Объем фигуры: wikiHow temporarily unavailable to you

Формулы объема фигур для школьников и студентов

Объем фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

• объём куба
• объём призмы
• объём параллелепипеда
• объём прямоугольного параллелепипеда
• объём пирамиды
• объём цилиндра
• объём конуса
• объём шара

Объём куба

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Объём куба равен кубу длины его грани.

V=a3 ,

где V — объем куба,
a — длина грани куба.

Объём призмы

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Если в основании:

• треугольник, то находите площадь треугольника,
• квадрат, то — квадрата,
• произвольная фигура, то найдите площадь произвольной фигуры.

V=Sо·h ,

где V — объем призмы,
S_о — площадь основания призмы,
h — высота призмы — расстояние между её основаниями. Для прямой призмы, у которой все рёбра перпендикулярны основаниям — это любое из рёбер.

Объём параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания параллелепипеда на высоту.

V=Sо·h ,

где V — объём параллелепипеда,

S_о — площадь основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда — расстояние между его основаниями.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

V=a·b·h ,

где V — объём прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.

Объём пирамиды

Пирамида — это многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Объём пирамиды с произвольным основанием

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=13·S·h ,

где V — объём пирамиды,
S — площадь основания пирамиды,
h — высота пирамиды.

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объём усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h на сумму площадей верхнего основания S1, нижнего основания усеченной пирамиды S2 и средней пропорциональной между ними.

V=13·h·S1+S1·S2+S2 ,

где V — объём усеченной пирамиды,
S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида — пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

V=n·a2·h22·tg180°n ,

где V — объём пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
n — количество сторон многоугольника в основании,
h — высота правильной пирамиды.

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани — равные равнобедренные треугольники.

V=h·a24·3 ,

где V — объём правильной треугольной пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
h — высота правильной треугольной пирамиды.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани — равные равнобедренные треугольники.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на куб стороны основания пирамиды.

V=h·a23 ,

где V — объём правильной четырёхугольной пирамиды,
a — сторона основания пирамиды,
h — высота правильной четырёхугольной пирамиды.

Объём тетраэдра

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра равен двенадцатой части произведения куба длины грани тетраэдра на квадратный корень из двух.

V=212·a3 ,

где V — объём тетраэдра,
a — любая из граней тетраэдра.

Объём цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

V=π·R2·h=S·h ,

где V — объём цилиндра,
S — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
π — число пи ≈ 3,14159265.

Объём конуса

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту.

V=13·π·R2·h=13·S·h ,

где V — объём конуса,
S — площадь основания конуса,
R — радиус основания конуса,
π — число пи ≈ 3,14159265.

Объём шара

Шар — совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Объём шара равен четырём третьим от произведения числа пи на радиус шара в кубе.

V=43·π·R3 ,

где V — объём шара,
R — радиус шара,
π — число пи ≈ 3,14159265.

• Коротко о важном
• Таблицы
• Формулы
• Формулы по геометрии
• Теория по математике

Объем прямоугольного параллелепипеда

Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.

С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.

Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.

Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.

Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры.

1) Равные фигуры имеют равные объемы.

2) Объем фигуры  равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.

За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим миллиметром. Пишут 1 мм³.

Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром. Пишут 1 см³.

Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром. Пишут 1 дм³.

При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм³ называют литром. Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм³.

Измерить объем фигуры − значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.

Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.

Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см³.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

V = abc

где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.

Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:

V = a³

где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh.

Отсюда

V = abh = (ab)h = Sh.

Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

V = Sh

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм³, а площадь дна − 54 дм²?

Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V : S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:

h = 324 : 54 = 6 (дм).

Ответ: 6 дм.

Калькулятор объема 📐 — Рассчитайте объем куба, коробки, цилиндра, сферы, конуса…

    Быстрая навигация:

1. Как рассчитать объем тела?
2. Объем куба
3. Объем коробки
4. Объем цилиндра
5. Объем сферы
6. Объем конуса
7. Объем треугольной призмы
8. Примеры применения формул объема

    Как рассчитать объем тела?

В зависимости от конкретного тела существуют разные формулы и разная необходимая информация, необходимая для расчета его объема. Ниже приведены формулы объема для наиболее распространенных типов геометрических тел — все они поддерживаются нашим онлайн-калькулятором объема выше. Все меры должны быть в одних и тех же единицах. Результат всегда в кубических единицах: кубические сантиметры, кубические дюймы, кубические метры, кубические футы, кубические ярды и т.д. (например, расчеты кондиционирования воздуха), управление бассейном и многое другое.

    Объем куба

Формула объема куба: сторона ³ , как показано на рисунке ниже:

нашли объем куба. Это то же самое, что умножить площадь поверхности одной стороны на глубину куба. Для этого типа цифр едва ли нужен калькулятор, чтобы сделать математику.

    Объем ящика

Чтобы найти объем прямоугольного ящика, используйте формулу высота x ширина x длина , как показано на рисунке ниже:

Чтобы вычислить объем ящика или прямоугольного резервуара, вам нужны три измерения: ширина, длина, и высота. Их обычно легко измерить из-за регулярности формы. Обозначив одно измерение как глубину или высоту прямоугольной призмы, умножение двух других дает нам площадь поверхности, которую затем необходимо умножить на глубину / высоту, чтобы получить объем. Чтобы рассчитать объем бака другой формы, воспользуйтесь нашим калькулятором объема бака.

    Объем цилиндра

Формула объема цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) ² , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 x r) , так что другой способ записать это: высота x π x радиус ² . Наглядно на рисунке ниже:

Вам нужны два измерения: высота цилиндра и диаметр его основания. Во многих школьных формулах вместо этого дается радиус, но в реальных ситуациях гораздо проще измерить диаметр, чем пытаться точно определить середину круглого основания, чтобы вы могли измерить радиус. Наш калькулятор объема требует, чтобы вы ввели диаметр основания. Через диаметр можно рассчитать площадь поверхности основания, а затем, чтобы получить объем, просто умножить его на высоту цилиндра.

    Объем сферы

Чтобы найти объем сферы, используйте формулу 4/3 x π x (диаметр / 2) ³ , где (диаметр / 2) — радиус сфера (d = 2 x r), так что другой способ записать это 4/3 x π x радиус ³ . Визуально на рисунке ниже:

То же, что и круг, вам нужно только одно измерение сферы: диаметр или радиус.

    Объем конуса

Формула объема конуса: (высота x π x (диаметр / 2) ² ) / 3 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 x r), поэтому по-другому чтобы написать это (высота x π x радиус ² ) / 3 , как показано на рисунке ниже:

обычный конус. Для конусов неправильной формы, которые еще не поддерживаются нашим инструментом, вам также необходимо знать угол конуса.

    Объем треугольной призмы

Формула объема треугольной призмы: (высота x основание x длина) / 2 , как показано на рисунке ниже:

Аналогично прямоугольным коробкам всего три измерения: высота, основание и длина, чтобы найти его объем.

    Примеры применения формул объема

Вычисления объема и, следовательно, формулы имеют широкий спектр практических применений. Если вы столкнулись со строительным проектом, работой по отделке дома или некоторыми инженерными задачами, калькулятор поможет вам, если цифра, объем которой вы хотите рассчитать, попадает в любую из вышеперечисленных форм. Сложные фигуры обычно можно разложить, хотя бы приблизительно, на сумму указанных выше основных фигур.

Если вы хотите выполнить более конкретную задачу, например, рассчитать количество необходимого бетона или количество асфальта, гравия, почвы, песка или мульчи, лучше обратиться к каждому из этих инструментов соответственно.

