Область определения функции g отрезок 2 6 найдите: Область определения функции g отрезок [-2;6]. Найди нуль функции, промежутки возрастания и убывания, область значения…

Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x₂;x₃] и [x₄;x₅]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x₁;x₂] и [x₃;x₄].

Кратко это записывают так:

   

   

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x₁;x₃

], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x₂>x₁ на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x₂)>f(x₁) либо f(x₂)>f(x₁), то есть определить f(x₂)-f(x₁)>0 или f(x₂)-f(x₁)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x₂>x₁.

f(x₁)=x₁²+4x₁, f(x₂)=x₂²+4x₂,

f(x₂)-f(x₁)=(x₂²+4x₂)-(x₁²+4x₁)=x₂²+4x₂-x₁²-4x₁=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x₂²-x₁²)+(4x₂-4x₁)=(x₂-x₁)(x₂+x₁)+4(x₂-x₁)=

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

=(x₂-x₁)(x₂+x₁+4).

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4<0. Значит, (x₂-x₁)(x₂+x₁+4)<0 и f(x₂)<f(x₁). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

   

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x₂>x₁.

   

   

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0.

Для x₁, x₂ ∈ (2;+∞) (2-x₁)(2-x₂)>0. Значит,

   

Отсюда y(x₂)-y(x₁)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Рубрика: Функции | Комментарии        

Прошу ребята, нужно решить вопросы 4,5,6… -reshimne.ru

Новые вопросы

Ответы

4-верно nэz
5-верно 1эn
6-верно а, б, д, е, ж, и, к, м

Похожие вопросы

В коробке лежат 42 карандаша,из них 14 карандашей -красные,16 карандашей-синие,а астральные-зеленые. Какова вероятность того,что наугад взятый карандаш не будет ни красным,ни синим…

16/3 одну третью помогите срочно пожалуйста :(…

Помогите срочно: определите приблизительно диаметр земного шара в километрах. с помощью справочной литературы или интернета, выясните, насколько полученный результат отличается от среднего диаметра Земли.
…

Область определения функции g – отрезок [-3;5]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции….

60 баллов, помогите решить уравнение под буквой б, пожалуйста! Используя схему Горнера и если можно, то подробно
. ..

Упростите выражение: 3×(2а-7)+5…

Математика

Литература

Алгебра

Русский язык

Геометрия

Английский язык

Химия

Физика

Биология

Другие предметы

История

Обществознание

Окружающий мир

География

Українська мова

Українська література

Қазақ тiлi

Беларуская мова

Информатика

Экономика

Музыка

Право

Французский язык

Немецкий язык

МХК

ОБЖ

Психология

ФУНКЦИЯ • Большая российская энциклопедия

ФУ́НКЦИЯ (от лат. functio – ис­пол­не­ние, осу­ще­ст­в­ле­ние), од­но из ос­нов­ных по­ня­тий ма­те­ма­ти­ки, оз­на­чаю­щее за­ви­си­мость од­них пе­ре­мен­ных ве­ли­чин от дру­гих. Сло­во «ве­ли­чи­на» в этом оп­ре­де­ле­нии по­ни­ма­ет­ся в са­мом ши­ро­ком смыс­ле: это мо­жет быть име­но­ван­ное чис­ло, от­вле­чён­ное чис­ло (дей­ст­ви­тель­ное или ком­плекс­ное), неск. чи­сел (т. е. точ­ка про­стран­ст­ва) и во­об­ще эле­мент лю­бо­го мно­же­ст­ва.

Действительная функция одного действительного переменного

В про­стей­шем слу­чае, ко­гда ве­ли­чи­на – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, по­ня­тие «Ф.» оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Пусть ка­ж­до­му чис­лу $x$ из за­дан­но­го мно­же­ст­ва $E$ по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие чис­ло $y$, обо­зна­чае­мое $y=f(x)$ (чи­та­ет­ся «иг­рек ра­вен эф от икс»). То­гда го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $E$ за­да­на функ­ция $y=f(x)$, $x∈E$. При этом упот­реб­ля­ют­ся сле­дую­щие тер­ми­ны: $x$ – не­за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или ар­гу­мент; $y$ – за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или функ­ция; $E$ – мно­же­ст­во зна­че­ний, ко­то­рые мо­жет при­ни­мать $x$, – об­ласть оп­ре­де­ле­ния, или об­ласть за­да­ния Ф. (об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния Ф. мо­жет быть мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, ин­тер­вал, от­ре­зок и т. п.). Сло­ва «по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие» оз­на­ча­ют, что ука­зан оп­ре­де­лён­ный спо­соб, по ко­то­ро­му для ка­ж­до­го $x∈E$ на­хо­дит­ся зна­че­ние $y=f(x)$. Этот спо­соб в дан­ном слу­чае обо­зна­чен сим­во­лом $f$. Для обо­зна­че­ния Ф. при­ме­ня­ют­ся и др. бу­к­вы, напр. $y=g(x)$, $y=F(x)$, $s=h(t)$, $v=φ(s)$.

Во всех слу­ча­ях, ко­гда упот­реб­ля­ет­ся тер­мин «Ф.», под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, ес­ли не ого­во­ре­но про­тив­ное, од­но­знач­ная Ф., т. е. та­кое со­от­вет­ст­вие, при ко­то­ром ка­ж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та $x$ со­от­вет­ст­ву­ет толь­ко од­но зна­че­ние Ф. $y$. Ес­ли од­но­му и то­му же зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ст­ву­ет нес­коль­ко (быть мо­жет, да­же бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во) зна­че­ний $y$, то $y=f(x)$ на­зы­ва­ет­ся мно­го­знач­ной функ­ци­ей ар­гу­мен­та $x$.

Способы задания функции

Аналитический способ задания функции

Наи­бо­лее рас­про­стра­нён ана­ли­тич. {2m}.$$

Графический способ задания функции

Рас­про­стра­нён гра­фич. спо­соб за­да­ния Ф. Гра­фи­ком Ф. $y=f(x)$, $y∈E$, на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во то­чек плос­ко­сти с пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми $(x,y)$, где $x∈E$, $y=f(x)$. Гра­фич. спо­соб за­да­ния Ф. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся на прак­ти­ке. Так, мн. про­цес­сы из­ме­не­ния од­ной ве­ли­чи­ны в за­ви­си­мо­сти от дру­гой ис­сле­ду­ют­ся с по­мо­щью кри­вых, за­пи­сан­ных с по­мо­щью са­мо­пи­шу­щих при­бо­ров. Хо­тя гра­фик Ф. и не да­ёт воз­мож­но­сти точ­но­го оп­ре­де­ле­ния чис­лен­ных зна­че­ний $x$ и $y$, он на­гляд­но от­ра­жа­ет ка­че­ст­вен­ное по­ве­де­ние Ф. (не­пре­рыв­ность, мо­но­тон­ность, мак­си­му­мы и ми­ни­му­мы, точ­ки пе­ре­ги­ба и т. д.) и по­это­му яв­ля­ет­ся важ­ным сред­ст­вом ис­сле­до­ва­ния функ­ции.

Табличный способ задания функции

При таб­лич­ном спо­со­бе за­да­ния Ф. за­да­ёт­ся в ви­де таб­ли­цы, в ко­то­рой для ка­ж­до­го зна­че­ния ар­гу­мен­та ука­зы­ва­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щее ему зна­че­ние Ф. Та­кой спо­соб за­да­ния Ф. час­то при­ме­ня­ет­ся в тех слу­ча­ях, ко­гда об­ласть оп­ре­де­ле­ния со­сто­ит из ко­неч­но­го чис­ла зна­че­ний.

Действительная функция нескольких действительных переменных

Ф. от двух пе­ре­мен­ных оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Рас­смат­ри­ва­ет­ся мно­же­ст­во $E$ упо­ря­до­чен­ных пар чи­сел $(x,y)$. Ес­ли ка­ж­дой па­ре $(x,y)∈E$ по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие дей­ст­ви­тель­ное чис­ло $z$, то го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $E$ оп­ре­де­ле­на Ф. $z=f(x,y)$ от двух пе­ре­мен­ных $x$ и $y$. Т. к. ка­ж­дой па­ре чи­сел $(x,y)$ со­от­вет­ст­ву­ет на плос­ко­сти точ­ка с ко­ор­ди­на­та­ми $(x,y)$, то Ф. $f(x,y)$ за­да­на на мно­же­ст­ве $E$ то­чек плос­ко­сти. Гра­фик Ф. $z=f(x,y)$ мож­но изо­бра­зить в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, где за­да­на пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат $(x,y,z)$, в ви­де мно­же­ст­ва то­чек $(x,y,f(x,y))$, про­ек­ции ко­то­рых на плос­кость $(x,y)$ при­над­ле­жат мно­же­ст­ву $E$. Напр., гра­фик функ­ции $z=\sqrt{1-x^2-y^2},$ $x^2+y^2 ⩽ 1$, и име­ет­ся в ви­ду ариф­ме­тич. ко­рень, изо­бра­жа­ет­ся верх­ней по­ло­ви­ной ша­ро­вой по­верх­но­сти ра­диу­са 1 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат.

Ана­ло­гич­но мож­но рас­смат­ри­вать мно­же­ст­во $E$, со­стоя­щее из упо­ря­до­чен­ных сис­тем $(x_1,x_2,…,x_n)$ из $n$ чи­сел, и Ф. $z=f(x_1,x_2,…,x_n)$ от $n$ пе­ре­мен­ных, оп­ре­де­лён­ную на мно­же­ст­ве $E$.

Общее понятие функции

Пусть за­да­ны мно­же­ст­ва $E$ и $E_1$ эле­мен­тов лю­бой при­ро­ды и пусть ка­ж­до­му эле­мен­ту $x∈E$ по­став­лен в со­от­вет­ст­вие эле­мент $y∈E_1$, обо­зна­чае­мый $y=f(x)$. То­гда го­во­рят, что за­да­на функ­ция $y=f(x)$, $x∈E$, что час­то за­пи­сы­ва­ет­ся как $f:\,E→E_1$.

При­ня­та сле­дую­щая тер­ми­но­ло­гия: $x$ – не­за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или ар­гу­мент; $E$ – об­ласть оп­ре­де­ле­ния Ф., ка­ж­дый эле­мент $x∈E$ – зна­че­ние ар­гу­мен­та; $y$ – за­ви­си­мое пе­ре­мен­ное, или Ф., от ар­гу­мен­та $x$; $E_1$ – об­ласть зна­че­ний Ф., ка­ж­дый эле­мент $y∈E_1$ та­кой, что $y=f(x)$ для не­ко­то­ро­го зна­че­ния $x∈E$, на­зы­ва­ет­ся зна­че­ни­ем функ­ции. 2}$ ото­бра­жа­ет от­ре­зок $–1 ⩽ x ⩽ 1$ на от­ре­зок $0 ⩽ y ⩽ 1$.

Для Ф. $f(x)$ и $g(x)$ ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ют­ся ариф­ме­тич. опе­ра­ции: это Ф., при­ни­маю­щие (в тех слу­ча­ях, ко­гда это име­ет смысл) зна­че­ния $f(x)±g(x)$, $f(x)g(x)$, $f(x)/g(x)$.

Тер­мин «Ф.» ча­ще все­го ис­поль­зу­ет­ся толь­ко для обо­зна­че­ния чи­сло­вой Ф. от од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных (дей­ст­ви­тель­ных или ком­плекс­ных). В др. слу­ча­ях, как пра­ви­ло, ис­поль­зу­ют­ся спец. тер­ми­ны: опе­ра­тор, ото­бра­же­ние, пре­об­ра­зо­ва­ние, функ­цио­нал.

См. так­же Мо­но­тон­ная функ­ция, Не­пре­рыв­ная функ­ция, Пе­рио­ди­че­ская функ­ция, Спе­ци­аль­ные функ­ции, Чёт­ные и не­чёт­ные функ­ции, Эле­мен­тар­ные функ­ции.

Исторический очерк

Как и ос­таль­ные по­ня­тия ма­те­ма­ти­ки, по­ня­тие Ф. сло­жи­лось не сра­зу, а про­шло дол­гий путь раз­ви­тия. По су­ще­ст­ву, речь о функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­сти и её гра­фич. изо­бра­же­нии идёт в ра­бо­те П.  Фер­ма «Вве­де­ние и изу­че­ние пло­ских и те­лес­ных мест» (1636, опубл. в 1679). Изу­че­ние ли­ний по их урав­не­ни­ям в «Гео­мет­рии» Р. Де­кар­та (1637) так­же ука­зы­ва­ет на яс­ное пред­став­ле­ние о вза­им­ной за­ви­си­мо­сти двух пе­ре­мен­ных ве­ли­чин. У англ. ма­те­ма­ти­ка И. Бар­роу («Лек­ции по гео­мет­рии», 1670) в гео­мет­рич. фор­ме ус­та­нав­ли­ва­ет­ся вза­им­ная об­рат­ность дей­ст­вий диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния и ин­тег­ри­ро­ва­ния (ра­зу­ме­ет­ся, без упот­реб­ле­ния са­мих этих тер­ми­нов). Это сви­де­тель­ст­ву­ет о со­вер­шен­но от­чёт­ли­вом вла­де­нии по­ня­ти­ем Ф. В гео­мет­рич. и ме­ха­нич. ви­де это по­ня­тие мож­но най­ти и у И. Нью­то­на. Од­на­ко тер­мин «Ф.» впер­вые по­яв­ля­ет­ся лишь в 1692 у Г. Лейб­ни­ца, и при­том не со­всем в со­вре­мен­ном его по­ни­ма­нии. Лейб­ниц на­зы­ва­ет Ф. разл. от­рез­ки, свя­зан­ные с к.-л. кри­вой, напр. абс­цис­сы её то­чек. В пер­вом пе­чат­ном кур­се «Ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых» франц. ма­те­ма­ти­ка Г. Ло­пи­та­ля (1696) тер­мин «Ф. » не упот­реб­ля­ет­ся.

Пер­вое оп­ре­де­ле­ние Ф. в смыс­ле, близ­ком к со­вре­мен­но­му, встре­ча­ет­ся у И. Бер­нул­ли (1718): «Функ­ция – это ве­ли­чи­на, со­став­лен­ная из пе­ре­мен­ной и по­сто­ян­ной». В ос­но­ве это­го не впол­не от­чёт­ли­во­го оп­ре­де­ле­ния ле­жит идея за­да­ния Ф. ана­ли­тич. фор­му­лой. Та же идея вы­сту­па­ет и в оп­ре­де­ле­нии Л. Эйле­ра, дан­ном им во «Вве­де­нии в ана­лиз бес­ко­неч­ных» (1748): «Функ­ция пе­ре­мен­но­го ко­ли­че­ст­ва есть ана­ли­ти­че­ское вы­ра­же­ние, со­став­лен­ное ка­ким-ли­бо об­ра­зом из это­го пе­ре­мен­но­го ко­ли­че­ст­ва и чи­сел или по­сто­ян­ных ко­ли­честв». На про­тя­же­нии 18 в. от­сут­ст­во­ва­ло до­ста­точ­но яс­ное по­ни­ма­ние раз­ли­чия ме­ж­ду Ф. и её ана­ли­тич. вы­ра­же­ни­ем. С нач. 19 в. уже всё ча­ще и ча­ще оп­ре­де­ля­ют по­ня­тие Ф. без упо­ми­на­ния о её ана­ли­тич. вы­ра­же­нии. Та­кие оп­ре­де­ле­ния встре­ча­ют­ся в ра­бо­тах Ж. Фу­рье (1822), Д. Ди­рих­ле (1829, 1837), Н. И. Ло­ба­чев­ско­го (1834). Так сло­жи­лось совр. по­ня­тие Ф., сво­бод­ное от упо­ми­на­ния о её ана­ли­тич. за­да­нии.

Определение домена и диапазона по графику

Результаты обучения

• Поиск домена и диапазона по графику и уравнению.
• Укажите домен и диапазон функций инструментария.

Другой способ определить домен и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графика состоит из всех входных значений, показанных на оси [latex]x[/latex]. Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые показаны на оси [latex]y[/latex]. Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения.

Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от [латекс]-5[/латекс] вправо без границ, так что домен равен [латекс]\левый[-5,\infty \правый)[/латекс]. Вертикальный экстент графика — это все значения диапазона [latex]5[/latex] и ниже, поэтому диапазон равен [latex]\left(\mathrm{-\infty },5\right][/latex]. Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших значений к большим или слева направо для домена и от нижней части графика к верхней части графика для диапазона.0011

Пример: поиск домена и диапазона на графике

Найдите домен и диапазон функции [latex]f[/latex].

Показать решение

Пример: нахождение области определения и диапазона по графику добычи нефти

Найдите область определения и диапазон функции [latex]f[/latex].

(кредит: модификация работы Управления энергетической информации США)

Показать решение

Попробуйте

Имея график, определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

Показать решение

Вопросы и ответы

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, область определения и диапазон функции кубического корня — это множество всех действительных чисел.

Домен и диапазон функций инструментария

Теперь мы вернемся к нашему набору функций набора инструментов, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Для постоянной функции [latex]f\left(x\right)=c[/latex] область определения состоит из всех действительных чисел; ограничений на ввод нет. Единственным выходным значением является константа [latex]c[/latex], поэтому диапазоном является набор [latex]\left\{c\right\}[/latex], содержащий этот единственный элемент. В записи интервала это записывается как [латекс]\влево[с,с\право][/латекс], интервал, который начинается и заканчивается на [латекс]с[/латекс].

Для функции тождества [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] ограничений на [latex]x[/latex] нет. И домен, и диапазон являются набором всех действительных чисел.

Для функции абсолютного значения [latex]f\left(x\right)=|x|[/latex] ограничений на [latex]x[/latex] нет. { 2}[/latex], доменом являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика — это вся линия действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел. 9{3}[/latex], доменом являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика — это вся линия действительных чисел. То же самое относится к вертикальному размеру графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

Для обратной функции [латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/latex] мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области определения. Кроме того, 1, деленная на любое значение, никогда не может равняться 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации построителя наборов мы могли бы также написать [латекс]\влево\{х|\текст{ }х\ne 0\вправо \}[/latex], множество всех вещественных чисел, не равных нулю. 9{2}}[/latex], мы не можем делить на [latex]0[/latex], поэтому мы должны исключить [latex]0[/latex] из домена. Также нет [latex]x[/latex], который может выдавать 0, поэтому 0 также исключается из диапазона. Обратите внимание, что выход этой функции всегда положителен из-за квадрата в знаменателе, поэтому диапазон включает только положительные числа.

Для функции квадратного корня [latex]f\left(x\right)=\sqrt[]{x}[/latex] мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного действительного числа, поэтому домен должен быть 0 или выше. Диапазон также исключает отрицательные числа, поскольку квадратный корень из положительного числа [latex]x[/latex] определяется как положительный, хотя квадрат отрицательного числа [latex]-\sqrt{x}[/latex] также дает нам [латекс]x[/латекс].

Для функции кубического корня [latex]f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}[/latex] домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с извлечением кубического корня или любого корня из нечетного целого числа из отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Попробуйте

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Mathway | Популярные задачи 93-8

9	Оценка	квадратный корень из 12
10	Оценка	квадратный корень из 20
11	Оценка	квадратный корень из 50	94
18	Оценка	квадратный корень из 45
19	Оценка	квадратный корень из 32
20	Оценка	квадратный корень из 18	92

Объяснение урока: Область определения и диапазон кусочной функции

В этом объяснении мы узнаем, как найти область определения и диапазон кусочно-определенная функция.

Начнем с того, что напомним, что подразумевается под доменом и диапазоном функции.

Определение: Область определения и диапазон функции

Область определения функции — это набор всех входных значений функции.

Диапазон функции — это набор всех возможных выходов функции с учетом ее области определения.

Домен сообщает нам все входные данные, «разрешенные» для функции. Например, поскольку мы не может ввести 𝑥=0 в функцию 𝑓(𝑥)=1𝑥, так как это было бы неопределенно, ее домен не будет включать это значение 𝑥. Мы можем ввести любое другое значение 𝑥, поэтому домен эта функция равна ℝ−{0}.

Диапазон функции сообщает нам все возможные выходы этой функции, учитывая ее домен. Например, рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=𝑥, который имеет домен ℝ. С квадрат любого действительного числа неотрицательный, 𝑥≥0, поэтому эта функция только выводит неотрицательные действительные числа, но нам нужно проверить, какие из этих неотрицательных действительные числа являются выходами функции. Для этого покажем, что любое неотрицательное число является выходом этой функции. Если 𝑦≥0, то 𝑓√𝑦=√𝑦=𝑦.

Следовательно, диапазон этой функции на ℝ представляет собой набор неотрицательных действительных чисел, задается [0,∞[.

Мы можем использовать различные алгебраические методы и свойства функции для определить его домен и ареал. Однако часто это проще сделать с помощью эскиз. Рассмотрим следующий набросок 𝑦=𝑓(𝑥).

В эскизе любой функции точка на кривой имеет вид (𝑥,𝑓(𝑥)), где 𝑥 вход функции, а 𝑓(𝑥) — выход. Другими словами, 𝑥-координата каждая точка на кривой сообщает нам вход функции и 𝑦-координата говорит нам вывод функции.

Таким образом, мы можем использовать график функции, чтобы определить ее область определения и область значений. Чтобы определить область определения этой функции, мы хотим найти 𝑥-координату каждого точка на кривой. Мы можем сделать это, рассмотрев, какие вертикальные линии пересекают изгиб.

Например, если мы рисуем вертикальную линию 𝑥=2, мы видим, что она пересекает нашу кривую в точке точка (2,3). Следовательно, 2 находится в области определения нашей функции, а 3 — в ее диапазоне. Чтобы определить полную область определения нашей функции, нам нужно сделать это со всеми возможными вертикальная линия. Мы видим, что любая вертикальная линия 𝑥=𝑐 будет пересекать эту кривую. В частности, при 𝑥=0 имеем следующее:

Поскольку на графике 𝑦=𝑓(𝑥) есть сплошная точка (0,1), мы знаем функция определена в этой точке. Итак, вертикальная линия 𝑥=0 пересекает кривую и 𝑓(0)=1. Следовательно, поскольку все вертикальные линии пересекают кривую, ее домен ℝ.

Мы можем найти диапазон этой функции, рассматривая горизонтальные линии.

Например, прямая 𝑦=1 пересекает кривую в точке (0,1), поэтому 1 находится в диапазоне этой функции. Мы также можем видеть, что линия 𝑦=0 не пересекает кривую.

Поскольку кривая имеет пустую точку в начале координат, она не пересекает эту горизонталь. линия; на самом деле, для любого 𝑐∈[0,1[ линия 𝑦=𝑐 не будет пересекать нашу кривую и все остальные горизонтальные линии пересекают нашу кривую. Следовательно, диапазон этой функции ]−∞,0[∪[1,∞[.

Прежде чем мы обсудим определение области определения и диапазона кусочно-определенной функции, начнем с того, что вспомним, что мы подразумеваем под этими типами функций.

Определение: кусочная функция

Кусочная функция — это функция, состоящая из нескольких подфункций, с каждой подфункцией, определенной над подмножеством домена основной функции, называемым поддомен.

Уравнение кусочной функции записывается с фигурной скобкой для обозначения что он состоит из более чем одной подфункции. Примером кусочной функции является 𝑓(𝑥)=𝑥,𝑥0,𝑥+1,𝑥≥0, где 𝑓(𝑥)=𝑥, когда 𝑥0 и 𝑓(𝑥)=𝑥+1, когда 𝑥≥0.

В кусочно-определенной функции возможные входы функции задаются поддомены, в данном случае 𝑥0 и 𝑥≥0. Поэтому найти все возможные входы этой функции, нам нужно будет взять объединение всех поддомены. Для этой кусочной функции мы можем взять на вход 𝑥0, а также 𝑥≥0; комбинируя их, мы можем видеть, что это любое реальное значение 𝑥, поэтому его домен равен ℝ.

Чтобы найти диапазон кусочной функции, мы можем вместо этого рассмотреть диапазон каждого подфункция над своей подобластью. Поэтому, чтобы найти диапазон 𝑓(𝑥), мы рассматриваем диапазон каждой подфункции отдельно.

Во-первых, 𝑓(𝑥)=𝑥, когда 𝑥0. Следовательно, если мы введем значение 𝑐0 в функцию, получаем 𝑓(𝑐)=𝑐.

Следовательно, все значения 𝑐0 находятся в диапазоне этой подфункции.

Секунда, 𝑓(𝑥)=𝑥+1, когда 𝑥≥0. Добавление 1 к обеим сторонам неравенства нашей подобласти дает нам 𝑥+1≥1. Следовательно, когда 𝑥≥0, 𝑓(𝑥)≥1. Этого недостаточно, чтобы определить диапазон этой подфункции; нам нужно определить, какие значения подфункция достигает. Для этого положим 𝑐≥1 так, чтобы 𝑐−1≥0; это означает 𝑓(𝑐−1)=(𝑐−1)+1=𝑐.

Следовательно, все значения 𝑐≥1 находятся в диапазоне этой подфункции. Комбинируя диапазоны каждой подфункции, получаем, что диапазон 𝑓(𝑥) есть 𝑐0 и 𝑐≥1; мы можем представить это в интервальных обозначениях как ]−∞,0[∪[1,∞[.

Мы можем обобщить результаты, показанные в приведенном выше примере, следующим образом.

Определение: Область определения и область значений кусочно-определенной функции

Область определения кусочно-определенной функции представляет собой объединение ее подобластей.

Диапазон кусочно-определенной функции представляет собой объединение диапазонов каждого подфункция над своей подобластью.

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как найти домен и диапазон кусочно-определенная функция по ее графику.

Пример 1. Определение области определения и области значений кусочно-определенной функции по ее графику

Определение области определения и области значений функции 𝑓(𝑥)=6,𝑥0,−4,𝑥>0.

Ответ

Напомним, что областью определения функции называется множество всех входных значений функция, а диапазон функции — это множество всех возможных выходов функция, заданная ее доменом.

Мы можем определить оба этих параметра по графику функции. Запомнить, любая точка на кривой имеет вид (𝑥,𝑓(𝑥)), где 𝑥 будет в домен 𝑓 и 𝑓(𝑥) будет находиться в диапазоне 𝑓.

Чтобы найти домен 𝑓, нам нужно определить 𝑥-координаты всех точек кривой.

Рассмотрим следующие вертикальные линии.

На диаграмме (1) видно, что любая вертикальная линия для 𝑥0 пересекается Кривая. Точно так же на диаграмме (2) мы видим, что любая вертикальная линия для 𝑥>0 пересекает прямую. Таким образом, все эти значения 𝑥 должен находиться в области определения этой функции. Нам нужно проверить, если 𝑥=0 находится в области определения этой функции; мы можем проверить это, зарисовав линия 𝑥=0.

Поскольку наша кривая имеет полые окружности на линии 𝑥=0, она не определена при этом значении 𝑥; следовательно, 0 не находится в домене 𝑓(𝑥). Следовательно, область определения этой функции вся действительна. значения 𝑥, не равные 0, которые мы можем записать в системе обозначений как ℝ−{0}.

Стоит отметить, что мы можем проверить, что 0 не находится в домене 𝑓(𝑥), рассматривая подобласти функции, 𝑥0 и 𝑥>0, которые оба не включают 0. Объединение этих поддоменов также является доменом функции, ℝ−{0}.

Чтобы найти диапазон этой функции, мы могли бы рассмотреть, какие горизонтальные линии пересекать график. Однако в этом случае мы можем найти диапазон, рассматривая координаты точек на графике.

Мы видим, что если 𝑥0, то 𝑓(𝑥)=6. Аналогично, если 𝑥>0, то 𝑓(𝑥)=−4. Это означает, что единственными возможными выходами нашей функции являются 6 и −4, поэтому диапазон этой функции равен {−4,6}.

Следовательно, домен равен ℝ−{0}, а диапазон равен {−4,6}.

Пример 2. Определение диапазона кусочно-определенной функции по ее графику

Найти диапазон функции 𝑓(𝑥)=𝑥+5,𝑥∈[−5,−1],−𝑥+3,𝑥∈]−1,3].

Ответ

Вспомним, что областью значений функции является множество всех возможных выходов функция, заданная ее доменом. Чтобы найти диапазон этой функции, мы можем рассмотреть какие горизонтальные линии пересекают график.

На диаграмме (1) видно, что наибольший выход функции равен 𝑓(−1)=4. На диаграмме (2) мы видим, что наименьший выход функции равен 𝑓(−5)=𝑓(3)=0. Все значения между ними являются возможными выходами, дающими нам диапазон [0,4].

Следовательно, диапазон равен [0,4].

Пример 3. Определение области значений кусочно-определенных функций по их графикам

Определите область значений функции, представленной данным графиком.

Ответ

Вспомним, что областью значений функции является множество всех возможных выходов функция, заданная ее доменом. Помните, любая точка на нашем графике будет иметь вид (𝑐,𝑓(𝑐)), где 𝑓(𝑐) будет в диапазоне функции. Следовательно, мы можем найти диапазон этой функции, определяя 𝑦-координаты точек на ее графике.

На диаграмме (1), поскольку на нашем графике есть сплошная точка в точке (4,−1), мы видим, что самый низкий выход функции равен −1. На второй диаграмме видно, что наибольший выход функции равно 7.

Мы видим, что любая горизонтальная линия между этими значениями также пересекает кривой, поэтому диапазоном этой функции является любое значение между −1 и 7 включительно. В системе обозначений это [−1,7].

Следовательно, диапазон равен [−1,7].

В нашем следующем примере мы увидим, как определить домен кусочно-определенного функцию, не зная ее графика.

Пример 4. Определение области определения кусочно-определенной функции

Определение области определения функции 𝑓(𝑥)=𝑥+4,𝑥∈[−4,8],7𝑥−63,𝑥∈]8,9].

Ответ

Напомним, что область определения функции — это множество всех входных значений функции, а для кусочно-определенной функции это объединение ее подобластей.

Для этой функции субдомены [−4,8] и ]8,9]. Мы хотим взять союз из этих двух наборов, чтобы найти область определения 𝑓(𝑥): [−4,8]∪]8,9]=[−4,9].

Следовательно, домен равен [−4,9].

В нашем последнем примере мы увидим, как определить как домен, так и диапазон кусочно-определенная функция без заданного графика.

Пример 5. Определение области определения и диапазона кусочной функции

Определение области определения и диапазона функции 𝑓(𝑥)=𝑥−36𝑥−6𝑥≠6,12𝑥=6.если

Ответ

Напомним, что область определения функции — это множество всех входных значений функцией, а для кусочно-определенной функции — объединением ее подобластей.

Чтобы найти объединение поддоменов, мы начнем с записи их в терминах наборы. Во-первых, 𝑥≠6 совпадает с ℝ−{6}. Во-вторых, 𝑥=6 совпадает с {6}.

Следовательно, домен представляет собой объединение этих множеств: ℝ−{6}∪{6}=ℝ.

Диапазон функции — это набор всех возможных выходов функции, учитывая его домен. Для кусочно-определенной функции это будет диапазон подфункции над их подобластями. Таким образом, мы можем определить диапазон этого функцию, рассматривая каждую подфункцию отдельно.

Во-первых, если 𝑥≠6, 𝑓(𝑥)=𝑥−36𝑥−6=(𝑥−6)(𝑥+6)𝑥−6; поскольку 𝑥≠6, мы можем отменить общий множитель 𝑥−6: 𝑓(𝑥)=𝑥+6.

Затем мы можем нарисовать эту подфункцию.

Это прямая 𝑦=𝑥+6 с удаленной точкой 𝑥=6. Диапазон этого подфункция — это все возможные выходы. Единственная горизонтальная линия, которая не пересекают эту линию 𝑦=12, поэтому диапазон этой подфункции равен ℝ−{12}.

Вторая подфункция — постоянная функция 𝑓(𝑥)=12 на домене {6}. Поскольку выход постоянен, его диапазон {12}.

Объединение диапазонов подфункций дает нам ℝ−{12}∪{12}=ℝ.

Стоит отметить, что мы могли бы также набросать вторую подфункцию на том же график, чтобы полностью нарисовать 𝑓(𝑥). Вторая подфункция определяется только когда 𝑥=6, значит, он состоит из одной точки. У нас есть 𝑓(6)=12, поэтому добавляем точку (6,12) к нашему эскизу.

Тогда мы можем видеть, что 𝑓(𝑥) — это функция 𝑥+6.

Следовательно, домен равен ℝ, а диапазон равен ℝ.

Давайте закончим повторением некоторых важных моментов этого объяснения.

Ключевые моменты

• Область определения кусочно-определенной функции представляет собой объединение ее подобластей.
• Диапазон кусочно-определенной функции представляет собой объединение диапазонов каждого подфункция над своей подобластью.
• Мы можем найти область определения функции по ее графику, рассматривая пересечения кривой с вертикальными линиями.
• Мы можем найти диапазон функции по ее графику, рассматривая пересечения кривой с горизонтальными линиями.

Составные функции – объяснение и примеры

В математике функция – это правило, которое связывает данный набор входных данных с набором возможных выходных данных. Важно отметить, что каждый вход связан ровно с одним выходом.

Процесс именования функций известен как нотация функций. Наиболее часто используемые обозначения функций включают: «f(x) = …», «g(x) = …», «h(x) = …» и т. д.

В этой статье мы узнаем что такое составные функции и как их решать.

Что такое составная функция?

Если нам даны две функции, мы можем создать другую функцию, вставив одну функцию в другую. Шаги, необходимые для выполнения этой операции, аналогичны тому, когда любая функция решается для любого заданного значения. Такие функции называются составными функциями.

Составная функция — это обычно функция, написанная внутри другой функции. Композиция функции осуществляется путем замены одной функции на другую функцию.

Например, , f [g (x)] является составной функцией f (x) и g (x). Составная функция f [g (x)] читается как «f of g of x ». Функция g(x) называется внутренней функцией, а функция f(x) — внешней функцией. Следовательно, мы можем также прочитать f[g(x)] как «функция g является внутренней функцией внешней функции f ».

Как решать составные функции?

Решение сложной функции означает нахождение композиции двух функций. Мы используем маленький кружок (∘) для обозначения функции. Вот шаги по решению составной функции:

• Перепишите композицию в другой форме.

Например,

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x² ) = f [g (x²)]

• Замените переменную x во внешней функции на внутреннюю.
• Упрощение функции.

Примечание: Порядок в составе функции важен, потому что (f ∘ g) (x) НЕ совпадает с (g ∘ f) (x).

9Пример 1 (Икс).

Решение

Подставим x на 2x – 1 в функции f(x) = x ²  + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x – 1) ²  + 6 = ( 2x – 1) (2x – 1) + 6

Применение ФОЛЬГИ
= 4x ² – 4x + 1 + 6
= 4x ² – 4x + 7

Пример 2

Учитывая функции g (x) = 2x – 1 и f (x) = x ²  + 6, найдите (g ∘ f) (x).

Решение

Подставить x на x ² + 6 в функции g (x) = 2x – 1
(g ∘ f) (x) = 2(x ² + 6) – 1 1

Используйте распределительное свойство, чтобы удалить круглые скобки.
= 2x ²  + 12 – 1
= 2x ²  + 11

Пример 3

Учитывая f (x) = 2x + 3, найдите (f ∘ f) (x).

Решение

(F ∘ F) (x) = F [F (x)]

= 2 (2x + 3) + 3

= 4x +

Пример 4

Найдите (g ∘ f) (x), учитывая, что f (x) = 2x + 3 и g (x) = –x ²  + 5

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x )]. 5
= –4x ²  – 12x – 9 + 5
= –4x ²  – 12x – 4

+ 4 и g (x) = x – 3

Решение

Сначала найдите значение f(g(x)).

⟹ f (g (x)) = 5(x – 3) + 4

= 5x – 15 + 4

= 5x – 11

Теперь подставим x в f(g(x)) на 6

⟹ 5(6) – 11

⟹ 30 – 11

= 19

Следовательно, f [g (6)] = 19

Пример 6

Найдите f [g (5)], учитывая, что f (x) = 4x + 3 и g (x) = x – 2. значение f[g(x)].

⟹ f(x) = 4x + 3

⟹ g(x) = x – 2

f[g(x)] = 4(x – 2) + 3

= 4x – 8 + 3

= 4x ​​– 5

Теперь оцените f [g (5)], заменив x в f[g(x)] на 5.

f [g (x)] = 4(5) – 5

= 15

Следовательно, f [g (5)] = 15,

Пример 7

Учитывая g (x) = 2x + 8 и f (x) = 8x², найти (f ∘ g) (x)

Решение

(f ∘ ) = f [g(x)]

Замените x в f(x) = 8x² на (2x + 8)

⟹ (f ∘g) (x) = f [g(x)] = 8(2x + 8) ²

⟹ 8 [4x² + 8² + 2(2x) (8)]

⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]

⟹ 32x² + 512 + 256 x

x 59 + 1516 32x²

Пример 8

Найти (g ∘ f) (x), если f(x) = 6 x² и g(x) = 14x + 4

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f(x)]

Подставить x в g(x) = 14x + 4 с 6 x²

⟹g [f(x)] =14 (6 x²) + 4

= 84 x² + 4

Пример 9

Рассчитайте (f ∘ g) (x), используя f(x) = 2x + 3 и g(x) = — х ² + 1,

Решение

(f ∘ g) (x) = f(g(x))
= 2 (g(x)) + 3
= 2(-x ² + 1) + 3
= – 2 x  ²  + 5

Пример 10

Учитывая f(x) = √ (x + 2) и g(x) = ln (1 – x  ² ), найдите область определения (g ∘ f) (x).

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g(f(x))
⟹ ln (1 – f(x)  ² ) = ln (1 – √ (x + 2) ² )
⟹ ln (1 – (x + 2))
= ln (- x – 1)

Присвоить x + 2 значение ≥ 0

Следовательно, домен: [-2, -1]

Пример 11

Даны две функции: f = {(-2, 1), (0, 3), (4, 5)} и g = {(1, 1), (3, 3), (7 , 9)}, найти (g ∘ f) и определить его область определения и область значений.

Решение

⟹ (g ∘ f) (-2) = g [f (-2)] = g (1) = 1
⟹ (g ∘ f) (0) = g [f (0) ] = g(3) = 3
⟹ (g ∘ f)(4) = g[f(4)] = g(5) = undefined

Следовательно, g ∘ f = {(-2, 1), ( 0, 3)}

Следовательно, домен: {-2, 0} и диапазон: {1, 3}

4.7 Задачи на максимум/минимум — исчисление, том 3

Цели обучения

• 4.7.1 Используйте частные производные, чтобы найти критические точки для функции двух переменных.
• 4.7.2 Примените тест второй производной, чтобы определить критическую точку как локальный максимум, локальный минимум или седловую точку для функции двух переменных.
• 4.7.3 Исследуйте критические точки и граничные точки, чтобы найти абсолютные максимальные и минимальные значения для функции двух переменных.

Одним из наиболее полезных применений производных функции одной переменной является определение максимальных и/или минимальных значений. Это приложение также важно для функций двух или более переменных, но, как мы видели в предыдущих разделах этой главы, введение большего количества независимых переменных приводит к большему количеству возможных результатов вычислений. Основные идеи поиска критических точек и использования производных тестов по-прежнему актуальны, но появляются новые морщины при оценке результатов.

Критические точки

Для функций одной переменной мы определили критические точки как значения функции, когда производная равна нулю или не существует. Для функций двух и более переменных концепция по существу та же, за исключением того факта, что мы теперь работаем с частными производными.

Определение

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных, определенная на открытом множестве, содержащем точку (x0,y0).(x0,y0). Точка (x0,y0)(x0,y0) называется критической точкой функции двух переменных ff, если выполняется одно из двух следующих условий:

1. fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
2. Либо fx(x0,y0), либо fy(x0,y0),fx(x0,y0), либо fy(x0,y0) не существует.

Пример 4,38

Поиск критических точек

Найдите критические точки каждой из следующих функций:

1. f(x,y)=4y2−9×2+24y+36x+36f(x,y)=4y2−9×2+24y+36x +36
2. g(x,y)=x2+2xy−4y2+4x−6y+4g(x,y)=x2+2xy−4y2+4x−6y+4

Решение

1. Сначала мы вычисляем fx(x,y)иfy(x,y):fx(x,y)иfy(x,y):

   fx(x,y)=12(−18x+36)(4y2−9×2+24y+36x+36)−1/2=−9x+184y2−9×2+24y+36x+36fy(x,y)=12 (8y+24)(4y2-9×2+24y+36x+36)-1/2=4y+124y2-9×2+24y+36x+36. fx(x,y)=12(-18x+36)(4y2- 9×2+24y+36x+36)−1/2=−9x+184y2−9×2+24y+36x+36fy(x,y)=12(8y+24)(4y2−9×2+24y+36x+36)−1 /2=4у+124у2-9х2+24у+36х+36.

   
   Далее приравняем каждое из этих выражений к нулю: +36x+36=04y+124y2−9×2+24y+36x+36=0.
   
   Затем умножьте каждое уравнение на его общий знаменатель:

   −9x+18=04y+12=0,−9x+18=04y+12=0.

   
   Следовательно, x=2x=2 и y=−3,y=−3, поэтому (2,−3)(2,−3) является критической точкой ф.ф.
   Мы также должны проверить возможность того, что знаменатель каждой частной производной может быть равен нулю, что приводит к тому, что частная производная не существует. Поскольку знаменатель в каждой частной производной один и тот же, нам нужно сделать это только один раз:

   4y2−9×2+24y+36x+36=0,4y2−9×2+24y+36x+36=0.

   
   Это уравнение представляет собой гиперболу. Отметим также, что область определения ff состоит из точек, удовлетворяющих неравенству

   4y2−9×2+24y+36x+36≥0,4y2−9×2+24y+36x+36≥0.

   
   Следовательно, любые точки гиперболы являются не только критическими точками, но и границей области. Чтобы привести гиперболу к стандартной форме, воспользуемся методом заполнения квадрата: 6y)−9(x2−4x)=−364(y2+6y+9)−9(x2−4x+4)=−36+36−364(y+3)2−9(x−2)2= −36,4y2−9×2+24y+36x+36=04y2−9×2+24y+36x=−364y2+24y−9×2+36x=−364(y2+6y)−9(x2−4x)=−364(y2+6y +9)−9(x2−4x+4)=−36+36−364(y+3)2−9(х-2)2=-36.
   
   Разделив обе части на −36−36, получим стандартную форму уравнения:

   4(y+3)2−36−9(x−2)2−36=1(x−2)24−(y+3 )29=1,4(у+3)2-36-9(х-2)2-36=1(х-2)24-(у+3)29=1.

   
   Обратите внимание, что точка (2,−3)(2,−3) является центром гиперболы.
2. Сначала мы вычисляем gx(x,y)andgy(x,y):gx(x,y)andgy(x,y):

   gx(x,y)=2x+2y+4gy(x,y)= 2x−8y−6.gx(x,y)=2x+2y+4gy(x,y)=2x−8y−6.

   
   Далее мы устанавливаем каждое из этих выражений равным нулю, что дает систему уравнений в xandy:xandy:

   2x+2y+4=02x-8y-6=0,2x+2y+4=02x-8y-6=0.

   
   Вычитание второго уравнения из первого дает 10y+10=0,soy=-1,10y+10=0,soy=-1. Подстановка этого в первое уравнение дает 2x+2(-1)+4=0,2x+2(-1)+4=0, поэтому x=-1. x=-1. Поэтому (−1,−1)(−1,−1) является критической точкой gg (рис. 4.46). В ℝ2ℝ2 нет точек, из-за которых ни одна из частных производных не существует.
   

   Рисунок 4,46 Функция g(x,y)g(x,y) имеет критическую точку в точке (−1,−1,5).(−1,−1,5).

Контрольно-пропускной пункт 4,34

Найдите критическую точку функции f(x,y)=x3+2xy-2x-4y.f(x,y)=x3+2xy-2x-4y.

Основной целью определения критических точек является обнаружение относительных максимумов и минимумов, как в исчислении с одной переменной. При работе с функцией одной переменной определение локального экстремума включает в себя нахождение интервала вокруг критической точки так, чтобы значение функции было либо больше, либо меньше всех других значений функции в этом интервале. При работе с функцией двух и более переменных мы работаем с открытым диском вокруг точки.

Определение

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных, определенная и непрерывная на открытом множестве, содержащем точку (x0,y0). (x0,y0). Тогда f имеет локальный максимум в точке (x0,y0)(x0,y0), если

f(x0,y0)≥f(x,y)f(x0,y0)≥f(x,y)

для всех точек (x,y)(x,y) в пределах некоторого круга с центром в (x0,y0).(x0,y0). Число f(x0,y0)f(x0,y0) называется локальным максимальным значением . Если предыдущее неравенство выполняется для каждой точки (x,y)(x,y) в области определения f,f, то ff имеет глобальный максимум (также называемый абсолютным максимумом ) в точке (x0,y0).(x0,y0).

Функция ff имеет локальный минимум в точке (x0,y0)(x0,y0), если

f(x0,y0)≤f(x,y)f(x0,y0)≤f(x,y )

для всех точек (x,y)(x,y) в пределах некоторого круга с центром в (x0,y0).(x0,y0). Число f(x0,y0)f(x0,y0) называется локальным минимальным значением . Если предыдущее неравенство выполняется для каждой точки (x,y)(x,y) в области f,f, то ff имеет глобальных минимума (также называется абсолютным минимумом ) в точке (x0,y0). (x0,y0).

Если f(x0,y0)f(x0,y0) является либо локальным максимумом, либо локальным минимумом, то это называется локальным экстремумом (см. следующий рисунок).

Рисунок 4,47 График z=16−x2−y2z=16−x2−y2 имеет максимальное значение, когда (x,y)=(0,0).(x,y)=(0,0). Он достигает своего минимального значения на границе своей области, то есть на окружности x2+y2=16.x2+y2=16.

В «Максимумах» и «Минимумах» мы показали, что экстремумы функций одной переменной возникают в критических точках. То же верно и для функций более чем одной переменной, как утверждается в следующей теореме.

Теорема 4.16

Теорема Ферма для функций двух переменных

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных, определенная и непрерывная на открытом множестве, содержащем точку (x0,y0).(x0,y0). Предположим, что fxfx и fyfy существуют в точке (x0,y0).(x0,y0). Если ф.ф. имеет локальный экстремум в точке (x0,y0),(x0,y0), то (x0,y0)(x0,y0) является критической точкой ф. ф.

Тест второй производной

Рассмотрим функцию f(x)=x3.f(x)=x3. Эта функция имеет критическую точку при x=0,x=0, так как f′(0)=3(0)2=0.f′(0)=3(0)2=0. Однако ff не имеет экстремального значения при x=0.x=0. Следовательно, наличие критического значения при x=x0x=x0 не гарантирует локального экстремума при x=x0.x=x0. То же самое верно для функции двух или более переменных. Один из способов, которым это может произойти, — это седловая точка. Пример седловой точки показан на следующем рисунке.

Рисунок 4,48 График функции z=x2−y2.z=x2−y2. Этот график имеет седловую точку в начале координат.

На этом графике начало координат является седловой точкой. Это связано с тем, что первые частные производные f(x,y)=x2−y2f(x,y)=x2−y2 равны нулю в этой точке, но это не максимум и не минимум функции. Более того, вертикальный след, соответствующий y=0y=0, есть z=x2z=x2 (парабола, выходящая вверх), а вертикальный след, соответствующий x=0x=0, есть z=-y2z=-y2 (парабола, выходящая вниз). Следовательно, это одновременно и глобальный максимум для одной трассы, и глобальный минимум для другой.

Определение

Учитывая функцию z=f(x,y),z=f(x,y), точка (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) седловой точкой, если и fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0, и fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, но ff не имеет локального экстремума в точке (x0 ,у0).(х0,у0).

Критерий второй производной для функции одной переменной обеспечивает метод определения того, возникает ли экстремум в критической точке функции. При распространении этого результата на функцию двух переменных возникает вопрос, связанный с тем, что на самом деле существует четыре различных частных производных второго порядка, хотя равенство смешанных частных производных сводит их к трем. Второй критерий производной для функции двух переменных, сформулированный в следующей теореме, использует дискриминантный DD, который заменяет f″(x0)f″(x0) во втором критерии производной для функции одной переменной.

Теорема 4.

17

Второй производный тест

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) функция двух переменных, для которой частные производные первого и второго порядка непрерывны на некотором круге, содержащем точку (x0,y0). (х0, у0). Предположим, что fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 и fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. Определим количество

D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)−(fxy(x0,y0))2.D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)−(fxy(x0, у0))2.

(4.43)

1. Если D>0D>0 и fxx(x0,y0)>0,fxx(x0,y0)>0, то ff имеет локальный минимум в точке (x0,y0).(x0,y0 ).
2. Если D>0D>0 и fxx(x0,y0)<0,fxx(x0,y0)<0, то ff имеет локальный максимум в точке (x0,y0).(x0,y0).
3. Если D<0,D<0, то ff имеет седловую точку в точке (x0,y0).(x0,y0).
4. Если D=0,D=0, то тест неубедительный.

См. рис. 4.49.

Рисунок 4,49 Тест второй производной часто может определить, имеет ли функция двух переменных локальные минимумы (а), локальные максимумы (б) или седловую точку (в).

Чтобы применить критерий второй производной, необходимо сначала найти критические точки функции. Вся процедура состоит из нескольких этапов, которые изложены в стратегии решения проблем.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения задач: использование теста второй производной для функций двух переменных

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) функция двух переменных, для которой частные производные первого и второго порядка непрерывны на некотором круге, содержащем точку (x0,y0). (х0, у0). Чтобы применить тест второй производной для поиска локальных экстремумов, выполните следующие действия:

1. Определите критические точки (x0,y0)(x0,y0) функции ff, где fx(x0,y0)=fy(x0,y0 )=0.fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0. Отбросьте все точки, где хотя бы одна из частных производных не существует.
2. Вычислить дискриминант 2 для каждой критической точки ф.ф.
3. Применить тест второй производной, чтобы определить, является ли каждая критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой, или теорема неубедительна.

Пример 4,39

Использование теста второй производной

Найдите критические точки для каждой из следующих функций и используйте тест второй производной, чтобы найти локальные экстремумы:

1. f(x,y)=4×2+9y2+8x−36y+24f(x,y)=4×2+9y2+8x−36y+24
2. g(x,y)=13×3+y2+2xy-6x-3y+4g(x,y)=13×3+y2+2xy-6x-3y+4

Решение

1. Шаг 11 стратегии решения задач включает в себя поиск критических точек ф.ф. Для этого сначала вычислим fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), затем приравняем каждую из них к нулю:

   fx(x,y) =8x+8fy(x,y)=18y−36.fx(x,y)=8x+8fy(x,y)=18y−36.

   
   Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

   8x+8=018y-36=0,8x+8=018y-36=0.

   
   Решением этой системы является x=−1x=−1 и y=2.y=2. Следовательно, (−1,2)(−1,2) является критической точкой ф.ф.
   Шаг 2 стратегии решения задач включает в себя вычисление D.D. Для этого сначала вычислим вторые частные производные от f:f:

   fxx(x,y)=8fxy(x,y)=0fyy(x,y)=18. fxx(x,y)=8fxy(x ,y)=0fyy(x,y)=18.

   
   Следовательно, D=fxx(−1,2)fyy(−1,2)−(fxy(−1,2))2=(8)(18)−(0)2=144.D=fxx( −1,2)fyy(−1,2)−(fxy(−1,2))2=(8)(18)−(0)2=144.
   Шаг 3 требует проверки второго теста производной для функций двух переменных. Поскольку D>0D>0 и fxx(−1,2)>0,fxx(−1,2)>0, это соответствует случаю 1. Следовательно, ff имеет локальный минимум в точке (−1,2)(−1,2), как показано на следующем рисунке.
   

   Рисунок 4,50 Функция f(x,y)f(x,y) имеет локальный минимум в точке (−1,2,−16).(−1,2,−16).

2. Для шага 1 мы сначала вычисляем gx(x,y)gx(x,y) и gy(x,y),gy(x,y), а затем устанавливаем каждый из них равным нулю:

   gx(x,y )=x2+2y−6gy(x,y)=2y+2x−3.gx(x,y)=x2+2y−6gy(x,y)=2y+2x−3.

   
   Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

   x2+2y-6=02y+2x-3=0.x2+2y-6=02y+2x-3=0.

   
   Чтобы решить эту систему, сначала решите второе уравнение для лет. Это дает y=3−2×2.y=3−2×2. Подстановка этого в первое уравнение дает

   x2+3−2x−6=0x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0,×2+3−2x−6=0x2−2x−3= 0(х-3)(х+1)=0.

   Следовательно, x=−1x=−1 или x=3.x=3. Подстановка этих значений в уравнение y=3−2x2y=3−2×2 дает критические точки (−1,52)(−1,52) и (3,−32).(3,−32).

   Шаг 2 включает вычисление вторых частных производных g:g:

   gxx(x,y)=2xgxy(x,y)=2gyy(x,y)=2.gxx(x,y)=2xgxy(x,y)=2gyy(x,y)=2.

   
   Затем находим общую формулу для D:D:

   D=gxx(x0,y0)gyy(x0,y0)−(gxy(x0,y0))2=(2×0)(2)−22=4×0−4.D=gxx(x0,y0)gyy(x0 ,y0)−(gxy(x0,y0))2=(2×0)(2)−22=4×0−4.

   
   Далее подставляем каждую критическую точку в эту формулу:

   D(−1,52)=(2(−1))(2)−(2)2=−4−4=−8D(3,−32 )=(2(3))(2)−(2)2=12−4=8.D(−1,52)=(2(−1))(2)−(2)2=−4− 4=-8D(3,-32)=(2(3))(2)-(2)2=12-4=8.

   
   В шаге 3 мы отмечаем это, применяя тест второй производной для функций двух переменных. к точке (−1,52)(−1,52) приводит к случаю 3,3, что означает, что (−1,52)(−1,52) является седловой точкой. Применение теоремы к точке (3,−32)(3,−32) приводит к случаю 1, что означает, что (3,−32)(3,−32) соответствует локальному минимуму, как показано на следующем рисунке.
   

   Рисунок 4,51 Функция g(x,y)g(x,y) имеет локальный минимум и седловую точку.

Контрольно-пропускной пункт 4,35

Используйте вторую производную, чтобы найти локальные экстремумы функции

f(x,y)=x3+2xy-6x-4y2.f(x,y)=x3+2xy-6x-4y2.

Абсолютные максимумы и минимумы

При нахождении глобальных экстремумов функций одной переменной на замкнутом интервале мы начинаем с проверки критических значений на этом интервале, а затем оцениваем функцию в конечных точках интервала. При работе с функцией двух переменных замкнутый интервал заменяется замкнутым ограниченным множеством. Набор ограничено , если все точки этого множества могут содержаться в шаре (или круге) конечного радиуса. Во-первых, нам нужно найти критические точки внутри множества и вычислить соответствующие критические значения. Затем необходимо найти максимальное и минимальное значение функции на границе множества. Когда у нас есть все эти значения, наибольшее значение функции соответствует глобальному максимуму, а наименьшее значение функции соответствует абсолютному минимуму. Однако сначала нам нужно убедиться, что такие ценности существуют. Следующая теорема делает это.

Теорема 4.18

Теорема об экстремальных значениях

Непрерывная функция f(x,y)f(x,y) на замкнутом и ограниченном множестве DD на плоскости достигает абсолютного максимального значения в некоторой точке DD и абсолютного минимума в некоторой точке D.D.

Теперь, когда мы знаем, что любая непрерывная функция ff, определенная на замкнутом ограниченном множестве, достигает своих экстремальных значений, нам нужно знать, как их найти.

Теорема 4.19

Нахождение экстремальных значений функции двух переменных

Предположим, что z=f(x,y)z=f(x,y) является дифференцируемой функцией двух переменных, заданной на замкнутом ограниченном множестве Д. Д. Тогда ff достигнет абсолютного максимального значения и абсолютного минимального значения, которые являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значением, найденным среди следующих:

1. Значения ff в критических точках ff в D.D.
2. Значения ff на границе Д.Д.

Доказательство этой теоремы является прямым следствием теоремы об экстремальном значении и теоремы Ферма. В частности, если какой-либо из экстремумов не находится на границе D,D, то он находится во внутренней точке D.D. Но внутренняя точка (x0,y0)(x0,y0) DD, являющаяся абсолютным экстремумом, также является локальным экстремумом; следовательно, (x0,y0)(x0,y0) — критическая точка ff по теореме Ферма. Поэтому единственными возможными значениями глобальных экстремумов ff на DD являются экстремальные значения ff внутри или на границе DD.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: поиск абсолютных максимальных и минимальных значений

Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — непрерывная функция двух переменных, определенная на замкнутом ограниченном множестве D,D, и предположим, что ff дифференцируема на D. D. Чтобы найти абсолютные максимум и минимум значений ff на D,D, сделайте следующее:

1. Определите критические точки ff на D.D.
2. Рассчитайте ff в каждой из этих критических точек.
3. Определите максимальное и минимальное значения ff на границе его области.
4. Максимальное и минимальное значения ff будут соответствовать одному из значений, полученных на шагах 2 и 3.2 и 3.

Нахождение максимального и минимального значений ff на границе DD может быть сложной задачей. Если граница представляет собой прямоугольник или набор прямых линий, то можно параметризовать отрезки и определить максимумы на каждом из этих отрезков, как показано в примере 4.40. Тот же подход можно использовать для других фигур, таких как круги и эллипсы.

Если граница множества DD представляет собой более сложную кривую, определяемую функцией g(x,y)=cg(x,y)=c для некоторой константы c,c, и существуют частные производные первого порядка от gg, тогда метод множителей Лагранжа может оказаться полезным для определения экстремумов функции ff на границе. Метод множителей Лагранжа представлен в разделе «Множители Лагранжа».

Пример 4.40

Нахождение абсолютных экстремумов

Используйте стратегию решения задач для нахождения абсолютных экстремумов функции, чтобы определить абсолютные экстремумы каждой из следующих функций:

1. f(x,y)=x2−2xy+4y2−4x− 2y+24f(x,y)=x2−2xy+4y2−4x−2y+24 в области, определяемой соотношениями 0≤x≤40≤x≤4 и 0≤y≤20≤y≤2
2. g(x,y)=x2+y2+4x−6yg(x,y)=x2+y2+4x−6y в области, определяемой как x2+y2≤16×2+y2≤16

Решение

1. Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает в себя поиск критических точек ff на его области определения. Поэтому мы сначала вычисляем fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), а затем устанавливаем их равными нулю:

   fx(x,y)=2x− 2y−4fy(x,y)=−2x+8y−2.fx(x,y)=2x−2y−4fy(x,y)=−2x+8y−2.

   
   Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

   2x−2y−4=0−2x+8y−2=0,2x−2y−4=0−2x+8y−2=0.

   
   Решение этой системы x=3x=3 и y=1.y=1. Следовательно, (3,1)(3,1) является критической точкой ф.ф. Вычисление f(3,1)f(3,1) дает f(3,1)=17.f(3,1)=17.
   . Следующий шаг заключается в нахождении экстремумов функции ff на границе области ее определения. Граница его домена состоит из четырех отрезков, как показано на следующем графике:
   

   Рисунок 4,52 График области определения функции f(x,y)=x2−2xy+4y2−4x−2y+24.f(x,y)=x2−2xy+4y2−4x−2y+24.

   
   L1L1 — это отрезок, соединяющий (0,0)(0,0) и (4,0),(4,0), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=t,y(t) =0x(t)=t,y(t)=0 для 0≤t≤4.0≤t≤4. Определить g(t)=f(x(t),y(t)).g(t)=f(x(t),y(t)). Это дает g(t)=t2−4t+24.g(t)=t2−4t+24. Дифференциация г приводит к g′(t)=2t−4.g′(t)=2t−4. Следовательно, gg имеет критическое значение при t=2,t=2, что соответствует точке (2,0).(2,0). Вычисление f(2,0)f(2,0) дает z- значение 20,20.
   L2L2 — это отрезок, соединяющий (4,0)(4,0) и (4,2),(4,2), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=4,y(t)= tx(t)=4,y(t)=t для 0≤t≤2,0≤t≤2. Снова определите g(t)=f(x(t),y(t)).g(t)=f(x(t),y(t)). Это дает g(t)=4t2−10t+24.g(t)=4t2−10t+24. Тогда g′(t)=8t−10.g′(t)=8t−10.gg имеет критическое значение при t=54,t=54, что соответствует точке (4,54).(4, 54). Вычисление f(4,54)f(4,54) дает z- значение 17.75.17.75.
   L3L3 — это отрезок, соединяющий (0,2)(0,2) и (4,2),(4,2), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=t,y(t)= 2x(t)=t,y(t)=2 для 0≤t≤4,0≤t≤4. Снова определите g(t)=f(x(t),y(t)).g(t)=f(x(t),y(t)). Это дает g(t)=t2−8t+36.g(t)=t2−8t+36. Критическое значение соответствует точке (4,2).(4,2). Таким образом, вычисление f(4,2)f(4,2) дает значение z- 20,20.
   L4L4 — это отрезок, соединяющий (0,0)(0,0) и (0,2),(0,2), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=0,y(t)= tx(t)=0,y(t)=t для 0≤t≤2,0≤t≤2. На этот раз g(t)=4t2−2t+24g(t)=4t2−2t+24 и критическое значение t=14t=14 соответствуют точке (0,14).(0,14). Вычисление f(0,14)f(0,14) дает z- значение 23. 75.23.75.
   Нам также нужно найти значения f(x,y)f(x,y) в углах области его определения. Эти углы расположены в точках (0,0),(4,0),(4,2)и(0,2):(0,0),(4,0),(4,2)и(0, 2):

   f(0,0)=(0)2−2(0)(0)+4(0)2−4(0)−2(0)+24=24f(4,0)=( 4)2−2(4)(0)+4(0)2−4(4)−2(0)+24=24f(4,2)=(4)2−2(4)(2)+ 4(2)2−4(4)−2(2)+24=20f(0,2)=(0)2−2(0)(2)+4(2)2−4(0)−2 (2)+24=36.f(0,0)=(0)2−2(0)(0)+4(0)2−4(0)−2(0)+24=24f(4, 0)=(4)2−2(4)(0)+4(0)2−4(4)−2(0)+24=24f(4,2)=(4)2−2(4) (2)+4(2)2−4(4)−2(2)+24=20f(0,2)=(0)2−2(0)(2)+4(2)2−4( 0)−2(2)+24=36.

   
   Абсолютное максимальное значение равно 36,36, что соответствует точкам (0,2),(0,2), а глобальное минимальное значение равно 17,17, что соответствует точкам (3,1)(3,1) как показано на следующем рисунке.
   

   Рисунок 4,53 Функция f(x,y)f(x,y) имеет один глобальный минимум и один глобальный максимум в своей области определения.

2. Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает в себя поиск критических точек gg в его домене. Поэтому мы сначала вычисляем gx(x,y)gx(x,y) и gy(x,y),gy(x,y), а затем устанавливаем их равными нулю:

   gx(x,y)=2x+4gy(x,y)=2y−6. gx(x,y)=2x+4gy(x,y)=2y−6.

   
   Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

   2x+4=02y−6=0,2x+4=02y−6=0.

   
   Решением этой системы является x=−2x=−2 и y=3.y=3. Следовательно, (−2,3)(−2,3) является критической точкой g.g. Вычисляя g(−2,3),g(−2,3), получаем

   g(−2,3)=(−2)2+32+4(−2)−6(3)=4+9 −8−18=−13.g(−2,3)=(−2)2+32+4(−2)−6(3)=4+9−8−18=−13.

   
   Следующим шагом является нахождение экстремумов g на границе области его определения. Граница его домена состоит из окружности радиусом 44 с центром в начале координат, как показано на следующем графике.
   

   Рисунок 4,54 График области определения функции g(x,y)=x2+y2+4x−6y.g(x,y)=x2+y2+4x−6y.

   
   Граница области определения gg может быть параметризована с помощью функций x(t)=4cost,y(t)=4sintx(t)=4cost,y(t)=4sint для 0≤t≤2π.0≤t ≤2π. Определить h(t)=g(x(t),y(t)):h(t)=g(x(t),y(t)):

   h(t)=g(x(t), y(t))=(4cost)2+(4sint)2+4(4cost)−6(4sint)=16cos2t+16sin2t+16cost−24sint=16+16cost−24sint. h(t)=g(x(t) ),y(t))=(4cost)2+(4sint)2+4(4cost)−6(4sint)=16cos2t+16sin2t+16cost−24sint=16+16cost−24sint.

   
   Установка h′(t)=0h′(t)=0 приводит к

   24cost-16sint-16cost=24cost-16costtant=-32.

   
   Это уравнение имеет два решения в интервале 0≤t≤2π.0≤t≤2π. Одно из них t=π−arctan(32)t=π−arctan(32), а другое t=2π−arctan(32).t=2π−arctan(32). Для первого угла

   sint=sin(π−arctan(32))=sin(arctan(32))=31313cost=cos(π−arctan(32))=−cos(arctan(32))=−21313. sint=sin(π-arctan(32))=sin(arctan(32))=31313cost=cos(π-arctan(32))=-cos(arctan(32))=-21313.

   
   Следовательно, x(t)=4cost=-81313x(t)=4cost=-81313 и y(t)=4sint=121313,y(t)=4sint=121313, поэтому (-81313,121313)(-81313 ,121313) является критической точкой на границе и 208−1041313≈−12,844.g(−81313,121313)=(−81313)2+(121313)2+4(−81313)−6(121313)=14413+6413−321313−721313=208−1041313≈− 12.844.
   
   Для второго угла

   sint=sin(2π−arctan(32))=−sin(arctan(32))=−31313cost=cos(2π−arctan(32))=cos(arctan(32))= 21313.sint=sin(2π-arctan(32))=-sin(arctan(32))=-31313cost=cos(2π-arctan(32))=cos(arctan(32))=21313.

   
   Следовательно, x(t)=4cost=81313x(t)=4cost=81313 и y(t)=4sint=-121313,y(t)=4sint=-121313, поэтому (81313,-121313)(81313, −121313) — критическая точка на границе, а 208+1041313≈44,844.g(81313,−121313)=(81313)2+(−121313)2+4(81313)−6(−121313)=14413+6413+321313+721313=208+1041313≈44,844.
   
   Абсолютный минимум г равен −13,−13 и достигается в точке (−2,3),(−2,3), которая является внутренней точкой Д . Абсолютный максимум г примерно равен 44,844, который достигается в граничной точке (81313,-121313).(81313,-121313). Это абсолютные экстремумы г на D , как показано на следующем рисунке.
   

   Рисунок 4,55 Функция f(x,y)f(x,y) имеет локальный минимум и локальный максимум.

Контрольно-пропускной пункт 4,36

Используйте стратегию решения задач для нахождения абсолютных экстремумов функции, чтобы найти абсолютные экстремумы функции

f(x,y)=4×2−2xy+6y2−8x+2y+3f(x,y)=4×2−2xy+6y2−8x+2y+3

в области, определенной как 0≤x≤20≤ x≤2 и −1≤y≤3. −1≤y≤3.

Пример 4.41

Открытие главы: прибыльные мячи для гольфа

Рисунок 4,56 (кредит: модификация работы oatsy40, Flickr)

Компания Pro-TT разработала модель прибыли, которая зависит от количества x мячей для гольфа, проданных в месяц (измеряется в тысячах), и количества часов в месяц реклама y , согласно функции

z=f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2,z=f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2,

где zz измеряется в тысячах долларов. Максимальное количество мячей для гольфа, которое можно произвести и продать, составляет 50 000 50 000, а максимальное количество часов рекламы, которое можно купить, — 25,25. Найдите значения xx и yy, которые максимизируют прибыль, и найдите максимальную прибыль.

Решение

Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает в себя поиск критических точек ff на его области определения. Поэтому мы сначала вычисляем fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), а затем устанавливаем их равными нулю:

fx(x,y)=48−2x−2yfy(x,y)=96−2x−18y.fx(x,y)=48−2x−2yfy(x,y)=96−2x−18y.

Приравняв их к нулю, получим систему уравнений

48−2x−2y=096−2x−18y=0,48−2x−2y=096−2x−18y=0.

Решение этой системы x=21x=21 и y=3.y=3. Следовательно, (21,3)(21,3) является критической точкой ф.ф. Вычисление f(21,3)f(21,3) дает f(21,3)=48(21)+96(3)−212−2(21)(3)−9(3)2=648.f (21,3)=48(21)+96(3)−212−2(21)(3)−9(3)2=648.

Область определения этой функции составляет 0≤x≤500≤x≤50 и 0≤y≤250≤y≤25, как показано на следующем графике.

Рисунок 4,57 График области определения функции f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2.f(x,y)=48x+96y-x2-2xy-9y2.

L1L1 — это отрезок, соединяющий (0,0)(0,0) и (50,0),(50,0), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=t,y(t) =0x(t)=t,y(t)=0 для 0≤t≤50,0≤t≤50. Затем мы определяем g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x( t),y(t))=f(t,0)=48t+96(0)−y2−2(t)(0)−9(0)2=48t−t2. g(t)=f( x(t),y(t))=f(t,0)=48t+96(0)−y2−2(t)(0)−9(0)2=48t−t2.

Установка g′(t)=0g′(t)=0 дает критическую точку t=24,t=24, которая соответствует точке (24,0)(24,0) в области f.f. Вычисление f(24,0)f(24,0) дает 576,576.

L2L2 — это отрезок, соединяющий и (50,25),(50,25), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=50,y(t)=tx(t)=50,y( t)=t для 0≤t≤25,0≤t≤25. Еще раз определяем g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f( x(t),y(t))=f(50,t)=48(50)+96t−502−2(50)t−9t2=−9t2−4t−100.g(t)=f(x (t),y(t))=f(50,t)=48(50)+96t−502−2(50)t−9t2=−9t2−4t−100.

Эта функция имеет критическую точку при t=−29,t=−29, что соответствует точке (50,−29).(50,−29). Эта точка не находится в области определения ф.ф.

L3L3 — это отрезок, соединяющий (0,25) и (50,25), (0,25) и (50,25), и он может быть параметризован уравнениями x(t)=t,y(t )=25x(t)=t,y(t)=25 для 0≤t≤50,0≤t≤50. Определим g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t ),y(t))=f(t,25)=48t+96(25)−t2−2t(25)−9(252)=−t2−2t−3225. g(t)=f(x( t),y(t))=f(t,25)=48t+96(25)−t2−2t(25)−9(252)=−t2−2t−3225.

Эта функция имеет критическую точку при t=−1,t=−1, что соответствует точке (−1,25),(−1,25), которая не находится в области определения.

L4L4 — это отрезок, соединяющий (0,0) с (0,25), (0,0) с (0,25), и его можно параметризовать уравнениями x(t)=0,y(t )=tx(t)=0,y(t)=t для 0≤t≤25,0≤t≤25. Определим g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)):

g(t)=f(x(t ),y(t))=f(0,t)=48(0)+96t−(0)2−2(0)t−9t2=96t−t2.g(t)=f(x(t) ,y(t))=f(0,t)=48(0)+96t−(0)2−2(0)t−9t2=96t−t2.

Эта функция имеет критическую точку при t=163,t=163, что соответствует точке (0,163),(0,163), находящейся на границе области. Вычисление f(0,163)f(0,163) дает 256,256.

Нам также нужно найти значения f(x,y)f(x,y) в углах его области. Эти углы расположены в точках (0,0),(50,0),(50,25)и(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)и(0, 25):

f(0,0)=48(0)+96(0)−(0)2−2(0)(0)−9(0)2=0f(50,0)=48( 50)+96(0)−(50)2−2(50)(0)−9(0)2=−100f(50,25)=48(50)+96(25)−(50)2− 2(50)(25)−9(25)2=−5825f(0,25)=48(0)+96(25)−(0)2−2(0)(25)−9(25)2 =−3225. f(0,0)=48(0)+96(0)−(0)2−2(0)(0)−9(0)2=0f(50,0)=48(50 )+96(0)−(50)2−2(50)(0)−9(0)2=−100f(50,25)=48(50)+96(25)−(50)2−2 (50)(25)−9(25)2=-5825f(0,25)=48(0)+96(25)-(0)2-2(0)(25)-9(25)2=-3225.

Максимальное критическое значение равно 648 648, что соответствует (21,3).(21,3). Следовательно, максимальная прибыль в размере 648 000 долларов США 648 000 долларов США достигается при продаже 21 000–21 000 мячей для гольфа и покупке 33 часов рекламы в месяц, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 4,58 Функция прибыли f(x,y)f(x,y) имеет максимум при (21,3,648).(21,3,648).

Раздел 4.7 Упражнения

Для следующих упражнений найдите все критические точки.

310.

f(x,y)=1+x2+y2f(x,y)=1+x2+y2

311.

f(x,y)=(3x−2)2+(y−4)2f(x,y)=(3x−2)2+(y−4)2

312.

f(x,y)=x4+y4−16xyf(x,y)=x4+y4−16xy

313.

f(x,y)=15×3−3xy+15y3f(x,y)=15×3−3xy+15y3

В следующих упражнениях найдите критические точки функции, используя алгебраические методы (заполнение квадрата) или исследуя форму уравнения. Проверьте свои результаты, используя тест частных производных.

314.

f(x,y)=x2+y2+1f(x,y)=x2+y2+1

315.

f(x,y)=−x2−5y2+8x−10y−13f(x,y)=−x2−5y2+8x−10y−13

316.

f(x,y)=x2+y2+2x−6y+6f(x,y)=x2+y2+2x−6y+6

317.

f(x,y)=x2+y2+1f(x,y)=x2+y2+1

В следующих упражнениях используйте критерий второй производной, чтобы классифицировать любые критические точки и определить, является ли каждая критическая точка максимумом, минимумом, седловой точкой или ни одной из них.

318.

f(x,y)=-x3+4xy-2y2+1f(x,y)=-x3+4xy-2y2+1

319.

f(x,y)=x2y2f(x,y)=x2y2

320.

f(x,y)=x2−6x+y2+4y−8f(x,y)=x2−6x+y2+4y−8

321.

f(x,y)=2xy+3x+4yf(x,y)=2xy+3x+4y

322.

f(x,y)=8xy(x+y)+7f(x,y)=8xy(x+y)+7

323.

f(x,y)=x2+4xy+y2f(x,y)=x2+4xy+y2

324.

f(x,y)=x3+y3−300x−75y−3f(x,y)=x3+y3−300x−75y−3

325.

f(x,y)=9−x4y4f(x,y)=9−x4y4

326.

f(x,y)=7x2y+9xy2f(x,y)=7x2y+9xy2

327.

f(x,y)=3×2−2xy+y2−8yf(x,y)=3×2−2xy+y2−8y

328.

f(x,y)=3×2+2xy+y2f(x,y)=3×2+2xy+y2

329.

f(x,y)=y2+xy+3y+2x+3f(x,y)=y2+xy+3y+2x+3

330.

f(x,y)=x2+xy+y2−3xf(x,y)=x2+xy+y2−3x

331.

f(x,y)=x2+2y2−x2yf(x,y)=x2+2y2−x2y

332.

f(x,y)=x2+y−eyf(x,y)=x2+y−ey

333.

f(x,y)=e-(x2+y2+2x)f(x,y)=e-(x2+y2+2x)

334.

f(x,y)=x2+xy+y2−x−y+1f(x,y)=x2+xy+y2−x−y+1

335.

f(x,y)=x2+10xy+y2f(x,y)=x2+10xy+y2

336.

f(x,y)=−x2−5y2+10x−30y−62f(x,y)=−x2−5y2+10x−30y−62

337.

f(x,y)=120x+120y-xy-x2-y2f(x,y)=120x+120y-xy-x2-y2

338.

f(x,y)=2×2+2xy+y2+2x−3f(x,y)=2×2+2xy+y2+2x−3

339.

f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5

340.

f(x,y)=2xye-x2-y2f(x,y)=2xye-x2-y2

Для следующих упражнений определите экстремальные значения и седловые точки. Используйте CAS для построения графика функции.

341.

[T] f(x,y)=yex-eyf(x,y)=yex-ey

342.

[T] f(x,y)=xsin(y)f(x,y)=xsin(y)

343.

[T] f(x,y)=sin(x)sin(y),x∈(0,2π),y∈(0,2π)f(x,y)=sin(x)sin (y),x∈(0,2π),y∈(0,2π)

Найти абсолютные экстремумы заданной функции на указанном замкнутом и ограниченном множестве R.R.

344.

f(x,y)=xy−x−3y;f(x,y)=xy−x−3y;RR — треугольная область с вершинами (0,0),(0,4) и (5 ,0).(0,0),(0,4)и(5,0).

345.

Найти абсолютные максимум и минимум значений f(x,y)=x2+y2−2y+1f(x,y)=x2+y2−2y+1 в области R={(x,y)|x2 +y2≤4}.R={(x,y)|x2+y2≤4}.

346.

f(x,y)=x3−3xy−y3f(x,y)=x3−3xy−y3 на R={(x,y):−2≤x≤2,−2≤y≤2}R ={(x,y):−2≤x≤2,−2≤y≤2}

347.

f(x,y)=−2yx2+y2+1f(x,y)=−2yx2+y2+1 на R={(x,y):x2+y2≤4}R={(x,y ):x2+y2≤4}

348.

Найдите три положительных числа, сумма которых равна 27,27, и сумма их квадратов как можно меньше.

349.

Найдите точки на поверхности x2-yz=5×2-yz=5, ближайшие к началу координат.

350.

Найдите максимальный объем прямоугольного ящика с тремя гранями в координатных плоскостях и вершиной в первом октанте на плоскости x+y+z=1.x+y+z=1.

351.

Сумма длины и обхвата (периметр поперечного сечения) посылки, перевозимой службой доставки, не может превышать 108108 дюймов. Найдите размеры прямоугольной посылки наибольшего объема, которую можно отправить.

352.

Коробка картонная без крышки должна быть изготовлена ​​объемом 44 фута ³ . Найдите размеры коробки, для которой требуется наименьшее количество картона.

353.

Найдите точку на поверхности f(x,y)=x2+y2+10f(x,y)=x2+y2+10, ближайшую к плоскости x+2y-z=0.x+2y-z=0. Определите точку на плоскости.

354.

Найдите точку на плоскости 2x−y+2z=162x−y+2z=16, ближайшую к началу координат.

355.

Компания производит два вида спортивной обуви: кроссовки и кроссовки. Общий доход от xx единиц кроссовок и yy единиц кроссовок равен R(x,y)=−5×2−8y2−2xy+42x+102y,R(x,y)=−5×2−8y2−2xy +42x+102y, где xx и yy выражены в тысячах единиц. Найдите значения x и y , чтобы максимизировать общий доход.

356.

Транспортная компания обрабатывает прямоугольные ящики, если сумма длины, ширины и высоты ящика не превышает 9696 дюймов. Найдите размеры ящика, удовлетворяющего этому условию и имеющего наибольший объем.

357.

Найдите максимальный объем цилиндрической банки из-под газировки, сумма высоты и окружности которой равна 120120 см.

1.3: Скорость изменения и поведение графиков

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1294

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Найти среднюю скорость изменения функции.
• Используйте график, чтобы определить, где функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной.
• Используйте график, чтобы найти локальные максимумы и локальные минимумы.
• Используйте график для определения абсолютного максимума и абсолютного минимума.

За последние несколько десятилетий цены на бензин сильно колебались. В таблице \(\PageIndex{1}\) указана средняя стоимость галлона бензина в долларах за 2005–2012 годы. Стоимость бензина можно рассматривать как функцию года.

Таблица \(\PageIndex{1}\)

\(у\)	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
\(С(у)\)	2,31	2,62	2,84	3,30	2,41	2,84	3,58	3,68

Если бы нас интересовало только изменение цен на бензин в период с 2005 по 2012 год, мы могли бы подсчитать, что стоимость галлона увеличилась с 2,31 доллара до 3,68 доллара, то есть на 1,37 доллара. Хотя это интересно, было бы полезнее посмотреть, насколько цена изменилась за год. В этом разделе мы рассмотрим подобные изменения.

Нахождение средней скорости изменения функции

Изменение цены за год представляет собой скорость изменения , потому что она описывает, как изменяется выходное количество по отношению к изменению входного количества. Мы видим, что цена бензина в таблице \(\PageIndex{1}\) не менялась на одну и ту же величину каждый год, поэтому скорость изменения не была постоянной. Если бы мы использовали только начальные и конечные данные, мы бы нашли среднюю скорость изменения за указанный период времени. Чтобы найти среднюю скорость изменения, мы делим изменение выходной стоимости на изменение входной стоимости.

\[\begin{align*} \text{Средняя скорость изменения}&=\dfrac{\text{Изменение на выходе}}{\text{Изменение на входе}} \\[4pt] &=\dfrac{ \Delta y}{\Delta x}\\[4pt] &=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\[4pt] &=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1}\end{align*} \label{1. 3.1}\]

Греческая буква \(\Delta\) (дельта) означает изменение количества; мы читаем соотношение как «дельта-\(y\) над дельта-\(x\)» или «изменение \(y\), деленное на изменение \(x\)». Иногда мы пишем \(\Delta f\) вместо \(\Delta y\), что по-прежнему представляет собой изменение выходного значения функции в результате изменения ее входного значения. Это не означает, что мы меняем функцию на какую-то другую функцию.

В нашем примере цена на бензин увеличилась на 1,37 доллара США с 2005 по 2012 год. Средняя скорость изменения за 7 лет составила

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{$1,37}{ 7 \text{лет}}\примерно \text{0,196 доллара в год.} \label{1.3.2}\]

В среднем цена на газ увеличивалась примерно на 19,6 цента каждый год. Другие примеры скорости изменений включают:

• Популяция крыс, увеличивающаяся на 40 крыс в неделю
• Автомобиль, движущийся со скоростью 68 миль в час (пройденное расстояние изменяется на 68 миль каждый час с течением времени)
• Автомобиль, расходующий 27 миль на галлон (пройденное расстояние изменяется на 27 миль на каждый галлон)
• Ток в электрической цепи увеличивается на 0,125 ампера на каждый вольт повышенного напряжения
• Сумма денег на счету колледжа уменьшается на 4000 долларов за квартал

Определение: Скорость изменения

Скорость изменения описывает, как изменяется выходная величина по отношению к изменению входной величины. Единицы скорости изменения — это «единицы вывода на единицы ввода».

Средняя скорость изменения между двумя входными значениями равна общему изменению значений функции (выходных значений), деленному на изменение входных значений.

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]

Как…

Учитывая значение функцию в разных точках, вычислить среднюю скорость изменения функции для интервала между двумя значениями \(x_1\) и \(x_2\).

1. Вычислите разницу \(y_2−y_1=\Delta y\).
2. Вычислить разницу \(x_2−x_1=\Delta x\).
3. Найдите соотношение \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

Пример \(\PageIndex{1}\): вычисление средней скорости изменения

Используя данные в таблице \(\PageIndex{1}\), найдите среднюю скорость изменения цены на бензин в период с 2007 г. и 2009.

Решение

В 2007 году цена бензина составляла 2,84 доллара. В 2009 году стоимость составляла 2,41 доллара. Средняя скорость изменения

\[\begin{align*} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \\[4pt] &=\dfrac{$2,41−$2,84} {2009−2007} \\[4pt] &=\dfrac{-0,43$}{2 \text{ лет}} \\[4pt] &=-0,22$ \text{ в год} \end{align*}\]

Анализ

Обратите внимание, что снижение выражается отрицательным изменением или «отрицательным увеличением». Скорость изменения является отрицательной, когда выход уменьшается по мере увеличения входа или когда выход увеличивается по мере уменьшения входа.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используя данные в таблице \(\PageIndex{1}\), найдите среднюю скорость изменения между 2005 и 2010 годами.

Решение

\(\dfrac{2,84$−2,315$}{5 \text{ лет}} =\dfrac{0,535$}{5 \text{ лет}} = 0,106$ \text{в год.}\)

Пример \(\PageIndex{2}\): вычисление средней скорости изменения по графику

Учитывая функцию \(g(t)\), показанную на рисунке \(\PageIndex{1}\), найти среднее скорость изменения на интервале \([−1,2]\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): График параболы.

Решение

При \(t=−1\) на рисунке \(\PageIndex{2}\) показано \(g(−1)=4\). При \(t=2\) на графике показано \(g(2)=1\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\): График параболы с линией из точек (-1, 4) и (2, 1), показывающий изменения g(t) и t.

Горизонтальное изменение \(\Delta t=3\) показано красной стрелкой, а вертикальное изменение \(\Delta g(t)=−3\) показано бирюзовой стрелкой. Выход изменяется на -3, а вход изменяется на 3, что дает среднюю скорость изменения

\[\dfrac{1−4}{2−(−1)}=\dfrac{−3}{3}=−1\]

Анализ

Обратите внимание, что порядок, который мы выбираем, очень важен . Если, например, мы используем \(\dfrac{y_2−y_1}{x_1−x_2}\), мы не получим правильный ответ. Решите, какая точка будет 1, а какая 2, и сохраните фиксированные координаты как \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\).

Пример \(\PageIndex{3}\): вычисление средней скорости изменения по таблице

После встречи с другом, который живет в 10 милях от нее, Анна записывает свое расстояние от дома с течением времени. Значения показаны в таблице \(\PageIndex{2}\). Найдите ее среднюю скорость за первые 6 часов.

Таблица \(\PageIndex{2}\)

\(т\) (часы)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(D(t)\)  (мили)	10	55	90	153	214	240	292	300

Решение

Здесь средняя скорость — это средняя скорость изменения. Она проехала 292 мили за 6 часов со средней скоростью

\[\begin{align*}\dfrac{292−10}{6−0}&=\dfrac{282}{6}\\[4pt] &= 47\end{align*}\]

Средняя скорость составляет около 47 миль в час.

Анализ

Поскольку скорость непостоянна, средняя скорость зависит от выбранного интервала. Для интервала \([2,3]\) средняя скорость составляет 63 мили в час. 92−\frac{1}{4} \\[4pt] &=4−\frac{1}{2} &=16−\frac{1}{4} \\[4pt] &=72 &=\ frac{63}{4}\end{align*}\]

Теперь вычислим среднюю скорость изменения.

\[\begin{align*}\text{Средняя скорость изменения} &=\dfrac{f(4)−f(2)}{4−2} \\[4pt] &=\dfrac{\frac {63}{4}-\frac{7}{2}}{4-2} \\[4pt] &=\dfrac{\frac{49}{4}}{2} \\[4pt] &= \dfrac{49}{8}\end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите среднюю скорость изменения \(f(x)=x−2\sqrt{ x}\) на интервале \([1, 92+2x−8\) на отрезке \([5, a]\).

Раствор

\(а+7\)

Использование графика для определения возрастания, убывания или постоянства функции

В рамках изучения изменения функций мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом. Мы говорим, что функция возрастает на интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в этом интервале. Точно так же функция убывает на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений на этом интервале. Средняя скорость изменения возрастающей функции положительна, а средняя скорость изменения убывающей функции отрицательна. На рисунке \(\PageIndex{3}\) показаны примеры увеличения и уменьшения интервалов функции. 93−12x\) возрастает на \((−\infty, −2)\cup (2,\infty)\) и убывает на \((−2, 2)\).

В то время как некоторые функции возрастают (или убывают) по всей области определения, многие другие — нет. Значение входа, при котором функция изменяется с возрастающей на убывающую (по мере движения слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется локальным максимумом . Если функция имеет более одного, мы говорим, что она имеет локальные максимумы. Точно так же значение входа, при котором функция изменяется с убывающей на возрастающую по мере увеличения входной переменной, называется местный минимум . Форма множественного числа — «локальные минимумы». Вместе локальные максимумы и минимумы называются локальными экстремумами или локальными экстремальными значениями функции. (Форма единственного числа — «экстремум».) Часто термин «локальный» заменяется термином «относительный». В этом тексте мы будем использовать термин локальный.

Ясно, что функция не возрастает и не убывает на интервале, где она постоянна. Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является самым высоким максимумом или самым низким минимумом во всей области определения функции.

Для функции, график которой показан на рисунке \(\PageIndex{4}\), локальный максимум равен 16, и он приходится на \(x=−2\). Локальный минимум равен −16 и возникает при \(x=2\).

Рисунок \(\PageIndex{4}\): График полинома, показывающий возрастающие и убывающие интервалы и локальный максимум. график достигает наибольшей и наименьшей точек соответственно на открытом интервале. Подобно вершине американских горок, график функции в локальном максимуме выше, чем в соседних точках с обеих сторон. График также будет ниже в локальном минимуме, чем в соседних точках. Рисунок \(\PageIndex{5}\) иллюстрирует эти идеи для локального максимума.
Рисунок \(\PageIndex{5}\): Определение локального максимума

Эти наблюдения приводят нас к формальному определению локальных экстремумов.

Локальные минимумы и локальные максимумы

• Функция \(f\) является возрастающей функцией на открытом интервале, если \(f(b)>f(a)\) для каждого \(a\) , \(b\) интервал, где \(b>a\).
• Функция \(f\) является убывающей функцией на открытом интервале, если \(f(b)а\).

Функция \(f\) имеет локальный максимум в точке \(b\) открытого интервала \((a,c)\), если \(f(b)\) больше или равно \ (f(x)\) для каждой точки \(x\) (\(x\) не равно \(b\)) в интервале. Точно так же \(f\) имеет локальный минимум в точке \(b\) в \((a,c)\), если \(f(b)\) меньше или равно \(f(x) \) для каждого \(x\) (\(x\) не равно \(b\)) в интервале.

Пример \(\PageIndex{7}\) Поиск возрастающих и убывающих интервалов на графике

Учитывая функцию \(p(t)\) на рисунке \(\PageIndex{6}\), определите интервалы, на которых функция кажется возрастающей.

Рисунок \(\PageIndex{6}\): График многочлена.

Решение

Мы видим, что функция не является постоянной ни на каком интервале. Функция увеличивается там, где она наклонена вверх, когда мы движемся вправо, и уменьшается там, где она наклонена вниз, когда мы двигаемся вправо. Функция увеличивается от \(t=1\) до \(t=3\) и от \(t=4\) и далее.

В интервальных обозначениях мы бы сказали, что функция возрастает на интервале \((1,3)\) и на интервале \((4,\infty)\).

Анализ

Обратите внимание, что в этом примере мы использовали открытые интервалы (интервалы, которые не включают конечные точки), потому что функция не возрастает и не убывает при \(t=1\), \(t=3\) и \(t=4\). Эти точки являются локальными экстремумами (два минимума и максимум).

Пример \(\PageIndex{8}\): поиск локальных экстремумов на графике

График функции \(f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{3}\) . Затем используйте график, чтобы оценить локальные экстремумы функции и определить интервалы, на которых функция возрастает.

Решение

Используя технологию, мы видим, что график функции выглядит так, как показано на рисунке \(\PageIndex{7}\). Оказывается, существует нижняя точка или локальный минимум между \(x=2\) и \(x=3\), а зеркально-высокая точка или локальный максимум где-то между \(x=−3\). ) и \(x=−2\)

. Рисунок \(\PageIndex{7}\): График обратной функции.

Анализ

Большинство графических калькуляторов и утилит для построения графиков могут оценивать расположение максимумов и минимумов. На рисунке \(\PageIndex{8}\) представлены изображения экрана для двух разных технологий, показывающие оценку локального максимума и минимума.

Рисунок \(\PageIndex{8}\): График обратной функции на графическом калькуляторе.

На основании этих оценок функция возрастает на интервалах \((−\infty,−2,449)\) и \((2,449,\infty)\). Обратите внимание, что, хотя мы ожидаем, что экстремумы будут симметричными, две разные технологии согласуются только до четырех знаков после запятой из-за разных алгоритмов аппроксимации, используемых каждой из них. (Точное расположение экстремумов находится в точке \(\pm\sqrt{6}\), но для его определения требуется вычисление.)

Упражнение \(\PageIndex{8}\) 92−15x+20\) для оценки локальных экстремумов функции. Используйте их, чтобы определить интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается.

Раствор

Локальный максимум приходится на \((−1,28)\), а локальный минимум приходится на \((5,−80)\). Функция возрастает на \((−\infty,−1)\cup(5,\infty)\) и убывает на \((−1,5)\).

График полинома с локальным максимумом в точке (-1, 28) и локальным минимумом в точке (5, -80).

Пример \(\PageIndex{9}\): поиск локальных максимумов и минимумов на графике

Для функции f, график которой показан на рисунке \(\PageIndex{9}\), найдите все локальные максимумы и минимумы.

Рисунок \(\PageIndex{9}\): График многочлена.

Решение

Посмотрите на график \(f\). График достигает локального максимума в точке \(x=1\), потому что это самая высокая точка в открытом интервале вокруг \(x=1\). Локальный максимум — это координата y в точке \(x=1\), что 2,

График достигает локального минимума в точке \(x=−1\), потому что это самая нижняя точка открытого интервала вокруг \(x=−1\). Локальный минимум — это координата y в точке \(x=−1\), которая равна −2.

Анализ функций набора инструментов для увеличения или уменьшения интервалов

Теперь мы вернемся к нашим функциям набора инструментов и обсудим их графическое поведение на рисунке \(\PageIndex{10}\), рисунке \(\PageIndex{11}\) и Рисунок \(\PageIndex{12}\).

Рисунок \(\PageIndex{10}\). Рисунок \(\PageIndex{11}\)


Рисунок \(\PageIndex{12}\)

Использование графика для определения абсолютного максимума и абсолютного минимума

открытый интервал (локально) и нахождение самой высокой и самой низкой точки на графике для всей области. Y-координаты (выходные данные) в самой высокой и самой низкой точках называются абсолютным максимумом и абсолютным минимумом соответственно. Чтобы найти абсолютные максимумы и минимумы на графике, нам нужно наблюдать за графиком, чтобы определить, где график достигает своих самых высоких и самых низких точек в области определения функции (рисунок \(\PageIndex{13}\)). 93\) является одной из таких функций.

Абсолютные максимумы и минимумы

• Абсолютный максимум \(f\) в точке \(x=c\) равен \(f(c)\), где \(f(c)≥f(x)\ ) для всех \(x\) в области определения \(f\).
• абсолютный минимум \(f\) при \(x=d\) равен \(f(d)\), где \(f(d)≤f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\).

Пример \(\PageIndex{10}\): поиск абсолютных максимумов и минимумов на графике

Для функции f, показанной на рисунке \(\PageIndex{14}\), найдите все абсолютные максимумы и минимумы.

Рисунок \(\PageIndex{14}\): График многочлена.

Решение

Посмотрите на график \(f\). График достигает абсолютного максимума в двух местах, \(x=−2\) и \(x=2\), потому что в этих местах график достигает высшей точки области определения функции. Абсолютным максимумом является координата y в точках \(x=−2\) и \(x=2\), которая равна 16.

График достигает абсолютного минимума в точке x=3, потому что это самая нижняя точка на область определения графика функции. Абсолютным минимумом является координата y при x=3, что равно −10.

Ключевые уравнения

• Средняя скорость изменения: \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

Ключевые понятия

• Скорость изменения соотносит изменение выходной величины с изменением входной величины. Средняя скорость изменения определяется с использованием только начальных и конечных данных. См. Пример.
• Идентификация точек, которые отмечают интервал на графике, может быть использована для определения средней скорости изменения. См. Пример.
• Сравнение пар входных и выходных значений в таблице также можно использовать для определения средней скорости изменения. См. Пример.
• Средняя скорость изменения также может быть вычислена путем определения значений функции в конечных точках интервала, описываемого формулой. См. пример и пример.
• Иногда среднюю скорость изменения можно определить как выражение. См. Пример.
• Функция возрастает, когда скорость ее изменения положительна, и убывает, когда скорость ее изменения отрицательна. См. Пример.
• Локальный максимум — это когда функция изменяется с возрастающей на убывающую и имеет выходное значение больше (более положительное или менее отрицательное), чем выходные значения при соседних входных значениях.

  No related posts.