Наименьшее общее кратное чисел 12 и 15: Найдите НОК (12:15)

 «Крат»  в древней Руси XI века значило дословно «раз».

Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».

Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.

Если число, обозначающее год, будет кратно 4, то такой год будет високосным, а если не кратно, тогда год обычный. Например, 2018 — год обычный, потому что 2018 не делится без остатка на 4. Следующий за ним 2019 будет тоже обычным. А вот 2020 год будет уже точно високосным.

86, 87. Наименьшее общее кратное

Это надо знать

Правило нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел

2.  выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3.  домножить их на недостающие множители из разложений остальных чисел;

4.  найти произведение получившихся множителей. 

Пример:

Найти наименьшее общее кратное чисел 24 и 36.

1.   Разложим числа 24 и 36 на простые множители:

24 | 2              36 | 2

12 | 2              18 | 2

 6  | 2                9 | 3

 3  | 3                3 | 3 

 1  |                   1 |

2. Выпишем множители, которые входят в разложение числа 24:

2∙2∙2∙3

3. Домножим их на множители числа 36, которым нет пары:

2∙2∙2∙3∙3

4. Найдем произведение:

2∙2∙2∙3∙3 = 72

Ответ: НОК (24; 36) = 72.

№ 1.225 стр.44

Сформулируйте правило нахождения наименьшего общего кратного чисел А и В, если:
1) числа А и В взаимно простые;
2) число А кратно числу В;
3) число А является делителем числа В.Приведите примеры!!!

№ 1.226 стр. 44

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 39 и 20; 2) 15 и 14; 3) 420 и 28; 4) 45, 225 и 8; 5) 625, 16 и 10000; 6) 25, 24 и 600.
№ 5.302 стр. 164 (задача на повторение)

Расстояние между пристанями прогулочный теплоход проплывает по течению за 3 ч со скоростью 24 км/ч, а за 4 ч возвращается обратно. Какова скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки?

№ 1.227 стр. 44

Для чисел 12 и 18 найдите:
1) наибольший общий делитель;
2) наименьшее общее кратное;
3) произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Сравните произведения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного с произведением чисел 12 и 18. Сделайте вывод.

 № 5.111 стр. 123

Большая шестерня педалей велосипеда имеет 36 зубцов, а малая заднего колеса — 10 зубцов. Какое наименьшее число оборотов надо сделать педалями, чтобы большая шестерня и заднее колесо вернулись бы в исходное положение?

№ 6.29 (1-2) стр. 182

Углы АОС и АОК  смежные. Найдите величину угла АОК, если известно, что:

1) величина угла АОС в 2 раза больше величины угла АОК;

2) величина угла АОК на 42 градуса больше величины угла АОС.

Как находится нок двух чисел. Нод и нок чисел

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

• последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
• разложение чисел на неделимые множители;
• алгоритм Евклида;
• бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК — это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное — число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК — это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК — обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК — это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 — верно;

6300 / 1260 = 5 — верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки — деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта — не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве — трем, пяти и так далее. Чем больше чисел — тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 — на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 — верно;

2) 3000 / 600 = 5 — верно;

3) 3000 / 1500 = 2 — верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ —натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ —натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

1. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
2. Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ — общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2. Также число 12 будет общим кратным для чисел 2, 3 и 4. Числа 12 и -12 являются общими кратными числами для чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12, 6, −24, 72, 468, −100 010 004 и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16, −27, 5 009, 27 001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число –k. Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Предположим, что нам даны k целых чисел a1, a2, …, ak. Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a1·a2·…·ak согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a1, a2, …, ak является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Предположим, что у нас есть некоторое число k. Тогда произведение чисел k·z, где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z. С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел  a1, a2, …, ak будет иметь вид НОК(a1, a2, …, ak).

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42. Т.е. НОК (6,7)=42. Наименьшее общее кратное четырех чисел -2, 12, 15 и 3 будет равно 60. Краткая запись будет иметь вид НОК (-2, 12, 15, 3)=60.

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Предположим, что мы имеем некоторое число M, которое кратно числам a и b. Если число M делится на a, также существует некоторое целое число z, при котором справедливо равенство M=a·k. Согласно определению делимости, если M делится и на b, то тогда a·k делится на b.

Если мы введем новое обозначение для НОД(a, b) как d, то сможем использовать равенства a=a1·d и b=b1·d. При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что a·k делится на b. Теперь это условие можно записать следующим образом:
a1·d·k делится на b1·d, что эквивалентно условию a1·k делится на b1 согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если a1 и b1 – взаимно простые числа, a1 не делится на b1 при том, что a1·k делится на b1, то b1 должно делиться k.

В этом случае уместно будет предположить, что существует число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t.

Теперь вместо k подставим в равенство M=a·k  выражение вида b:d·t. Это позволяет нам прийти к равенству M=a·b:d·t. При t=1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b, равное a·b:d, при условии, что числа a и b положительные.

Так мы доказали, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

 Теорема имеет два важных следствия:

• кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
• наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Предположим, что a1, a2, …, ak – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК m_k этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk-1, ak).

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

• общие кратные чисел a1 и a2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m2;
• общие кратные чисел a1, a2 и a3 совпадают с общими кратными чисел m2 и a3, следовательно, совпадают с кратными числа m3;
• общие кратные чисел a1, a2, …, ak совпадают с общими кратными чисел mk-1 и ak, следовательно, совпадают с кратными числа mk;
• в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа mk является само число mk, то наименьшим общим кратным чисел a1, a2, …, ak является mk.

Так мы доказали теорему.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Что такое LCM и GCF для 12 и 15?

На вопрос «Что такое LCM и GCF для 12 и 15?» можно разделить на два вопроса: «Что такое НОК 12 и 15?» и «Что такое GCF для 12 и 15?»

В вопросе «Что такое LCM и GCF для 12 и 15?», LCM — это сокращение от наименьшего общего кратного, а GCF — это сокращение от наибольшего общего множителя.

Чтобы найти НОК, мы сначала перечисляем кратные 12 и 15, а затем находим наименьшее кратное, которое у них общее.Чтобы найти кратное любому числу, вы просто умножаете число на 1, затем на 2, затем на 3 и так далее. Вот начальный список кратных 12 и 15:

Кратное 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72 и т. Д.

Кратное 15 : 15, 30, 45, 60, 75, 90 и т. Д.

Наименьшее кратное в двух общих списках — это НОК 12 и 15. Следовательно, НОК 12 и 15 равно 60.

Чтобы найти GCF, мы сначала перечисляем факторы 12 и 15, а затем находим наибольший общий фактор.Множители любого числа — это все числа, которые вы можно равномерно разделить на это число.

Другими словами, множители 12 — это все числа, которые могут делиться на 12, а множители 15 — все числа, которые могут делиться на 15 без остатка. Вот множители для 12 и 15:

Факторы 12 : 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Факторы 15 : 1, 3, 5 и 15.

Наибольший фактор в двух списках, которые у них есть, — это GCF, равный 12 и 15.Следовательно, GCF для 12 и 15 равняется 3.

Таким образом, ответ на вопрос «Что такое LCM и GCF для 12 и 15?» это 60 и 3 .

Калькулятор LCM и GCF
Нужны ли вам LCM и GCF для другого набора чисел? Нет проблем, введите их ниже:

Общие множители 12 и 15

Используйте форму ниже, чтобы выполнить преобразование, преобразовать числа в множители, разделить числа запятыми и найти множители числа.

Мы получаем множители 12,15 чисел, находя числа, которые могут делить 12,15 без остатка, или числа, которые могут умножаться вместе, чтобы равняться преобразуемому целевому числу.

Если рассматривать числа, то можно разделить 12,15 без остатка. Итак, мы начинаем с 1, затем проверяем 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и т. Д. И 12,15

. Получение коэффициентов выполняется путем деления 12,15 на числа, меньшие по значению, чтобы найти тот, который не оставит остатка. Числа, которые делятся без остатка, являются множителями.

Факторы — это целые числа или целые числа, которые умножаются для получения заданного числа. Умноженные целые или целые числа являются множителями данного числа.Если x умножить на y = z, то x и y являются делителями z.

, если, например, вы хотите найти множители 20. Вам нужно будет найти комбинацию чисел, которая при умножении даст 20. Пример: 5 и 4, потому что, когда вы их умножили, получится 20. поэтому они являются множителями данного числа 20. Также 1 и 20, 2 и 10 являются множителями 20, потому что 1 x 20 = 20 и 2 x 10 = 20. Делители данного целочисленного числа 20 равны 1, 2, 4, 5 , 10, 20

Чтобы вычислить множители с помощью этого инструмента, вы должны ввести положительные целые числа, поскольку калькулятор позволяет вычислять множители числа только положительными значениями.если вам нужно вычислить отрицательные числа, вы вводите положительное значение, получаете множители и дублируете ответ самостоятельно, используя все положительные множители как отрицательные, такие как -5 и -6 как множители числа 30. С другой стороны, этот калькулятор будет дает вам как отрицательные множители, так и положительные целые числа для чисел. Например, -2, -3, -4 и т. Д.

множителя похожи на деление в математике, потому что оно дает все числа, которые делятся равномерно, в число без остатка. пример номер 8.оно делится на 2 и 4 без остатка, что означает, что 2 и 4 являются делителями числа 10.

12 13 14 15 16

14 15 16 17 18

Калькулятор наименьшего общего множественного числа

Укажите числа, разделенные запятой «,» и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти НОК.

Что такое наименьшее общее кратное (НОК)?

В математике наименьшее общее кратное, также известное как наименьшее общее кратное двух (или более) целых чисел a и b , является наименьшим положительным целым числом, которое делится на оба.Обычно его обозначают как НОК (a, b).

Метод грубой силы

Есть несколько способов найти наименьшее общее кратное. Самым простым является использование метода «грубой силы», который перечисляет кратные каждому целому числу.

Как видно, этот метод может быть довольно утомительным и далек от идеала.

Метод первичной факторизации

Более систематический способ найти НОК некоторых заданных целых чисел — использовать разложение на простые множители. Факторизация на простые числа включает разбиение каждого из сравниваемых чисел на произведение простых чисел. Затем определяется НОК путем умножения наивысшей степени каждого простого числа. Обратите внимание, что вычисление LCM таким способом, хотя и более эффективно, чем использование метода «грубой силы», все же ограничено меньшими числами. См. Пример ниже, чтобы пояснить, как использовать разложение на простые множители для определения НОК:

Метод наибольшего общего делителя

Третий жизнеспособный метод нахождения НОК некоторых заданных целых чисел — использование наибольшего общего делителя.Это также часто называют наибольшим общим фактором (GCF) среди других названий. См. Ссылку для получения подробной информации о том, как определить наибольший общий делитель. Для данного НОК (a, b) процедура нахождения НОК с использованием GCF состоит в том, чтобы разделить произведение чисел a и b на их GCF, то есть (a × b) / GCF (a, b). При попытке определить НОК более двух чисел, например НОК (a, b, c), найдите НОК a и b , где результатом будет q .Затем найдите НОК c и q . Результатом будет НОК всех трех чисел. Используя предыдущий пример:

Обратите внимание, что неважно, какой НОК рассчитывается первым, если используются все числа и метод используется точно. В зависимости от конкретной ситуации каждый метод имеет свои достоинства, и пользователь может решить, какой метод использовать по своему усмотрению.

Как найти наименьшее общее кратное

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

— наименьшее общее кратное

Поиск инструмента

LCM (наименьшее общее кратное)

Инструмент для расчета НОК. Наименьшее общее кратное двух целых чисел a и b является наименьшим целым числом, кратным этим двум числам.

Результаты

LCM (наименьшее общее кратное) — dCode

Тэги: Арифметика

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать НОК? (Алгоритм)

Метод 1: перечислить все кратные и найти наименьшее общее кратное .

Пример: LCM для 10 и 12
10 имеет для кратных 0,10,20,30,40,50,60,70 и т. Д.
12 имеет кратные 0,12,24,36,48,60,72 и т. Д.
Наименьшее общее кратное равно 60.

Метод 2: используйте разложение на простые множители . LCM — это умножение общих множителей на необщие множители.

Пример: $ 10 = 2 \ times 5 $ и $ 12 = 2 \ times 2 \ times 3 $
Общие множители: 2 и необщие множители: 2,3,5
LCM (10, 12) = $ 2 \ раз 2 \ раз 3 \ раз 5 = 60 $

Метод 3: используйте значение НОД и примените формулу НОК (a, b) = a * b / GCD (a, b)

Пример: GCD (10, 12) = 2
LCM (10, 12) = (10 * 12) / 2 = 60

Как рассчитать НОК с несколькими числами? (НОК из 2-х и более номеров)

Метод 1: перечислить все кратные и найти наименьшее общее кратное .

Пример: LCM для 10, 12 и 15
10 имеет для кратных 0,10,20,30,40,50,60,70 и т. Д.
12 имеет для кратных 0,12,24,36, 48,60,72 и т. Д.
15 имеет кратные 0,15,30,45,60,75 и т. Д.
Наименьшее общее кратное равно 60.

Метод 2: примените LCM к 2 и используйте формулу LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Пример: LCM (10, 12) = 60
LCM (10, 12, 15) = LCM (LCM (10, 12), 15) = LCM (60,15) = 60

Как вычислить наименьший общий знаменатель дробей?

Чтобы вычислить дроби и / или установить дроби с одинаковым знаменателем, вычислите наименьшее общее кратное знаменателей (дробь под линией дроби).

Пример: Дроби 7/8 и 15/36, их наименьший общий знаменатель — НОК (8,36) = 72. Таким образом,
7/8 можно записать как 63/72, а 15/36 можно записать как 30/72.

Как рассчитать НОК с помощью калькулятора (TI или Casio)?

обычно имеют функцию для LCM , иначе с функцией GCD примените формулу:

$$ \ text {L C M} (a, b) = \ frac {a \ times b} {\ text {G C D} (a, b)} $$

Как рассчитать НОК с нулем 0?

0 не имеет кратного числа, потому что никакое число не может быть разделено на ноль

Как вычислить НОК с нецелыми числами?

LCM , как он определен математически, не имеет смысла с нецелыми числами.Однако можно использовать эту формулу: CM (a * c, b * c) = CM (a, b) * c, где CM — общее кратное (не наименьшее) других рациональных чисел.

Пример: CM (1,2,2,4) = CM (12,24) / 10 = 2

Что такое НОК для N первых целых чисел?

Следующие числа имеют свойство иметь много делителей, некоторые из них являются составными числами.

Почему НОК двух последовательных чисел кратно двум?

Для любой пары из 2 последовательных чисел одно четное, а другое нечетное, поэтому только одно кратно 2.В соответствии с методом вычисления НОК посредством разложения на простые множители, то НОК обязательно кратно 2, что не является общим множителем для двух чисел.

Почему НОК 3 последовательных чисел кратно 3?

Для любой тройки из 3 последовательных чисел только одно кратно 3. В соответствии с методом вычисления LCM через разложение на простые множители, тогда LCM обязательно кратно 3, что не является общим множителем. для 3-х номеров.

В чем разница между LCM и GCD?

LCM - это общее кратное двух чисел, которое, следовательно, является большим числом, имеющим для делителя два числа.

НОД - это общий делитель двух чисел, который, следовательно, является меньшим числом, кратным двум числам.

LCM и CGD связаны формулой: $$ \ text {L C M} (a, b) = \ frac {a \ times b} {\ text {G C D} (a, b)} $$

Зачем рассчитывать НОК?

PPCM - это число, кратное многим, и оно является как можно меньшим.Это дает большое математическое преимущество и упрощает вычисления.

Пример: Окружность имеет 360 °, потому что 360 делится на 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40, 45,60,72,90,120,180,360, что очень практично.