или x+2 = 0 или x — 2 = 0x = −1x = 1x = −2x = 2

Ответ: корни —1, 1, –2, и 2.

Построение графика предыдущей функции не входит в задачи этого курса. Однако график представлен ниже:

Обратите внимание, что степень многочлена равна 4, и мы получили четыре корня. В общем случае для любой полиномиальной функции с одной переменной степени n основная теорема алгебры гарантирует, что у полиномиальной функции с одной переменной будет столько (или меньше) корней, сколько ее степени. гарантирует n реальных корней или меньше. Мы видели, что многие многочлены не имеют множителей. Это не означает, что функции, включающие эти нефакторизуемые многочлены, не имеют действительных корней. На самом деле, многие полиномиальные функции, не учитывающие фактор, имеют действительные решения. Мы научимся находить эти типы корней, продолжая изучение алгебры.

Пример 10

Найдите корни: f(x)=−x2+10x−25.

Решение:

Для нахождения корней приравняем функцию к нулю и решим.

f(x)=0−x2+10x−25=0−(x2−10x+25)=0−(x−5)(x−5)=0

Затем установите каждый переменный коэффициент равным нулю и решить.

x−5=0orx−5=0=5x=5

Решение, которое повторяется дважды, называется двойным корнемКорень, который повторяется дважды. В этом случае существует только одно решение.

Ответ: Корень равен 5.

В предыдущем примере показано, что функция степени 2 может иметь один корень. На шаге факторизации мы видим, что функция может быть записана как

f(x)=−(x−5)2

В этой форме мы можем видеть отражение относительно оси x и сдвиг к справа 5 ед. Вершина представляет собой точку пересечения x , иллюстрирующую тот факт, что существует только один корень.

Попробуйте! Найдите корни f(x)=x3+3×2−x−3.

Ответ: ±1, −3

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Пример 11

В предположении о сухих дорожных условиях и среднем времени реакции безопасный тормозной путь в футах равен d(x)=120×2+x, где x представляет собой скорость автомобиля в милях в час. Определите безопасную скорость автомобиля, если вы ожидаете остановиться через 40 футов.

Решение:

Нас просят найти скорость x , при которой безопасное тормозное расстояние d(x)=40 футов.

d(x)=40120×2+x=40

Решить на x , перепишите полученное уравнение в стандартной форме. В этом случае мы сначала умножим обе части на 20, чтобы очистить дробь.

20(120×2+x)=20(40)x2+20x=800×2+20x−800=0

Следующий коэффициент, а затем установите каждый коэффициент равным нулю.

x2+20x−800=0(x+40)(x−20)=0x+40=0orx−20=0x=−40x=20

Отрицательный ответ не имеет смысла в контексте этой задачи. Считайте x=20 миль в час единственным решением.

Ответ: 20 миль в час

Нахождение уравнений с заданными решениями

Мы можем использовать свойство нулевого произведения для нахождения уравнений по заданным решениям. Для этого шаги решения факторингом выполняются в обратном порядке.

Пример 12

Найдите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, учитывая решения −32 и 13.

Решение:

Имея решения, мы можем определить два линейных множителя. Чтобы избежать дробных коэффициентов, мы сначала очищаем дроби, умножая обе части на знаменатель.

x=-32orx=132x=-33x=12x+3=03x-1=0

Произведение этих линейных множителей равно нулю, когда x=-32 или x=13.

(2x+3)(3x−1)=0

Умножьте двучлены и представьте уравнение в стандартной форме.

6×2−2x+9x−3=06×2+7x−3=0

Мы можем проверить наше уравнение, подставив данные ответы, чтобы увидеть, получаем ли мы верное утверждение. Кроме того, уравнение, найденное выше, не является уникальным, и поэтому проверка становится необходимой, когда наше уравнение выглядит иначе, чем чье-то еще. Это оставлено в качестве упражнения.

Ответ: 6×2+7x−3=0

Пример 13

Найдите полиномиальную функцию с действительными корнями 1, −2 и 2. линейные факторы.

x=1orx=-2orx=2x-1=0x+2=0x-2=0

Примените свойство нулевого произведения и умножьте.

(x−1)(x+2)(x−2)=0(x−1)(x2−4)=0x3−4x−x2+4=0x3−x2−4x+4=0

Ответ : f(x)=x3−x2−4x+4

Попробуйте! Найдите полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, зная решения 12 и −34.

Ответ: 8×2+2x−3=0

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Ключевые выводы

  • Факторинг и свойство нулевого произведения позволяют нам решать уравнения.
  • Чтобы решить полиномиальное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Как только он станет равным нулю, разложите его на множители, а затем установите каждый переменный фактор равным нулю. Решения полученных уравнений являются решениями исходных.
  • Не все полиномиальные уравнения можно решить с помощью факторизации. Мы узнаем, как решать полиномиальные уравнения, которые не учитывают фактор позже в курсе.
  • Полиномиальная функция может иметь число вещественных корней, не превышающее ее степени. Чтобы найти корни функции, приравняйте ее к нулю и решите.
  • Чтобы найти полиномиальное уравнение с заданными решениями, выполните процесс решения путем разложения на множители в обратном порядке.

Тематические упражнения

    Часть A: Общий факторинг

      Фактор полностью.

    1. 50×2−18

    2. 12×3−3x

    3. 10×3+65×2−35x

    4. 15×4+7×3−4×2

    5. 6a4b-15a3b2-9a2b3

    6. 8a3b−44a2b2+20ab3

    7. 36×4−72×3−4×2+8x

    8. 20×4+60×3-5×2-15x

    9. 3×5+2×4-12×3-8×2

    10. 10×5-4×4-90×3+36×2

    11. х4-23х2-50

    12. 2×4-31×2-16

    13. −2×5−6×3+8x

    14. −36×5+69×3+27x

    15. 54×5−78×3+24x

    16. 4×6−65×4+16×2

    17. x6-7×3-8

    18. x6-25×3-54

    19. 3×6+4×3+1

    20. 27×6−28×3+1

    Часть B: Решение полиномиальных уравнений методом факторинга

      Решить.

    1. (6x−5)(x+7)=0

    2. (х+9)(3х-8)=0

    3. 5x(2x−5)(3x+1)=0

    4. 4x(5x−1)(2x+3)=0

    5. (х-1)(2х+1)(3х-5)=0

    6. (х+6)(5х−2)(2х+9)=0

    7. (х+4)(х−2)=16

    8. (х+1)(х-7)=9

    9. (6х+1)(х+1)=6

    10. (2x−1)(x−4)=39

    11. х2-15х+50=0

    12. х2+10х-24=0

    13. 3×2+2x−5=0

    14. 2х2+9х+7=0

    15. 110×2-715x-16=0

    16. 14−49×2=0

    17. 6×2−5x−2=30x+4

    18. 6×2−9x+15=20x−13

    19. 5×2−23x+12=4(5x−3)

    20. 4×2+5x−5=15(3−2x)

    21. (х+6)(х-10)=4(х-18)

    22. (х+4)(х−6)=2(х+4)

    23. 4×3-14×2-30x=0

    24. 9×3+48×2−36x=0

    25. 13×3−34x=0

    26. 12×3−150x=0

    27. −10×3−28×2+48x=0

    28. −2×3+15×2+50x=0

    29. 2×3−x2−72x+36=0

    30. 4×3-32×2-9x+72=0

    31. 45×3-9×2-5x+1=0

    32. х3-3х2-х+3=0

    33. х4-5х2+4=0

    34. 4×4−37×2+9=0

      Найдите корни заданных функций.

    1. f(x)=x2+10x−24

    2. f(x)=x2−14x+48

    3. f(x)=−2×2+7x+4

    4. f(x)=−3×2+14x+5

    5. f(x)=16×2−40x+25

    6. f(x)=9×2−12x+4

    7. г(х)=8х2+3х

    8. г(х)=5х2-30х

    9. р(х)=64×2−1

    10. q(x)=4×2−121

    11. f(x)=15×3−1×2−120x+14

    12. f(x)=13×3+12×2−43x−2

    13. г(х)=х4-13х2+36

    14. г(х)=4×4−13×2+9

    15. f(x)=(x+5)2−1

    16. г(х)=-(х+5)2+9

    17. f(x)=−(3x−5)2

    18. г(х)=-(х+2)2+4

      По графику функции определите действительные корни.

    5. Стороны квадрата измеряют x−2 единицы. Если площадь 36 квадратных единиц, то найдите х .

    6. Длина сторон прямоугольного треугольника представляет собой последовательные четные целые числа. Найдите длины каждой стороны. (Подсказка: примените теорему Пифагора)

    7. Прибыль в долларах, полученная от производства и продажи n велосипедов в неделю, определяется по формуле P(n)=−5n2+400n−6000. Сколько велосипедов необходимо произвести и продать, чтобы обеспечить безубыточность?

    8. Высота в футах объекта, упавшего с крыши 64-футового здания, определяется как h(t)=−16t2+64, где t представляет время в секундах после падения. Сколько времени потребуется, чтобы удариться о землю?

    9. Коробку можно сделать, вырезав углы и загнув края квадратного листа картона. Дан шаблон картонной коробки высотой 2 дюйма.

      Какова длина каждой стороны картонного листа, если объем коробки должен быть 98 кубических дюймов?

    10. Высота треугольника на 4 сантиметра меньше удвоенной длины его основания. Если общая площадь треугольника 48 квадратных сантиметров, то найдите длины основания и высоты.

    11. Равномерная рамка должна быть размещена вокруг изображения размером 8×10 дюймов.

      Если общая площадь, включая границу, должна составлять 168 квадратных дюймов, то какой ширины должна быть граница?

    12. Площадь фоторамки, включая рамку шириной 3 дюйма, составляет 120 квадратных дюймов.

      Если ширина внутренней области на 2 дюйма меньше ее длины, то найдите размеры внутренней области.

    13. В условиях сухой дороги и среднего времени реакции безопасный тормозной путь в футах равен d(x)=120×2+x, где x представляет скорость автомобиля в милях в час. Определите безопасную скорость автомобиля, если вы ожидаете остановиться через 75 футов.

    14. Компания-производитель определила, что ежедневный доход в тысячах долларов определяется формулой R(n)=12n−0,6n2, где n представляет количество проданных поддонов продукта (0≤n<20). Определите количество палитр, проданных за день, если выручка составила 45 тысяч долларов.

    Часть C: Нахождение уравнений с заданными решениями

      Найдите полиномиальное уравнение с данными решениями.

    1. −3, 5

    2. −1, 8

    3. 2, 13

    4. −34, 5

    5. 0, −4

    6. 0,7

    7. ±7

    8. ±2

    9. −3, 1, 3

    10. −5, −1, 1

      Найдите функцию с заданными корнями.

    1. 12, 23

    2. 25, −13

    3. ±34

    4. ±52

    5. 5 двойной корень

    6. −3 двойной корень

    7. −1, 0, 3

    8. −5, 0, 2

      Напомним, что если |X|=p , то X=−p или X=p. Используйте это для решения следующих уравнений абсолютного значения.

    1. |x2−8|=8

    2. |2×2−9|=9

    3. |x2−2x−1|=2

    4. |x2−8x+14|=2

    5. |2×2−4x−7|=9

    6. |x2−3x−9|=9

    Часть D: Дискуссионная доска

    1. Объясните начинающему студенту алгебры разницу между уравнением и выражением.

    2. В чем разница между корнем и перехватом x ? Объяснять.

    3. Создайте функцию с тремя действительными корнями по вашему выбору. Нарисуйте график с помощью графической утилиты и проверьте свои результаты. Поделитесь своей функцией на доске обсуждений.

    4. Исследуйте и обсудите основную теорему алгебры.

Ответы

  1. 2(5x+3)(5x−3)

  3. 5x(x+7)(2x−1)

  5. 3a2b(2a+b)(a-3b)

  7. 4x(x−2)(3x+1)(3x−1)

  9. х2(3х+2)(х+2)(х-2)

  11. (х2+2)(х+5)(х−5)

  13. −2x(x2+4)(x−1)(x+1)

  15. 6х(х+1)(х-1)(3х+2)(3х-2)

  17. (х+1)(х2-х+1)(х-2)(х2+2х+4)

  19. (3×3+1)(x+1)(x2−x+1)

  1. −7, 56

  3. 0, 52, −13

  5. −12, 1, 53

  7. −6, 4

  9. −53, 12

  11. 5, 10

  13. −53, 1

  15. −13, 5

  17. −16, 6

  19. 35, 8

  21. 2, 6

  23. 0, −32, 5

  25. 0, ±32

  27. −4, 0, 65

  29. ±6, 12

  31. ±13, 15

  33. ±1, ±2

  35. 2, −12

  37. −12, 4

  39. 54

  41. −38, 0

  43. ±18

  45. ±12, 5

  47. ±2, ±3

  49. −6, −4

  51. 53

  53. −3, −1, 0, 2

  55. −2, 3

  57. 8 шт.

  59. 20 или 60 велосипедов

  61. 11 в

  63. 2 дюйма

  65. 30 миль в час

  1. х2-2х-15=0

  3. 3×2−7x+2=0

  5. х2+4х=0

  7. x2−49=0

  9. х3-х2-9х+9=0

  11. f(x)=6×2−7x+2

  13. f(x)=16×2−9

  15. f(x)=x2−10x+25

  17. f(x)=x3−2×2−3x

  19. ±4, 0

  21. ±1, 3

  23. −2, 1, 4

  1. Ответ может отличаться

  3. Ответ может отличаться

Что такое числовое предложение? Определения Факты и примеры

Что такое числовое предложение?

Числовое предложение — это математическое предложение, состоящее из чисел и символов, как показано ниже.

Термин «числовое предложение» вводится на уровне начальной школы. Однако применение этих предложений выходит за рамки начальной школы, поскольку включает уравнения и неравенства. Эти предложения также можно описать как язык математики. Как показано ниже, предложение объединяет два выражения с символом отношения $(=, \gt, \lt, \text{etc.})$.

Эти предложения показывают отношения равенства или неравенства с использованием различных математических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.

Знак равенства и неравенства важен, так как предложение неполное и без них не имеет смысла.

$10 + 8\gt 15$ — пример числового предложения. Однако если мы напишем $10 + 8$  $15$, это не будет иметь никакого смысла.

Математическое предложение может быть истинным или ложным в зависимости от предоставленной информации.

Математическое предложение, которое дает всю информацию и известно, является ли оно истинным или ложным, как показано в примере ниже.

Применение числовых предложений

Математические задачи на предложения могут проявляться в виде задач со словами, в которых учащимся предлагается написать числовое предложение.

Например: У Мэри 10 ягод клубники. Если Дэн даст ей 15 ягод клубники, сколько всего клубник будет у Мэри?

Итак, у Мэри есть 10 долл. США + 15 = 25 долл. клубники.

Почему учащиеся должны свободно произносить математические предложения?
  1. Математические предложения помогают учащимся понять алгебру. Это включает в себя вплетение алгебраического мышления в математику начальной и средней школы.
  2. Математические предложения обеспечивают гибкость при решении задачи по сравнению с базовыми алгоритмами. Используя предложения, учащиеся могут разбить числа, чтобы увидеть значение каждой цифры. Они могут составлять и разлагать числа по разрядному значению или использовать другие стратегии, развивая свои навыки рассуждения и ментальной математики, как показано в примере ниже.

Интересный факт!

Числовые предложения — это просто числовое выражение словесной задачи.

Решенные примеры

Пример 1. Определите, является ли следующее предложение истинным или ложным.

$12 + 12 + 12 \lt 4 \times 12$

Решение:

Выражение в правой части знака неравенства (меньше) равно $12 + 12 + 12$, что равно 36 .

Решая выражения в правой части знака неравенства (меньше), получаем $4\times 12$ или 48,

Поскольку $36 \lt 48$, мы можем сказать, что данное предложение $12 + 12 + 12 \lt 4 \times 12$ истинно.

Пример 2: Завершите математическое предложение так, чтобы оно было верным.

$6 + 7 = 9$ $+$ $\underline{}$

Решение:

$6 + 7 = 13$

Итак, чтобы сделать предложение верным, $9$ $+$ $\underline {}$ должен быть равен 13. Следовательно, пропущенное число должно быть $13$ $–$ $9$ или 4.

Пример 3. Подставьте значение в переменную (x) и укажите, является ли полученное предложение истинным или ЛОЖЬ.

$12 –$ x $= 9$ , подставьте 4 вместо x

Решение:

что неверно, поскольку $12$ $–$ $4 = 8 ≠ 9$.

Пример 4: Найдите значение x, чтобы следующее предложение было истинным.

$\text{x}$ $–$ $24 = 10$

Решение:

Добавление одного и того же числа к обеим сторонам знака равенства сохранит истинность предложения.

Чтобы найти значение x, мы можем добавить 24 к обеим сторонам знака равенства.

$\text{x}$ $–$ $24 + 24 = 10 + 24$

Следовательно, $\text{x}$ $= 34$

Практические задачи

$45 + 30 = 75$

$30 + 20 \gt 40$

$66 + 30$

$40 + 40 \lt 100$

Правильный ответ: $66 + 30$
Математическое предложение должно показывать отношение между двумя выражениями с такими символами, как $= , \lt \text{или} \gt$. Таким образом, $66 + 30$ — это не приговор.

Верно только 1

Верно только 2

Ничего из вышеперечисленного неверно

Верно и 1, и 2

Правильный ответ: Верно только 1
$40 + 30 = 70, \text{but} 90 + 1000 = 1090 ≠ 1900$

$-$

$+$

$\times$

$\div$

Правильный ответ: $-$
$90$ $–$ 70 $20 = 20$

Часто задаваемые вопросы

Важно ли, чтобы числовое предложение было истинным?

Математическое предложение не обязательно должно быть истинным. Однако каждое предложение дает нам информацию, и на основе предоставленной информации можно изменить утверждение с ложного на истинное.

В чем разница между уравнениями и неравенствами?

Уравнение — это математическое предложение, показывающее равное значение двух выражений, а неравенство — это предложение, показывающее, что одно выражение меньше или больше другого.

Можно ли дробные числа записать в виде числового предложения?

Да, дробные числа можно записать в виде предложения. Например,

$\frac{3}{4}+\frac{5}{4} = \frac{8}{4}$

Калькулятор дробей


Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила выражений с дробями:

Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически конвертируются в дроби — т.е. 1.45 .

Математические символы


Символ Название символа Символ Значение Пример
+ plus sign addition 1/2 + 1/3
— minus sign subtraction 1 1/2 — 2/3
* asterisk multiplication 2/3 * 3/4 ​​
× times sign multiplication 2/3 × 5/6
: division sign division 91/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.