Примеры решения задач тригонометрических уравнений с ответами
Алгоритм решения тригонометрических уравнений
Теорема
Тригонометрические уравнение – это уравнения, неизвестные в которых являются аргументами тригонометрических функций.
Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решений тригонометрических уравнений
Пример 1
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Ответ
Пример 2
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Разделим уравнение на
Получим:
Отсюда:
Ответ
Пример 3
Задача
Решить уравнение:
Решение
Ответ
Пример 4
Задача
Решить уравнение:
Решение
Ответ
Пример 5
Задача
Решить уравнение:
Решение
Ответ
Пример 6
Задача
Решить уравнение:
Решение
Ответ
Пример 7
Задача
Решить уравнение:
Решение
– решений нет
Ответ
Пример 8
Задача
Решить уравнение:
Решение
Отсюда:
– решений нет
Ответ
Пример 9
Задача
Решить уравнение:
Решение
Ответ
Пример 10
Задача
Решить уравнение:
Решение
– решений нет
Ответ
Средняя оценка 5 / 5.
Количество оценок: 1
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
10577
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Простейшие тригонометрические уравнения: квадрат тригонометрической функции
- Решение простейших тригонометрических уравнений
- Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции
- Различные формы записи решений
- Примеры
п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.
| Уравнение | ОДЗ | Решение |
| $$ sinx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin{gather*} x=(-1)^k arcsin a+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=arcsin a+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin a+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} |
| $$ cosx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin{gather*} x=\pm arccos a+2\pi k \end{gather*} |
| $$ tgx=a $$ | $$ a\in\mathbb{R} $$ | \begin{gather*} x=arctga+\pi k \end{gather*} |
| $$ ctgx=a $$ | $$ a\in\mathbb{R} $$ | \begin{gather*} x=arcctga+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=arctg\frac1a+\pi k \end{gather*} |
Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:
| a=0 | a=-1 | a=1 | |
| $$ sinx=a $$ | $$ x=\pi k $$ | $$ -\frac\pi2+2\pi k $$ | $$ \frac\pi2+2\pi k $$ |
| $$ cosx=a $$ | $$ x=\frac\pi2+\pi k $$ | \begin{gather*} \pi+2\pi k \end{gather*} | \begin{gather*} 2\pi k \end{gather*} |
Например:
\begin{gather*} sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=(-1)^k arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k=(-1)^k\frac\pi4+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. 2\frac{x}{2}-2,5tg\frac{x}{2}+1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \left(tg\frac{x}{2}+2\right)\left(tg\frac{x}{2}+\frac12\right)=0\\ \left(tg\frac{x}{2}-2\right)\left(tg\frac{x}{2}-\frac12\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tg\frac{x}{2}=\pm 2\\ tg\frac{x}{2}=\pm\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm arctg2+2\pi k\\ x=\pm 2arctg\frac12+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.Внимание! п.4. ПримерыПример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Рейтинг пользователейза неделю
Помогай другим Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю См. 5. Тригонометрические уравненияМ. Борна Тригонометрические уравнения можно решить с помощью алгебраические методы и тригонометрические тождества и значения обсуждались в предыдущих разделах. Вы можете вернуться и взглянуть на тригонометрические функции любого угла, где мы видим предысторию следующих решений. Безболезненный способ решить их — использовать график. Там, где график пересекает ось x , вы найдете свои решения ( x — значения, которые «работают»). Графики также помогают понять, почему иногда есть один ответ, а иногда много ответов. Я использую Scientific Notebook или аналогичное математическое программное обеспечение для построения графиков функций. С помощью этого графического онлайн-калькулятора можно решить следующие уравнения (или проверить свои решения). Пример 1Решите уравнение 2, потому что θ − 1 = 0 для 0 ≤ θ < 2 π . Ответить Преобразовав приведенное выше уравнение, мы получим:
Нам известно следующее: С
и `cos θ` положительный в первом и четвертом квадрантах, мы имеем:
или
Итак, `theta=pi/3` или `theta=(5pi)/3` Пример 2Совет по ревизии Заблудились в этом разделе? См. Графически решить уравнение 2 cos 2 x − sin x − 1 = 0 такое, что 0 ≤ θ < 2 π . Ответить Используя программное обеспечение для построения графиков, мы рисуем кривую y = 2 cos 2 x − sin x − 1 в области 0 ≤ θ < 2π. Везде, где кривая режет 9Ось 0021 x будет решением нашего уравнения. Из графика видно, что решения примерно равны: х = 0,5 Для более точного решения просто увеличим масштаб графика. На следующем графике я увеличил масштаб до второго корня (тот, что около x = 2,6). Мы видим, что этот корень равен x = 2,618 с точностью до 3 знаков после запятой. Мы можем продолжать увеличивать масштаб настолько, насколько нам нравится, чтобы получить требуемую точность. Решение уравнений, кратныхθПример 3Решить уравнение sin 2 θ = 0,8 для 0 ≤ θ < 2π. Ответить Если бы проблема касалась только θ , мы ожидали бы 2 решения; один в первом квадранте и один во втором квадранте. Но здесь наша задача включает `2θ`, так что мы должны двойной домен (значения θ ) для учета всех возможные решения. Действуем следующим образом: Решаем
Опорный угол
Таким образом, значения для 2 θ будут находиться в квадрантах I, II, V, VI.
То есть
Но нам нужны значения для θ , а не 2 θ , значит делим на 2:
Верны ли наши ответы? В качестве обычно, проверим, построив график исходного выражения: Из графика видно, что
наши 4 значения разумны, так как это единственные 4 значения
которые удовлетворяют `sin 2θ = 0,8`. для 0 ≤ θ < 2π. Ответить Решение для cos θ дает нам:
Если `cos alpha=1/4`, то ссылка угол равен α = 1,3181. Таким образом, для `cos theta=1/4` мы имеем θ в первом и четвертом квадрантах. Итак,
Для `cos theta=-1/4` мы имеем θ во 2-м и 3-м квадрантах. Так 92θ — sin θ — 1 = 0` `(2 sin θ − 1)(3 sin θ + 1) = 0` Так что либо
ИЛИ
Проверка нашего решения на график: Итак, `θ = 0,52360, 2,6180, 3, 4814, 5, 9433` Пример 6Решить уравнение
для 0 ≤ θ < 2 π . Ответить Ранее мы узнали, что `cos(x/2)=+-sqrt((1+cos x)/2)`, поэтому имеем:
Возведение обеих сторон в квадрат дает: 92 \ х + 3 \ потому что х + 1 = 0` `(2\cos\s x + 1)(cos x + 1) = 0` Решая, получаем
Теперь `cos x=-1/2` дает `x=(2pi)/3,(4pi)/3`. Однако при проверке исходного уравнения , отмечаем, что
но
Таким образом, единственное решение для этой части — «x=(2pi)/3». Кроме того, `cos x=-1` дает `x = pi`. Таким образом, решения уравнения `x=(2pi)/3or pi` Проверка графика `y=cos x/2-1-cos x` подтверждает эти результаты: 2π/3 ≈ 2,0944 и π ≈ 3,14). Пример 7Решить уравнение
для 0 ≤ θ < 2π. Ответить `cot 2theta= 1/(tan 2 theta)`, поэтому имеем: 92 2θ = 1`
Поскольку `0 ≤ θ < 2π`, нам нужно рассмотреть значения `2theta` такие, что `0 ≤ 2θ < 4π`. Следовательно, решение приведенное выше уравнение, мы имеем:
Деление на 2 дает нам полный набор решений в требуемой области, `0 <= theta <2pi`:
Упражнения
1. Решить тригонометрическое уравнение аналитически 92x)=0`Умножение на `cos x`:
Разделив обе стороны на 2:
Распознавание LHS как «sin 2x», ранее:
В 0 ≤ x < 2π нам нужно найти значения 2 x такие, что 0 ≤ 2 x < 4π. (Вдвое больше исходного домена.) Таким образом, значения для `2x`:
Деление на 2 дает требуемые значения для `x`:
или в десятичной форме:
2. Решить тригонометрическое уравнение аналитически для 0 ≤ x < 2 π :
Ответить Мы признаем, что левая сторона находится в форма:
, где `a = 2x` и `b =x`. Так
Теперь мы знаем решения `sin x = 0` быть:
[Почему?] Нужна миллиметровка?Значок миллиметровкиСкачать миллиметровку 3. Решить данное тригонометрическое уравнение аналитически и графическим методом (для 0 ≤ x < 2 π ):
Ответить sin 4 x − cos 2 x = 0 2sin 2 x cos 2 x — cos 2 х = 0 Разложение на множители дает: cos 2 x (2 sin 2 x − 1) = 0 ЛИБО
ИЛИ
Или в десятичной форме: `x= 0,26, 0,79, ` 1,31, 2,36, ` 3,40, 3,93,
` `4,45, 5,50. График `y = sin 4x− cos 2x` выглядит следующим образом. Мы можем видеть, где график пересекает ось x , что наши ответы разумны. Решение тригонометрических уравнений — тригонометрияВсе ресурсы по тригонометрии6 диагностических тестов 155 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept ← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 Далее → Справка по тригонометрии » Тригонометрические уравнения » Решение тригонометрических уравнений Решите следующее тригонометрическое уравнение: for Возможные ответы: 3 Уравнение не имеет решения.Правильный ответ: Пояснение: Поскольку можно записать как: . Следовательно . Это означает, что где k — целое число. с . Имеем x=0 — единственное число, удовлетворяющее этому свойству. Сообщить об ошибке Решить каждое уравнение в домене (ответ в градусах). Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Переставить задачу, В интервале от 0 до 360 градусов cosx = 1/2 при 60 градусах и 300 градусах. Сообщить об ошибке Решить уравнение на интервале Объяснение: Во-первых, найдите уравнение в терминах одной триггерной функции. Мы можем сделать это, заменив на Пифагорейское тождество . Тогда у нас есть . Сложите все термины в одну сторону, чтобы найти . Мы можем разложить этот квадрат на . Это означает, что . Единственным значением угла, для которого это верно, является . Отчет о ошибке Решайте, дает ваш ответ в качестве положительного угла меры: Возможные ответы: Нет решения . Правильный ответ: 7. Правильный ответ: 7. Пояснение: Сначала перепишем уравнение так, чтобы оно было равно нулю: Теперь мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти x. В этом случае коэффициенты a, b и c равны a=1, b=2 и c=-3: упростить Это дает два возможных ответа: и Синус должен быть между -1 и 1, поэтому нет значений x, которые давали бы синус -3. Единственное решение, которое работает. Сообщить об ошибке Найдите: . Дайте ответ в виде положительной угловой меры. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Используйте квадратичную формулу, чтобы найти x. В этом случае коэффициенты a, b и c равны a=4, b=1 и c=-1: упростить квадратный корень из 17 равен примерно 4,123. Это дает два возможных ответа: . Мы можем решить для x, оценив оба и . Первый дает ответ . Добавьте это к 360, чтобы получить положительную меру угла, . Если это имеет синус -0,64, то же самое имеет и его отражение по оси Y, что составляет . Второй дает ответ . Если это имеет синус 0,39, то и его отражение по оси Y равно .
Сообщить об ошибке Решить для : Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Существует несколько путей решения. разделить обе стороны на 2 извлечь квадратный корень из обеих сторон
Единичный круг говорит нам, что потенциальные решения для . Чтобы получить наш окончательный набор решений, разделите каждое на 3, получив: . Сообщить об ошибке Решить: Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: У этой задачи есть несколько путей решения, включая вычитание 5 с обеих сторон и использование квадратичной формулы с . Мы также можем решить с помощью обратных операций: вычесть 2 из обеих сторон разделить обе стороны на 4 взять квадратный корень из обеих сторон Если синус угла равен , этот угол должен быть одним из . Отчет о ошибке Решение для: Возможные ответы: Правильный ответ: . Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить, используйте квадратичную формулу с и где x обычно равен: Это дает нам два возможных ответа: поскольку это число больше 1, оно находится за пределами области определения косинуса и не дает нам никаких решений. Consulting the unit circle, the cosine is when Report an Error Solve for : Possible Answers: No solution Correct answer: Объяснение: Чтобы начать решение, сначала осознайте, что это квадратное число с «x» как: Мы можем решить, используя квадратную формулу: Одно возможное решение: Извлечение квадратного корня дает: , но 2 находится вне диапазона косинуса, так что это не сработает. |
2\frac{3x+\frac\pi3}{2}}=0\Rightarrow tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}=0\Rightarrow\frac{3x+\frac\pi3}{2}=\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x+\frac\pi3=2\pi k=3x=-\frac\pi3+2\pi k\Rightarrow=-\frac\pi9+\frac{2\pi}{3} \end{gather*} При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: \(tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}\rightarrow\infty\) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: \begin{gather*} \frac{3x+\frac\pi3}{2}=\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pi+2\pi k\Rightarrow 3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3} \end{gather*} Таким образом, мы получили два семейства решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \end{gather*} Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения \(k\): \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-20^{\circ}+120^{\circ}k=\left\{.
2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1+cos\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)}{2}=\frac12 \Rightarrow cos\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow -sin2x=0\Rightarrow sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Из чертежа видно, что \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными. 
подробности
справочную информацию в Тригонометрические функции любого угла
92тета=1/16`
Я призываю вас сделать то же самое!
`
Мы не можем иметь.
Единственная угловая мера, синус которой равен 1, это .
Мы могли бы вычесть 1 из обеих частей и использовать квадратичную формулу с и . Или мы могли бы решить, используя обратные операции:
С тех пор, как угол, мы можем получить тета путем вычитания: