Объем тела вычислить: Калькулятор объёма

Вычисление объема тела по его поперечному сечению

Если объем тела V существует и функция S=S(x) является площадью сечения тела плоскостью (определенная и гладкая на промежутке [a;b]), каторая перпендикулярная к оси Ox в точке x, то объем тела находится за формулой
Это достаточно простая зависимость определенного интеграла, проблема заключается в том, что функция площади не всегда выражается простой зависимостью. В этом Вы скоро убедится из готовых ответов на вычисление объема.
Примеры подобрано из программы для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко. Студенты на практических занятиях имеют похожую программу учебы, задания в ряде случаев совпадают.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

Для изучения методики нахождения объема тел за известными сечениями основные этапы интегрирования повторяться из примера в пример.

Найти объемы тел, которые ограничены следующими поверхностями

Пример 2463 Найти объем эллипсоида

Вычисление: Сложим уравнение подинтегральной функции. В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Ox, получим эллипс

площадь которого выражается функцией

Определим пределы интегрирования:
у эллипсоида в канонической системе координат это промежуток [-a;a].
Найдем объем эллипсоида:

В том что формула справедлива можете убедиться, сопоставив вычисленную формулу с известной.
Объем фигур измеряется у кубических единиц !
Видим, если эллипсоид вырождается в сферу (a=b=c=R), то его объем равен V=4/3*Pi*R³ (формула известна из «школьной» геометрии).

Пример 2464 Найти объем тела (однополий гиперболоид).
Вычисление: Выражаем подинтегральную функцию.
В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Ox, получим эллипс

площадь которого выражается функцией

Определим пределы интегрирования : у эллипсоида в канонической системе координат это промежуток [- a;a].
Найдем объем эллипсоида :

В том что формула справедливая можете убедиться, сравнив вычисленную формулу с известными в справочниках.
Объем фигур измеряется у кубических единиц !
Видим, если эллипсоид вырождается в сферу (a=b=c=R), то его объем равен V=4/3*Pi*R³ (формула известна из «школьной» геометрии).

Пример 2464Найти объем тела (однополий гиперболоид).
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию. В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Oz, получим эллипс

площадь которого

Пределы интегрирования известны за условием: .
Кроме этого они являются подсказкой в каком направлении выполнять перерез и искать функцию площади.
Найдем объем однополого гиперболоида, что ограничен сверху и снизу плоскостями:

Определенный интеграл в этом задании находится без трудностей.

 

Пример 2465Найти объем тела образованного пересечением цилиндрических поверхностей
Вычисление: Сложим уравнение подинтегральной функции. Рассмотрим 1/8 часть тела (она расположена в И квадранте).
В сечении плоскостью, какая перпендикулярная к оси Oz, получим квадрат, площадь которого равна

Пределы интегрирования : И вадрат прямоугольной системы координат [0;a].
Интегрированием вычисляем объем тела :

Как можно убедиться из формул площади, их интегрирования достаточно не сложное.

 

Пример 2468Вычислить объем тела
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию. В сечении плоскостью, какая перпендикулярная к оси Oz, получим эллипс, площадь которого известна
Пределы интегрирования за условием тоже известны:
.
Осталось проинтегрировать и подставить пределы.

Получили, что объем тела равен V=Pi/2*a³ куб. од.

 

Пример 2469Найти объем тела
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию. В сечении плоскостью, которая перпендикулярная к оси Oz, получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длиной 1-z², площадь которого легко находится

Пределы интегрирования : (это видно из области существования функции ).
Объем тела находим интегрированием:

Из приведенных примеров Вы могли заметить, что все зависит от уравнения площади сечения. Для того, чтобы его записать нужно владеть добрым пространственным воображением и знать сечения основных пространственных тел. Все остальное зависит от Вашего умения интегрировать.

Расчет массы и объема тела по его плотности | 7 класс

Содержание

На прошлом уроке мы познакомились с определением плотности тела, узнали формулу, по которой можно ее рассчитать: $\rho = \frac{m}{V}$.

Сейчас нам предстоит взглянуть на эту формулу с других сторон. Мы научимся находить объем и массу по известной плотности материала тела, решать задачи, используя полученные знания.

Расчет массы тела по его плотности

Знание плотности веществ очень важно для многих практических целей. Для инженеров и строителей, например, знание плотности имеет колоссальное значение — так они могут рассчитать массу будущего механизма или строения.

Как вычисляется масса тела по его плотности и объему?

Плотность определяется по формуле  $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим отсюда массу:

$m = \rho V$.

Чтобы рассчитать массу тела, если известны его объем и плотность, нужно плотность умножить на объем.

{"questions":[{"content":"Как рассчитать <b>массу</b> тела, если известны его <b>объем</b> и <b>плотность</b>?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Чтобы рассчитать <b>массу</b> тела, необходимо <b>плотность</b> тела умножить на <b>объем</b> тела<br />$m = \\rho V$","Чтобы рассчитать <b>массу</b> тела, необходимо <b>плотность </b> тела разделить на <b>объем</b> тела<br />$m=\\cfrac {\\rho}{V}$","Чтобы рассчитать <b>массу</b> тела, необходимо <b>объем</b> тела разделить на <b>плотность</b> тела<br />$m=\\cfrac {V}{\\rho}$"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы найти <b>плотность тела</b>, необходимо <b>массу тела</b> разделить на <b>объем тела</b><br />$\\rho = \\cfrac{m}{V}$"]}]}

Задача на расчет массы

Рассмотрим пример задачи на расчет массы. 3 = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.

Ответ: $m = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.

Расчет объема тела по его плотности

По какой формуле можно определить объем тела?

Подобным образом выразим из формулы плотности объем:

$V = \frac{m}{\rho}$.

Чтобы рассчитать объем тела, если известны его масса и плотность, нужно массу разделить на плотность.

Данной формулой для определения объема часто пользуются в тех случаях, когда тела имеют сложную неправильную форму. 

{"questions":[{"content":"Как рассчитать <b>объем</b> тела, если известны его <b>масса</b> и <b>плотность</b>?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Чтобы рассчитать <b>объем</b> тела, необходимо <b>плотность</b> тела умножить на <b>массу</b> тела<br />$V = \\rho m$","Чтобы рассчитать <b>объем</b> тела, необходимо <b>плотность </b> тела разделить на <b>массу</b> тела<br />$V=\\cfrac {\\rho}{m}$","Чтобы рассчитать <b>объем</b> тела, необходимо <b>массу</b> тела разделить на <b>плотность</b> тела<br />$V=\\cfrac {m}{\\rho}$"],"answer":[2]}},"hints":["Чтобы найти <b>плотность тела</b>, необходимо <b>массу тела</b> разделить на <b>объем тела</b><br />$\\rho = \\cfrac{m}{V}$"]}]}

Задача на расчет объема

Рассмотрим пример задачи на расчет объема. 3 = 1 \space л$.

Ответ: $V = 1 \space л$.

Дополнительные задачи

Задача №1

На рисунке 1 изображен кусок хозяйственного мыла в упаковке. По данным производителя размеры размеры его полиэтиленовой упаковки составляют 6 см x 9 см x 5,5 см.

Масса одного куска 200 г. Масса брутто (масса товара вместе с упаковкой) указан 211 г. Найдите объем куска мыла без упаковки. Выразите ответ в СИ.

Рисунок 1. Хозяйственное мыло

Обозначим стороны упаковки как $a, b \space и \space с$, массу куска была $m_м$, массу куска мыла в упаковке  — $m$, а общую массу мыла в упаковке — $m_{уп}$.

Объем куска мыла будем обозначать как $V_м$, а вместе с упаковкой  — $V$.

Дано:
$a = 6 \space см$
$b = 9 \space см$
$c = 5.5 \space см$
$m_м = 200 \space г$
$m = 211 \space г$

$V_м -?$

Показать решение и ответ

Срыть

Решение:

Найдем массу упаковки:
$m_{уп} = m — m_м$,
$m_{уп} = 211 \space г — 200 \space г = 11 \space г$. 3}$.

Преобразование веса человеческого тела в объем

Введите вес, выберите единицу веса и укажите материал или вещество для поиска. Используйте * в качестве подстановочного знака для частичного совпадения или заключите строку поиска в двойные кавычки для точного совпадения. Объем выбранного предмета рассчитывается с использованием его плотности и введенного веса.

Вес:в:караграммкилограмммиллиграммунциифунттоннсм. больше единиц

Выберите соединение:человеческое тело
точность:0123456789V2W | W2V | Плотность | Цена

show all units

Volume of 100 grams of human body

centimeter³	99.01	milliliter	99.01
foot³	0	oil barrel	0
Imperial gallon	0.02	US cup	0.42
inch³	6. 04	US fluid ounce	3.35
liter	0.1	US gallon	0.03
meter³	9.9 × 10 -5	US pint	0.21
metric cup	0.4	US quart	0.1
metric tablespoon	6.6	US tablespoon	6.7
metric teaspoon	19.8	US teaspoon	20.09

show all units

The entered

weight of human body in various units of weight

carat	500	ounce	3.53
gram	100	pound	0.22
kilogram	0.1	tonne	0
milligram	100 000

• около Человеческого тела
• 1 010 килограммов [кг] тела человека, вписывающегося в 1 кубический метр
• 63. 05224 Фунт [LBS] Веса для тела человека
• 9.05224 Фунт [LBS] Весели для тела 1,0169
• 400111111111111111111111111111111111111111. грамм на кубический сантиметр или 1 010  килограмм на кубический метр , т.е. плотность человеческого тела   равна 1 010 кг/м³. В имперской или американской системе измерения плотность равна 63,052 фунтов на кубический фут 9.0168 [фунт/фут³], или 0,5838 унций на кубический дюйм [унций/дюйм³] .
• Закладки :  [  вес к объему  | объем к весу  | цена | Плотность]

Продукты, питательные вещества и калории

Рубиновый красный напиток сока грейпфрута из концентрата, UPC: 041318130423 содержит (S) 46 калорий на 100 грамм (≈3,53 ун) [цена]

39 39 39. 3906 39. D2 (эргокальциферол) . Список этих продуктов, начиная с самого высокого содержания витамина D2 (эргокальциферол) и самого низкого содержания витамина D2 (эргокальциферол), и рекомендуемых пищевых норм (RDA) для витамина D

Гравий, вещества и масла

CaribSea, Marine, Aragonite, Bermuda Pink весит 1 281,5 кг/м³ (80,00143 фунта/фут³) с удельным весом 1,2815 по отношению к чистой воде. Подсчитайте, сколько этого гравия требуется для достижения определенной глубины в цилиндрическом, четвертьцилиндрическом или прямоугольном аквариуме или пруду [вес к объему | объем к весу | цена ]

Оксихлорид селена [SeOCl ₂   или  Cl ₂ OSe] весит 2 420 кг/м³ (151,07566 фунт/фут³)  [ вес к объему | объем к весу | цена | моль к объему и весу | масса и молярная концентрация | плотность ]

Преобразование объема в вес, веса в объем и стоимости для Хладагент R-124, жидкий (R124) с температурой в диапазоне от -40°C (-40°F) до 82,23°C (180,014°F)

Веса и измерения

Петавольт — это единица СИ, кратная (см. префикс Пета) единицы электрического потенциала вольт и равная 1,0 × 10 ⁺¹⁵ В)

 Температура является одной из семи основных величин СИ и используется как мера тепловой энергии .

Таблица преобразования кг/л в унции/кварт США, конвертер единиц кг/л в унции/кварт США или перевод всех единиц измерения плотности.

Калькуляторы

Преобразование веса в объем для некоторых веществ и материалов

Как рассчитать общий объем тела

Объем вытесненной воды равен объему вашего тела.

Изображение предоставлено: brickrena/iStock/Getty Images

Общий объем вашего тела является одним из компонентов в некоторых уравнениях для расчета процентной доли безжировой массы тела. Найти объем для объекта правильной формы, такого как куб, относительно просто, но определить этот расчет для объекта неправильной формы, такого как человеческое тело, с помощью простого уравнения практически невозможно. Общий объем тела чаще всего определяется с помощью методов вытеснения водой или воздухом, которые требуют специального оборудования и обученных администраторов тестов.

Видео дня

Водоизмещение, чтобы найти объем

Гидростатическое взвешивание поможет определить объем человеческого тела. Сначала вас взвешивают на суше, а затем погружают в большой бассейн и взвешивают с помощью специального оборудования.

Тело человека под водой весит меньше. Разница между вашим весом на суше и под водой — это вес воды, которую вы рассеиваете при погружении в соответствии с принципом Архимеда. Используйте массу и плотность вытесненной воды, чтобы рассчитать объем вытесненной воды. Объем вытесненной воды равен объему вашего тела.

Проблемы с расчетом объема тела

Использование вытеснения воды для расчета объема тела достаточно просто, если у вас есть необходимое оборудование, обученный профессионал и большой бассейн, но это не то, что вы можете легко сделать дома. Также обратите внимание, что ваше тело содержит определенное количество газа, который имеет низкую плотность и изменяет меру вашего объема.

Воздух или газ в желудочно-кишечном тракте могут быть исключены из уравнения путем голодания перед подводным взвешиванием, но воздух в легких обычно присутствует. Когда вы проходите тест на взвешивание под водой, вас просят выдохнуть как можно больше воздуха, чтобы свести к минимуму вероятность того, что это исказит ваши результаты.

Воздух, который нельзя выдохнуть, оценивается и фигурирует в уравнении.

Метод вытеснения воздуха для нахождения объема тела

Более новый метод определения плотности измеряет объем с помощью вытеснения воздуха. Специализированные камеры выполняют измерения и расчеты фигур. Процесс по-прежнему требует дорогостоящего оборудования и людей, обученных проведению тестов, но избавляет от хлопот, связанных с использованием воды. В некоторых медицинских центрах и фитнес-центрах есть машины, известные как Bod Pod, которые выполняют измерения.

Магнитно-резонансная томография или МРТ также может быть полезна для определения объема ткани в определенной области тела. Опять же, для этой процедуры требуется специальное оборудование, которое доступно только в медицинских учреждениях, где работают обученные специалисты.

Математические расчеты для оценки объема тела

Существует уравнение для оценки объема тела, но оно основано на данных о мужчинах и не учитывает возраст.

No related posts.