Калькулятор объема коробки 📐

    Быстрая навигация:

1. Формула объема коробки
2. Как рассчитать объем коробки?
3. Пример: найдите объем прямоугольного ящика
4. Расчет груза в кубических метрах / кубических футах
5. Другие применения

    Объем коробки формула

Объем прямоугольной коробки можно рассчитать, если известны три ее измерения: ширина, длина и высота. Тогда формула будет следующей: объем _{коробка} = ширина x длина x высота . Иллюстрация ниже:

Измерить стороны прямоугольной коробки или резервуара несложно. Результат вычисления с использованием нашего калькулятора объема прямоугольного ящика или иным образом всегда будет в используемой единице длины, кубе. Убедитесь, что все измерения указаны в одних и тех же единицах, если вы выполняете расчеты вручную, а если используете наш калькулятор, обязательно выберите соответствующую метрику. Если вы измерили длину в дюймах, результат будет в кубических дюймах. Если длина указана в футах, результат будет в кубических футах, и так далее для ярдов ³ , миль ³ , мм ³ , см ³ , метров ³ .

    Как рассчитать объем ящика?

Чтобы найти объем прямоугольного ящика или бака, нужно провести три измерения, а затем умножить их. В практических ситуациях у вас может быть план или инженерная схема, в которой даны все измерения, что значительно упрощает вашу задачу. Это довольно легко сделать в уме, если числа маленькие, но это быстро становится неудобным, если числа становятся большими, когда объем калькулятора, такого как выше, становится действительно полезным.

Следует отметить, что «объем коробки» может быть неточным термином, поскольку, если мы принимаем коробку за абстрактное математическое понятие, ее стенки имеют нулевую толщину, а сам ящик имеет нулевой объем. Однако в практических ситуациях мы обычно говорим об объеме с точки зрения пространства, ограниченного коробкой или резервуаром, и это то, что вычисляет приведенный выше калькулятор. Если это то, что вы рассчитываете и хотите знать, что он может вместить, обязательно измерьте его внутренние, а не внешние размеры, иначе вам нужно будет вычесть объем стен.

    Пример: найдите объем прямоугольной коробки

Для вычисления объема любой коробки прямоугольной формы необходимо знать три измерения: длины двух сторон ее основания, а также высоту. Например, если две стороны основания имеют длину 3 дюйма и 6 дюймов соответственно, а высота коробки равна 2 дюймам, то с помощью уравнения объема коробки получается 3 x 6 x 2 = 18 x 2 = 36 дюймов. ³ (куб. дюймы).

В качестве альтернативы можно указать площадь одной стороны коробки и высоту относительно этой стороны. В этом случае просто умножьте площадь на высоту. Например, если площадь основания коробки составляет 25 кв. футов, а сторона коробки, ортогональная к ней, имеет длину 4 фута, то объем коробки равен 25 х 4 = 100 куб. футов9.0005

    Расчет груза в кубических метрах / кубических футах

Часто требуется рассчитать объем транспортных контейнеров, ящиков, ящиков, цистерн и других транспортных средств. Обычно у производителя есть техническая спецификация, или, по крайней мере, вы должны знать стандарт, на основе которого был произведен контейнер, с указанием минимально допустимых размеров.

Если вам нужен более специализированный калькулятор, который подскажет, сколько предметов при заданных размерах вы можете разместить, попробуйте наш калькулятор контейнеров и калькулятор поддонов.

    Прочие области применения

Прямоугольная коробка является одной из наиболее широко используемых форм корпуса в науке, технике и архитектуре благодаря хорошим конструктивным свойствам и устойчивости к силовым воздействиям с разных сторон. Большинство домов и комнат в них представляют собой прямоугольные коробки, большинство транспортных контейнеров представляют собой коробки или имеют коробчатую форму. Вычисление объема аквариума, объема бассейна или объема почвы, мульчи или питательных веществ для растений, необходимых для данного участка сада, является другим распространенным использованием.