Вычислите коэффициент при а3 в разложении выражения – Вычислите коэффициент при а^3 в разложении выражения (а+1/a)^9…

Ł Примеры и задачи на бином Ньютона Таблица треугольник Паскаля

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965


СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2^m , т.е.

4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

4. Примеры и задачи на бином Ньютона.

Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7 : 2. Найти тот член этого разложения, который содержит х в первой степени.

Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,

отсюда n = 9.

Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, равен k + 1. Тогда

По условию, показатель степени х должен быть равен 1. Значит, , отсюда k = 3.

Итак, член, содержащий х в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .

Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.

Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго — . По условию . Решая уравнение , получаем n = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:

Чтобы x был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. k = 3. Итак, свободный член равен .

Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.

Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:

Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких n это выражение будет целым.

Чтобы для n получались целые значения, нужно придавать значения

m, кратные пяти, но при этом такие, чтобы число n не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для m будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для n : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен

x (2 — 3 х)⁵ + x ³(1 + 2 x ²)⁷ — х ⁴(3 + 2 х ³)⁹.

Найти коэффициент члена, содержащего х ⁵, если выполнить указанные действия.

Решение. В разложении х (2 — 3 х)⁵ член, содержащий х ⁵, равен xT ₄₊₁, где — пятый член разложения бинома (2 — 3 х)⁵:

В разложении х ³(1 + 2 х ²)⁷ член, содержащий х ⁵, равен x ³T ₁₊₁, где T ₁₊₁ — второй член разложения бинома (1 + 2 х

2)⁷:

Разложение х ⁴(1 + 2 х ³)⁹ не содержит х ⁵.

Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего х ⁵, равен 824.

Задача 5. Многочлен х ⁴ — 3 x ³ + x ² + 1 разложить по убывающим степеням х + 1.

Решение. Заменив х на (х + 1) -1, получим

х ⁴ — 3 x ³ + x ² + 1 = [(х + 1) — 1]⁴ — 3[(х + 1) — 1]³ + [(х + 1) — 1]² + 1.

Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(х + 1) — 1]^k , где k = 2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (х + 1)⁴ — 7(х + 1)³ + 16(х + 1)² — 15(х + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении

?

Решение. Имеем:

Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число

n должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ n ≤ 100 и числа n, кратные шести, будут 0, 6, 12,…, 96. Подсчитаем число m их, получим: 96 = 0 + 6(m — 1), 6(m — 1) = 96, m — 1 = 16, m = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (a + b)ⁿ в ряд для целых значений n было известно грекам лишь для случая n = 2. Обобщение для любого целого n было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений п, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа n.

⇦ Ctrl предыдущая страница / страница 168 из 168 / следующая страница Ctrl ⇨
мобильная версия страницы Смотрите также на этом сайте:
ГАДАНИЯ, СОННИКИ, ЗАГОВОРЫ, НУМЕРОЛОГИЯ, ХИРОМАНТИЯ, ВУДУ, МАЯТНИК, ДЕНЕЖНАЯ МАГИЯ
ВЯЗАНИЕ НА СПИЦАХ, КРЮЧКОМ, ТУНИССКОЕ ВЯЗАНИЕ, МОДЕЛИ ВЯЗАНОЙ ОДЕЖДЫ; ШИТЬЕ; МАШИННОЕ ВЯЗАНИЕ
РАЗНООБРАЗНЫЕ КУЛИНАРНЫЕ РЕЦЕПТЫ; ГОРШОЧКИ, МИКРОВОЛНОВКА; КОНСЕРВИРОВАНИЕ
СПРАВОЧНИКИ ПО ФИЗИКЕ, МАТЕМАТИКЕ, АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ; ПОХУДЕНИЕ, АКУПУНКТУРА; НЕИСПРАВНОСТИ АВТОМОБИЛЯ
МНОЖЕСТВО ИСТОРИЧЕСКИХ ФАКТОВ О СОБЫТИЯХ, ОРУЖИИ И ОБМУНДИРОВАНИИ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ; АРМЕЙСКИЕ БОТИНКИ ВСЕХ ВРЕМЕН
ПОПУЛЯРНЫЕ ПЕСЕННИКИ 1963-1987 гг.; ТОСТЫ, РОЗЫГРЫШИ, КОНКУРСЫ

Пользуйтесь поиском вверху страницы! Все, что будет найдено со значком Ł — относится к данному сайту



cartalana.org

Разложение бинома ньютона онлайн — 3 Августа 2015 — Примеры решений задач

Пример 1. Найти разложение степени бинома (2x–3)⁵?

         Решение. Смотри формулу бинома Ньютона свойства сочетаний

Полагая a=2x, b=–3, получим

Проверить разложение можно с помощью калькулятора:

 

Пример 2. Пятый член разложение  не зависит от

x. Найти n.

         Решение. Пятый член разложения T₅ имеет следующий вид:

.

По условию T₅ не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т.е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

 

Задачи.

         1.34. Имеется 12 различных цветов. Сколькими способами можно составить букет из данных цветов, если в букет должно входить не менее 3 цветов?

         1.35⁰. Напишите разложение степени бинома

         а) (x+1)⁷; б) (x-2)⁵; в) (3x+2y)⁴.

         1.36⁰. Найдите: а) биномиальный коэффициент среднего члена разложение (a+b)²⁰; б) четвертый член разложения (8x–5

y)⁶.

         1.37. Сумма биномиальных коэффициентов разложения  равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

         1.38. Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных коэффициентов разложения  равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

 

 

 

 

www.reshim.su

Биномиальная и полиномиальная формулы | Математика, которая мне нравится

Биномиальная формула (бином Ньютона)

Рассмотрим произведение

   

здесь скобок, после раскрытия которых получается сумма одночленов вида .

Выясним, сколько раз встречается многочлен при данном . Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать скобок, из которых берется , т.е. . Таким образом, после приведения подобных членов получим формулу

   

Пример.

   

Полиномиальная теорема

Теорема.

   

Доказательство.

   

   

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен , нужно выбрать те скобок, из которых берется , те скобок, из которых берется и т.д. и те скобок, из которых берется . Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.

Первый шаг последовательности выборов можно осуществить способами, второй шаг — , третий — и т.д., -й шаг — способами. Искомый коэффициент равен произведению

   

Пример. Раскроем скобки в выражении .

Число можно представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых следующими способами:

   

Заполним следующую табличку. В первом столбце приведены всевозможные разбиения числа на сумму трех слагаемых, второй столбец – коэффициент, который получится при одночлене, третий – вид одночлена (монома), и в скобках указано количество мономов данного вида. Для первого разбиения приведены все мономы данного вида.

   

   

Задачи.

1. Найдите разложение полиномов

1) ,

2) ,

3) .

2. Найдите коэффициент при в разложении полиномов

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Докажите тождества

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

hijos.ru