Свойства синуса и косинуса тангенса и котангенса: Синус и косинус. Тангенс и котангенс — урок. Алгебра, 10 класс.

Свойства тригонометрических функций

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Тригонометрия Свойства тригонометрических функций

Свойства синуса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел.
  2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
  3. Функция – нечетная, то есть .
  4. Функция периодическая, с периодом .
  5. Нули функции: при .
  6. Промежутки знакопостоянства

       

       

  7. Функция непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента:

       

  8. Функция возрастает при , и убывает при .
  9. Функция имеет минимальные значения, равные , при , и максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

Свойства косинуса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел.
  2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
  3. Функция – четная, то есть .
  4. Функция периодическая, с периодом .
  5. Нули функции: при .
  6. Промежутки знакопостоянства

       

       

  7. Функция непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента

       

  8. Функция возрастает при , и убывает при .
  9. Минимальные значения функции равные принимает при , а максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Свойства тангенса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
  2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
  3. Функция – нечетная, то есть .
  4. Функция периодическая, её период равен .
  5. Нули функции: при .
  6. Промежутки знакопостоянства

       

       

  7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

       

  8. Функция возрастает в каждом из промежутков .

Свойства котангенса

  1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
  2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
  3. Функция – нечетная, то есть .
  4. Функция периодическая, её период равен .
  5. Нули функции: при .
  6. Промежутки знакопостоянства

       

       

  7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

       

  8. Функция убывает в каждом из промежутков .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Синус суммы трех углов. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:

sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}



Категории

характеристик синуса, косинуса и тангенса

Тригонометрические функции: характеристики синуса, косинуса и тангенса

Функция синуса, $$sin(x)$$

  1. Домен: $$\mathbb{R}$$
  2. Изображение: $$[-1,1]$$
  3. Период: $$2\pi$$ рад
  4. Непрерывность: непрерывна на $$\mathbb{R }$$
  5. Увеличение на: $$\ldots \cup \Big(\displaystyle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\Big) \cup \Big(\displaystyle \frac{3\ pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\Big)\cup \ldots$$
  6. По убыванию: $$\ldots \cup \Big(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\Big) \cup \Big(\displaystyle \frac{5\ pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\Big)\cup \ldots$$
  7. Максимум в: $$\Big\{ \displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k$$, $$k \in \mathbb{Z}\Big\}$$
  8. Минимум в: $$\Big\{ \displaystyle \frac{3\pi}{2}+2\pi\cdot k$$, $$k \in \mathbb{Z}\Big\}$$
  9. Контроль четности: нечетный, $$\sin x=-\sin (-x)$$
  10. Точки пересечения с осью Ox: $$x=k\cdot \pi$$, $$k \in \mathbb{Z}$$

Функция косинуса, $$cos(x)$$

  1. Домен: $$\mathbb{R}$$
  2. Изображение: $$[-1,1]$$
  3. Период: $$2\pi$$ рад
  4. Непрерывность: непрерывна на $$\mathbb{R }$$
  5. Увеличение на: $$\ldots \cup (-\pi,0) \cup (\pi,2\pi) \cup \ldots$$
  6. По убыванию: $$\ldots \cup (0,\pi) \cup (2\pi,3\pi) \cup \ldots$$
  7. Максимум в: $$\Big\{ 2\pi\cdot k$$, $$k \in \mathbb{Z}\Big\}$$
  8. Минимум в: $$\Big\{ \pi\cdot (2k+1)$$, $$k \in \mathbb{Z}\Big\}$$
  9. Четность: Пара $$\cos x = \cos (-x)$$
  10. Точки пересечения с осью Ox: $$x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+k \cdot \pi$$, $$k \in \mathbb{Z}$$

Касательная функция, $$tan(x)$$

  1. Область определения: $$\mathbb{R}-\Big\{ (2k+1) \cdot \displaystyle \frac{\pi}{2 }, k \in \mathbb{Z}\Big\}=\mathbb{R} — \Big\{ \ldots, \displaystyle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}, \ldots \Big\}$$
  2. Изображение: $$\mathbb{R}$$
  3. Период: $$\pi$$ рад
  4. Непрерывность: она непрерывна на $$\mathbb{R}-\Big\{\displaystyle \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \Big\}$$
  5. Увеличение на: $$\mathbb{R}$$
  6. Максимум: нет максимумов
  7. Минимумы: нет минимумов
  8. Контроль четности: нечетный $$\tan x = — \tan (-x)$$
  9. Точки пересечения с осью Ox: $$x=k\cdot \pi, k \in \mathbb{Z}$$

Похожие темы

  • Тригонометрические тождества: половина угла, удвоенный угол, сумма и разность двух углов
  • Закон синусов и косинусов
  • Решение треугольников

Теория математики в вашем мобильном

Скачать бесплатно

Свойства касательной функции ‹ OpenCurriculum

Цели статьи

  • Целью этой статьи является знакомство с использованием функции касательной и ее применение к различным задачам.
  • Введение

    Касательная функция, обозначаемая \(\tan(x)\), является одной из шести общих тригонометрических функций. Тангенс чаще всего связан с синусом и косинусом как

    $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

    Это будет центральным во многих манипуляциях с выражениями, которые мы использование с участием касательной. Поскольку функция тангенса определена как есть, существуют такие значения \(x\), что функция тангенса не определена, и эта проблема является фундаментальной для графических свойств функции тангенса.

    Пример 1: Найдите все значения \(x\) на интервале \([0, 2\pi]\) такие, что \(\tan(x)\) не определено.

    Решение: Мы используем определение тангенса, чтобы переписать его как

    $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

    Дробь не определена, где знаменатель \( 0\), поэтому мы хотим решить уравнение

    $$\cos(x) = 0$$

    \(x = \frac{3\pi}{2}\), в соответствии с функцией арккосинуса. 92(x) — 1}dx$$

    Теперь интегрируем:

    $$\tan(x) — x + C$$

    Но как интегрировать одиночную касательную функцию? Мы используем метод, называемый u-подстановкой , где мы подставляем функцию \(u = f(x)\) и используем ее и \(\frac{du}{dx}\) для упрощения выражения.

    Пример 9: Интегрировать \(\int{\tan(x)}dx\).

    Решение: Преобразуем подынтегральную функцию в виде частного:

    $$\int{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx}$$

    Здесь мы можем создать u-подстановку. Пусть \(и = \cos(x)\). Тогда интеграл принимает вид (x)$$

    Следовательно, выражение \(-\sin(x)\) можно заменить:

    $$-\int{\frac{\frac{du}{dx}}{u}dx} = -\int{\frac{1}{u}du}$$

    Этот интеграл легко вычислить, он является обратным натуральному логарифму:

    $$-\ln|u| +

    канадских долларов

    Теперь отмените замену:

    $$-\ln|\cos(x)| + C$$

    Если бы мы захотели, мы могли бы переписать логарифм, убрав отрицательный знак:

    $$\ln|\sec(x)| + C$$

    Этот интеграл также очень важен:

    $$\int{\tan(x)dx} = \ln|\sec(x)| + C$$

    Давайте посмотрим, как это можно применить к задаче интеграции.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *