Объединение множеств – Объединение множеств — это… Что такое Объединение множеств?

Содержание

Объединение множеств — это… Что такое Объединение множеств?

  • ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ — (сумма множеств) понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают АUВ или А+В …   Большой Энциклопедический словарь

  • объединение множеств — (сумма множеств), понятие теории множеств; объединение множеств  множество, состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают А + В. * * * ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ… …   Энциклопедический словарь

  • ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ — (сумма множеств), понятие теории множеств; О. м. множество, состоящее из тех элементов, каждый из к рых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. О. м. А и В обозначают A UB или А + В …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Объединение (теория множеств) — Объединение A и B Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде… …   Википедия

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек …   Большой Энциклопедический словарь

  • множеств теория — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества  простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… …   Энциклопедический словарь

  • множеств теория — математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов …   Словарь терминов логики

  • Объединение — Объединение: В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение  разновидность организации …   Википедия

  • Множеств теория — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • Объединение (значения) — Объединение  многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение  разновидность организаций. Объединение  общее название крупных воинских формирований …   Википедия

  • dic.academic.ru

    объединение множеств — ПриМат

    Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.

    Пусть задано множество $A$. Совокупность множеств $\left \{ A_1,A_2,…,A_n \right \}$ назовем разбиением множества $A$, если выполнены условия:
    1) $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^n A_i$.
    2) Множества $ A_1,A_2,…,A_n$ попарно не пересекаются.
    Множество
    $$
    \Pi=\left\{\left(x_1,…,x_n\right):\; a_i\leq x_i < b_i, \;i=\overline{1,n}\right\}
    $$
    будем называть клеткой в $\mathbb{R}^n$. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
    Множество $A\in\mathbb{R}^n$ называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

    Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

    Спойлер

    Достаточно заметить, что пересечение двух произвольных полуинтервалов является либо таким же полуинтервалом, либо пустым множеством.

    [свернуть]

    Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом

    Спойлер

    Справедливость этого свойства следует из определения клеточного множества.

    [свернуть]

    Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

    Спойлер

    Предположим, у нас есть множества $A$ и $B$. Каждое из этих множеств мы можем разбить на клетки:
    $$
    \Pi_1,…,\Pi_p$$ $$\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}
    $$
    Тогда множество $A\cap B$ можно разбить на клетки вида $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j^\prime,\;i=\overline{1,p},j=\overline{1,q}$, а , следовательно, по свойству 1, оно является клеточным.

    [свернуть]

    Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

    Спойлер

    Если клетка $\Pi$ пересекает клетку $Q$: $R=\Pi\cap Q$, то разность $\Pi \setminus Q$ равна разности $\Pi \setminus R$, и существует разбиение клетки $\Pi$ такое что $R$ является одной из клеток разбиения. А значит, мы можем ее удалить, получив в результате клеточное множество.

    [свернуть]

    Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

    Спойлер

    Пусть имеется клеточное множество $A$. Разобьем его на клетки $\Pi_1,…,\Pi_p$. Докажем сначала, что разность клеточного множества и клетки есть клеточное множество. Пусть $Q$ — произвольная клетка. По свойству 4 множества $K_i=\Pi_i\setminus Q$ — клеточные, и попарно непересекающиеся. Следовательно, совокупность множеств $\left \{ K_1,K_2,…,K_p \right \}$ является разбиением разности множеств $A\setminus Q$. Теперь зададим клеточное множество $B$, и разобьем его на клетки $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$. Тогда множество $A\setminus B$ можно получить последовательным вычитанием клеток $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$ из множества $A$, то есть оно также является клеточным.

    [свернуть]

    Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество

    Спойлер

    Докажем для случая двух множеств. Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества. В силу свойств 3 и 5 $A\setminus B,\; B\setminus A,\; A\cap B$ — непересекающиеся клеточные множества. Тогда по свойству 2 их объединение будет клеточным множеством, которое, в свою очередь совпадает с $A\cup B$

    [свернуть]

    Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов $\left[a_i,\;b_i\right)$.
    Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: $$ m\left(\Pi\right)=\left(b_1-a_1\right)…(b_n-a_n) $$ Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
    Мерой клеточного множества $A$ назовем число:
    $$
    m\left(A\right)=\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right),
    $$
    где $\Pi_1,…,\Pi_p$ — разбиение множества $A$.
    Теперь докажем корректность определения.

    Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

    Спойлер

    Легко показать, что утверждение верно для каждой отдельной клетки(доказывается прямым подсчетом). Пусть существуют два различных разбиения клеточного множества $A:\;\Pi_1,…,\Pi_p$ и $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}$. Обозначим $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j$. Понятно, что $\Pi_i=\bigcup\limits_{j=1}\limits^q\Pi_{ij}^\prime$, а $\Pi_j^\prime=\bigcup\limits_{i=1}\limits^p\Pi_{ij}$. Тогда:
    $$
    \sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right)=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^q\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_j^\prime\right),
    $$
    что и требовалось доказать.

    [свернуть]

    Свойство 1. Если клеточные множества $A_1,…,A_p$ попарно не пересекаются, то
    $$
    m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)=\sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
    $$

    Спойлер

    Справедливость данного свойства очевидна и следует из определения меры клеточного множества.

    [свернуть]

    Свойство 2. Если $A$ и $B$- клеточные множества и $A\subset B$, то
    $$
    m\left(B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\setminus A\right),\; m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
    $$

    Спойлер

    Множества $A$ и $B\setminus A$ не пересекаются, следовательно, по свойству 1, мера множества $B=A\cup \left(B\setminus A\right)$ будет равна сумме их мер.

    [свернуть]

    Свойство 3. Если $A_1,…,A_p$ — клеточные множества, то
    $$
    m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)\leq \sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
    $$

    Спойлер

    Докажем по индукции. Пусть $p=2$. Обозначим $B=A_1\cup A_2$. Тогда, поскольку $A_1\subset B$ и $B\setminus A_1\subset A_2$, выполняется свойство 5:
    $$
    m\left(A_1\cup A_2\right)=m\left(B\right)=m\left(A_1\right)+m\left(B\setminus A_1\right)\leq m\left(A_1\right)+m\left(A_2\right).
    $$
    Пусть неравенство выполняется для $p=k$. Докажем для $p=k+1$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i$. Тогда мы можем рассмотреть пересечение множеств $A$ и $A_k+1$, аналогично случаю $p=2$, причем $m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}\limits^km\left(A_i\right)$.

    [свернуть]


    Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.

    Свойство 4. Для любого клеточного множества $A$ и любого $\varepsilon>0$ существует клеточное множество $A_\varepsilon,$ такое что $A_\varepsilon\subset\overline{A_\varepsilon}\subset A^0\subset A,$ где $\overline{A_\varepsilon}$ — замыкание множества $A_\varepsilon$, $A^0\;$ — внутренность множества $A_\varepsilon$.

    Спойлер

    Докажем для одной клетки $\Pi$. Возьмем произвольную точку $\left(x_1,…,x_n\right)$. Она будет принадлежать границе клетки, если существует такое $i$, что $x_i=a_i$ или $x_i=b_i$(следует из определения клетки, где $\left[a_i, b_i\right), i=\overline{1,n}$ — ребра клетки). Сдвигая концы ребра $\left[a_i, b_i\right)$ внутрь клетки, постоим клетку $\Pi_\varepsilon$, не содержащую граничных точек $\Pi$, мера которой будет отличаться от меры $\Pi$ меньше, чем на $A$.

    [свернуть]


    Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.

    Множество $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon>0$ найдутся два клеточных множества $A, B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$.


    Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.

    Мы видим, что $$\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)\leq\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right).$$
    Числа $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)$ и $\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество $m\left(\Omega\right)$ — измеримо, а его мерой будет число $m\left(\Omega\right)=\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)=\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$.
    Докажем корректность определения.

    Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества $\Omega$ число $m\left(\Omega\right)$ существует и единственно, причем
    $$
    m\left(A\right)\leq m\left(\Omega\right)\leq m\left(B\right)
    $$

    Спойлер

    Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества, $A \subset \Omega \subset B$.
    Существование.
    По свойству 2 меры клеточных множеств $m\left(A\right)\leq m\left(B\right)$. Следовательно, найдется число $\gamma$, такое что
    $$
    m\left(A\right)\leq \sup_{A\subset\Omega}m\left(A\right)\leq \gamma \leq \inf_{\Omega\subset B}m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
    $$
    Не ограничивая общности рассуждений, возьмем $m\left(\Omega\right)=\gamma$. Мы можем так сделать, исходя из определения меры, а, следовательно, число $m\left(\Omega\right)$ существует.
    Единственность.
    Пусть существуют два числа $\alpha$ и $\beta$, разделяющие числовые множества, порожденные мерами клеточных множеств $A$ и $B$:
    $$
    m\left(A\right)\leq \alpha \leq \beta \leq m\left(B\right).
    $$
    Множество $\Omega$ измеримо по Жордану, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A_\varepsilon$ и $B_\varepsilon$, такие что:
    $$
    A_\varepsilon\subset\Omega\subset B_\varepsilon, m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon.
    $$
    Следовательно, верно неравенство: $$0\leq\beta-\alpha\leq m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon,$$ а, значит, $\alpha=\beta$($\varepsilon$ выбирается произвольно).

