Неравенство cosx больше 0: Решите неравенство cos(x)>0 (косинус от (х) больше 0)

alexxlab / / Разное

cosx меньше a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx меньше a (cosx<a) на единичной окружности.

Снова применяем ассоциацию косинус-колобок. Оба кругленькие, оба начинаются с ко-. Колобку, в силу особенности его фигуры, удобнее двигаться влево-вправо, а не вверх-вниз. Влево-вправо на координатной плоскости — движение по оси ox. Значит, косинус — это x. То есть абсцисса,  координата x точки на окружности. Геометрически cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси ox). Соответственно, точки окружности, находящиеся правее этой прямой, соответствуют значениям косинуса, большим a, а cosx меньше a — левее этой прямой. Прямая и окружность могут пересекаться, не пересекаться и касаться. От их взаимного расположения зависит решение тригонометрического неравенства cosx меньше a.

1) cosx<a, при 0<a<1.

 

Первая точка пересечения прямой и окружности находится, как обычно, — это arccos a.

Поскольку нам нужны значения, в которых cos x меньше a, из первой точки ко второй мы идем по верхнему пути, против часовой стрелки. При таком направлении обхода угол увеличивается. Вторую точку получили, немного не дойдя до 2п. На сколько не дошли? На тот же угол, который соответствует arccos a. Раз не дошли, то это число вычитаем из 2п. Поэтому вторая точка пересечения прямой с окружностью есть 2п-arccos a. Итак, решением неравенства cos x меньше a является промежуток (arccos a; 2п-arccos a). Поскольку период косинуса равен 2п, к каждому из концов промежутка прибавляем 2пn, где n -целое число (то есть n принадлежит Z). Получаем окончательный вариант ответа: (arccos a+2пn; 2п-arccos a+2пn). Для нестрогого неравенства точки закрашиваем и ставим квадратные скобки.

2) cos x меньше -a, при 0<a<1.

Решение неравенства аналогично первому случаю. Отличие — нужно вычислить арккосинус отрицательного числа (чуть позже я расскажу, как легко запомнить значения arccos (-a) с помощью ассоциации).

А пока что arccos (-a)= п-arccos a. Ко второй точке здесь тоже идем против часовой стрелки, то есть значение угла увеличивается. Не доходим до 2п на величину arccos(-a), отсюда вторая точка есть 2п-arccos(-a). Чтобы учесть все решения неравенства, к концам промежутка прибавляем 2пn. Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратной скобкой).

3) cosx<0

То есть ищем, где косинус отрицательный.

В качестве первой точки промежутка, на котором косинус принимает отрицательные значения, берем п/2, вторая точка — 3п/2. Чтобы учесть все промежутки, на которых косинус отрицательный, прибавляем к концам промежутка 2пn. Таким образом, решение тригонометрического неравенства cosx<0 есть промежуток (п/2+2пn; 3п/2+2пn), где n — целое число. Если неравенство нестрогое, то есть ищем неотрицательные значения косинуса, точки закрашиваем, скобки берем квадратные.

4) cosx<1

В этом случае окружность и прямая x=a касаются в одной точке — в нуле. Таким образом, за исключением этой точки, окружность расположена левее прямой. Значит, cosx меньше 1 в любой точке, кроме точек вида 0+2пn. Чтобы записать решение тригонометрического неравенства cosx<1 в виде интервала, в качестве второго конца промежутка берем 2п и к обоим концам прибавляем 2пn. Получаем (2пn; 2п+2пn).

5) cosx<a, при a>1.

В этом случае окружность целиком лежит левее прямой x=a и любое значение x удовлетворяет условию неравенства. Таким образом, в этом случае косинус меньше a на промежутке (-∞;+∞).

6) cosx<-a, при a>1.

При таких a окружность целиком расположена правее прямой x=-a и нет ни одного x, удовлетворяющего требованию cosx меньше -a. Поэтому решений нет.

   

В этом случае точку пересечения окружности и прямой исключать из решения не нужно, значит, x — любое число и решением является вся числовая прямая: (-∞;+∞).

   

Единственным решением этого тригонометрического неравенства является точка п. С учетом периодичности косинуса, решением является множество точек вида п+2пn, где n — целое число.

И в заключении — пример решения тригонометрического неравенства вида cosx меньше a: cosx<-1/2:

 

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град.
)
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

тригонометрия — Тригонометрическое неравенство $\cos x+ \sin x>0$

Вопрос задан

5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Решите неравенство: $\cos x+ \sin x >0$

Почему я не могу возвести это в квадрат, чтобы получить $\sin 2x>0$? И каков тогда первый шаг здесь?

  • тригонометрия
    • 92=1+\sin 2x=0\подразумевается 2x=\frac{3\pi}2+2k\pi$$ или

    $$x=\frac{3\pi}4+k\pi. $$

    Тогда, так как эти корни для исходной функции простые, то между корнями переменный знак и положительный в диапазонах

    $$(-\frac\pi4+2k\pi,\frac{3\pi}4+2k \pi)$$

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Подсказка: попробуйте выразить свою функцию как $A\sin(x+x_0)$.

    $$\cos(x)+\sin(x)=A\sin(x+x_0)=A\sin(x)\cos(x_0)+A\cos(x)\sin(x_0)$$ 92>0$ вовсе не означает, что $A>0$.

    Чтобы решить неравенство $\sin x+\cos x>0$, я бы использовал некоторые элементарные вычисления. Определите $f(x)=\sin x+\cos x$. Эта функция непрерывна, поэтому поиск ее нулей кажется хорошей идеей. Это $3\pi/4+n\pi$, $n\in\Bbb Z$. Для $x=2n\pi$, $n\in\Bbb Z$, $f(x)>0$ и $x=(2n+1)\pi$, $n\in\Bbb Z$ имеем иметь $f(x)<0$.

    Решение представляет собой объединение интервалов $$(-\pi/4+2n\pi,3\pi/4+2n\pi)$$ для $n\in\Bbb Z$.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    $$\cos x+ \sin x >0\Стрелка вправо \frac{\cos}{\sqrt2}+\frac{\sin x}{\sqrt2}=\sin(\frac{\pi}{4}+ х)\gt0$$ Далее следует $$x\in\bigcup\space\left]-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\space\right[$$

    $\endgroup$

    Зарегистрируйтесь или войдите в систему

    Зарегистрируйтесь с помощью Google

    Зарегистрироваться через Facebook

    Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но никогда не отображается

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но не отображается

    Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie 92 /2$

    Спросил

    Изменено 1 год, 3 месяца назад

    Просмотрено 5к раз

    $\begingroup$

    В этом ответе необходимо вычислить значение $1 — \cos(x)$, чтобы найти его верхний предел, если он существует.

    В частности, $x = 2 \pi / n$. Ответ связан с длиной стороны правильного $n$-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса; поскольку периметр $n$-угольника всегда меньше $2\pi$, единственная сторона всегда должна быть меньше $2\pi/n$. 92$$

    $$\sqrt{2(1 — \cos(x))} \leq 2 \pi / n$$

    Но хорошо известно, что косинус является функцией $f(x) \in [-1;1]$, поэтому $1 — \cos (x) \in [0,2]$. Используя эту информацию, мы получили бы

    $$1 — \cos (x) \leq 2$$ (2)

    Доказательство даст

    $$2(1 — \cos(x)) \leq 4$$

    $$\sqrt{2(1 — \cos(x))} \leq 2$$

    , что является совершенно другим результатом.

    • Почему в таком случае предпочтительнее использовать (1) вместо (2)?
    • Как выбрать, когда удобно использовать (1) и когда использовать (2) в доказательстве?
    • исчисление
    • реальный анализ
    • тригонометрия
    • неравенство
    • доказательство-проверка

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Оценка $-1\le \cos(x)\le 1$ верна, но довольно груба.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *