Нижняя цена игры верхняя цена игры: Нижняя и верхняя цена игры — Мегаобучалка

Содержание

Нижняя и верхняя цена игры — Мегаобучалка

Определим стратегию игрока , которая обеспечила бы ему наибольший из возможных выигрышей вне зависимости от того как поведет себя игрок В. Выбирая стратегию, мы должны руководствоваться тем, что наш противник действует разумно и на любую нашу стратегию отвечает той стратегией из числа имеющихся у него, которая обеспечивает нам минимальный выигрыш.

То есть, если мы воспользуемся стратегией , то при разумных действиях противника наш выигрыш будет равен . Обозначим, через наибольшее значение из всех : . Величина называется нижней ценой игрыили максиминным выигрышем (максимином). Число лежит в определенной строке матрицы; та стратегия игрока , которая соответствует этой строке, называется максиминной стратегией. Очевидно, если игрок будет придерживаться максиминной стратегии, то ему при любом поведении противника гарантирован выигрыш, во всяком случае, не меньший .

Нижняя цена игры – гарантированный выигрыш игрока при любой стратегии противника

(это тот минимум, который игрок может себе обеспечить, действуя наиболее осторожно).

Очевидно, аналогичные рассуждения можно провести и за противника . Выдвигая стратегию , противник понимает, что мы ответим на эту стратегию той стратегией из всех возможных, которая даст нам максимальный выигрыш равный . Обозначим через наименьшее значение из всех : . Величина называется верхней ценой игры (минимаксом). Соответствующая минимаксному выигрышу стратегия противника называется его минимаксной стратегией. Придерживаясь своей наиболее осторожной минимаксной стратегии, игрок может гарантировать себе проигрыш не более , вне зависимости от того, как поступит игрок .

Верхняя цена игры — гарантированный проигрыш игрока при любой стратегии противника (это тот минимальный проигрыш, который может себе обеспечить игрок , действуя наиболее осторожно).

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий в теории игр в ее приложениях, часто называют принципом минимакса.

Задача № 6.1.

Игроки и одновременно и независимо друг от друга пишут одно из трех чисел: 1, 2 или 3. Если сумма написанных чисел четная, то платит эту сумму в рублях; если она нечетная, то, наоборот, платит эту сумму. Требуется проанализировать игру; составить ее матрицу; найти нижнюю и верхнюю цены игры.

Решение.

Игра состоит из двух ходов (ход игрока и ход игрока ), оба хода личные. У игрока три стратегии: — написать число 1; – написать число 2; – написать число 3. У противника (игрока ) тоже три стратегии. Игра представляет собой игру 3 3 с матрицей, приведенной ниже.

Нижняя цена игры ; верхняя цена игры . Максиминная стратегия игрока это стратегия; применяя ее систематически, игрок может твердо рассчитывать на выигрыш не менее, чем «-3», т.е. его проигрыш не составит более, чем 3 рубля в каждой игре. Аналогично, применяя стратегии

, игрок обеспечит себе этим проигрыш не более, чем в четыре рубля. Если же игрок отступит от своей минимаксной стратегии (например, выберет стратегию ) противник может, выбрав стратегию , свести выигрыш игрока к «-5». Отступление же игрока от своей минимаксной стратегии может свести его проигрыш к 6 рублям.

Задача №6.2.

В распоряжении игрока имеются три вида вооружения: , , . У противника имеется три вида самолетов , , . Задача игрока поразить самолет; задача противника (игрока ) – сохранить его. При применении вооружения самолеты , , поражаются соответственно с вероятностями: 0,9; 0,4; 0,2. При применении вооружения самолеты поражаются с вероятностями: 0,3; 0,6; 0,8, а при применении вооружения

– 0,5; 0,7; 0,2. Сформулировать ситуацию в терминах теории игры. Определить верхнюю и нижнюю цены игры.

Решение.

Ситуация может рассматриваться как игра 3 3 с двумя личными ходами и одним случайным. Личный ход игрока – выбор типа вооружения. Личный ход игрока – выбор вида самолета. Случайный ход — действие вооружения; этот ход может окончиться поражением или не поражением самолета. Выигрыш игрока равен единице, если самолет поражен, и равен нулю в противном случае. Стратегиями игрока являются три варианта вооружения; стратегиями игрока являются три варианта самолетов. Среднее значение выигрыша при каждой заданной паре стратегий есть не что иное, как вероятность поражения данного самолета данным оружием. Ниже приводится матрица игры:


0,9	0,4	0,2	0,2
0,3	0,6	0,8	0,3
0,5	0,7	0,2	0,2
0,9	0,7	0,8	0,7 0,3

Нижняя цена игры =0,3; верхняя цена игры =0,7. Наиболее осторожная (максиминная) стратегия игрока – это стратегия ; пользуясь вооружением , игрок гарантирует себе, что будет поражать самолеты в среднем не менее, чем с частотой 0,3. Наиболее осторожной (минимаксной) стратегией игрока будет стратегия . Выбирая второй вид самолетов, игрок может быть уверен, что он будет поражаться не более чем с частотой 0,7.

Продемонстрируем на данном примере свойство неустойчивости минимаксных стратегий.До тех пор пока оба игрока придерживаются своих наиболее осторожных стратегий, средний выигрыш игрока равен 0,6. Это число больше, чем нижняя цена игры =0,3, но меньше, чем верхняя цена игры =0,7. Теперь допустим, что игроку стало известно, что игрок применяет стратегию , он немедленно применит стратегию , чем сведет выигрыш игрока к 0,3. В свою очередь, на стратегию игрок может ответить стратегией , дающей выигрыш 0,9 и т.д.

Таким образом, положение, при котором оба игрока пользуются своими минимаксными стратегиями, является неустойчивым и может быть нарушено поступившими сведениями о стратегии противоположной стороны.

Однако существуют некоторые игры, для которых минимаксные стратегии являются устойчивыми. Это те игры, для которых нижняя цена игры равна верхней: .

Если нижняя цена игры равна верхней, то их общее значение называется

чистой ценой игры или просто ценой игры.

Задача №6.3

Пусть игра задана платежной матрицей 4 4:


0,4	0,5	0,9	0.3	0,3
0,8	0,4	0,3	0.7	0,3
0,7	0,6	0,8	0.9	0,6
0.7	0.2	0.4	0.6	0.2
0,8	0,6	0,8	0.9	0.6 0.6

Найдем нижнюю цену игры: =0,6. Найдем верхнюю цену игры: =0,6. Они оказались равными. Следовательно, у игры есть чистая цена , равная .

Элемент 0,6, выделенный в платежной матрице, является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. В геометрии точку на поверхности, обладающую аналогичным свойством, называют седловой точкой; по аналогии этот термин применяется и в теории игр. Элемент матрицы, обладающий этим свойством, называется седловой точкой матрицы, а про игру говорят, что она имеет седловую точку.

Седловая точка – платеж, который одновременно является наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Стратегии, соответствующие седловой точке, называют оптимальными стратегиями (в данном примере , ), а их совокупность называют решением игры.

Решение игры обладает замечательным свойством. Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а другой игрок будет любым способом отклоняться от своей оптимальной стратегии, то для игрока допустившего отклонение, это никогда не может оказаться выгодным: в лучшем случае выигрыш его останется неизменным, в худшем случае его выигрыш уменьшится (проигрыш увеличится).

Это утверждение легко проверить на примере рассматриваемой игры с седловой точкой. Мы видим, что в случае игры с седловой точкой минимаксные стратегии обладают своеобразной «устойчивостью»: если одна сторона придерживается своей минимаксной стратегии, то для другой невыгодно отклоняться от своей минимаксной стратегии. В данном случае, даже если у игроков имеются сведения о том, что противник избрал свою оптимальную стратегию, это не изменит поведения игроков. Пара оптимальных стратегий в игре с седловой точкой является как бы «положением равновесия»: любое отклонение от оптимальной стратегии приводит отклоняющегося игрока к невыгодным последствиям, вынуждающим его вернуться в исходное положение.

Матричные игры — платежная матрица, стратегии, седловая точка, цена игры

В общем случае матричная игра задается прямоугольной матрицей размерности . Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии , применяемой игроком . Номер столбца соответствует стратегии , применяемой игроком . Описанная игра однозначно определяется матрицей

Каждый элемент матрицы является действительным числом и представляет собой сумму выигрыша, уплачиваемую игроком игроку , если выбирает стратегию, соответствующую -й строке, а выбирает стратегию, соответствующую -му столбцу.

Матричную игру часто записывают в развернутой форме в виде таблицы, называемой платежной матрицей.

Каждый игрок выбирает для себя наиболее выгодную стратегию. При этом первый игрок стремится выбрать такую стратегию, которая доставляет ему максимальный выигрыш, тогда как второй игрок выбирает стратегию, приводящую его к минимальному проигрышу. В этой связи вводят понятия нижней и верхней чистой цены игры.

Нижней чистой ценой игры (максимином) называется число , определяемое по формуле:

Верхней чистой ценой игры (минимаксом) называется число , определяемое по формуле:

Стратегии игроков, соответствующие максимину (минимаксу), называются максиминными (минимаксными).

Различают стратегии чистые и смешанные. Чистая стратегия первого игрока (чистая стратегия второго игрока) – это возможный ход первого (второго) игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1.

В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, то есть .

Если для чистых стратегий , игроков и соответственно имеет место равенство , то пару чистых стратегий называют седловой точкой матричной игры, элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и -го столбца – седловым элементом платежной матрицы, а число – чистой ценой игры.

Условие задачи 1

Игра задана платежной матрицей:

Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой точки.

Решение задачи 1

Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.

Цена игры

Условие задачи 2

Игра задана платежной матрицей:

Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой точки.

Решение задачи 2

Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.

— седловая точка отсутствует

К оглавлению решебника по методам оптимальных решений 〉

Нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях.

ТОП 10:

Игру, определяемую матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности mxn .

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию А_i_, тогда в наихудшем случае он получит выигрыш, равный . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбирать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш :

Величина -гарантированный выигрыш игрока А –нижняя цена игры.

Стратегия_,обеспечивающая получение называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии В_jего проигрыш не превосходит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен . Поэтому игрок В, очевидно, выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш минимизируется:

Величина называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) – минимаксной.

Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры.

Если , то число v называется ценой игры. Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными. Седловая точка соответствует оптимальным стратегиям игроков .

Доказательство теоремы о существовании в любой конечной матричной игре нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.

Так как функция α (P) по лемме H (P,Q): (P,Q)Î x ,

где P= , Q=( ) непрерывна на компакте , то она достигает на этом множестве своего максимума, т.е. существует нижняя цена игры в смешанных стратегиях: =max(PÎ α(P)

Аналогичным образом обосновывается существование верхней цены игры в смешанных стратегиях =min(QÎ β(Q)

27. Понятие стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий. Основная теорема матричных игр Дж.Фон Неймана.
1) Смешанная стратегия игрока — это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

2) Для матричной игры с любой матрицей А величины

равны между собой,

Более того, существует хотя бы одна ситуация в смешанных стратегиях (Р⁰, Q⁰), для которой выполняется соотношение

Иными словами, любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Доказательство критерия оптимальности смешанной стратегии игрока А в терминах задаваемых цены игры в смешанных стратегиях, выигрыш-функции в смешанных стратегиях и множества смешанных стратегий игрока В.

В определении равновесной ситуации в чистых стратегиях ( , учитывая, что( =a , гдеF – функция выигрыша, неравенство можно переписать в виде неравенства

max (1≤i≤m)F( =F( которое соответствует неравенству, а равенство в виде равенства соответствующего равенству. Это означает по данному определению седловой точки функции, что равновесная ситуация в чистых стратегиях ( является седловой точкой функции выигрышаF. Вместе с тем значение F =a , также называют седловой точкой матрицы игры. В общем случае седловые точки произвольных функций двух векторных аргументов также обладают свойствами равнозначности и взаимозаменяемости, доказанными для частного случая седловых точек матриц игры.

29. Доказательство критерия оптимальности смешанной стратегии игрока в терминах задаваемых цены игры в смешанных стратегиях, выигрыш-функции в смешанных стратегиях и множества смешанных стратегий игрока А.

Теорема. Для того, чтобы стратегия Q^o игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство H(P,Q^o)≤V для любого РϵS_B_,т.е. выбор игроком В одной из своих оптимальных стратегий Q^oгарантирует ему проигрыш, не большей цены игры V, при любой стратегии Р игрока А.

Доказательство. Пусть Q^o – оптимальная стратегия игрока В. Тогда по основной теореме матричных игр фон Неймана показатель эффективности β(Q^o) стратегии Q^o равен цене игры V: V= β(Q^o). Рассматривая β(Q^o) как показатель эффективности β(Q^o, S_A) стратегии Q^o относительно множества SA смешанных стратегий игрока А, будем иметь по определению β(Q^o, S_A)=maxH(P,Q^o).

Следовательно, V= β(Q^o)= β(Q^o, S_A)=maxH(P,Q^o), откуда получаем неравенство H(P,Q^o)≤V. Но V= V^¾=min β(Q)≤ β(Q^o). Получаем β(Q^o)=V, которое в силу теоремы фон Неймана означает, что стратегия Q^o являеься оптимальной.

30. Доказательство критерия оптимальности смешанной стратегии игрока в терминах задаваемых цены игры в смешанных стратегиях, выигрыш-функции в смешанных стратегиях и множества чистых стратегий игрока .

Теорема. Пусть V- цена игра, H(P⁰,Q) – функция выигрыша, S^C_B={B₁,…,B_n} – множество чистых стратегий игрока В.

Для того чтобы стратегия Р⁰ игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы Н(Р⁰,B_j)≥V, j=1,…,n.

Доказательство. Достаточно установить эквивалентность неравенств H(P⁰, Q)≥V и Н(Р⁰,B_j)≥V. Докажем эквивалентность. Пусть справедливо неравенство H(P⁰, Q)≥V. Так как это неравенство имеет место для любой стратегии QϵS_B игрока В, то оно, в частности, будет справедливым и для его чистых стратегий B_jϵ S^C_B_,j=1,…,n , т.е. неравенство Н(Р⁰,B_j)≥V имеет место. Таким образом импликация H(P⁰, Q)≥V на Н(Р⁰,B_j)≥V доказана.

Теперь пусть имеет место неравенство Н(Р⁰,B_j)≥V, j=1,…,n. Тогда по формуле с учетом того, что =1, получим, , QϵS_B, т.е. доказано неравенство H(P⁰, Q)≥V. Таким образом, справедлива импликация

Н(Р0,Bj)≥V на H(P⁰, Q)≥V и, следовательно, эквивалентность H(P⁰, Q)≥V и Н(Р⁰,B_j)≥V.

31. Доказательство критерия оптимальности смешанной стратегии игрока в терминах задаваемых цены игры в смешанных стратегиях, выигрыш-функции в смешанных стратегиях и множества чистых стратегий игрока .

Теорема. Пусть V- цена игра, H(P,Q⁰) – функция выигрыша, S^C_A={A₁,…,A_n} – множество чистых стратегий игрока A. Для того чтобы стратегия Q⁰ игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы Н(A_i,Q⁰⁾≤V, i=1,…,n.

Доказательство. Достаточно установить эквивалентность неравенств H(P,Q^o)≤V и Н(A_i,Q⁰⁾≤V. Докажем эквивалентность. Пусть справедливо неравенство H(P,Q^o)≤V. Так как это неравенство имеет место для любой стратегии PϵS_A игрока A, то оно, в частности, будет справедливым и для его чистых стратегий A_iϵ S^C_A_,i=1,…,n , т.е. неравенство H(P,Q^o)≤V имеет место. Таким образом импликация H(P,Q^o)≤V на Н(A_i,Q⁰⁾≤V доказана.

Теперь пусть имеет место неравенство Н(A_i,Q⁰⁾≤V, i=1,…,n. Тогда по формуле с учетом того, что =1, получим, , PϵS_A, т.е. доказано неравенство H(P,Q^o)≤V. Таким образом, справедлива импликация

Н(A_i,Q⁰⁾≤V на H(P,Q^o)≤V и, следовательно, эквивалентность H(P,Q^o)≤V и Н(A_i,Q⁰⁾≤V.

32. Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Следствие. Множество S^O_A оптимальных стратегий игрока А является выпуклым многогранником (политопом), содержащимся в симплексе S_A всех смешанных стратегий игрока А.

Доказательство. Для каждой оптимальной стратегии Р0=(р⁰₁,…,р⁰_m) игрока А справедливо неравенство Н(Р⁰,B_j)≥V, j=1,…,n, которое можно переписать следующим образом: , j=1,…,n. Множество точек Р⁰=(р⁰₁,…,р⁰_m) m-мерного пространства R^m, координаты p⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяет этому неравенству для фиксированного jϵ{1,…,n}, является замкнутым полупростанством, а множество точек Р⁰=(р⁰₁,…,p⁰_m), координаты p⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяют этому неравенству для всех j=1,…,n, является пересечением конечного числа n замкнутых полупростанств и называется выпуклым замкнутым полиэдром. Так как к тому же множество оптимальных оптимальных стратегий игрока А S^O_A ограничено, поскольку оно является подмножеством симплекса всех его смешанных стратегий S_A, то S^O_A является выпуклым многогранником.

33. Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Следствие. Множество S^O_В оптимальных стратегий игрока В является выпуклым многогранником (политопом), содержащимся в симплексе S_В всех смешанных стратегий игрока В.

Доказательство. Для каждой оптимальной стратегии Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m) игрока А справедливо неравенство Н(A_i,Q⁰)≤V, i=1,…,m, которое можно переписать следующим образом: , j=1,…,m. Множество точек Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m) m-мерного пространства R^m, координаты q⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяет этому неравенству для фиксированного jϵ{1,…,n}, является замкнутым полупростанством, а множество точек Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m), координаты q⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяют этому неравенству для всех j=1,…,n, является пересечением конечного числа n замкнутых полупростанств и называется выпуклым замкнутым полиэдром. Так как к тому же множество оптимальных оптимальных стратегий игрока B S^O_B ограничено, поскольку оно является подмножеством симплекса всех его смешанных стратегий S_B, то S^O_B является выпуклым многогранником.

34. Доказательство в терминах множеств смешанных стратегий игроков и критерия того, что число — цена игры в смешанных стратегиях, а и — стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Теорема. Для того чтобы V было ценой игры, а Р⁰ и Q⁰ – оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, другими словами, для того, чтобы {P⁰,Q⁰,V} было решеннием игры, необходимо и достаточно выполнение двойного неравенства H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q) для любых PϵS_A и QϵS_B.

Доказательство. Необходимость. Пусть V – цена игры и P⁰, Q⁰ – оптимальные стратегии. Тогда неравенства H(P,Q^o)≤V и H(P⁰, Q)≥V справедливы и их можно записать в неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q).

Достаточность. Пусть для некоторого числа V и некоторых стратегий Р⁰ игрока А и Q⁰ игрока В выполняется двойное неравенство (P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q). Так как это неравенство верно для любых PϵS_A и QϵS_B, то в частности оно будет справедливо и для Р= P⁰, Q= Q⁰: H(P⁰,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q⁰), т.е. V=H(P⁰,Q⁰).

Тогда получим: H(P,Q⁰)≤ H(P⁰,Q⁰)≤H(P⁰,Q), PϵS_A и QϵS_B. max(PϵS_A)H(P,Q⁰)≤ H(P⁰,Q⁰)≤min(QϵS_B)H(P⁰,Q) или β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰). Отсюда по определению верхней и нижней цен игры получим: V^¾=min(QϵS_B)β(Q)≤ β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰)≤ max(PϵS_A) α(Р)=V_¾_.

Из H(P⁰,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q⁰) и V^¾=min(QϵS_B)β(Q)≤ β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰)≤ max(PϵS_A) α(Р)=V_¾_. следует, что V – цена игры, а также справедливость равенства V= α(Р⁰)= β(Q^o)= H(P⁰,Q⁰), которое по определению оптимальных стратегий, означает, что P⁰,Q⁰ – оптимальные стратегии соответственно игроков А и В.

35. Доказательство в терминах множеств чистых стратегий игроков и критерия того, что число — цена игры в смешанных стратегиях, а и — стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Теорема. Для того, чтобы V была ценой игры, а P⁰,Q⁰ – оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, необходимо и достаточно выполнение двойного неравенства Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j), i=1,…,m, j=1,…,n.

Доказательство. Достаточно доказать эквивалентность неравенств H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q) и Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j).

Пусть справедливо неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q). Так как оно имеет место для любых стратегий PϵS_A и QϵS_B, то, в частности, оно справедливо и для любых чистых стратегий P=A_i, i=1,…,m, и Q=B_j, j=1,…,n, т.е. справедливо двойное неравенство Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j).

Докажем обратное. Пусть имеет равенство Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j). Тогда из него, допустив получим: = =1, получим: , PϵS_A и QϵS_B, т.е. справедливо неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q).

36. Доказательство в терминах седловых точек выигрыш-функции критерия того, что число — цена игры в смешанных стратегиях, а P^O и Q^O — стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков А и B.

Для того чтобы V было ценой игры, а Р° и Q^o — оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, необходимо и достаточно, чтобы (Р°, Q°) была седловой точкой выигрыш-функции Н(Р, Q) и Н(Р°, Q°) = V.

Множество номеров i ∈ {1,2,…,m}, для которых p_i> 0, называется спектром смешанной стратегии Р={р₁,р₂,…, р_m) и обозначается supp Р.

Таким образом,

suppР = {i∈{1,2,…, m):р_i>0}

Чистая стратегия A_i— называется пассивной или активной относительно смешанной оптимальной стратегии Р° = (р₁^O,р₂^O,…, р_m^O)в зависимости от того, i не ∈supp Р° или i∈supp Р°, т.е. в зависимости от того, p_i⁰ = 0 или р_i⁰> 0.

Матричные игры: примеры решения задач

Матричной игрой в математической теории игр называется игра двух лиц с нулевой суммой, в которой в распоряжении каждого из них имеется конечное множество стратегий. Правила матричной игры определяет платёжная матрица, элементы которой — выигрыши первого игрока, которые являются также проигрышами второго игрока.

Матричная игра является антагонистической игрой. Первый игрок получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения второго игрока) выигрыш, равный цене игры, аналогично, второй игрок добивается минимального гарантированного проигрыша.

Под стратегией понимается совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации.

Теперь обо всём по порядку и подробно.

В матричной игре её правила определяет платёжная матрица.

Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока — n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.

В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.

Составим платёжную матрицу:

Если первый игрок выбирает i-ю чистую стратегию, а второй игрок — j-ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит aij единиц, а проигрыш второго игрока — также aij единиц.

Так как aij + (- aij) = 0, то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.

Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает «орёл» или «решка». Если одновременно выпали «орёл» и «орёл» или «решка» или «решка», то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:

Задача теории игр — определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.

Как происходит выбор стратегии в матричной игре?

Вновь посмотрим на платёжную матрицу:

Сначала определим величину выигрыша первого игрока, если он использует i-ю чистую стратегию. Если первый игрок использует i-ю чистую стратегию, то логично предположить, что второй игрок будет использовать такую чистую стратегию, благодаря которой выигрыш первого игрока был бы минимальным. В свою очередь первый игрок будет использовать такую чистую стратегию, которая бы обеспечила ему максимальный выигрыш. Исходя из этих условий выигрыш первого игрока, который обозначим как v1, называется максиминным выигрышем или нижней ценой игры.

При решении задач на цену игры и определение стратегии для этих величин у первого игрока следует поступать следующим образом. Из каждой строки выписать значение минимального элемента и уже из них выбрать максимальный. Таким образом, выигрыш первого игрока будет максимальным из минимальных. Отсюда и название — максиминный выигрыш. Номер строки этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает первый игрок.

Теперь определим величину проигрыша второго игрока, если он использует j-ю стратегию. В этом случае первый игрок использует такую свою чистую стратегию, при которой проигрыш второго игрока был бы максимальным. Второй игрок должен выбрать такую чистую стратегию, при которой его проигрыш был бы минимальным. Проигрыш второго игрока, который обозначим как v2, называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры.

При решении задач на цену игры и определение стратегии для определения этих величин у второго игрока следует поступать следующим образом. Из каждого столбца выписать значение максимального элемента и уже из них выбрать минимальный. Таким образом, проигрыш второго игрока будет минимальным из максимальных. Отсюда и название — минимаксный выигрыш. Номер столбца этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает второй игрок. Если второй игрок использует «минимакс», то независимо от выбора стратегии первым игроком, он проиграет не более v2 единиц.

Пример 1. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы — наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

Наибольший из наименьших элементов строк — 2, это нижняя цена игры, ей соответствует первая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока первая. Наименьший из наибольших элементов столбцов — 5, это верхняя цена игры, ей соответствует второй столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока — вторая.

Теперь, когда мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии, пришло время научиться обозначать эти понятия формально.

Итак, гарантированный выигрыш первого игрока:

Первый игрок должен выбрать чистую стратегию, которая обеспечивала бы ему максимальный из минимальных выигрышей. Этот выигрыш (максимин) обозначается так:

Первый игрок использует такую свою чистую стратегию, чтобы проигрыш второго игрока был максимальным. Этот проигрыш обозначается так:

Второй игрок должен выбрать свою чистую стратегию так, чтобы его проигрыш был минимальным. Этот проигрыш (минимакс) обозначается так:

Ещё пример из этой же серии.

Пример 2. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Наибольший из наименьших элементов строк — 3, это нижняя цена игры, ей соответствует вторая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока вторая. Наименьший из наибольших элементов столбцов — 5, это верхняя цена игры, ей соответствует первый столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока — первая.

Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры.

Таким образом, если , то — оптимальная чистая стратегия первого игрока, а — оптимальная чистая стратегия второго игрока. То есть равные между собой нижняя и верхняя цены игры достигаются на одной и той же паре стратегий.

В этом случае матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Пример 3. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

Нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры. Таким образом, цена игры равна 5. То есть . Цена игры равна значению седловой точки . Максиминная стратегия первого игрока — вторая чистая стратегия, а минимаксная стратегия второго игрока — третья чистая стратегия. Данная матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Решить задачу на матричную игру самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

Правильное решение и ответ.

В большинстве случаев матричная игра не имеет седловой точки, поэтому соответствующая матричная игра не имеет решений в чистых стратегиях.

Но она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для их нахождения нужно принять, что игра повторяется достаточное число раз, чтобы на основании опыта можно было предположить, какая стратегия является более предпочтительной. Поэтому решение связывается с понятием вероятности и среднего (математического ожидания). В окончательном же решении есть и аналог седловой точки (то есть равенства нижней и верхней цены игры), и аналог соответствующих им стратегий.

Итак, чтобы чтобы первый игрок получил максимальный средний выигрыш и чтобы средний проигрыш второго игрока был минимальным, чистые стратегии следует использовать с определённой вероятностью.

Если первый игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией первого игрока. Иначе говоря, это «смесь» чистых стратегий. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

Если второй игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией второго игрока. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

Если первый игрок использует смешанную стратегию p, а второй игрок — смешанную стратегию q, то имеет смысл математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока). Чтобы его найти, нужно перемножить вектор смешанной стратении первого игрока (который будет матрицей из одной строки), платёжную матрицу и вектор смешанной стратегии второго игрока (который будет матрицей из одного столбца):

Пример 5. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Определить математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока), если смешанная стратегия первого игрока , а смешанная стратегия второго игрока .

Решение. Согласно формуле математического ожидания выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока) оно равно произведению вектора смешанной стратегии первого игрока, платёжной матрицы и вектора смешанной стратегии второго игрока:

Оптимальной смешанной стратегией первого игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему максимальный средний выигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

Оптимальной смешанной стратегией второго игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему минимальный средний проигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

По аналогии с обозначениями максимина и минимакса в случах чистых стратегий оптимальные смешанные стратегии обозначаются так (и увязываются с математическим ожиданием, то есть средним, выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока):

В таком случае для функции E существует седловая точка, что означает равенство .

Для того, чтобы найти оптимальные смешанные стратегии и седловую точку, то есть решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно свести матричную игру к задаче линейного программирования, то есть к оптимизационной задаче, и решить соответствующую задачу линейного программирования.

Для того, чтобы решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно составить прямую задачу линейного программирования и двойственную ей задачу. В двойственной задаче расширенная матрица, в которой хранятся коэффициенты при переменных в системе ограничений, свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, транспонируется. При этом минимуму функции цели исходной задачи ставится в соответствие максимум в двойственной задаче.

Функция цели в прямой задаче линейного программирования:

Система ограничений в прямой задаче линейного программирования:

Функция цели в двойственной задаче:

Система ограничений в двойственной задаче:

Оптимальный план прямой задачи линейного программирования обозначим

а оптимальный план двойственной задачи обозначим

Линейные формы для соответствующих оптимальных планов обозначим и ,

а находить их нужно как суммы соответствующих координат оптимальных планов.

В соответствии определениям предыдущего параграфа и координатами оптимальных планов, в силе следующие смешанные стратегии первого и второго игроков:

Математики-теоретики доказали, что цена игры следующим образом выражается через линейные формы оптимальных планов:

то есть является величиной, обратной суммам координат оптимальных планов.

Нам, практикам, остаётся лишь использовать эту формулу для решения матричных игр в смешанных стратегиях. Как и формулы для нахождения оптимальных смешанных стратегий соответственно первого и второго игроков:

в которых вторые сомножители — векторы. Оптимальные смешанные стратегии также, как мы уже определили в предыдущем параграфе, являются векторами. Поэтому, умножив число (цену игры) на вектор (с координатами оптимальных планов) получим также вектор.

Пример 6. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти цену игры V и оптимальные смешанные стратегии и .

Решение. Составляем соответствующую данной матричной игре задачу линейного программирования:

Приводим задачу к канонической форме и решаем задачу и двойственную ей задачу симплекс-методом.

Получаем решение прямой задачи:

Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат:

Получаем решение двойственной задачи:

Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат:

Находим цену игры:

Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока:

Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока:

Пусть дана игра с платёжной матрицей

Если эта матричная игра имеет седловую точку, то она имеет решение в чистых стратегиях, как показано в параграфах 1 и 2.

Если же игра не имеет седловой точки, то она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для этого простейшего случая матричной игры при её решениях путём сведения к задаче линейного программирования были найдены формулы стратегий игроков и цены игры, благодаря которым такая игра решается менее трудоёмким способом.

Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии первого игрока:

Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии второго игрока:

Формула для нахождения цены игры:

Пример 7. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение. Оптимальные смешанные стратегии первого игрока получаем по соответствующей из приведённых формул:

Оптимальные смешанные стратегии второго игрока получаем также по соответствующей формуле:

Цена игры:

Матричная игра, седловая точка, чистые стратегии, смешанные стратегии… А для чего всё это? Рассмотрим на примере, как с помощью матричных игр решаются экономические задачи.

Пример 8. Составить матричную игру для следующей задачи.

Предприятие может выпускать три вида продукции (A1, A2, A3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырёх состояний (B1, B2, B3, B4). Дана матрица, элементы которой aij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса.

	B1	B2	B3	B1
A1	3	3	6	8
A2	9	10	4	2
A3	7	7	5	4

Решение. Задача сводится к матричной игре предприятия A против спроса B.

Прежде чем решать задачу, можно упростить игру, проведя анализ платёжной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие. Вторая стратегия (второй столбец матрицы) является явно невыгодной для игрока B по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока B — уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому второй столбец можно отбросить. Получим следующую матрицу:

Далее составляется и решается задача линейного программирования. Это мы уже умеем.

Поделиться с друзьями
Материалы по векторам и матрицам
Линейное программирование
Верхняя и нижняя цена игры
Верхняя и нижняя цена игры [c.91]
Как находится верхняя и нижняя цена игры для вполне определенной матричной антагонистической игры двух лиц [c.244]

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наибольший а, = 0,4 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший р, = 0,8 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс. [c.151]
При равновесной цене РЕ объем спроса составит X, что значительно превышает фиксированный объем предложения ХЕ-Дефицит приведет к образованию очереди, на место в которой будут претендовать все покупатели, цены спроса которых выше или равны равновесной цене, рР > РЕ- Как видно из нижней части рис. 5.6, товар удастся купить лишь тем из них, кто согласен расплатиться за него помимо денег частью своего свободного времени, Ti >TE. Результаты распределения по очереди приведены в табл. 5.2. Из нее видно, что очередь здесь играет роль дополнительного фильтра для покупателей, чьи индивидуальные цены спроса превышают равновесную цену. Через этот фильтр пройдут лишь те из них, кто согласится пожертвовать сравнительно большой долей своего свободного времени. Сравнив положение покупателей А и В в верхней и нижней частях рис.5.6, можем заметить, что и здесь возможна перепродажа купленного по оче- [c.207]
Еще одно отличие товарной биржи от фондовой заключается в том, что на товарных биржах существуют лимиты. Если стоимость акций Дженерал моторе или 50К может меняться каждый день в зависимости только от настроения и причуд свободного рынка, то на товарные операции ежедневно устанавливаются верхние и нижние границы. Возьмите, например, лимиты на сою на бирже Чикаго борд оф трейд . Они устанавливаются в пределах сорока центов за бушель в обе стороны от средней цены, сложившейся на конец предыдущего дня торгов. Средняя цена есть среднее значение между ценой продажи и ценой покупки. Сорок центов кажутся не очень большой суммой, но сою продают бушелями и каждый контракт — это пять тысяч бушелей. Таким образом, сорок центов выливаются в две тысячи долларов. При неустойчивом рынке не редкость, когда этот лимит исчерпывается за первые несколько минут торгов. У того, кто захочет выйти из игры, может просто не хватить времени. Как и у того, кто захочет вступить в игру. Причем зто может продолжаться несколько дней подряд. А теперь представьте себе, как в такой ситуации чувствует себя тот, у кого на руках сто контрактов, от которых он хотел бы отделаться. [c.85]
Если считать, что между согласием и пониманием существует конфликт, то на основе принципа минимакса для матрицы В находим нижнюю цену игры а = 10, которая гарантирует наличие согласия 10 сотрудников и верхнюю цену игры /3=15, которая показывает, что в худшем случае 15 сотрудников неверно понимают миссию. Матрица Б имеет седловую точку а = /3 = 1 50, а это показывает, что согласие и верное понимание являются для данного опроса оптимальным. [c.154]
На разных этапах жизненного цикла товара управление конкурентоспособностью имеет свою специфику, которая в условиях кризиса носит обостренный (жесткий) характер. На первом этапе — увеличения объема продаж — конкуренция носит ограниченный характер, разница в уровне цен верхнего и нижнего пределов по фирмам-конкурентам сокращается, что создает предпосылки для начала ценового соперничества. Последнее, однако, играет второстепенную роль, оставляя главным фактором конкурентоспособности эксплуатационные качества изделия. На этом этапе производитель имеет возможность и должен вести разработку новых модификаций изделий, дифференцируя потребительский спрос. Это могут быть незначительные усовершенствования с точки зрения удобства пользования изделием, его функционального назначения и т.п. Конверсионная фирма должна стремиться выявить те сегменты рынка, где ее изделия будут выступать в роли специали- [c.316]
Если р = а, т. е. верхняя цена равна нижней цене игры, то соответствующие чистые стратегии называются оптимальными, а про игру говорят, что она имеет седловую точку. Седловая точка является минимальным элементом соответствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца. Эта точка есть точка равновесия игры, определяющая однозначно оптимальные стратегии. Оптимальность здесь означает, что ни один игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник может на это ответить выбором другой стратегии, дающей худший для первого игрока результат. [c.331]
Один из Десяти принципов экономике (гл. 1) утверждает, что рынок обычно являет собой хороший способ организации экономической деятельности. Вот почему экономисты почти всегда выступают против установления верхних и нижних пределов цен. По мнению экономистов, цена отнюдь не является результатом случайного процесса. Они утверждают, что цены — итог принятия компаниями и потребителями миллионов решений, определяющих кривые спроса и предложения. Цены играют важнейшую роль в достижении равновесия спроса и предложения и, следовательно, координации экономической деятельности. Законодательное установление цен игнорирует сигналы, детерминирующие распределение ресурсов общества. [c.143]
До недавнего времени западные биржевики использовали три типа графиков для отслеживания цен столбики, линейные и крестики-нолики. Столбиковый, или штриховой график давно стал самым популярным. Биржевик начинает с того, что выбирает масштаб времени, в котором хочет работать — в зависимости от его выбора штрих может отражать неделю, месяц, час или только несколько минут биржевой игры. Верхняя точка штриха отражает максимальную силу быков за избранный период, нижняя точка — максимальную силу медведей, а штришки слева и справа — цены открытия и закрытия. Линейные графики отражают только цены закрытия, а крестики-нолики также только цены закрытия, но лишь те, что отличаются от предыдущих не менее, чем на предустановленную величину. [c.314]
Общее значение нижней и верхней цены игры а. = р = v называется чистой ценой игры. [c.148]
Вполне определенной игрой или игрой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство [c.92]
Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой. Более типичным является случай, когда нижняя и верхняя цены игры не совпадают (а Ф / ), причем, нетрудно показать, что тогда а [c.93]
Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену и она лежит между нижней и верхней ценами игры [c.95]
Рассмотрим матрицу игры (2.2.1). Соотношениям отыскания нижней а и верхней /3 цены игры можно поставить в соответствие эквивалентные им задачи [c.96]
Нижняя и верхняя цена игры [c.162]
Цена игры заключена между нижней и верхней ценами, т. е. а [c.334]
Ее и верхняя цена игры равна нижней, т. е. [c.239]
Обычные разрывы не дают хороших возможностей для игрока, но если вы вынуждены играть, то играйте против них. Если цены поднялись, продавайте как только рынок перестанет давать новые максимумы и поставьте меры предосторожности над максимумом за прошедшие несколько дней. Закрывайте позицию на понижение и извлекайте прибыль на нижнем краю разрыва. Если цены прыгнули вниз, закупайте как только рынок перестанет давать новые минимумы и поставьте меры предосторожности под минимумом за последние несколько дней. Дайте указание продавать и извлекайте прибыль на верхнем краю разрыва. [c.60]
Если вы намерены покупать при прорыве вверх, поместите свой заказ выше верхней границы треугольника и понижайте его по мере того, как треугольник становится уже. Если вы хотите продавать при прорыве вниз, поместите заказ на продажу ниже нижней границы треугольника. По мере того, как треугольник становится уже, повышайте его. Когда вы в игре, поместите предохранительную остановку немного внутри треугольника. Цены могут вернуться к границе, но, при истинном прорыве, они не проникнут глубоко внутрь. [c.68]
В этом разделе верхняя и нижняя цены платежного обязательства вычислены в простейшем примере. Эти числа имеют наглядную интерпретацию как свойства графика функции, определяющей доход от этой ценной бумаги. Вводится и поясняется понятие мартингальных мер, которые играют ключевую роль в исследовании свойств безарбитражности и полноты рынков. [c.25]
Верхняя и нижняя границы торгового канала (см. рисунок 5.13.) называются линиями поддержки (support) и сопротивления (resistan e). Верхние точки (пики) графика лежат на уровне цен, при которых котором давление со стороны продавцов на валютном рынке превосходит давление со стороны покупателей, из-за чего цена не может расти, иначе говоря создается уровень сопротивления росту цен. Точно так же нижние точки графика представляют уровень, на котором давление со стороны продавцов уступает давлению покупателей, и цена не может понизиться, т.е. создается уровень поддержки цены. Чем дольше график цены остается в пределах торгового канала, касаясь его границ, тем более надежными являются эти линии. При этом важную роль играет также торговый объем, особенно когда речь идет о событиях, происходящих вблизи линий поддержки и сопротивления. Если цена отскакивает от этих линий при большом объеме, надежность тренда возрастает. Подлинность прорыва проверяется по правилу изменения цены после прорыва на 3% от предыдущей цены закрытия. [c.64]
На рисунках 3.4—3.7 представлены некоторые наиболее часто встречающиеся типы свечей. На рисунке 3.4 показана длинная черная свеча, которая соответствует медвежьему периоду развития рынка, когда цена открытия близка к максимальной цене, а цена закрытия опускается почти до минимальной цены. Свеча на рисунке 3.5 является полной противоположностью указанной выше и соответствует бычьему периоду развития рынка. Цены колеблются в широком диапазоне рынок открылся вблизи минимальной цены, а закрылся — вблизи максимальной цены торговой сессии. На рисунке 3.6 показаны свечи с малым размером тела, что соответствует упорной схватке между быками и медведями. Такие свечи называют волчками (spinning tops) они, как правило, нейтральны, когда возникают в пределах узкого торгового коридора. Как будет показано далее в разделе о звездах и моделях харами , волчки начинают играть важную роль при образовании определенных графических моделей. Волчки могут быть как черными, так и белыми. На рисунке 3.6 свечи имеют небольшие верхнюю и нижнюю тени, но в данном случае размер теней не играет важной роли. Главной отличительной чертой волчка является маленькое тело. На рисунке 3.7 показаны варианты свечей, у которых вообще нет тела. Оно превратилось в горизонтальную линию. Такие свечи носят название Дожи (doji). [c.20]
Длинноногий дожи играет особо важную роль, если он появляется на вершине. У дожи, показанного на рисунке 8.2, — длинные верхняя и нижняя тени, что явно свидетельствует о периоде нерешительности на рынке. В течение торговой сессии рынок быстро поднимался, а затем резко упал (или наоборот). Затем цена закрытия сравнялась с ценой открытия (или приблизилась к ней вплотную). Если цены открытия и закрытия находятся в центре ценового диапазона сессии, такую свечу называют рикшей . Если свеча не является дожи, но обладает очень длинной верхней и/или нижней тенью и маленьким телом, ее назьюают высокой волной (high-wave). Группа высоких волн является сигналом разворота тенденции. Японские аналитики говорят о свечах с очень длинными тенями, что они сбились с пути . [c.159]
Довольно распространенный способ использования линии тренда линейной регрессии заключается в построении каналов. Канал линейной регрессии — его разработал Гилберт Рафф (Gilbert Raff) — состоит из двух параллельных линий, равноудаленных вверх и вниз от линии тренда линейной регрессии. Расстояние между границами канала и линией регрессии равно величине максимального отклонения цены закрытия от линии регрессии. Все ценовые изменения происходят в границах регрессионного канала, где нижняя граница играет роль линии поддержки, а верхняя — линии сопротивления. Обычно цены выходят за границы канала лишь на короткое время. Если же они остаются за пределами канала дольше обычного, то это предвещает возможность разворота тенденции. [c.110]
Стратегии игроков, определяемые по правилам максими-на и минимакса, будут удовлетворять принципу равновесия, если реализуемая при этом ситуация (а, Ь ) обеспечивает равенство нижней и верхней цены игры, т. е. v(a, Ъ ) = v = v. В этом случае говорят, что игра имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях. От равновесной ситуации невыгодно отклоняться ни одному из игроков, так как она сформирована из стратегий, доставляющих наибольший гарантированный результат каждому из них. Именно равновесная ситуация может рассматриваться в качестве решения игры. [c.242]
Японские подсвечники, в отличие от западных биржевых чартов, очень большое внимание уделяют связи между ценами открытия и закрытия. Подсвечники показывают эту связь совершенно уникальным образом. Расстояние между ценой открытия и закрытия формируют тело подсвечника, причем если рынок закрылся выше по сравнению с открытием, то тело подсвечника оставлено белым, наоборот, при падающем рынке тело подсвечника заполняется черным цветом. Тонкие линии выше и ниже реального тела, подобно биржевому чарту, отражают максимальную и минимальную цены за период. Они известны как тени. Если верхняя тень отсутствует, т. е. максимальная цена равна цене открытия или закрытия, то верхняя часть называется бритым верхом и соответственно для равенства минимальной цены ценам открытия либо закрытия нижняя часть — бритым даем. Подсвечник, где цены открытия и закрытия очень близки или равны, в результате чего он не имеет тела, называется доджи. Он играет очень важную роль в анализе, поскольку практически всегда характеризует нерешительность на рынке и отсутствие преобладающих тенденций. Многие из образцов подсвечни- [c.245]
Некоторые трейдеры используют колебания цен внутри «торгового коридора» для биржевой игры. Они покупают на спадах, когда цены оказываются у нижней границы, и продают на оживлениях при достижении ценами верхней границы «коридора». Благодаря четко определенным границам «коридора», подобная тактика дает трейдеру некоторые преимущества, позволяя получать прибыль в условиях неопределенного рынка. Поскольку при такой игре позиции открываются вблизи известных границ «коридора», рискованность сделок относительно невилика и легко просчитывается. Пока границы «торгового коридора» не нарушены, данный подход (позволяющий получать прибыль без учета тенденции рынка) может оказаться довольно успешным. При прорыве границ «коридора» трейдер не только немедленно закрывает последнюю убыточную позицию, он также может заключить новую сделку в направлении возникшей тенденции. При застое рынка особенно полезна такая разновидность индикаторов, как осциллятор, но после прорыва линии тренда (по причинам, которые мы обсудим ниже, в главе 10) его эффективность несколько снижается. [c.147]
Играя в пределах прямоугольника, покупайте на нижней границе и продавайте на верхней. Осциляторы помогут вам решить, когда цены готовы развернуться в пределах прямоугольника. Стохастика (Sto hasti ), индекс относительной силы (RSI) и %R Вильямса (Wm%R) (см. главу 4), указывают на изменение движения цен в прямоугольнике, когда они доходят до своих ключевых уровней меняют направление движения. [c.65]
Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса — Студопедия
Платежная матрица
Антагонистические матричные игры
Рассмотрим конечную парную игру с нулевой суммой. Обозначим через a выигрыш игрока A, а через b – выигрыш игрока B. Так как a = –b, то при анализе такой игры нет необходимости рассматривать оба этих числа – достаточно рассматривать выигрыш одного из игроков. Пусть это будет, например, A. В дальнейшем для удобства изложения сторону A будем условно именовать «мы«, а сторону B – «противник«.
Пусть у нас имеется m возможных стратегий A₁, A₂, …, A_m, а у противника n возможных стратегий B₁, B₂, …, B_n (такая игра называется игрой m×n). Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: мы выбрали A_i, противник B_j. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий A_i и B_j однозначно определяет исход игры – наш выигрыш (положительный или отрицательный). Обозначим этот выигрыш через a_ij (выигрыш при выборе нами стратегии A_i, а противником – стратегии B_j).
Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий A_i, B_j есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша. Для удобства будем обозначать через a_ij как сам выигрыш (в игре без случайных ходов), так и его математическое ожидание (в игре со случайными ходами).
Предположим, что нам известны значения a_ij при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде матрицы, строки которой соответствуют нашим стратегиями (A_i), а столбцы – стратегиям противника (B_j):

B_j A_i B₁ B₂ … B_n
A₁ a₁₁ a₁₂ … a₁_n
A₂ a₂₁ a₂₂ … a₂_n
… … … … …
A_m a_m₁ a_m₂ … a_mn
Такая матрица называется платежной матрицей игры или просто матрицей игры.
Заметим, что построение платежной матрицы для игр с большим количеством стратегий может представлять непростую задачу. Например, для шахматной игры число возможных стратегий так велико, что построение платежной матрицы является практически неосуществимым. Однако, в принципе любая конечная игра может быть приведена к матричной форме.
Рассмотрим пример 1 антагонистической игры 4×5. В нашем распоряжении есть четыре стратегии, у противника – пять стратегий. Матрица игры следующая:
B_j A_i B₁ B₂ B₃ B₄ B₅
A₁
A₂
A₃
A₄
Какой стратегией нам (т.е. игроку A) воспользоваться? Какую бы мы ни выбрали стратегию, разумный противник ответит на нее той стратегией, для которой наш выигрыш будет минимальным. Например, если мы выберем стратегию A₃ (соблазнившись выигрышем 10), противник в ответ выберет стратегию B₁, и наш выигрыш будет всего лишь 1. Очевидно, исходя из принципа осторожности (а он – основной принцип теории игр), надо выбирать ту стратегию, при которой наш минимальный выигрыш максимален.

Обозначим через α_i минимальное значение выигрыша для стратегии A_i:
и добавим к матрице игры столбец, содержащий эти значения:
B_j A_i B₁ B₂ B₃ B₄ B₅ минимум в строках α_i
A₁
A₂
A₃
A₄ максимин
Выбирая стратегию, мы должны предпочесть ту, для которой значение α_i максимально. Обозначим это максимальное значение через α:
Величина α называется нижней ценой игры или максимином (максимум минимального выигрыша). Стратегия игрока A, соответствующая максимину α, называется максиминной стратегией.
В данном примере максимин α равен 3 (соответствующая клетка в таблице выделена серым цветом), а максиминная стратегия – A₄. Выбрав эту стратегию, можем быть уверены, что при любом поведении противника выиграем не меньше, чем 3 (а может быть и больше при «неразумном» поведении противника»). Эта величина – наш гарантированный минимум, который мы можем себе обеспечить, придерживаясь наиболее осторожной («перестраховочной») стратегии.
Теперь проведем аналогичные рассуждения за противника B. Он заинтересован в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум, то есть отдать нам поменьше, но должен рассчитывать на наше, наихудшее для него, поведение. Например, если он выберет стратегию B₁, то мы ответим ему стратегией A₃, и он отдаст нам 10. Если выберет B₂ – мы ему ответим A₂, и он отдаст 8 и т. д. Очевидно, осторожный противник должен выбрать ту стратегию, при которой наш максимальный выигрыш будет минимален.
Обозначим через β_j максимальные значения в столбцах платежной матрицы (максимальный выигрыш игрока A, или, что то же самое, максимальный проигрыш игрока B) для стратегии A_i:
и добавим к матрице игры строку, содержащую эти значения:
B_j A_i B₁ B₂ B₃ B₄ B₅ минимум в строках α_i
A₁
A₂
A₃
A₄ максимин
максимум в столбцах β_j
минимакс
Выбирая стратегию, противник предпочтет ту, для которой значение β_j минимально. Обозначим его через β:
Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом (минимум максимального выигрыша). Соответствующая минимаксу стратегия противника (игрока B), называется минимаксной стратегией.
Минимакс – это значение выигрыша, больше которого заведомо не отдаст нам разумный противник (иначе говоря, разумный противник проиграет не больше, чем β). В данном примере минимакс β равен 5 (соответствующая клетка в таблице выделена серым цветом) и достигается он при стратегии противника B₃.
Итак, исходя из принципа осторожности ( «всегда рассчитывай на худшее!»), мы должны выбрать стратегию A₄, а противник – стратегию B₃. Принцип осторожности является в теории игр основным и называется принципом минимакса.
Рассмотрим пример 2. Пусть игроки A и В одновременно и независимо друг от друга записывают одно из трех чисел: либо «1», либо «2», либо «3». Если сумма записанных чисел оказывается четной, то игрок B платит игроку A эту сумму. Если сумма нечетная, то эту сумму выплачивает игрок A игроку В.
Запишем платежную матрицу игры, и найдем нижнюю и верхнюю цены игры (номер стратегии соответствует записанному числу):
B_j A_i B₁ B₂ B₃ минимум в строках α_i
A₁ –3 –3 максимин
A₂ –3 –5 –5
A₃ –5 –5
максимум в столбцах β_j
минимакс
Игрок A должен придерживаться максиминной стратегии A₁, чтобы выиграть не меньше –3 (то есть чтобы проиграть не больше 3). Минимаксная стратегия игрока B – любая из стратегий B₁и B₂, гарантирующая, что он отдаст не более 4.
Тот же самый результат мы получим, если будем записывать платежную матрицу с точки зрения игрока В. Фактически, эта матрица получается путем транспонирования матрицы, построенной с точки зрения игрока A, и изменения знаков элементов на противоположный (так как выигрыш игрока A – это проигрыш игрока В):
A_j B_i A₁ A₂ A₃ минимум в строках α_i
B₁ –2 –4 –4 максимин
B₂ –4 –4
B₃ –4 –6 –6
максимум в столбцах β_j
минимакс
Исходя из этой матрицы следует, что игрок B должен придерживаться любой из стратегий B₁и B₂ (и тогда он проиграет не более 4), а игрок A – стратегии A₁ (и тогда он проиграет не более 3). Как видно, результат в точности совпадает с полученным выше, поэтому при анализе не важно, с точки зрения какого игрока мы его проводим.

Нижняя и верхняя цены игры. Седловая точка — Студопедия
Пусть дана игра с помощью матрицы:
(3.1.4)
Антагонистичность матричных игр приводит к определенности, т.е. отсутствию противоречий нормальных игр . Наиболее популярна для каждого из игроков (особенно если розыгрыш производится один раз) является осторожная стратегия.
Определение 6. Нижней ценой игры называется число .
Первый игрок предполагает, что на каждый выбор им строки, второй игрок выберет минимальный элемент в ней, а затем из этих минимальных выбирается наибольший. Соответствующая строка и даст осторожную стратегию. И в результате первый игрок может себе гарантировать выигрыш не меньше .
Определение 7. Верхней ценой игры называется число .
Второй игрок вычисляет в каждом столбце наибольший элемент, а потом из этих чисел выбирает наименьшее. Соответствующий столбец и будет осторожным для второго игрока и при этом гарантирует себе проигрыш не больше .
Пример 3.1.3.Пусть игра дана матрицей:
; ; (3.1.5)
Первый игрок выбирает осторожный ход и гарантирует себе выигрыш 0, а второй осторожный ход – и проигрыш 2. На самом деле, в случае осторожного поведения игроков, первый получит 2.
Нетрудно доказать, что .
Определение 8. Если в некоторой игре , то говорят, что у игры существует седловая точка – это такой элемент , который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце . В этом случае осторожная стратегия для игроков является и оптимальной. При разумном поведении соперника ни первому игроку, ни второму игроку нет смысла отклоняться от ходов, приводящих к седловой точке. Говорят, что в этом случае игра имеет цену . В игре может быть несколько седловых точек.

Пример 3.1.4. Пусть игра дана матрицей:
; ;
В этой игре осторожная стратегия первого игрока — , второго игрока — .

Цены и стоимость видеоигр | ВидеоиграPriceCharts
Игры на покупку / продажу
Купить игры
Продажа игр
Новейшие Объявления
Нинтендо
NTSC (США)
Nintendo NES
Супер Нинтендо
Нинтендо 64
Gamecube
Wii
Wii U
Переключатель
GameBoy
GameBoy Color
GameBoy Advance
Nintendo DS
Nintendo 3DS
Виртуальный мальчик
Игры и часы
PAL (Европа)
PAL NES
PAL Super Nintendo
PAL Nintendo 64
PAL Gamecube
PAL Wii
PAL Wii U
Переключатель PAL
Приятель GameBoy
PAL GameBoy Color
PAL GameBoy Advance
PAL Nintendo DS
PAL Nintendo 3DS
Япония
Famicom
Super Famicom
JP Нинтендо 64
JP Gamecube
JP Wii
JP Wii U
Переключатель JP
JP GameBoy
JP Цвет GameBoy
JP GameBoy Advance
JP Nintendo DS
JP Nintendo 3DS
JP Виртуальный мальчик
Игровая приставка Sony
NTSC (США)
PlayStation 1
PlayStation 2
PlayStation 3
PlayStation 4
PSP
PlayStation Vita
PAL (Европа)
PAL PlayStation 1
PAL PlayStation 2
PAL PlayStation 3
PAL PlayStation 4
PAL PSP
PAL PlayStation Vita
Япония
JP PlayStation 1
JP PlayStation 2
JP PlayStation 3
JP PlayStation 4
JP PSP
JP PlayStation Vita
Sega
NTSC (США)
Мастер-система Sega
Sega Genesis
Sega CD
Sega 32X
Sega Saturn
Sega Dreamcast
Sega Game Gear
Sega Pico
PAL (Европа)
Мастер-система PAL
PAL Mega Drive
PAL Mega CD
Привод PAL Mega 32X
PAL Sega Saturn
Приятель Sega Dreamcast
Игровое снаряжение PAL Sega
PAL Sega Pico
Япония
JP Mega Drive
JP Супер Мега CD
JP Супер 32X
JP Sega Saturn
JP Sega Dreamcast
JP Sega Game Gear
JP Sega Pico
Xbox
NTSC (США)
Xbox
Xbox 360
Xbox One
PAL (Европа)
PAL Xbox
PAL Xbox 360
PAL Xbox One
Atari
Atari 2600
Atari 5200
Atari 7800
Atari 400/800
Atari Lynx
Atari Ягуар
Фигурки
Фигурки amiibo
Фигурки Skylanders
Фигурки бесконечности
Фигурки LEGO Dimensions
Neo Geo
Neo Geo MVS
Neo Geo AES
Neo Geo CD
Карманный цвет Neo Geo
Магнавокс
Одиссея
Одиссея 2
.
Почему игры стоят 60 долларов, куда уходят ваши деньги и кто больше всего выигрывает
GameRant — Политика конфиденциальности
Мы уважаем вашу конфиденциальность и обязуемся защищать вашу конфиденциальность во время работы в сети на нашем сайт. Ниже раскрываются методы сбора и распространения информации для этой сети. сайт.
Последний раз политика конфиденциальности обновлялась 10 мая 2018 г.
Право собственности
GameRant («Веб-сайт») принадлежит и управляется Valnet inc.(«Нас» или «мы»), корпорация зарегистрирован в соответствии с законодательством Канады, с головным офисом по адресу 7405 Transcanada Highway, Люкс 100, Сен-Лоран, Квебек h5T 1Z2.
Собранные персональные данные
Когда вы посещаете наш веб-сайт, мы собираем определенную информацию, относящуюся к вашему устройству, например, ваше IP-адрес, какие страницы вы посещаете на нашем веб-сайте, ссылались ли вы на другие веб-сайт, и в какое время вы заходили на наш веб-сайт.
Мы не собираем никаких других персональных данных.Если вы заходите на наш сайт через учетной записи в социальной сети, пожалуйста, обратитесь к политике конфиденциальности поставщика социальных сетей для получения информации относительно их сбора данных.
Файлы журнала
Как и большинство стандартных серверов веб-сайтов, мы используем файлы журналов. Это включает интернет-протокол (IP) адреса, тип браузера, интернет-провайдер (ISP), страницы перехода / выхода, тип платформы, дата / время и количество кликов для анализа тенденций, администрирования сайта, отслеживания пользователей движение в совокупности и собирать широкую демографическую информацию для совокупного использования.
Файлы cookie
Файл cookie — это фрагмент данных, хранящийся на компьютере пользователя, связанный с информацией о пользователе. Мы и некоторые из наших деловых партнеров (например, рекламодатели) используем файлы cookie на нашем веб-сайте. Эти файлы cookie отслеживают использование сайта в целях безопасности, аналитики и целевой рекламы.
Мы используем следующие типы файлов cookie:
Основные файлы cookie: эти файлы cookie необходимы для работы нашего веб-сайта.
Функциональные cookie-файлы: эти cookie-файлы помогают нам запоминать выбор, который вы сделали на нашем веб-сайте, запоминать ваши предпочтения и персонализировать ваш опыт работы с сайтом.
Аналитические и рабочие файлы cookie: эти файлы cookie помогают нам собирать статистические и аналитические данные об использовании веб-сайта.
Файлы cookie социальных сетей: эти файлы cookie позволяют вам взаимодействовать с контентом на определенных платформах социальных сетей, например, «лайкать» наши статьи. В зависимости от ваших социальных сетей настройки, сеть социальных сетей будет записывать это и может отображать ваше имя или идентификатор в связи с этим действием.
Рекламные и таргетированные рекламные файлы cookie: эти файлы cookie отслеживают ваши привычки просмотра и местоположение, чтобы предоставить вам рекламу в соответствии с вашими интересами. См. Подробности в разделе «Рекламодатели» ниже.
Если вы хотите отключить файлы cookie, вы можете сделать это в настройках вашего браузера. Для получения дополнительной информации о файлах cookie и способах управления ими, см. http://www.allaboutcookies.org/.
Пиксельные теги
Мы используем пиксельные теги, которые представляют собой небольшие графические файлы, которые позволяют нам и нашим доверенным сторонним партнерам отслеживать использование вашего веб-сайта и собирать данные об использовании, включая количество страниц, которые вы посещаете, время, которое вы проводите на каждой странице, то, что вы нажимаете дальше, и другую информацию о посещении вашего веб-сайта.
Рекламодатели
Мы пользуемся услугами сторонних рекламных компаний для показа рекламы, когда вы посещаете наш веб-сайт. Эти компании могут использовать информацию (не включая ваше имя, адрес, адрес электронной почты или номер телефона) о ваших посещениях этого и других веб-сайтов для размещения рекламы товаров и услуг, представляющих для вас интерес. Если вы хотите получить дополнительную информацию об этой практике и узнать, как можно отказаться от использования этой информации этими компаниями, щелкните здесь.
Рекламодатели, как сторонние поставщики, используют файлы cookie для сбора данных об использовании и демографических данных для показа рекламы на нашем сайте. Например, использование Google Файлы cookie DART позволяют показывать рекламу нашим пользователям на основе их посещения наших сайтов и других сайтов в Интернете. Пользователи могут отказаться от использования DART cookie, посетив политику конфиденциальности Google для рекламы и содержательной сети.
Мы проверили все политики наших рекламных партнеров, чтобы убедиться, что они соответствуют всем применимым законам о конфиденциальности данных и рекомендуемым методам защиты данных.
Мы используем следующих рекламодателей:
Ссылки на другие веб-сайты
Этот сайт содержит ссылки на другие сайты. Помните, что мы не несем ответственности за политика конфиденциальности таких других сайтов. Мы призываем наших пользователей знать, когда они покидают нашу сайт, и прочитать заявления о конфиденциальности каждого веб-сайта, который собирает лично идентифицируемая информация. Это заявление о конфиденциальности применяется исключительно к информации, собираемой этим Интернет сайт.
Цель сбора данных
Мы используем информацию, которую собираем, чтобы:
Администрирование нашего веб-сайта, включая устранение неполадок, а также статистический анализ или анализ данных;
Для улучшения нашего Веб-сайта и повышения качества обслуживания пользователей, обеспечивая вам доступ к персонализированному контенту в соответствии с вашими интересами;
Анализируйте использование пользователями и оптимизируйте наши услуги.
Для обеспечения безопасности нашего веб-сайта и защиты от взлома или мошенничества.
Делитесь информацией с нашими партнерами для предоставления таргетированной рекламы и функций социальных сетей.
Данные, передаваемые третьим лицам
Мы не продаем и не сдаем в аренду ваши личные данные третьим лицам. Однако наши партнеры, в том числе рекламные партнеры, может собирать данные об использовании вашего веб-сайта, как описано в настоящем документе. См. Подробности в разделе «Рекламодатели» выше.
Как хранятся ваши данные
Все данные, собранные через наш Веб-сайт, хранятся на серверах, расположенных в США.наш серверы сертифицированы в соответствии с Соглашением о защите конфиденциальности между ЕС и США.
IP-адрес и строковые данные пользовательского агента от всех посетителей хранятся в ротационных файлах журнала на Amazon. сервера на срок до 7 дней. Все наши сотрудники, агенты и партнеры стремятся сохранить ваши данные конфиденциальны.
Мы проверили политику конфиденциальности наших партнеров, чтобы убедиться, что они соответствуют аналогичным политикам. для обеспечения безопасности ваших данных.
Согласие в соответствии с действующим законодательством
Если вы проживаете в Европейской экономической зоне («ЕЭЗ»), окно согласия появится, когда доступ к этому сайту.Если вы нажали «да», ваше согласие будет храниться на наших серверах в течение двенадцать (12) месяцев, и ваши данные будут обработаны в соответствии с настоящей политикой конфиденциальности. После двенадцати месяцев, вас снова попросят дать согласие.
Мы соблюдаем принципы прозрачности и согласия IAB Europe.
Вы можете отозвать согласие в любое время. Отзыв согласия может ограничить вашу возможность доступа к определенным услугам и не позволит нам обеспечить персонализированный опыт работы с сайтом.
Безопасность данных
Наши серверы соответствуют ISO 27018, сводам правил, направленных на защиту личных данных. данные в облаке. Мы соблюдаем все разумные меры предосторожности, чтобы гарантировать, что ваши данные безопасность.
В случае, если нам станет известно о любом нарушении безопасности данных, изменении, несанкционированном доступе или раскрытие каких-либо личных данных, мы примем все разумные меры предосторожности для защиты ваших данных и уведомит вас в соответствии с требованиями всех применимых законов.
Доступ, изменение и удаление ваших данных
Вы имеете право запросить информацию о данных, которые у нас есть для вас, чтобы запросить исправление и / или удаление вашей личной информации. пожалуйста, свяжитесь с нами в [email protected] или по указанному выше почтовому адресу, внимание: Отдел соблюдения требований данных.
Возраст
Этот веб-сайт не предназначен для лиц младше 16 лет. Посещая этот веб-сайт. Вы настоящим гарантируете, что вам исполнилось 16 лет или вы посещаете Веб-сайт под присмотром родителей. надзор.
Заявление об отказе от ответственности
Хотя мы прилагаем все усилия для сохранения конфиденциальности пользователей, нам может потребоваться раскрыть личную информацию, когда требуется по закону, когда мы добросовестно полагаем, что такие действия необходимы для соблюдения действующего судебное разбирательство, постановление суда или судебный процесс, обслуживаемый на любом из наших сайтов.
Уведомление об изменениях
Каждый раз, когда мы изменяем нашу политику конфиденциальности, мы будем публиковать эти изменения на этой странице Политики конфиденциальности и других места, которые мы считаем подходящими, чтобы наши пользователи всегда знали, какую информацию мы собираем, как мы ее используем, и при каких обстоятельствах, если таковые имеются, мы ее раскрываем.
Контактная информация
Если у пользователей есть какие-либо вопросы или предложения относительно нашей политики конфиденциальности, свяжитесь с нами по адресу [email protected] или по почте на указанный выше почтовый адрес, внимание: Департамент соответствия данных.
,
Часто задаваемые вопросы и справка по PriceCharting
Игры на покупку / продажу
Купить игры
Продажа игр
Новейшие Объявления
Нинтендо
NTSC (США)
Nintendo NES
Супер Нинтендо
Нинтендо 64
Gamecube
Wii
Wii U
Переключатель
GameBoy
GameBoy Color
GameBoy Advance
Nintendo DS
Nintendo 3DS
Виртуальный мальчик
Игры и часы
PAL (Европа)
PAL NES
PAL Super Nintendo
PAL Nintendo 64
PAL Gamecube
PAL Wii
PAL Wii U
Переключатель PAL
Приятель GameBoy
PAL GameBoy Color
PAL GameBoy Advance
PAL Nintendo DS
PAL Nintendo 3DS
Япония
Famicom
Super Famicom
JP Нинтендо 64
JP Gamecube
JP Wii
JP Wii U
Переключатель JP
JP GameBoy
JP Цвет GameBoy
JP GameBoy Advance
JP Nintendo DS
JP Nintendo 3DS
JP Виртуальный мальчик
Игровая приставка Sony
NTSC (США)
PlayStation 1
PlayStation 2
PlayStation 3
PlayStation 4
PSP
PlayStation Vita
PAL (Европа)
PAL PlayStation 1
PAL PlayStation 2
PAL PlayStation 3
PAL PlayStation 4
PAL PSP
PAL PlayStation Vita
Япония
JP PlayStation 1
JP PlayStation 2
JP PlayStation 3
JP PlayStation 4
JP PSP
JP PlayStation Vita
Sega
NTSC (США)
Мастер-система Sega
Sega Genesis
Sega CD
Sega 32X
Sega Saturn
Sega Dreamcast
Sega Game Gear
Sega Pico
PAL (Европа)
Мастер-система PAL
PAL Mega Drive
PAL Mega CD
Привод PAL Mega 32X
PAL Sega Saturn
Приятель Sega Dreamcast
Игровое снаряжение PAL Sega
PAL Sega Pico
Япония
JP Mega Drive
JP Супер Мега CD
JP Супер 32X
JP Sega Saturn
JP Sega Dreamcast
JP Sega Game Gear
JP Sega Pico
Xbox
NTSC (США)
Xbox
Xbox 360
Xbox One
PAL (Европа)
PAL Xbox
PAL Xbox 360
PAL Xbox One
Atari
Atari 2600
Atari 5200
Atari 7800
Atari 400/800
Atari Lynx
Atari Ягуар
Фигурки
Фигурки amiibo
Фигурки Skylanders
Фигурки бесконечности
Фигурки LEGO Dimensions
Neo Geo
Neo Geo MVS
Neo Geo AES
Neo Geo CD
Карманный цвет Neo Geo
Магнавокс
Одиссея
Одиссея 2
Одиссея 300
Другое
Atari
Фигуры
Neo Geo
Magnavox
Sega
.
Игры на покупку / продажу
Купить игры
Продажа игр
Новейшие Объявления
Нинтендо
NTSC (США)
Nintendo NES
Супер Нинтендо
Нинтендо 64
Gamecube
Wii
Wii U
Переключатель
GameBoy
GameBoy Color
GameBoy Advance
Nintendo DS
Nintendo 3DS
Виртуальный мальчик
Игры и часы
PAL (Европа)
PAL NES
PAL Super Nintendo
PAL Nintendo 64
PAL Gamecube
PAL Wii
PAL Wii U
Переключатель PAL
Приятель GameBoy
PAL GameBoy Color
PAL GameBoy Advance
PAL Nintendo DS
PAL Nintendo 3DS
Япония
Famicom
Super Famicom
JP Нинтендо 64
JP Gamecube
JP Wii
JP Wii U
Переключатель JP
JP GameBoy
JP Цвет GameBoy
JP GameBoy Advance
JP Nintendo DS
JP Nintendo 3DS
JP Виртуальный мальчик
Игровая приставка Sony
NTSC (США)
PlayStation 1
PlayStation 2
PlayStation 3
PlayStation 4
PSP
PlayStation Vita
PAL (Европа)
PAL PlayStation 1
PAL PlayStation 2
PAL PlayStation 3
PAL PlayStation 4
PAL PSP
PAL PlayStation Vita
Япония
JP PlayStation 1
JP PlayStation 2
JP PlayStation 3
JP PlayStation 4
JP PSP
JP PlayStation Vita
Sega
NTSC (США)
Мастер-система Sega
Sega Genesis
Sega CD
Sega 32X
Sega Saturn
Sega Dreamcast
Sega Game Gear
Sega Pico
PAL (Европа)
Мастер-система PAL
PAL Mega Drive
PAL Mega CD
Привод PAL Mega 32X
PAL Sega Saturn
Приятель Sega Dreamcast
Игровое снаряжение PAL Sega
PAL Sega Pico
Япония
JP Mega Drive
JP Супер Мега CD
JP Супер 32X
JP Sega Saturn
JP Sega Dreamcast
JP Sega Game Gear
JP Sega Pico
Xbox
NTSC (США)
Xbox
Xbox 360
Xbox One
PAL (Европа)
PAL Xbox
PAL Xbox 360
PAL Xbox One
Atari
Atari 2600
Atari 5200
Atari 7800
Atari 400/800
Atari Lynx
Atari Ягуар
Фигурки
Фигурки amiibo
Фигурки Skylanders
Фигурки бесконечности
Фигурки LEGO Dimensions
Neo Geo
Neo Geo MVS
Neo Geo AES
Neo Geo CD
Карманный цвет Neo Geo
Магнавокс
Одиссея
Одиссея 2
Одиссея 300
Другое
Atari
Фигуры
Neo Geo
Magnavox
Sega
.
No related posts.