Системы неравенств с двумя переменными, способы решения
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Системы линейных неравенств с двумя переменными
2. Примеры других неравенств с двумя переменными
Одним из частных случаев систем неравенств с двумя переменными являются системы линейных неравенств с двумя переменными. Рассмотрим их.
Системы линейных неравенств с двумя переменными
Введем сначала все необходимые понятия.
Определение 1
Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.
Определение 2
Пара чисел называется
Определение 3
Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.
Определение 4
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Определение 5
Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.
Рассмотрим решение систем линейных неравенств с двумя переменными на примере.
Пример 1
Решить систему неравенств
\[\left\{ \begin{array}{c} {yРешение.
Решим для начала оба неравенства отдельно.
Рисунок 5.
Изобразим теперь общее решение:
Рисунок 6.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08.04.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Найти целые решения системы неравенств
В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.
Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.
1) Найти целые решения системы неравенств:
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
После упрощения разделим обе части каждого неравенства на
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).
Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:
Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.
Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.
2) Какие целые решения имеет система неравенств?
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком
Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:
Отмечаем решения неравенств на числовых прямых.
Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:
Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.
3) Сколько целых решений имеет система неравенств?
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:
Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:
Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1.
Всего их 5.
Ответ: 5.
4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.
Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.
Ответ: 1.
Рубрика: Неравенства | КомментарииРешение систем неравенств — Бесплатная помощь по математике
Сначала нам нужно просмотреть символы неравенств:
- Символ < означает меньше.
- Символ > означает больше.
- Символ \(\leq\) означает меньше или равно. Обычно это записывается как <= на компьютерах, потому что его легче набирать.
- Символ \(\geq\) означает больше или равно. Иногда это записывается как >= на компьютерах, потому что это легче набирать.
Существует бесконечное множество решений неравенств. В свете этого факта может быть проще всего найти набор решений для неравенств, решив систему графически.
Как решать системы неравенств графически
1) Запишите неравенство в форме пересечения наклона или в виде \(y = mx + b\).
Например, если нас просят решить \(x + y \leq 10\), мы сначала перепишем как \(y \leq -x + 10\).
2) Временно заменить данный символ неравенства (в данном случае \(\leq\)) на просто равный символ. При этом вы можете рассматривать неравенство как уравнение. НО НЕ ЗАБУДЬТЕ заменить символ равенства на исходный символ неравенства в КОНЦЕ задачи!
Итак, \(y \leq -x + 10\) становится \(y = -x + 10\) на данный момент.
3) Начертите линию, найденную на шаге 2. Это будет «границей» неравенства — на одной стороне линии условие будет истинным, на другой — нет.
Посмотрите, как построить линию здесь.
4) Вернемся к неравенству, которое мы нашли раньше, как \(y \leq -x + 10\). Обратите внимание, что это верно, когда y меньше или равно. На шаге 3 мы построили линию (случай «равно»), поэтому теперь нам нужно учесть случай «меньше». Поскольку y меньше определенного значения на нижней стороне оси, мы заштрихуем область под линией, чтобы показать, что неравенство верно для всех точек ниже линии:
5) Проверить. Подставьте точку не на линии, например (0,0). Убедитесь, что неравенство выполняется. В данном случае это означает \(0 \leq -0+10\), что совершенно верно. Мы заштриховали правильную сторону линии.
Пример:
Найдите все значения x и y, которые удовлетворяют: \(y \geq \frac{-3}{2}x + 6\).
Обратите внимание, что это неравенство уже находится в форме пересечения наклона. Я заменю данный символ неравенства на символ равенства, чтобы построить линию.
\(y \geq \frac{-3}{2}x + 6\) становится \(y = \frac{-3}{2}x + 6\).
Теперь постройте эту линию, как показано:
Поскольку это тот случай, когда неравенство верно для значений y, больших или равных чему-либо, мы заштриховали область над линией. Все точки на этой линии графика или ВЫШЕ будут удовлетворять нашему неравенству. Снова выберите любую точку над линией графика, чтобы убедиться, что она удовлетворяет или показывает ИСТИННОЕ утверждение в терминах исходного неравенства. Например, (5,3). Подключите это, и у нас есть \(3 \geq \frac{-3}{2}*5+6\). Упростим его до \(3\geq -1.5\) и увидим, что неравенство верно в точке (5,3). Поскольку эта точка находилась выше нашей линии, ее следует заштриховать, что подтверждает наше решение.
Множественные неравенства — система неравенств
Система неравенств имеет более одного утверждения о неравенстве, которое должно быть удовлетворено. Графически это означает, что нам нужно сделать то, что мы только что сделали — построить линию, представленную каждым неравенством, — а затем найти область графика, которая верна для ОБОИХ неравенств.
Для двух приведенных выше примеров мы можем объединить оба графика и построить площадь, общую для двух неравенств.
Какой набор растворов? Набор решений для ОБОИХ неравенств будет ЛЮБОЙ ТОЧКОЙ, где ОБЕ заштрихованы вместе или где встречаются ОБЕ заштрихованные области.
Первоначально г-н Фелиз, © 2005
Решатель систем уравнений: Wolfram|Alpha
О, о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.
Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.
WolframAlpha
Решение уравнений и систем уравнений с помощью Wolfram|Alpha
Мощный инструмент для поиска решений систем уравнений и ограничений
Wolfram|Alpha может решать самые разные системы уравнений. Он может решать системы линейных уравнений или системы, включающие нелинейные уравнения, и может специально искать целочисленные решения или решения в другой области.
Кроме того, он может решать системы, включающие неравенства и более общие ограничения.
Узнайте больше о:
- Системы уравнений »
Советы по вводу запросов
Введите запросы на простом английском языке. Чтобы избежать двусмысленных запросов, обязательно используйте круглые скобки там, где это необходимо. Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как задавать вопросы о решении систем уравнений. 92 = 4, y = x
- Посмотреть другие примеры »
Доступ к инструментам мгновенного обучения
Немедленная обратная связь и руководство с пошаговыми решениями и генератором проблем Wolfram
Узнайте больше о:
- Шаг пошаговые решения »
- Генератор задач Wolfram »
Что такое системы уравнений?
Система уравнений представляет собой набор из одного или нескольких уравнений, включающих ряд переменных.
Решениями систем уравнений являются такие отображения переменных, что удовлетворяются все уравнения компонентов, другими словами, места, в которых все эти уравнения пересекаются.
Решить систему значит найти все такие общие решения или точки пересечения.
Системы линейных уравнений являются общим и применимым подмножеством систем уравнений. В случае двух переменных эти системы можно рассматривать как линии, проведенные в двумерном пространстве. Если все прямые сходятся в одной точке, то говорят, что система непротиворечива и имеет решение в этой точке пересечения. В противном случае система называется несовместной, не имеющей решений. Системы линейных уравнений с более чем двумя переменными работают аналогично, имея либо одно решение, либо отсутствие решений, либо бесконечное количество решений (последнее в случае, если все уравнения компонентов эквивалентны).
Возможны и более общие системы, включающие нелинейные функции. Они обладают более сложными наборами решений, включающими одно, нулевое, бесконечное или любое количество решений, но работают аналогично линейным системам в том смысле, что их решениями являются точки, удовлетворяющие всем задействованным уравнениям.