    [свернуть]


    Рассмотрим еще один важный случай.

    Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.

    Лемма 3. Если $E\subset\mathbb{R}^n$ и для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $B=B_\varepsilon$ такое что $E\subset B$ и $mB<\varepsilon$, то $mE=0$

    Спойлер

    Пусть $A=\varnothing$, тогда $A\subset E\subset B,\; mB-mA=mB<\varepsilon$, то есть $E$ — измеримо по Жордану. В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $mE=0$.

    [свернуть]


    Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.

    Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

    Спойлер

    Докажем для двух множеств(для большего числа доказывается аналогично). Пусть заданы множества $E_1$ и $E_2$, такие что $m\left(E_1\right)=m\left(E_2\right)=0$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$, такие что $$ E_1\subset B_1,\; E_2\subset B_2,\; m\left(B_1\right)<\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\; $$ Пусть $B=B_1\cup B_2$. По доказанному выше $B$ — клеточное множество, и выполняется:
    $$
    E_1\cup E_2\subset B_1\cup B_2,\quad m\left(B\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,
    $$
    а значит, $m\left(E_1\cup E_2\right)=0$.

    [свернуть]

    Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.

    Спойлер

    Пусть $E\prime$ и $E\prime$ — множества меры нуль. Тогда, по определению, для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $A$, такое что $E\prime\subset E\subset A$ и $m\left(A\right)<\varepsilon$. Тогда, по свойству 1, $m\left(E\right)=0$.

    [свернуть]


    Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.

    Лемма 4 Если связное множество $A\subset\mathbb{R}^n$ не имеет общих точек с границей множества $B\subset\mathbb{R}^n$, то $A$ лежит либо внутри $B$, либо внутри его дополнения.

    Спойлер

    Предположим противное. Пусть существуют две точки $\alpha$ и $\beta$ множества $A$, такие что $\alpha$ принадлежит внутренности $B$, а $\beta$ принадлежит внутренности $B\setminus A$. По условию множество $A$ — связно, потому мы можем соединить эти две точки некоторой кривой $\Gamma$. Разобьем точки кривой на два класса: точка $\gamma$ принадлежит первому классу, если дуга кривой $\Gamma$ с концами $\alpha$ и $\beta$ лежит в множестве $B$. Второму классу будут принадлежать все остальные точки кривой. Тогда, согласно теореме об отделимости, мы можем разделить эти 2 класса некоторой точкой $e$, которая не принадлежит ни внутренности $B$, ни внутренности $B\setminus A$. Тогда точка $e$ является граничной для множества $B$, но по условию она принадлежит множеству $A$. Получаем противоречие.

    [свернуть]


    И, наконец, докажем критерий.

    Теорема(критерий измеримости множества в $\mathbb{R}^n$). Множество $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.

    Спойлер

    Необходимость
    Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ — измеримое по Жордану множество. Это значит, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A$ и $B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$. Не ограничивая общности рассуждений, согласно свойству 4 меры клеточных множеств, считаем, что множество $A$ не содержит граничных точек $\Omega$, а множество $B$ содержит все такие точки. Тогда $\partial\Omega \subset B\setminus A$ и $m\left(B\setminus A\right)<\varepsilon$, следовательно, по лемме 3, множество $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.
    Достаточность
    Пусть $m\left(\partial\Omega\right)$ и $\Omega$ — ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$. Заключим множество $\Omega$ в клетку $\Pi$. Теперь возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и построим клеточное множество $C$, такое что $\partial\Omega\subset C$ и $m\left(C\right)<\varepsilon$. Тогда $\Pi\setminus C$ — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества $\Omega$. Пусть $\Pi\setminus C=\bigcup\limits_{i=1}\limits^N\Pi_i$. Так как клетка $\Pi_i$ не содержит граничных точек множества $\Omega$, то в силу леммы 4 $\Pi_i\cap\Omega=\varnothing$ или $\Pi_i\subset\Omega$. Занумеруем клетки $\Pi_i$ в таком порядке, что $\Pi_1,…,\Pi_l\subset \Omega$, а $\Pi_{l+1},…,\Pi_N\cap\Omega=\varnothing$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^l\Pi_i$ и $B=A\cup C=\Pi\;\setminus\;\left(\bigcup\limits_{i=l+1}\limits^N\Pi_i\right)$, тогда $A\subset\Omega\subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)=m\left(C\right)<\varepsilon$, то есть множество $\Omega$ измеримо по Жордану.

    [свернуть]

    Свойство 1. Если множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ измеримы по Жордану, то множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$, и $\Omega_1\cup\Omega_2$ также измеримы по Жордану.

    Спойлер

    Измеримые по Жордану множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ограничены, следовательно, по доказанному выше критерию меры их границ равны нулю. Тогда мера их пересечения также будет равной нулю. Но мы знаем, что
    $$
    \partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,$$ поэтому $$m\left(\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\right).
    $$
    В силу критерия множества множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$ и $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримы по Жордану.

    [свернуть]

    Свойство 2. Если множества $\Omega_i,\;i=\overline{1,n}$ измеримы по Жордану, то и множествo $\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i$ измеримо по Жордану, и
    $$
    m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
    $$
    Если множества $\Omega_i,i=\overline{1,n}$ попарно не пересекаются, то
    $$
    m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
    $$

    Спойлер

    Рассмотрим случай $n=2$. Если $\Omega_1$ и $\Omega_2$ – измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$ такие что:
    $$
    \Omega_1\subset B_1,\;\Omega_1\subset B_1,\; m\left(\Omega_1\right)>m\left(B1\right)−\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(\Omega_2\right)>m\left(B2\right)−\frac{\varepsilon}{2}.
    $$
    Тогда $B_1\cup B_2$ есть клеточное множество, содержащее множество $\Omega_1\cup\Omega_2$. Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что:
    $$
    m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(B_1\cup B_2\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)+\varepsilon.
    $$
    В силу произвольности $\varepsilon$:
    $$
    m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)$$ Пусть $\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing$. В силу леммы 2 найдутся клеточные множества $A_1$ и $A_2$, такие что
    $$
    A_1\subsetΩ_1,\;m(A_1)>m\left(Ω_1\right)-\frac{\varepsilon}{2},\;A_2\subsetΩ_2,\;m(A_2)>m(Ω_2)−\frac{\varepsilon}{2}.
    $$
    Тогда $A_1\cup A_2$есть клеточное множество, содержащееся в множестве $\Omega_1\cup\Omega_2$. Так как множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются, то
    $$
    m\left(Ω1\cupΩ2\right)≥m\left(A1\cup A2\right)=m\left(A1\right)+m\left(A2\right)>m\left(Ω1\right)+m\left(Ω2\right)−ε,
    $$
    Число $\varepsilon$ мы брали произвольно, следовательно,
    $$
    m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\geq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
    $$
    Мы видим, что мера объединения непересекающихся множеств $\Omega_1$ и $\Omega_2$ одновременно не превосходит и больше либо равна сумме их мер. А такое возможно, только если
    $$
    m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)=m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
    $$
    Применяя метод математической индукции, можно доказать исходное неравенство, а также случай равенства для любого $n\in\mathbb{N}$. Свойство доказано.

    [свернуть]

    Спойлер

    Множество $A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \in \left[ 0,1 \right] \right\}$ измеримо по Жордану, так как само по себе является клеточным. А множество рациональных чисел на том же отрезке $A^\prime=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\in\left[0,1\right]\right\}$ не измеримо, и мы можем легко это показать. Действительно, отрезке $\left[0,1\right]$ не существует подотрезка, заполненного только рациональными числами, то есть внутренняя мера Жордана множества $A^\prime$ равна $0$. С другой стороны, на всей числовой прямой мы не найдем отрезка, содержащего $\left[0,1\right]$ и заполненного рациональными числами. Это значит, что внешняя мера множества $A^\prime$ равна $1$. Мы видим, что верхняя и нижняя меры Жордана совпадают, а значит, по определению, множество $A^\prime$ не является измеримым по Жордану.

    [свернуть]

    • Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 2. — Москва, Дрофа, 2003 г., стр.392-410
    • Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 1964 г., стр. 20-24
    • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Том 2. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2002 г., стр. 235-236

    Тест «Мера Жордана»

    Лимит времени: 0

    Информация

    Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.

    Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

    Тест загружается…

    Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

    Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

    Правильных ответов: 0 из 6

    Ваше время:

    Время вышло

    Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

    Средний результат

     

     
    Ваш результат

     

     
    Рубрики
    1. Нет рубрики 0%
    2. Математический анализ 0%
    максимум из 9 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных
    Ваш результат был записан в таблицу лидеров
    1. С ответом
    2. С отметкой о просмотре

    Таблица лучших: Тест «Мера Жордана»

    максимум из 9 баллов
    Место Имя Записано
    Баллы
    Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Поделиться ссылкой:

    ib.mazurok.com

    Объединение (теория множеств) — это… Что такое Объединение (теория множеств)?

    
    Объединение (теория множеств)

    Объединение A и B

    Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B.

    Определения

    Объединение двух множеств

    Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением называется множество

    Объединение более чем двух множеств

    Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

    Свойства

    Примеры

    • Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

    См. также

    Wikimedia Foundation. 2010.

    • Объединение (компьютер)
    • Объединение Болгарии

    Смотреть что такое «Объединение (теория множеств)» в других словарях:

    • Теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… …   Википедия

    • ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

    • АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле… …   Математическая энциклопедия

    • ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел теории множеств, изучающий внутреннее строение множеств в зависимости ют тех операций, при помощи к рых эти множества могут быть построены из множеств сравнительно простой природы (напр., замкнутых или открытых подмножеств данного… …   Математическая энциклопедия

    • Наивная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

    • Описательная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

    • Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств  это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение …   Википедия

    • Кольцо (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов… …   Википедия

    • Дескриптивная теория множеств —         часть теории множеств, изучающая строение более сложных точечных множеств с точки зрения их образования путём известных операций (объединение, пересечение, проекция и т. д.) из других, более простых точечных множеств. См. Множеств теория …   Большая советская энциклопедия

    • Объединение множеств — Объединение A и B Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств …   Википедия

    dic.academic.ru

    Объединение множеств — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Объединение A и B

    Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A{\displaystyle A} ∪ B{\displaystyle B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{\displaystyle A+B}.

    Определения

    Объединение двух множеств

    Пусть даны два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Тогда их объединением называется множество

    A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}

    Объединение семейства множеств

    Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

    ⋃α∈AMα={x∣∃α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}

    Видео по теме

    Свойства

    Примеры

    • Пусть A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.} Тогда
    A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8};{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};}
    • ⋃n∈Z[n,n+1]=R.{\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}

    Примечания

    1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

    См. также

    wiki2.red

    Объединение множеств — WiKi

    Объединение A и B

    Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A{\displaystyle A} ∪ B{\displaystyle B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{\displaystyle A+B}.

    Содержание

    Объединение двух множеств

    Пусть даны два множества A{\displaystyle A}  и B{\displaystyle B} . Тогда их объединением называется множество

    A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.} 

    Объединение семейства множеств

    Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}  Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

    ⋃α∈AMα={x∣∃α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.} 

    ru-wiki.org

    Объединение множеств — Википедия. Что такое Объединение множеств

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии Объединение A и B

    Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A{\displaystyle A} ∪ B{\displaystyle B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{\displaystyle A+B}.

    Определения

    Объединение двух множеств

    Пусть даны два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Тогда их объединением называется множество

    A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}

    Объединение семейства множеств

    Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

    ⋃α∈AMα={x∣∃α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}

    Свойства

    Примеры

    • Пусть A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.} Тогда
    A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8};{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};}
    • ⋃n∈Z[n,n+1]=R.{\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}

    Примечания

    1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

    См. также

    wiki.sc

    Объединение множеств — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Объединение A и B

    Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A{\displaystyle A} ∪ B{\displaystyle B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{\displaystyle A+B}.

    Определения

    Объединение двух множеств

    Пусть даны два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Тогда их объединением называется множество

    A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}

    Объединение семейства множеств

    Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

    ⋃α∈AMα={x∣∃α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}

    Свойства

    Примеры

    • Пусть A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.} Тогда
    A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8};{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};}
    • ⋃n∈Z[n,n+1]=R.{\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}

    Примечания

    1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

    См. также

    wikipedia.green

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *