Неравенство решить примеры: Линейные неравенства, примеры, решения

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Определение 2

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств.   А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
• будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Пример 3

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Определение 5

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Пример 5

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

• введение функции y=a·x+b;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда  подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или  x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть  на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

• решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
• решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
• решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
• решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике.

В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Определение 8

Построение графика функции y=a·x+b производится:

• во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
• во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения  координат точки его пересечения с Ох-5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.   Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

определение, отображение на числовой прямой, примеры

Понятие решения неравенства с одной переменной

Решением неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.

При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 этого справочника), из которых следует:

• если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
• если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

Например: Решить неравенство $5x-12 \gt 3x+4$

$5x-12 \gt 3x+4$

Переносим 12 вправо со знаком +

$5x \gt 3x+4+12$

Переносим 3x влево со знаком —

$5x-3x \gt 4+12$

$2x \gt 16$

Делим на 2 обе части неравенства

$x \gt 8$

Получаем ответ: $x \gt 8 или x \in (8;+\infty)$

Ответом является бесконечное множество решений – все действительные числа больше 8. Эти решения образуют открытый луч (см. §16 данного справочника)

Изображение множества решений неравенства с одной переменной на числовой прямой

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Отрезок
	$3 \le x \le 5 или x \in [3;5]$
Интервал
	$3 \lt x \lt 5 или x \in (3;5)$
Полуинтервал
	$3 \lt x \le 5 или x \in (3;5]$
	$3 \le x \lt 5 или x \in [3;5)$
Луч
	$x \ge 3 или x \in [3, +\infty)$
	$x \le 5 или x \in (-\infty,5]$
Открытый луч
	$x \gt 3 или x \in (3,+\infty)$
	$x \lt 5 или x \in (-\infty,5)$

Примеры

Пример 1. 2-x-6+10 $

$x \ge 4 или x \in [4;+ \infty)$- луч

Пример 2. Длина стороны прямоугольника 7 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?

Пусть x неизвестная сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $P_{rec} = 2(7+x)$

Периметр квадрата: $P_{sq} = 4 \cdot 5 = 20$

По условию:

$$ 2(7+x) \lt 20 |:2 $$

$$ 7+x \lt 10 $$

$$ x \lt 3 $$

Т.к. речь идёт о стороне прямоугольника, которая не может быть равной 0 или отрицательной, получаем: $0 \lt x \lt 3$ (см)

Ответ: $0 \lt x \lt 3$ см

Пример 3. Турист отправился на моторной лодке по течению реки и должен вернуться обратно не позже, чем через 5 часов. На какое расстояние может отъехать турист, если скорость течения 3 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч.

Заполним таблицу:

v, км/ч

t, ч

s, км

По течению

18

$\frac{s}{18}$

s

Против течения

12

$\frac{s}{12}$

s

По условию:

$$\frac{s}{18} + \frac{s}{12} \le 5 | \times 36 $$

$$ 2s+3s \le 180 $$

$$ 5s \le 180 $$

$$ s \le 36 $$

Турист не должен отъезжать дальше, чем на 36 км.

Ответ: не более 36 км.

Решение неравенств | Определение, примеры, правила, графики и написание

Что такое неравенство?

В математике неравенство определяется как отношение между любыми двумя числами или алгебраическими выражениями, которые не равны. Неравенства можно рассматривать либо как математический вопрос, которым можно манипулировать, чтобы найти значение некоторых переменных, либо как констатацию факта в форме теорем.

Мы используем различные математические термины и символы для сравнения, чтобы показать неравенство. В таблице ниже показаны четыре математических символа, которые мы используем при сравнении и отображении неравенства чисел или математических выражений.

	INEQUALITY SYMBOL
less than
greater than
less than or equal to
greater than or equal to

Каковы правила неравенства?

Есть определенные правила, которым мы должны следовать при решении неравенств. В этом разделе мы постараемся понять все правила неравенства.

Law of Trichotomy

The law of trichotomy for real lines states that for any real numbers a and b , only one of

𝑎 < 𝑏 , 𝑎 = 𝑏 и 𝑎 > 𝑏 верно.

Допустим, у нас есть утверждения, 7 < 9, 7 = 9, 7 > 9, только одно из них верно.

Поскольку мы знаем, что 9 больше 7, мы можем сказать, что единственно верное утверждение 7 < 9.

Обратное свойство

Обратное свойство неравенства утверждает, что < и >, ≤ и ≥ являются обратными друг другу соответственно.

This means, for any real numbers a and b , 𝑎 < 𝑏 and 𝑏 > 𝑎 and 𝑎 ≤ 𝑏 и 𝑏 ≥ 𝑎 эквивалентны, или мы можем просто сказать, что:

𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑏 > 𝑎

𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑏 ≥ 𝑎

For example , имеем 6 < 7.

По обратному свойству неравенства 6 < 7 равно 7 > 6.

Транзитивное свойство

0005

• Если 𝑎 < 𝑏 и 𝑏 < 𝑐 , затем 𝑎 < 𝑐 .
• IF 𝑎 > 𝑏 и 𝑏 > 𝑐 , затем 𝑎 > 𝑐 .

Предположим, что 14 > 12 и 12 > 6. 

По транзитивному свойству неравенства 14 > 6. 

Свойство сложения

Дополнительное свойство неравенства, если к обеим частям неравенства добавить общий постоянный член c , то для любого действительного числа a , b и c :

• если 903 9013 904 𝑎 < 𝑏 , затем 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 0. 4 0,4
• если 𝑎 ≤ 𝑏 , то 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 .

Например,

Если в неравенстве 10 > 5 прибавить 15, используя свойство сложения неравенства, то получится:

10 > 5

10 + 15 > 5 + 15

Правило остается в силе для > и ≥ .

Свойство вычитания

Свойство вычитания неравенства утверждает, что если общий постоянный член c is subtracted to both sides of an inequality, then, for any real number a , b , and c : 

• if 𝑎 < 𝑏 , then 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐
• if 𝑎 ≤ 𝑏 , then 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 – 𝑐

Предположим, что у нас есть неравенство 20 < 14, и мы должны вычесть 7.  

По свойству вычитания неравенства,

20 < 14

20 – 7 < 14 – 7

Правило остается в силе для > и ≥ .

Свойство умножения

Для любых вещественных чисел a , b , и c≠0,

• если 𝑎 < 𝑏 and 𝑐 > 0 , then 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
• if 𝑎 < 𝑏 and 𝑐 < 0 , then 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
• if 𝑎 ≤ 𝑏 and 𝑐 > 0 , then 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
• If 𝑎 ≤ 𝑏 и 𝑐 < 0 , тогда 𝑎𝑐 ≥ 𝑏0𝑐 .

Например, нас просят умножить 𝑐 = 8 на неравенство 2 < 4

По свойству умножения неравенства, например, когда 5 < 7 и 𝑐 = −2. Если умножить -2 на неравенство 5 < 7, то получится:

5 < 7

5 x -2 < 7 x -2

-10 > -14

Всегда помните, что символ неравенства необходимо переворачивать каждый раз, когда мы умножаем неравенство на отрицательное число.

Свойство деления

Для любых действительных чисел a , b , и c≠0, 

• , если 𝑎 < 𝑎$ и 𝑏 и 𝑐1, то {fraca{0} > 4 0 , {0} <$\frac{b}{c}$
• , если 𝑎 < 𝑏 и 𝑐 < 0 , то $\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$

Например,

Если разделить c = 2 в равенстве 20 < 30. Тогда по свойству деления неравенства

$\frac{20}{2}$ < $\frac{30} {2} $

10 <15

Аддитивное обратное свойство

Аддитивное обратное свойство неравенства утверждает, что для каких -либо реальных чисел A и B ,

, если 𝑎 < 𝑏 , тогда < 𝑏 , тогда < 𝑏 , тогда − 𝑎 > − 𝑏 .

если 𝑎 ≤ 𝑏 , то − 𝑎 ≥ − 𝑏 .

Мультипликативное обратное свойство

Мультипликативное обратное свойство неравенства утверждает, что если для любых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными или оба отрицательными, 

• , если a$\frac{1}{b}$.
• если a>b, то $\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$.

Как записать неравенства в интервальной записи?

При записи решения неравенства в интервальной записи необходимо учитывать следующие соображения.

1. Если интервалы решения неравенства используют < или >, используйте открывающую скобку ‘(‘ или ‘)’.
2. Если интервалы решения неравенства используют ≤ или ≥, используйте закрытые скобки ‘[‘ или ‘]’.
3. Всегда используйте открывающую скобку для обозначения или -.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже.

Неравенство	Интервал.	(-∞, 5]
x ≥ 5	[5, ∞)
1	(1, 5]
(1, 5]

. линия?

При графическом отображении неравенств в числовой прямой нам нужно смотреть на используемый символ неравенства, так как это даст нам подсказку, куда ведет числовая прямая.

Символ неравенства	Как график	Иллюстрация
>	с графиком, что открыто, а не знаком — по сравнению с GRATE ANTENTATIO стрелка к положительной бесконечности.
<	Чтобы начертить неравенство, содержащее меньше символа, используйте открытый кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону отрицательной бесконечности.
≥	Чтобы начертить неравенство с большим или равным, используйте замкнутый кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону положительной бесконечности.
≤	Чтобы на графике было меньше или равно неравенству, используйте тесный кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону отрицательной бесконечности.

Как решать неравенства?

Чтобы найти решение любого неравенства, вы можете выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение переменной(ых), используя правила неравенства.
2. Представление всех значений в числовой строке.
3. Представление включенных и исключенных значений с помощью закрытых и незакрашенных кружков соответственно.
4. Определите интервалы.
5. Перепроверьте интервал, выбрав случайное число из интервала/сек и подставив его в неравенство.

Example #1

Determine the solutions of the inequality x + 5 < 13.

Solution

Step-by-step process	Explanation
x + 5 < 13	Запишите неравенство и соблюдайте возможные правила, которые нам нужно выполнить, чтобы найти значение х .
x + 5 – 5 < 13 – 5	Чтобы получить значение x , нам нужно удалить 5 из левой части. Следовательно, вычтем 5 из обеих частей неравенства.
x < 8	Упрощение.
Следовательно, решение неравенства x + 5 < 13 равно x < 8.

Пример #2

Find the solution of the inequality 6x – 7 > 3x + 2.  

Solution

Step-by-step process	Explanation
6x – 7 > 3x + 2	Запишите неравенство и соблюдайте возможные правила, которые нам нужно выполнить, чтобы найти значение x .
6x – 3x – 7 > 3x – 3x + 2	Поместите все x в левую часть неравенства, вычитая 3x с обеих сторон неравенства.
3x – 7 > 2	Упрощение.
3x – 7 + 7 > 2 + 7	Удалить все константы в левой части, используя свойство сложения неравенства.
3x > 9	Упрощение.
$\frac{3x}{3}$ >  $\frac{9}{3}$	Найдите значение x , разделив 3 на обе части неравенства.
x > 3	Упростить.
Следовательно, решение неравенства 6x – 7 > 3x + 2 равно x > 3.

Как решать линейные неравенства?

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение, за исключением того, что знак неравенства заменяет знак равенства. Следовательно, решение линейных неравенств почти не отличается от решения линейных уравнений.

Решение одношагового линейного неравенства

Предположим, у нас есть неравенство 6x > 24. Для нас нужно найти решение этого неравенства, используя только одношаговое. Следовательно, нам нужно разделить обе части неравенства на 6. Таким образом, мы будем иметь x > 6. Следовательно, решение неравенства x > 6 или в интервальной записи решение представлено (6, ).

Пример

Используя интервальную запись, каково решение неравенства 5x ≤ 70?

Решение

Пошаговый процесс	Объяснение
5x ≤	5x ≤	5x ≤		5x ≤	5x ≤	. чтобы найти значение x .
$\frac{1}{5}$ ∙ 5x ≤ 70 ∙ $\frac{1}{5}$	Умножьте обе части неравенства на $\frac{1}{5 }$.
x ≤ 1 4	Упростить.
Используя интервальную запись, решение неравенства можно представить в виде (-∞, 14]. Чтобы получить решение этого неравенства, нам нужно решить его, используя всего два шага.Первый шаг, который нам нужно сделать, это добавить 11 к обеим частям неравенства. Следовательно, мы будем иметь 8x < 16. Тогда давайте разделите 8 на обе части неравенства, что приведет к x < 2. Используя интервальную запись, мы можем записать решение 8x – 11 < 5 как (-, 2).  Пример Каково решение неравенства 4x – 17 ≥ 23? Решение Пошаговый процесс Объяснение 4x-17 ≥ 23 4X-17 ≥ 23 4X-17 ≥ 23 4X-17 ≥ 23 . сделать, чтобы найти значение x . 4x – 17 + 17 ≥ 23 + 17 Добавьте 17 слева и справа. 4x ≥ 40 Упрощение. $\frac{1}{4}$ ∙ 4x ≥ 40 ∙ $\frac{1}{4}$ Умножьте обе части на $\frac{1}{4}$. x ≥ 10 Упрощение. Используя интервальную запись, решение неравенства можно представить в виде [ 10, ∞). Решение составных неравенств Составное неравенство представляет собой группу из двух или более неравенств с « и » или « или ». Решение составного неравенства, решение обеих частей должно быть верным. Следовательно, чтобы решить неравенства, имеющие этот случай, все, что нам нужно сделать, это поработать над ним самостоятельно, а затем найти окончательное решение по следующим правилам: пересечение решений двух неравенств. Если в неравенстве есть «или» между ними, то окончательным решением является объединение решений двух неравенств. Пример № 1 Решение решения неравенства соединения 3x + 7> 28 и 5x ≤ 80. Раствор #0014 Каково решение составного неравенства 4x + 9 ≤ 29 или 9x + 27 > 108? Решение Пошаговый процесс . 3x + 7 > 28 Работа над первым заданным неравенством. 3x + 7 – 7 > 28 – 7 Из обеих частей неравенства вычесть 7. 3x > 21 Упростить. $\frac{1}{3}$ ∙ 3x > 21 ∙ $\frac{1}{3}$ Умножьте $\frac{1}{3}$ на обе части неравенства . x > 7 Упрощение. 5x ≤ 80 Работа над вторым неравенством. $\frac{1}{5}$ ∙ 5x ≤ 80 ∙ $\frac{1}{5}$ Умножить $\frac{1}{5}$ на обе части неравенство. x ≤ 16 Упростить. х > 7 : (7, ∞) х ≤ 16 : (-∞, 16] Представим решения двух неравенств, используя интервальную запись. составного неравенства.  Следовательно, решением данного составного неравенства является 7 < x ≤ 16 или (7, 16] в интервальной записи. Пошаговый процесс Объяснение 4X + 29 4X + 4X + 29 . 4x + 9 – 9 ≤ 29 – 9 Вычтите 9 из обеих частей неравенства. 4x ≤ 20 Упрощение. $\frac{1}{4}$ ∙ 4x ≤ 20 ∙ $\frac{1}{4}$ Умножьте обе части на $\frac{1}{4}$. x ≤ 5 Упростить. 9x + 27 > 108 Работа над вторым неравенством. 9x + 27 – 27 > 108 – 27 Вычесть 27 с обеих сторон. 9x > 81 Упрощение. $\frac{1}{9}$ ∙ 9x > 81 ∙ $\frac{1}{9}$ Умножьте обе части на $\frac{1}{9}$. x > 9 Упростить. x ≤ 5 : (-∞, 5]x > 9 : (9, ∞) Представьте решения двух неравенств, используя интервальную запись. > 9: (-∞, 5] ∪ (9, ∞) Получите объединение решений составного неравенства. x > 9 или (-∞, 5] ∪ (9, ∞) , используя интервальную запись. Как решать квадратные неравенства? , Чтобы решить квадратные неравенства, мы должны сделать следующее:  Перепишите неравенство в виде уравнения. Определите значения x . Представьте решения, используя интервал. Проверьте, верно ли неравенство для интервала, взяв любое число из каждого интервала. Если решение неравенства на каждом интервале верно, то это решение квадратного неравенства. Пример Каково решение квадратного неравенства х 2 – х – 12 ≤ 0?   Решение Шаг 1 : Перепишите неравенство в виде квадратного уравнения. Следовательно, x 2 – x – 12 = 0. Шаг 2 : Используя правила нахождения решений квадратного уравнения, мы можем составить квадратное уравнение в виде (x + 3)(x – 4) = 0. Шаг 3: Значения x равны x = -3 и x = 4. Шаг 4 : Составьте таблицу, которая будет представлять решения x , используя интервальную нотацию, и проверьте, сделает ли это случайное число истинным. INTERVAL NOTATION RANDOM NUMBER SUBSTITUTE X TO THE INEQUALITY  x 2 – x – 12  ≤ 0 (-∞, -3] x = -4 (-4) 2 – (-4) – 12 ≤ 0 16 + 4 – 12 ≤ 0 20 – 12 ≤ 0 8 ≤ 0; 4] х = 0 0 2 – 0 – 12 ≤ 0 -12 ≤ 0; True [4, ∞) x = 5 5 2 — 5 — 12 ≤ 0 25 — 5 — 12 ≤ 0 20 — 12 ≤ 0 8 ≤ 0; ложь Следовательно, решение квадратного неравенства x 2 – x – 12≤ 0 равно [-3, 4] . Понимание и решение неравенств с одной переменной Рабочие листы по математике для 6-го класса Рабочие листы по неравенствам с одной переменной (временная тематика) Решение текстовых задач на линейные уравнения и линейные неравенства Рабочие листы по математике для 7-го класса Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку! Решение неравенств: обзор Указатель бесплатных уроков | Поиск бесплатных уроков | Распечатать эту страницу | Местные репетиторы Решение Неравенства: обзор (стр. 1 из 3) Разделы: Линейные неравенства, Квадратичные неравенства, Другие неравенства Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейные уравнения, за исключением одной маленькой, но важной детали: вы переворачиваете знак неравенства всякий раз, когда вы умножаете или делите неравенство на минус. Самый легкий способ показать это на нескольких примерах: 1)   Графически, решение: только разница между линейным уравнением « x + 3 = 2″ и это линейное неравенство что у меня знак «меньше» вместо «равно» знак. Метод решения точно такой же: вычесть 3 из любая сторона. Обратите внимание, что решение неравенства «меньше, но не равно» изображается скобками (или открытой точкой) в конечной точке, указывает, что конечная точка не включена в решение. 2) Графически, решение: единственная разница между линейным уравнением «2 − x = 0 дюймов и это линейное неравенство является знаком «больше чем» вместо знака «равно». Обратите внимание, что « х » в решении не «должен» быть слева. Однако часто легче представить, что означает решение. с переменной слева. Не бойтесь переставлять вещи на ваш вкус. 3)   Графически, решение: только разница между линейным уравнением «4 x + 6 = 3 x — 5» и это неравенство является «меньше или равно» знак вместо простого знака «равно». Решение метод точно такой же. Обратите внимание, что решение неравенства «меньше или равно» на графике с квадратной скобкой (или закрытой точкой) в конечная точка, указывающая, что конечная точка включена в решение. 4)   Графически, решение: метод решения здесь состоит в том, чтобы разделить обе части на положительные два. Авторские права © Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены 5)   Графически, решение: Это является частным случаем, отмеченным выше. Когда я разделил на два отрицательных , мне пришлось перевернуть знак неравенства. Правило из примера 5 выше часто кажется учащимся необоснованным при первом знакомстве с ним. Но подумайте о неравенствах с числами вместо переменных. Вы знаете, что число четыре больше числа два: 4 > 2. Умножение через это неравенство на −1, мы получаем −4 < −2, что числовая строка показывает верно: Если бы мы не перевернули неравенство, мы бы получили «−4 > −2», что явно не соответствует действительности. Топ  |  1 | 2 | 3   | Вернуться к индексу  Далее >> Процитировать эту статью как: Стапель, Элизабет. «Решение неравенства: обзор». Пурпурная математика . Доступно с https://www. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт