Определение функции. Область определения и множество значений. График функции.
Конспект урока.
Тема: Определение функции. Область определения и множество значений. График функции.
Цели:
Предметные:
Студенты должны знать понятия функции, графики функции, область определения и множество значений функции.
Развивать умения построения графиков функций.
Метапредметные:
уметь самостоятельно добывать новые для себя математические знания, используя для этого доступные источники информации;
уметь выстраивать конструктивные взаимодействия в команде по решению общих задач;
уметь управлять своей познавательной деятельностью, проводить самооценку уровня собственного интеллектуального развития.
Личностные:
осуществлять поиск полученной информации для нахождения области определения и множества значений функций.
Методы обучения:
по источнику получения информации: словесный, практический;
по характеру познавательной деятельности: беседа, репродуктивный, проблемные вопросы;
активные методы обучения: обсуждение, самостоятельная работа, метод частично – поисковый.
Тип урока:
Обобщение и систематизация знаний.
Элементы педагогических технологий:
погружения;
информационно-коммуникационная технология;
дифференцированное обучение.
Межпредметные связи:
Физика;
Химия;
Техническая механика.
План урока.
1. Организационная момент (приветствие, проверка присутствующих и готовность студентов к уроку)…………………………………………………………………………3мин
2. Понятие функции (история)…………………………………………………3мин
3. Повторение опорных знаний………………………………………………..14мин
4. Изложение нового материала………………………………………………..40мин
5. Закрепление…………………………………………………………………..13мин
6. Домашние задание……………………………………………………………7мин
Ход урока.
1. Организационная момент (приветствие, проверка присутствующих и готовность студентов к уроку).
2. Понятие функции
Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке. Развитие механики и техники 16 – 17 вв. потребовало введение общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг). П. Ферма
и Р. Декарт показали, как представить функции аналитически. Декарт ввел в математику понятие переменной величины.
Строгое определение функции дал И. Бернулли (1667 – 1748 гг.), а затем его ученик, член Петербургской Академии Л. Эйлер ввел обозначение f (x) и объявил понятие функции центральным понятием анализа.
Позднее Ж. Фурье, Н. И. Лобачевский, И. П. Декарт и другие внесли большой вклад в развитие понятия функции. Установление функциональной зависимости между величинами иллюстрирует важные философские категории – причины и следствия.
3. Повторение опорных знаний.
3.1 Вопросы:
o Какие функции вы знаете? ( Чертят в тетрадях функции)
o Линейная функция, графиком которой является прямая.
o Каким уравнением задаётся линейная функция? (презентация)
o
3.2 Построить графики функций:
y = 2x,
y=2х+3,
y=х2
o
1)Зависимость между переменными x и y в линейной функции y = kx является прямопропорциональной.
2)Область определения функции – множество R всех действительных чисел.
Корни — единственный корень x = 0.
Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:
k > 0, то y > 0 при x > 0 ; y < 0 при x < 0;
k < 0, то y > 0 при x < 0 ; y < 0 при x > 0.
Экстремумов нет.
3)Монотонность функции:
если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси;
если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Область значений — множество R.
Четность — функция y = kx нечетная.
4)Графиком линейной функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат.
Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой.
Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси X: k = tgα.
При положительных k этот угол острый, при отрицательных — тупой.
5) Графиком линейной функции y = kx + b является прямая, смещенная на b единиц.
Для построения графика достаточно двух точек.
Например: A(0;b) B(−kb;0), если k 0 .
6) График линейной функции y = kx + b при k 0, b 0.
7)Частный случай
График линейной функции y = kx + b при k 0, b =0.
o Каким уравнением задаётся квадратичная функция? (презентация)
График функции у=ах2 +n является
параболой, которую можно получить из
графика функции у=ах2 с помощью
параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на -n единиц вниз, если n<0.
График функции у=а(х-m)2 является параболой, которую можно получить из графика функции у=ах2 с помощью параллельного вдоль оси х на m единиц вправо, если m>0, или –m единиц влево, если m <0.
График функции у=а(х-m)2 +n является парабола, которую можно получить из графика функции у=ах2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m>0, или на –m единиц влево, если m<0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на –n вниз, если n<0.
3. Изложение нового материала.
На этом уроке мы рассмотриваем важнейшее понятие в математике – функция. Мы узнаем, что такое числовая функция, как построить график функции, как найти область определения и область значений функции. Также рассмотрим возможные способы задания функции.
Пусть и – это два множества.
Функция – это соответствие, которое каждому элементу из множества сопоставляет единственный элемент из множества .
Рассмотрим такой пример.
Предположим, есть 4 самолета и 6 городов. Согласно расписанию первый и второй самолет летят в первый город; третий самолет летит в третий город; четвертый самолет летит в пятый город (см.
Рис. 1).
Рис. 1. Множество и
В этом примере множество самолетов – это множество , множество городов – это множество, расписание – это соответствие, которое каждому элементу первого множества (самолетов) сопоставляет единственный элемент второго множества (городов).
Если элемент из множества переходит в элемент из множества , то этот элемент обозначается .
– это образ элемента . Множество всех называется множеством значений функции (областью значений функции). В приведенном примере множество значений функции – это первый, третий и пятый город.
Множество – это область определения функции.
Рассмотрим еще несколько примеров.
1. Площади
Каждой замкнутой фигуре на плоскости сопоставляется неотрицательное число (ее площадь ) (см. Рис. 2). То есть задается функция.
Рис. 2. Каждой фигуре сопоставляется неотрицательное число (площадь)
Множество – это множество всех замкнутых фигур на плоскости. Множество – все неотрицательные числа, то есть луч .
В данном случае множество значений функции совпадает с , то есть множество значений – это луч .
2. Движение
Движение – это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между всеми ее точками.
Множество – это плоскость (множество всех точек плоскости), – это движение плоскости, множество – та же самая плоскость (см. Рис. 3).
Рис. 3. Движение плоскости
Числовая функция
Если даны числовое множество и правило , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу из множества определенное число , то говорят, что задана функция с областью определения .
Областью определения функции называют множество всех значений , для которых функция имеет смысл.
Множество всех значений функции , называют областью значения функции.
,
– независимая переменная (аргумент)
– зависимая переменная
– область определения функции
– область значений функции
График функции
Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .
Пример
Задана функция , , которая показывает изменение температуры воздуха в зависимости от времени года (с весны до весны). Построим график этой функции.
Независимая переменная – это время; зависимая переменная – это температура (см. Рис. 4).
Рис. 4. График функции ,
Любая вертикальная прямая (если принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как согласно определению функции закон такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.
Область определения – это проекция графика функции на ось .
Область значения – это проекция графика функции на ось .
Аналитический способ задания функции
Функция, заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё. Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция.
Весь математический анализ стоит именно на таком способе задания функций.
Примеры:
1. , (все натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.
Построим график функции (см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами .
Рис. 5. График функции
Все точки графика функции , лежат на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:
если , то ;
если , то .
Область определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.
Область значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.
Графический способ задания функции
В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (), а по оси ординат – значение функции (). По графику тоже можно выбрать любой и найти соответствующее ему значение (см. Рис. 10).
Рис. 10. Данный график задает функцию
Однако не каждая кривая может задать график функции.
Например, кривая на рисунке 11 не задает график функции, так как значению соответствует несколько значений .
Рис. 11. Данный график не является графическим заданием функции
Табличный способ задания функции
Этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение . В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:
Словесный способ задания функции
Функцию можно однозначно задать словами.
Пример: Пусть – это дробная часть положительного числа в его десятичной записи.
Это означает:
если , то
если , то
если , то
Понятно, что при функция равна нулю. Поймем, как ведет себя функция на интервалах вида , .
Сначала рассмотрим функцию на интервале , на нем . При этом (см. Рис. 12).
Рис. 12. График функции на промежутке
5. Закрепление. Определите способ задания функции (задания на карточках)
6.
Домашнее задание: §6, №126, №127(1,2)
Прочитайте параграф, еще раз внимательно рассмотрите определения. Постройте графики
7. Список используемой литературы
Математика: алгебра и начала математического анализа.10 -11 классы:учеб. Для общеобразрват. Организаций: базовый и углубленный уровни/ др. Ш.А Алимов. М.: Просвещение, 2019
Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов.
Объяснение урока: Область и диапазон функций на графиках
В этом объяснении мы узнаем, как определить область и диапазон функций на их графиках.
Область определения функции — это набор допустимых входных значений этой функции.
диапазон функции — это набор всех выходных значений функции, учитывая
домен. На изображении ниже, если машина представляет какую-то функцию, домен — это домен.
набор всех значений, введенных в машину, а диапазон — это набор всех значений, которые
выйти из машины после того, как функция была выполнена для всего домена.
Определение: домен функции
домен функции — это набор всех входных значений для этой функции.
Определение: Диапазон функции
Диапазон функции — это набор всех возможных выходных значений функции в данной области определения.
Если функция нанесена на координатную сетку, мы можем использовать этот график для вывода информация о функции. Учитывая график 𝑦=𝑓(𝑥), домен представляет собой множество всех входные данные для нашей функции. Если (𝑥,𝑓(𝑥)) — координата на кривой, то 𝑥 является частью домен функции. Входы можно обозначить графически, нарисовав вертикальные линии чтобы определить, образуют ли эти линии пересечение с нашей кривой.
Например, ниже приведен график 𝑦=𝑥 и 𝑥=1. Пересечение этих двух функций находится в точке (1,1). Следовательно, 𝑥=1 является частью
домен. Обратите внимание, что на графике этой функции нет пробелов или дыр;
это указывает на то, что эта функция имеет входные значения всех действительных чисел.
Следовательно,
домен 𝑓 равен ℝ.
Для любой вертикальной прямой 𝑥=𝑐, пересекающей график заданной функции, где 𝑐 — действительное число, 𝑐 — часть области определения этой функции.
Точно так же выходные данные данной функции могут быть идентифицированы графически с помощью эскиза горизонтальные линии на графике, чтобы определить, образуют ли эти линии пересечение или пересечения с заданной функциональной кривой. Ниже приведен график 𝑦=𝑥 и 𝑦=2. Прямая 𝑦=2 дважды пересекает кривую. Следовательно, 2 должно быть в диапазоне этой функции. Обратите внимание, что график этой функции не попадает в квадрант III или квадрант IV. Нет значения в диапазоне, где 𝑦 отрицательный. Областью значений этой функции является множество всех неотрицательных вещественных числа.
В более общем случае для графика любой функции, если горизонтальная линия 𝑦=𝑏 пересекает кривую этой функции, 𝑏 входит в пределах этой функции.
В нашем первом примере мы рассмотрим область определения дискретной функции.
Пример 1. Определение области определения и диапазона дискретной функции
Заполните пропуск: Область определения функции 𝑓(𝑥) равна .
Ответ
Нам дан график функции 𝑓(𝑥) и нужно найти домен этой функции. Из графика видно, что функция содержит только 5 пары координат, так что это дискретная функция. Мы хотим найти домен эта функция, которая является набором входных значений для функции.
График содержит пять пар координат: (−7,5), (−6,4), (−5,3), (−4,2) и (−3,1). 𝑥-координата сообщает нам вход функции и 𝑦-координата сообщает нам вывод функции. Следовательно, область определения этой функции будет набор 𝑥-значений: {−7,−6,−5,−4,−3}.
Мы также можем найти диапазон нашей функции. Напомним, что область значений функции
набор всех выходных значений функции в заданной области. Результаты нашего
функции — это 𝑦-координаты этих пяти точек, поэтому диапазон будет задан
из этих 𝑦-координат:
{1,2,3,4,5}.
В следующем примере мы увидим график постоянной функции и рассмотрим, как это влияет на его домен и диапазон.
Пример 2. Определение домена и диапазона постоянной функции
Определение домена и диапазона функции 𝑓(𝑥)=−4.
Ответ
Нам дан график 𝑓(𝑥)=−4, и мы должны найти домен этой функции. Эта функция постоянна; для каждого значения, которое мы вводим в функции, выходное значение будет −4. Напомним, что домен функция — это набор всех входных значений для этой функции и диапазон Функция — это набор всех возможных выходных значений функции с заданной областью определения. Обратите внимание на то, что стрелки на обоих концах линии указывают на то, что функция будет продолжаться бесконечно в обоих направлениях. Эта функция может принимать входные значения от отрицательной до положительной бесконечности. Другой способ сказать это thedomainofis𝑓(𝑥)ℝ.
Выходы для этой функции постоянны и всегда равны -4.
Следовательно, 𝑓(𝑥) имеет только одно выходное значение
−4. Другими словами,
therangeofis𝑓(𝑥){−4}.
В следующем примере мы будем использовать график кубического многочлена, чтобы найти его область определения и диапазон.
Пример 3. Определение области определения и диапазона непрерывной функции
Найти область определения и диапазон функции 𝑓(𝑥)=(𝑥−1) в ℝ.
Ответ
Нам дан график функции 𝑓(𝑥)=(𝑥−1) и предлагается
найти его домен и диапазон. Напомним, что область определения функции — это множество всех
входные значения для этой функции, а диапазон функции — это набор всех
возможные выходные значения для функции, учитывая ее домен. Обратите внимание, что на графике
выше нет никаких дыр или пробелов в функции. Это потому, что 𝑓(𝑥)
является полиномиальной функцией, и все полиномиальные функции непрерывны. Функция может принимать на вход любые 𝑥-значения. Следовательно,
область определения 𝑓(𝑥) равна ℝ.
На данном графике значения 𝑦 находятся в диапазоне от −10 до 10. Рассматривая пределы функции при приближении 𝑥 к ±∞, мы можем найти диапазон 𝑓(𝑥).
Когда значение 𝑥 приближается к бесконечности, значение выражение (𝑥−1) также стремится к бесконечности.
Аналогично, когда значение 𝑥 приближается к отрицательной бесконечности, значение выражение (𝑥−1) стремится к отрицательной бесконечности.
Следовательно, диапазон 𝑓(𝑥) равен ℝ.
В следующем примере нам дан график рациональной функции. в отличие от предыдущем примере этот график будет иметь вертикальную и горизонтальную асимптоты. Посмотрим как асимптоты влияют на область определения и область значений функции.
Пример 4. Определение области определения и области значений рациональной функции по ее графику
Найдите область определения и область значений функции 𝑓(𝑥)=−1𝑥−5.
Ответ
Нам дан график функции 𝑓(𝑥)=−1𝑥−5 и предлагается найти
его область и диапазон.
Мы также можем увидеть это, если попытаемся напрямую оценить 𝑓(5). Замена 𝑥=5 в наша функция дает 𝑓(5)=−15−5𝑓(5)=−10.
Поскольку 𝑥=5 дает ноль в знаменателе этого рационального функция, 𝑥=5 не часть домена. Следовательно, 𝑥 может быть равно всем значениям кроме 5 и thedomainofis𝑓(𝑥)ℝ−{5}.
Мы также можем использовать горизонтальные линии, чтобы определить диапазон данной функции. Если горизонтальная линия не пересекает кривую, то это значение отсутствует в диапазон функции. Эта функция имеет горизонтальную асимптоту при 𝑦=0. Кривая приближается к линии 𝑦=0, но никогда не пересекает ее, поэтому 0 не может находиться в диапазоне 𝑓.
Изучив график, мы видим, что любая другая горизонтальная линия, отличная от 𝑦=0, будет пересекают кривую нашей функции. Следовательно, therangeofis𝑓(𝑥)ℝ−{0}.
В нашем последнем примере мы увидим график кусочной функции и определим ее домен и диапазон от информации в графе.
Пример 5. Определение области определения и диапазона кусочной функции
Определите область определения следующей функции.
Ответ
Нам дали график кусочной функции и попросили найти ее область определения. Напомним, что область определения функции — это множество всех входных значений для этой функции.
функция, которая даст реальный результат. Кусочная функция состоит из двух или
больше подфункций над поддоменами.
Так как первая подфункция имеет стрелку слева и закрашенную точку на прямо в качестве конечной точки эта подфункция имеет входные значения для интервала ]−∞,0]. Вторая подфункция начинается с пустой точки слева и продолжается бесконечно к положительной бесконечности. Следовательно, эта подфункция будет иметь входные значения на открытом интервале ]0,∞[. Поскольку эта подфункция имеет пустую точку в 𝑥=0, он не определен при 𝑥=0.
Областью определения кусочной функции будет объединение ее подобластей. Следовательно, область определения этой функции ]−∞,0]∪]0,∞[ что ℝ.
Мы также можем подойти к этому графически. Если вертикальная линия
𝑥=𝑐 пересекает график заданной функции,
𝑐 является частью домена этой функции. Это означает, что мы можем
найти область определения нашей функции, рассматривая вертикальные линии.
Давайте набросаем
вертикальная линия для 𝑥=0.
Сначала кажется, что есть два пересечения между 𝑥=0 и заданной кусочной функции. Один расположен в (0,4).
Другой расположен в (0,−4).
Только одна из этих координат создает пересечение. Координата (0,4) входит в эту кусочную функцию, так как его точка закрашена. Точка (0,−4) исключена от этой функции как бы пустотелый. Так как существует допустимое пересечение между линия 𝑥=0 и график кусочной функции, 0 является частью области определения. Более того, изучив график, мы можем сказать, что любая вертикальная линия будет пересекают эту кусочную функцию. Следовательно, thedomainofis𝑓(𝑥)ℝ.
Из графика видно, что выходных значений этой функции всего два, то есть когда 𝑥>0, 𝑦=−4 и когда 𝑥≤0, 𝑦=4. Следовательно, therangeofis𝑓(𝑥){−4,4}.
Давайте закончим, повторив некоторые основные моменты.
Ключевые точки
- Область определения функции — это набор всех входных значений для этой функции.
- Диапазон функции — это набор всех возможных выходных значений функции с заданной областью определения.
- Проверка вертикальной линии может помочь нам определить область определения функции по ее график. Если вертикальная линия 𝑥=𝑐 пересекает график заданного функция, 𝑐 является частью области определения этой функции.
Домен и диапазон — функции математического анализа
Определение домена и диапазона
Домен: значение x, входы функции, числа, которые разрешено вводить в функцию
Диапазон: значение y, выходы функции функция
Если в домене не все реальные номера, то его надо ограничить. Мы можем ограничить наш домен, используя обозначение интервала:
() круглые скобки = не включительно = открытая точка = < или >
[] скобки = включительно = закрытая точка = < или >
u = символ объединения (без перекрытия)
n = перекрытие
Включенные номера являются частью возможного домена, в то время как исключенные номера не являются частью возможного домена
Посмотрите на рисунок выше.
Мы использовали скобку перед 0, чтобы показать, что 0 входит в область определения, а скобка за 20 показывает, что 20 также входит в область определения функции. Ставим запятую между двумя числами.
Теперь давайте рассмотрим обозначение интервала в контексте. На рисунке выше показано, как мы можем использовать числовую прямую, чтобы помочь нам записать область определения функции в интервальной нотации. Мы будем читать этот график слева направо. Обратите внимание на линии и точки.
- закрытая точка = включено в домен = используйте квадратные скобки []
- открытая точка = не входит в домен = используйте скобки ()
В приведенном выше примере есть как открытая, так и закрытая точка. Закрытая точка соответствует 0, а открытая — 4, и обе точки соединены линией. Итак, запишем эту область в интервальной записи.
0 имеет закрытую точку, так что… [0
4 имеет открытую точку, поэтому.
.. 4)
4 будет идти после 0, потому что оно правее на числовой прямой… [0,4)
Мы делаем не нужен символ объединения, потому что в домене нет разрывов. Наша окончательная область определения этой функции — [4,0)
Посмотрите на рисунок выше. У нас есть закрытая точка на 2 и стрелка, уходящая от 2 навсегда. Если на графике есть стрелка, это означает бесконечность или отрицательную бесконечность. Здесь у нас есть стрелка, уходящая в отрицательную бесконечность. Помните, что бесконечность и отрицательная бесконечность НЕ ДОСТИГАЮТСЯ! Следовательно, как , так и отрицательная бесконечность ВСЕГДА будут использовать круглые скобки ().
Наша последняя область определения для этой функции (-бесконечность, 2], потому что отрицательная бесконечность не может быть получена, а 2 получается из-за закрытой точки.
В приведенном выше примере мы будем использовать символ объединения, потому что в домене есть разрыв. У нас есть закрытая точка 2 и открытая точка 3.
2 имеет закрытую точку… [2
3 имеет открытую точку… (3
Однако разрыв в домене означает, что мы должны использовать нашу символ объединения «u» между двумя частями нашего домена. Вот наш окончательный домен:
(-бесконечность, 2] u (3, бесконечность)
Помните, что бесконечность всегда не включает, а «u» означает, что обе части графа являются частью возможного домена.
Назначение домена и диапазона
Мы можем показать домен и диапазон с помощью двоеточия и квадратных скобок:
Домен:{}
Диапазон:{}
Если домен и диапазон являются действительными числами, как в приведенном ниже примере, мы можем использовать двойную букву R, чтобы показать, что все действительные числа включены в домен и диапазон: IR.
(-3,1), (-1,5,-2,5), (0,0), (2,3)
Очень легко найти домен и диапазон группы точек. Домен будет включать все значения x, а диапазон будет состоять из всех значений y (полезно записать координаты всех точек).
Соблюдайте формат, принято не повторять числа и ставить числа в порядке номеров.
Домен: {-3, -1, 0, 2}
Диапазон: {-2,5, 0, 1, 3}
Эта строка является функцией. Он прошел бы тест вертикальной линии.
Линия- и функция- слева имеют домен и диапазон всех действительных чисел, потому что, как показывают стрелки, график продолжается вечно как в отрицательном, так и в положительном направлении.
Домен и диапазон являются действительными числами, потому что в какой-то момент значения x и y будут всеми действительными числами.
Домен: {IR}
Диапазон: {IR}
Мы также можем использовать запись интервала для присвоения нашего домена и диапазона:
- Домен (-бесконечность, бесконечность)
- Диапазон (-бесконечность,
)
Это функция.
Функция квадратного корня справа не имеет домена или диапазона всех действительных чисел.
Помните, что домен и диапазон указывают, какие значения x и y соответственно могут существовать для уравнения.Попробуем сначала определить домен. Посмотрите на значения х. Функция начинается с 1, поэтому наши возможные значения домена также начинаются с 1, а значения продолжаются положительно после 1.
Следовательно, наш домен: Домен: {x > 1}.
Или мы могли бы назначить наш домен, используя запись интервала: [1, бесконечность).Наш диапазон или значения y начинаются с 2 и продолжаются положительно после 2.
Следовательно, наш диапазон: Диапазон: {y > 2}.
Опять же, мы могли бы использовать запись интервала, чтобы задать наш диапазон: [2, бесконечность)Мы можем проверить наш ответ, взглянув на график. Согласно значениям домена и диапазона, которые мы определили, (0,0) не может быть частью диапазона для этой функции. График согласуется с этим выводом. Если мы найдем (0,0), функция квадратного корня в этой точке не определена и, по-видимому, не существует, поэтому теперь у нас есть доказательства того, что наша область определения и диапазон верны.
Помните, что домен и диапазон указывают, какие значения x и y соответственно могут существовать для уравнения.