Область определения функции 7 класс как найти: Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

Содержание

Как найти область определения функции?

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. 

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

  • Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) =  [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

 
  1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.

  2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.

  3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.

  4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа. 

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Например:

  • Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(f) = (−∞, +∞) или D(f) = R.
     
  • Область определения функции y = 3√9 является множество R.

Еще больше примеров — в современной онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Приходите на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься эффективно и в удовольствие!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n√x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

  • Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
  • Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y =

4√x, y = 6√x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3√x, y = 5√x, y = 7√x,… — множество (−∞, +∞).

Пример 

Найти область определения функции:

Как решаем:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x2 + 4x + 3 > 0

D = 16 - 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:


Значит парабола a(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x

2 + 4x + 3 < 0.


Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = xa, то есть, f(x) = xa, где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

  • Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
  • Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
  • Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
  • Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = xa определена для всех действительных значений x, кроме x = 0.

Это связано с тем, что мы не определяли 00. А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

 
  1. Область определения функций y = x5, y = x12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.

  2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.

  3. Область определения функции y = x−2, как и функции y = x−5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.

  4. Область определения степенных функций y = x-√19, y = x-3e, — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = ax, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

  • y = ex
  • y = (√15)x
  • y = 13x.

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

  • D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций: 

  • y = log7x
  • y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите область определения функции:

Как решаем:

Составим и решим систему:


Графическое решение:


Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

  • Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
  • Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
  • Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как решаем:

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:


Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:


В результате . Отразим графически:


Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

  • Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

    Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].

  • Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

    Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].

  • Функции, которые задаются формулами вида
    y = arctgx
    и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

    Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните. 

Функция

Область определения функции

Постоянная

y = C

 

R

Корень

y = n√x 

 

[0 ; +∞) , если n — четное;

(-∞; +∞) , если n  — нечетное.

Степенная

y = xa 

 

(-∞; +∞) , если a > 0, a ∈ Z;

[0 ; +∞), если a > 0, a ∈ R, a ∉ Z;

(-∞; 0) ∪ (0; +∞) , если a < 0, a ∈ Z;

(0; +∞), если a ∈ R, a ≠ Z;

(-∞; 0) ∪ (0, +∞), если a = 0.

Показательная

y = ax 

 

R

Логарифмическая

y = lognx

 

(0; +∞) 

Тригонометрические

y = sinxy

y = cosxy

y = tgxy

y = ctgx

 

R

R

x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z

x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z

Обратные тригонометрические

y = arcsinxy 

y = arccosxy 

y = arctgxy 

y = arcctgx

 

[-1; 1]

[-1; 1]

R

R  

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1
  • при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
  • при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
  • при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
  • при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
  • при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
  • при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)...D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D(f)=D(f1)D(f2)...D(fn)

Пример 2

Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1является постоянной функцией, f2является арктангенсом, f3– логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и  D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x)– произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x)является -∞, +∞D(f)=D(f).

Получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x - [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x)совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения  функции y=log3x−3·2x.

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.

f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что

D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

Ответ: (0, +∞).

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Пример 4

Найти область определения f1(x)=x5+7x3-2x2+12.

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7x3-2x2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше  было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

Ответ: (0, +∞).

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f)является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y=ln x2.

Решение

Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

Тогда получим систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 6

Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

Решение

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1].  Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

Преобразуем систему вида

x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

Ответ: (0, 1].

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)...f2(f3(...(fn(x)))∈D(f1).

Пример 7

Найти область определения y=sin(lg x4).

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3– логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения  функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

Ответ: [1, +∞).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 8

Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4– это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Пример 9

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

Решение

Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

Решение

Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

Функция f1определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения  D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

Значит, область определения для функции  f2имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Функция Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

f1, f2,..., fn

Пересечение множеств

D(f1), D(f2), ..., D(fn)

Сложная функция

y=f1(f2(f3(...fn(x))))

 

 

 

В частности, 

y=f1(f2(x))

Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),... ,f2(f3(...fn(x)))∈D(f1)

 

x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

Расположим функции и их области определения.

Функция Ее область определения

Прямая пропорциональность y=k·x

R
Линейная y=k·x+b R

Обратная пропорциональность  y=kx

-∞, 0∪0, +∞
Квадратичная y=a·x2+b·x+c R
y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 R
Целая рациональная R
y=C·f(x), где C - число D(f)

Дробная y=f1(x)f2(x)

 

 

В частности, если f1(x), f2(x) - многочлены

Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям
x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0

 

f2(x)≠0

y=f(x)n, где n - четное x∈D(f1), f(x)≥0

y=logf2(x)f1(x)

 

 

В частности, y=logaf1(x)

 

В частности, y=logf2(x)a

x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1

 

x∈D(f1), f1(x)>0

 

x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1

Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

Урок 37. Тема урока: «Функция. Область определения функции.учитель Леонова Л.М.

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Методическая разработка по алгебре (8 класс) ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Амосова Галина Владимировна, учитель математики и информатики ГБОУ СОШ 2 Василеостровского района Санкт-Петербурга «Метод

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса разработана в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учетом требований федерального компонента

Подробнее

Комментарий пояснение.

методическая разработка урока с использованием ИКТ Учебный предмет алгебра Тема урока Линейная функция 7 класс Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 10 г. Сочи

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В результате изучения курса алгебры в 8АВ, 8 ГД (группа А) классе учащийся научится знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

Подробнее

Конспект урока по теме:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Лицей 5» Конспект урока по теме: «Функции y = x 1 и y = x 2» Учитель: Сагарда И.В. г. Оренбург 2016 г. Аннотация к уроку Данный урок разработан в

Подробнее

Учебно- методический комплекс

Учебно- методический комплекс курсов «АЛГЕБРА» класса 11 «Б» учителя (Ф. И.О.) Зверевой Елены Станиславовны государственного бюджетного общеобразовательного учреждение Самарской области "Школа-интернат

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая учебная программа по алгебре в 9 классе составлена на основе следующих документов: 1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (приказ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по алгебре 9 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 120» «Рассмотрено» на заседании школьного методического объединения Председатель: Прохоренко Н. Н. Протокол 1 30.08.2017 «Согласовано» заместитель

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по

Подробнее

ББК Б94 ISBN

ББК 74. 262.21 Б94 Б94 Буцко Е.В. Алгебра : 7 класс : методическое пособие / Е.В. Буцко, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский и др. М. : Вентана-Граф, 2017. 104 с. : ил. ISBN 978-5-360-08673-4 Пособие содержит

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Курс математики в 9 классе состоит из двух разделов: «Алгебра», «Геометрия». На изучение алгебры в 9 классе отведено 102 часа за год На изучение геометрии отведено

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для 8 класса разработана и составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта начального общего, основного общего и среднего

Подробнее

Киселёва Ольга Львовна. Ход урока.

1.Организация класса. ( Слайд 1) Ход урока. Начинается урок. Он пойдёт ребятам впрок 2. Первичная актуализация. (Слайд 2) - Ребята, нужны ли нам умения решать задачи на движение? - Зачем они нам необходимы?

Подробнее

Ход урока: 1 Организационный момент.

Цель: Организовать деятельность учащихся по закреплению графического метода решения уравнений с параметром, проводить исследование на наличие корней уравнения для каждого значения параметра. Задачи: 1.

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметрами

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 7» Уравнения и неравенства с параметрами программа элективного курса для учащихся 9 классов Обсуждено на заседании

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цели обучения. Школьное математическое образование ставит следующие цели обучения: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности,

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 7 класса составлена на основе следующих документов: 1. Федеральный компонент государственного стандарта основного общего образования по математике.

Подробнее

УДК :512 ББК 22.14я721.6 М52

УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я721.6 М52 Мерзляк, А.Г. М52 Алгебра : 9 класс : cамостоятельные и контрольные работы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.

Подробнее

Рабочая программа по алгебре

МОУ: Наименование образовательного учреждения Рабочая программа по алгебре 8 класс Учитель Местонахождение образовательного учреждения 00-00 учебный год ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Школьное математическое образование

Подробнее

Содержание.

1. Пояснительная записка

Содержание. Пояснительная записка стр. описание места учебного предмета в учебном плане учебно-методический комплект планируемые результаты освоения предмета формы контроля. Содержание тем учебного предмета

Подробнее

Рабочая программа по алгебре

Муниципальное казенное образовательное учреждение «Ревякинская средняя общеобразовательная школа» Ясногорского района Тульской области УТВЕРЖДЕНО на заседании педагогического совета (протокол от 27.08.2014

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Рабочая программа составлена на основании: Учебного плана МБОУ «Средняя школа 15» на 2016/2017 учебный год. Положения о рабочей программе учебных предметов и курсов внеурочной деятельности

Подробнее

Тема: Решение систем уравнений

Цель урока: МОУ гимназия 11 г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 10 классе Урок 7 Тема:

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 8 класса и реализуется на основе следующих документов:. Государственный стандарт начального общего, основного общего и среднего

Подробнее

Место предмета в учебном плане Цели курса

Алгебра 7 класс Рабочая программа по алгебре для обучающихся 7 класса составлена в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования и примерной

Подробнее

Планируемые результаты

Повторение 7 часов. п/п Дата Тема урока Тип урока Основные вопросы 1. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 2. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 3 Повторение. Степени. Степень

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 7 класс

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы «Школа 830» 125362, г. Москва, ул. Большая Набережная, д.23, тел./факс: 8-495-491-13-45 ИНН/КПП

Подробнее

Что такое функция.

В материале представлено самое первое знакомство с функцией. Дано определение, приведены примеры функций, а также введены понятия области определения и области значений функций.

Просмотр содержимого документа
«Что такое функция. »

7 класс.

Что такое функция.

Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, что каждому значению переменной х соответствует только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой (или аргументом), а переменная узависимой (или значением функции).

Например, .

Каждая функция имеет область определения и область значений. Разберёмся, что это такое.

Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная х (аргумент). Обозначается она так: .

Например, рассмотрим функцию . Нам нужно определить, какие значения может принимать х. Так как на 2 мы можем умножить любое число и от любого результата можем отнять 1, то х может принимать абсолютно любые значения. Значит, – любое число.

Рассмотрим теперь функцию . Здесь мы замечаем, что х находится в знаменателе, а всем известно, что на 0 делить нельзя. Поэтому, мы находим число, при котором знаменатель станет равным 0. Это число . Значит, х может принимать любые значения, кроме . Поэтому, – любое число, кроме .

Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная у (значение функции). Обозначается она так: .

Как находить область значений функции мы рассмотрим, когда будем изучать тему «Графики функций».

Функция может выражаться не только переменными х и у. Если рассматривать задачу о нахождении периметра квадрата со стороной а см, то формула, по которой находится этот периметр также является функцией. Здесь а – независимая переменная, а Pзависимая переменная, так как понятно, что периметр зависит от стороны квадрата, т.е. каждому значению а соответствует только одно значение P.

  1. В начале нагревания температура воды была . При нагревании температура воды повышалась на в минуту. Задайте функцию зависимости температуры воды от времени нагревания .

  2. Турист отошёл от лагеря на 8 км и остановился отдохнуть. Потом он продолжил движение со скоростью 6 км/ч. Задайте функцию зависимости расстояния , пройденного туристом, от времени , которое отсчитывается после отдыха.

  3. Закипев при температуре , вода начала охлаждаться. Каждую минуту её температура понижалась на . Задайте функцию зависимости температуры воды от времени её охлаждения .

  4. Поезд находится на расстоянии 50 км от города и удаляется от него со скоростью 40 км/ч. Задайте функцию зависимости расстояния (км) от между городом и поездом от времени (ч) движения поезда.

  5. Поезд находится на расстоянии 70 км от города и удаляется от него со скоростью 50 км/ч. Задайте функцию зависимости расстояния (км) от между городом и поездом от времени (ч) движения поезда.

  6. Периметр прямоугольника равен 16 см, длина одной его стороны равна х см. Задайте функцию зависимости площади от стороны х.

  7. Периметр прямоугольника равен 24 см, длина одной его стороны равна х см. Задайте функцию зависимости площади от стороны х.

  8. Расстояние между поездами 150 км, и они удаляются друг от друга, двигаясь в противоположных направлениях, со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Задайте функцию зависимости расстояния (км) между поездами от времени (ч) движения поездов.

  9. Расстояние между поездами 180 км, и они удаляются друг от друга, двигаясь в противоположных направлениях, со скоростями 50 км/ч и 60 км/ч. Задайте функцию зависимости расстояния (км) между поездами от времени (ч) движения поездов.

  10. Одна из сторон прямоугольника равна х см, а периметр равен см. Задайте функцию зависимости площади этого прямоугольника от стороны х.

  11. Одна из сторон прямоугольника равна х см, а периметр равен см. Задайте функцию зависимости площади этого прямоугольника от стороны х.

  12. Из равенства найдите зависимость переменной у от переменной х.

  13. Из равенства найдите зависимость переменной у от переменной х.

  14. Из равенства найдите зависимость переменной у от переменной х.

  15. Из равенства найдите зависимость переменной у от переменной х.

  16. Дана функция . Найдите зависимость переменной х от переменной у.

  17. Дана функция . Найдите зависимость переменной х от переменной у.

  18. Дана функция . Найдите зависимость переменной х от переменной у.

  19. Дана функция . Найдите зависимость переменной х от переменной у.

  20. Найдите область определения функций:

  1. Задайте формулой функцию, если известно, что:

  1. значения функции противоположны значениям аргумента;

  2. значения функции в 2 раза больше значений аргумента;

  3. значения функции на 3 меньше, чем удвоенные значения аргумента;

  4. значения функции равны значениям аргумента;

  5. значения функции в 2 раза меньше значений аргумента;

  6. значения функции на 1 больше, чем утроенные значения аргумента.

2

Что такое функция, или Функция рядом с нами. 7-й класс

Самые простые наблюдения подчас приводят к очень важным выводам. Ход истории показал, что выводы из наблюдений за различными процессами сыграли фундаментальную роль в развитии науки и техники.

Тема «Функция» в школьной программе обширна и многогранна в своих приложениях. Эта тема является одной из важнейших для всего курса математики.Она вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовых задач и др. Мы не думаем, что все выпускники школы в будущем станут математиками, но мы уверены, что будущие абитуриенты высших учебных заведенийдолжны уверенно владеть понятием функциональной зависимости, свободно строить графики функций, находить области определения и т.д. Поэтому так важно сформировать основные понятия,связанные с данной темой у семиклассников уже на первых этапах ее изучения.

Урок «Что такое функция или функции вокруг нас» - первый в изучении темы «Функция». Необходимо заинтересовать и замотивировать ребят к дальнейшей плодотворной работе. Поэтому наглядность играет большую роль. Вследствие этого – презентация к уроку, плакаты с основными понятиями, раздаточный материал.

В подготовке уроков мне всегда является огромным методическим подспорьем личный, систематизированный по темам, архив Приложения Математика газеты «Первое сентября». В данном случае есть целая подборка материала по теме «Функция», откуда взят материал [8]. К сожалению, некоторые статьи, из которых тоже заимствована часть материала к уроку, отксерокопированы давно без указания номера газеты или журнала и года издания.Полный список использованных источников указан в конце статьи.

Цели и задачи:

  1. Привести учащихся к пониманию самого понятия функции и ее значения в жизни человека.
  2. Развитие умения решения задач по теме.
  3. Содействовать развитию у учащихся умений исследовать познавательные объекты, сравнивать, находить соответствия и делать выводы.

Сценарий урока (2 часа) (форма урока – ЛЕКЦИЯ с практической работой)

Техническое оснащение урока: компьютер, проектор, экран, магнитная дока.

Дидактические материалы:

  • Раздаточная папка «Функции и их графики»
  • Плакаты формата А4 с эпиграфом к уроку, с основными определениями, с формулами функций для устной работы.
  • Тетрадь с пропечатанной основой (ТПО) «Задания для обучения и развития учащихся, Алгебра, 7 класс», Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. [9].
  • Карточки с домашним заданием.

Рисунок 1

Лекционная часть

Учитель: Если мы будем рисовать ряд окружностей, все более и более увеличивая радиус, то и сама окружность будет увеличиваться. Следовательно, длина окружности зависит от радиуса. В математике всякое правило, устанавливающее подобное соответствие, называется функцией.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему нашего с вами УРОКА я обозначила так:

«Что же такое функция или функции рядом с нами».

Эпиграфом предлагаю взять следующие слова:

«Математическими портретами закономерностей природы служат функции»

Презентация – 1 часть: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ (слайды 2-10)

Работа с раздаточным материалом «Что такое функция?»:

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ?

Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно – лишь в начале прошлого века. И хотя математики имели дело с различными конкретными функциями почти на каждом шагу многовекового развития науки, все же должен был быть пройден долгий путь постепенной кристаллизации элементарных понятий и их обобщений, пока ученые пришли к необходимости общего определения функции и нашли его.

Впервые в печати формулировка определения функции как аналитического выражения или «функции вообще» появилась в одной работе ученика и сотрудника Готфрида Вильгельма Лейбница, Иоганна Бернулли в 1718 году.

С проблемой общего определения функции в середине XVIII века столкнулись крупнейшие математики того времени, Жан ле Рон Даламбер и Леонард Эйлер, в решении задачи о колебаниях струны. В спор с ними ввязался молодой математик, сын Иоганна Бернулли, Даниил Бернулли. Но в их формулировках еще ничего не говорилось о допустимом характере зависимости «первых» величин от «вторых», они оставались достаточно расплывчатыми, так что каждый из последующих математиков был волен истолковывать их на свой лад. Свою лепту внесли Сильвестр Франсуа Лакруа, Жозеф Фурье, Коши, Николай Иванович Лобачевский, Петер Лежен Дирихле. Математики даже разбились на два лагеря – сторонников определения функции «по Дирихле», не требующих обязательного правила, и сторонников определения функции «по Лобачевскому», требующих обязательного правила из конечного числа слов.

В конце двадцатых годов прошлого века над определением функции возникла новая угроза, теперь уже со стороны физиков. Теория явлений в физике микромира, новая эпоха в развитии новой физики, потребовала введения нового объекта – «дельта-функции». Здесь возникли очень серьезные разногласия между физиками и математиками, и тем значительнее представляется заслуга советского математика С.Л. Соболева, который открыл класс объектов, удовлетворяющих всем выдвинутым требованиям; впоследствии они были названы «обобщенными функциями».

Последняя форма определения функции еще не означает конца ее истории. Можно не сомневаться, что в дальнейшем под воздействием новых требований как самой математики, так и других наук – физики, биологии, науки об обществе, определение функции будет изменяться и каждое следующее изменение будет открывать новые горизонты науки и приводить к важным открытиям. 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных. И. Бернулли, 1718.

Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки. Л. Эйлер, 1748.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755.

Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.

С. Лакруа, 1797.

Функция от x есть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость может существовать и оставаться неизвестной. Н.И. Лобачевский, 1834.

Y есть функция от x, если всякому значению x соответствует вполне определенное значение y, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие. П. Дирихле, 1837.

Презентация – 2 часть: ФУНКЦИИ РЯДОМ С НАМИ (слайды 11-19)

Слайд 13 «Знание законов природы…» - в продолжении рассказ русского математика Игнатьева:

«Как-то проездом через некий уездный городок он узнал, что в городе есть своего рода чудо-математик. Тот решал всякую предложенную ему задачу чрезвычайно быстро, почти не думая, при помощи всего-навсего обыкновенной шахматной доски. Удивительно! Но, быть может, секрет этого доморощенного математика окажется не столь уж загадочным, если сообразить, на что похожа шахматная доска? Это та же бумага в клетку, удобная для построения графиков!»

Слайды 14-16.

Давайте теперь рассмотрим еще один интересный вопрос. Этот вопрос обсуждают персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающихся двух новых отраслей науки»:

«Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?

Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его бы увеличился в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей не хватило бы выдержать увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью. Рассуждение вполне строгое и убедительное.

Строгость и убедительность ему придало знание собеседниками двух функциональных зависимостей: первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами – объем изменяется как куб размера; вторая связывает размеры подобных фигур и их площади – площадь изменяется как квадрат размера.

Говоря на математическом языке, линейный размер играет роль независимой переменной или аргумента, а объем и площадь являются зависимыми переменными или функциями.»

Запишем в тетради определения функции и графика функции.

(Слайды 10 и 16)

Практическая часть

1. Слайд 17 «Чтобы наглядно проиллюстрировать…»

Третий лист раздаточной папки «Функции рядом с нами» - обсуждение с классом.

Функции рядом с нами.

Знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция. Чтобы наглядно проиллюстрировать характерные свойства функции, обратимся к пословицам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

  1. «Чем дальше в лес, тем больше дров». Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушки (S), где давным-давно все собрано, до чащобы, куда еще не ступала нога заготовителя.
  2.  «Каши маслом не испортишь». Количество каши можно рассматривать, как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, качество каши не понижается с добавкой масла. Подобного рода функции называются монотонно не убывающими.
  3. «Дальше от кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, – монотонно убывающая функция.
  4. «Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».
  5. «Пересев хуже недосева». Вековой опыт свидетельствует: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, а далее он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают «глушить» друг друга. В виде графика урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы «вершина горы», с которой все дороги ведут вниз, куда ни шагни.
  6. «Не круто начиная, круто кончай». Эта пословица может быть включена в правила научной организации труда. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее есть тоже своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл». Обе функции, зависимы от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, «расти» можно по-разному.
  7. Сказка «про белого бычка». Если изобразить на графике эту сказку, мы получим периодическую функцию. Еще одним примером периодической функции является прибаутка: «У попа была собака – он ее любил…» и т.п. Что такое периодичность? Периодичностью в обычной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Однако повторяемость может быть более или менее строгой, достаточно сравнить между собой приведенные тексты.

2. Разминка (устная работа):

ТПО, стр. 30-31, № 38-39

3. Первая – вторая страница раздаточной папки (Приложение 1 и Приложение 2).

Ну, а теперь попробуем найти вот такие соответствия:

Каждой из следующих ситуаций соотнесите график функции, который описывает ее.

1 – н

2 – г

3 – ж

4 – а

5 – б

6 – з

7 – е

8 – д

9 – м

10 – и

11 – к

12 – л

Перемена.

4. ТПО стр. 29, №37

Функция задана таблицей. Заполним пропуски. Обратить внимание учащихся как обозначается область определения и область значений функции. Построим график, из чего он состоит – обратить внимание учащихся на определение графика и определение самой функции.

5. Работа с учебником (Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс : для углубленного изучения алгебры). Стр. 196-198[10]

Разбор определений функции, зависимой переменной, независимой переменной или аргумента, области определения функции и области значения функции, числовой функции.

6. Работа с классом – обобщение.

Пример соответствия двух множеств: множество действительных чисел и множество натуральных чисел, являющихся их квадратами. Запись формулы, таблицы значений.

Вопрос: Как можно задать функцию? – исходим из того, что делали, какие задания были. Запись способов задания функции.

7. У меня есть три каточки с формулами функций и три карточки с графиками. Кто попробует установить соответствие между ними?

(Карточки на магнитах на доске – функции у=x, y= х2, y= х3 и их графики. )

Проверяем работу ученика и обсуждаем.

Объясняю, что аналогичная работа будет и дома в ТПО№168, надо упростить формулы функций, преобразовав выражения в правой стороне заданных функций и найти соответствие на предложенных графиках, определив, какая из данных линий может быть использована для создания графика каждой из них. К тому же, надо еще и достроить оси координат. Обратить внимание на карточки с формулами и графиками на доске, для которых искали соответствие.

8. Дома я предлагаю продолжить работу по данной тематике (раздаю отпечатанные карточки):

Домашнее задание:

а) глава 7 учебника, § 14 – прочитать, внимательно рассмотреть примеры: будем обсуждать, № 980

б) ТПО №168, стр. 140

в) предлагаю на выбор следующие творческие задания:

  • составить практическую задачу, решение которой можно иллюстрировать с помощью графика функций;
  • самим найти пословицы, которые можно интерпретировать с помощью графиков функций.
  • с помощью графиков функций проиллюстрировать смысл найденных пословиц и пословиц, предложенных на уроке.

9. Итог урока.

Учитель: Итог нашего урока я выразила с помощью презентации «Функции в нашей жизни».

Слайды 20-32.

Учитель: Любоваться природой можно и не зная математики. Но понять ее, увидеть ее, то, что скрыто за внешними образами явлений можно лишь с помощью точной науки. Только она позволяет заметить, что в явлениях природы есть формы и ритмы, недоступные глазу созерцателя, но открытые глазу аналитика.

Урок закончен, спасибо за урок.

Использованная литература и интернет-ресурсы:

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс. / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение. - 1982.
  2. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. / В.Д. Чистяков. – Минск: “Народная освета”. - 1969.
  3. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. / К.А. Малыгин. - М.:Учпедгиз. - 1958.
  4. Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов.энциклопедия. - 1988.
  5. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
  6. https://urok.1sept.ru/authors/103-256-737/Нагоева Эльвира Германовна, учитель информатики
  7. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. / В.С. Крамор. – М. : Просвещение, 1990.
  8. Григорьева В. Лекция «Функции рядом с нами». // Приложение Математика, №4. – М. : из-во Первое сентября, 2003. – с. 1-4, 6.
  9. Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 7 класс.Задания для обучения и развития учащихся. / Е.А.Лебединцева, Е.Ю.Беленкова.– М. : Интеллект-центр, 2005.
  10. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс : для углубленного изучения алгебры. / Ю.Н. Макарычев, Г. Н. Миднюк, И.Е. Феоктистов. – 8-е изд. – М. : Мнемозина, 2008.

