алгебра / Построить пирамиду с вершинами. Вычислить её объем и высоту, опущенную на грань ABC. / Математика
|
Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 6), D (2; 3; 8). Вычислить её объем и высоту, опущенную на грань ABC. векторы векторная алгебра задан 11 Окт ’12 20:15 Badgal Mari |
старыеновыеценные
|
Вычислим координаты векторов $%AB=(-2;3;0)$%, $%AC=(-2;0;6)$%, $%AD=(0;3;8)$%. ссылка отвечен 11 Окт ’12 23:08 Lyudmyla изменен 14 Июн ’13 19:53 Deleted |
{0,5}$%.|
Вам нужно найти модуль смешанного произведения векторов АВ,АС,АД (формулу найдете в любом учебнике по аналитической геометрии). Поделите результат на 6. Получите объем пирамиды. ссылка отвечен 11 Окт ’12 22:53 Anatoliy |
Площадь основания пирамиды равна одной второй модуля векторного произведения векторов АВ и АС (формулу найдете в том же учебнике). Высоту пирамиды найдете, умножив объем на 3 и поделив полученный результат на площадь основания. Что касается изображения пирамиды, то нарисуйте прямоугольную систему координат, отметьте на ней точки А,В,С,Д и соедините их отрезками (некоторые из них будут пунктирными).|
Зададим плоскость $%ABC$% в виде $%ax+by+cz+d=0$%. ссылка отвечен 11 Окт ’12 22:08 dmg3 |
2_{OCB}}=\sqrt{9+36+81}=\sqrt{126}$% Значит, объем равен $%\frac{\sqrt{14}\sqrt{126}}{3}=14$%Ваш ответ
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.
Даны координаты вершин пирамиды (тетраэдра)… Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат. Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.
Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.
Пример решения задачи
Даны координаты вершин пирамиды . Найти:
- длину ребра ;
- угол между ребрами и ;
- угол между ребром и гранью ;
- площадь грани ;
- объем пирамиды;
- уравнения прямой ;
- уравнение плоскости ;
- уравнения высоты,
опущенной из вершины
на грань
.
Сделать чертеж.
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Решение
Длина ребра
Длину ребра найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:
Угол между ребрами
Угол между ребрами и найдем как угол между направляющими векторами и :
Косинус угла между векторами:
Угол между ребром и гранью. Векторное произведение
Вычислим угол между ребром и гранью .
Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости
–им будет
векторное произведение векторов
и
.
Найдем векторное произведение. Для этого вычислим определитель:
Нормальный вектор плоскости:
Синус угла:
Площадь грани
Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов и :
Искомая площадь:
Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов
Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов и :
Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:
Искомый объем пирамиды:
Уравнение прямой в пространстве
Вычислим уравнение
прямой
.
Направляющим
вектором искомой прямой является вектор
. Кроме того, прямая проходит через точку
Уравнение искомой прямой:
Уравнение плоскости
Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку
-уравнение грани
Уравнение высоты, опущенной на грань
Составим уравнение высоты, опущенной на грань из вершины :
Нормальный вектор является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку
Искомое уравнение высоты:
Сделаем схематический чертеж:
векторов — Найдите объем треугольной пирамиды
спросил
Изменено 7 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
У меня есть плоскость, $x+2y+3z=12$ с точкой пересечения $x$, равной $12$, $y=6$ и $z=4$.
Итак, между началом координат и этими точками у меня есть пирамида.
$(0,0,0)$, $(12,0,0)$, $(0,6,0)$, $(0,0,4)$.
Мне нужно вычислить объем этой пирамиды. Я сделал это несколько раз и в основном понял, как это сделать, но я не получаю ответа на листе ответов, так что, может быть, кто-нибудь сможет это решить и сказать мне, что вы получите 🙂
Большое спасибо…
- векторов
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Итак, основание этой пирамиды (фактически площадь призмы) представляет собой прямоугольный треугольник с известными длинами катетов, поэтому его площадь $\;A\;$ вычислить очень легко, а так как это еще и прямая пирамида и его высоту $\;h\;$ легко вычислить.
Теперь просто используйте формулу объема
$$V=\frac13Ah$$
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Если вы не знаете или не можете использовать формулу объема пирамиды, это несложно сделать в виде интеграла.
Для этого сначала нужно выяснить, что такое треугольник основания. Как вы заметили, вершины в $xy$-плоскости имеют координаты $(12, 0)$ и $(0, 6)$. (Я предполагаю, что эта пирамида находится в первом октанте / ограничена плоскостью $xy$ внизу.) Уравнение линии от $(12, 0)$ до $(0, 6)$ есть $y = 6 — \frac{x}{2}$. Итак, основание пирамиды это набор
$$ \left\{ (x, y) \, \big| \, 0 \leq x \leq 12, \, 0 \leq y \leq 6 — \frac{x}{2} \right\} $$
Решение для $z$ в вашем уравнении плоскости показывает, что значения $z$ находятся между $z = 0$ и $z = \frac{1}{3}(12 — x- 2y)$ . 9{(12 — х — 2у)/3} \, дз \, ду \, дх \\ = … \quad \text{(Я сжульничал и сделал это в WolframAlpha)} \\ = 48 $
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Объем пирамиды равен $\frac{1}{6}$ объема соответствующего параллелепипеда.
Итак, имеем $$V=\frac{1}{6} \cdot 12 \cdot 6 \cdot 4=48.$$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
линейная алгебра — Какова высота пирамиды с этими четырьмя точками?
спросил
Изменено 5 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 776 раз
$\begingroup$
У меня есть пирамида, основание которой составлено из точек $A (3,5,3)$, $B (-2,11,-5)$, $C (1,-1,4)$ . Теперь мне нужно найти высоту пирамиды из точки $S(0,6,4)$, поэтому моя идея была такой. Я формирую плоскость, используя векторы $AB$ и $AC$, затем нахожу вектор, ортогональный этой плоскости. После этого я нашел пересечение ортогонального вектора и плоскости, пусть это будет точка $T$. Тогда моя высота на самом деле равна длине вектора $ST$. Здесь я понимаю, что длина равна 63, но в моем учебнике написано, что это 3.
. просто интересно, не ошибся ли я где-то или решение неверно. Спасибо
- линейная алгебра
- геометрия
- векторы
- евклидова геометрия
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Ваш подход идеален. Если вы покажете свои расчеты, мы сможем помочь выяснить, где вы ошиблись. Один из способов найти этот ортогональный вектор — найти два вектора на плоскости, а затем взять их векторное произведение. Например, если вы нарисуете картинку, вы заметите, что векторы $A-C$ и $A-B$ лежат в этой плоскости (т. е. то, что вы называете $AB$ и $AC$). Вычисление $(A-C) \times (AB)$ дает ортогональный вектор.
Другой подход, который является чрезмерно громоздким на практике, но имеет педагогическую ценность, заключается в следующем:
Если известны только длины сторон треугольника, можно использовать формулу Герона для вычисления его площади.
Существует обобщение этой формулы, которое вычисляет объем тетраэдра по длинам его сторон. Мы можем найти все длины сторон рассматриваемого тетраэдра с помощью повторных применений теоремы Пифагора. Это дает нам всю необходимую информацию для вычисления площади треугольного основания пирамиды, а также объема всего тетраэдра.
Напомним, что объем тетраэдра определяется выражением $\displaystyle V = \frac{1}{3}bh$, где $b$ – площадь его основания. Формула Герона показывает значения $b$ и $V$, что позволяет нам найти $h$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Данная задача эквивалентна нахождению расстояния от начала координат для плоскости $\pi$ через $$ A'(3,-1,-1),\qquad B'(-2,5,-92}}=\frac{9}{3}=\color{red}{3}.$$
$63$ явно слишком много, так как
$$ d(S,\pi_{ABC}) \leq d(S,A) = d(O,A’)=\sqrt{11}.