Функция в 7 классе

Алгебра. 7 класс. Параграф 5. Тест 1.

Вариант I.

1. Найти область определения функции, заданной формулой у=2х2+5.

A) х ≠ 0; B) х — любое число; C) х ≠ -2,5; D) х ≠ -5.

2. Найти область определения функции, заданной формулой

A) х ≠ -3; B) х — любое число; C) х ≠ 4; D) х ≠ 0.

3. Найти область определения функции, заданной формулой

A) х ≠ 0; B) х — любое число; C) х ≠ 5; D) х ≠ -4.

4. Найти область определения функции, заданной формулой

A) х ≠ 0; B) х — любое число; C) х ≠ 1; D) х ≠ 0, х ≠ 1.

5. Функция задана формулой у = -3х. Найти значение этой функции для аргумента, равного (-12).

A) 4; B) 36; C) 32;  D) -36.

6. Функция задана формулой у = 2х + 7. Найти значение этой функции для аргумента, равного (-8).

A) -7,5; B) -23; C) -9;  D9.

7. Функция задана формулой

Найти значение этой функции для аргумента, равного 10.

A) -1,4; B) -140; C) 0,7;  D) -14.

8. Функция задана формулой

Найти значение этой функции для аргумента, равного 5.

A) -0,2; B) 0,4; C) 0,2;  D5.

9. Функция задана формулой у = -4х. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 0,32.

A) -0,8; B) -0,08; C) -12,8;  D) 0,08.

10. Функция задана формулой у = 0,8х+5. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 7,4.

A) 0,3; B) 30; C) -3;  D3.

11. Функция задана формулой

Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 4,5.

A) 2; B) 20; C) -2;  D) 4,5.

12. Функция задана формулой

Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 3.

A) 3; B) 4; C) -2;  D2.

 

Вариант II.

1. Найти область определения функции, заданной формулой:

A) х ≠ 0; B) х — любое число; C) х ≠ -2; D) х ≠ 2.

2. Найти область определения функции, заданной формулой:

у=-х2+4х-1.

A) х ≠ -1; B) х — любое число; C) х ≠ 4; D) х ≠ 0.

3. Найти область определения функции, заданной формулой:

A) х ≠ -1; B) х — любое число; C) х ≠ 1; D) х ≠ 0.

4. Найти область определения функции, заданной формулой:

A) х ≠ 0; B) х — любое число; C) х ≠ -4; х ≠ 0; D) х ≠ -4.

5. Функция задана формулой у = 2х+1. Найти значение этой функции для аргумента, равного (-6).

A) -14; B) -10; C) -11;  D) -16.

6. Функция задана формулой у = -4х. Найти значение этой функции для аргумента, равного 5.

A) -20; B) -21; C) -20;  D) -18.

7. Функция задана формулой у =8/x. Найти значение этой функции для аргумента, равного 1,6.

A) 6; B) 4; C) 7;  D5.

8. Функция задана формулой:

Найти значение этой функции для аргумента, равного (-3).

A) -0,12; B) -0,25; C) -0,3;  D) -0,5.

9. Функция задана формулой у = -7х. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 2,8.

A) -19,6; B) -0,35; C) -0,4;  D) -0,8.

10. Функция задана формулой у = 0,6х-5. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно (-2,4).

A) 3; B) 6; C) 4;  D5.

11. Функция задана формулой y=12/x. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 1,5.

A) 6; B) 10; C) 8;  D) 7,5.

12. Функция задана формулой:

Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 2.

А) -4;  B) 4;  C) -1,6;  D) -2.

Справочные материалы.

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. Записывают: y = f(x). Независимую переменную x называют аргументом. Зависимую переменную y называют функцией.

Множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), называют областью определения функции y=f(x) и обозначают D(f) или D(у).

Множество всех значений функции y=f(x) называют областью значений функции и обозначают Е(f) или Е(у).

Функцию можно задать графическим, словесным, табличным или аналитическим способом. Аналитический способ задания функции означает, что зависимость между переменными x и y задается посредством формулы (выражения).

Сверить ответы.


Поделиться новостью в соцсетях