3.5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
Получили определитель 3-го порядка. В нем выгодно получать нули либо в третей строке (для этого 2-й столбец прибавим к 1-му с коэффициентом 7, а затем второй столбец прибавим к третьему с коэффициентом (–9)), либо во втором столбце (для этого к первой и второй строкам прибавим 3-ю с коэффициентом (–4)). Например, при обнулении элементов второго столбца получим:
| 7 | 4 | 8 |
|
| 21 | 0 | 28 |
| 0 A1,2 0 A2,2 1 A3,2 | ||
|
|
|
| |||||||||
det A | 3 | 4 | 4 |
| 25 |
| 0 | 32 |
| |||
| 7 | 1 | 9 |
|
| 7 | 1 | 9 |
|
| ||
1 3 2 M3,2 |
| 28 |
|
| 21 32 25 28 672 700 28. | |||||||
21 |
| |||||||||||
|
|
| 25 | 32 |
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель 4-го порядка вычислен и равен 28.
Определение. Пусть А – квадратная матрица п-го порядка. Тогда матрица В того же порядка называется левосторонней обратной по отношению к матрице А, если В А = Е, матрица С называется правосторонней об-
ратной к А, если А С = Е (матрицы В и С называются односторонними обратными по отношению к матрице А). Матрица А–1 называется обратной (или двусторонней обратной) к матрице А, если она является одновременно и левосторонней обратной, и правосторонней обратной по отношению к матрице А.
Иными словами, матрица А–1 является обратной к матрице А тогда и только тогда, когда выполняются оба равенства
А–1 А = А А–1 = Е. | (3.15) |
Замечание. Надо помнить, что по определению обратные матрицы бывают только у квадратных матриц.
Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной (или особой), если ее определитель равен нулю: detA = 0; она называется невырожденной (неособой), если ее определитель не равен нулю: det A ≠ 0.
Теорема об обратной матрице. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Более того, если она имеет одну одностороннюю обратную, то обязательно имеет и вторую, и обе односторонние обратные матрицы равны между собой (и значит, являются двусторонними обратными). Обратная матрицы для данной матрицы А является единственной и может быть вычислена по формуле:
37
|
|
| A | A | A |
|
|
|
|
|
| 11 | 21 | n1 |
|
|
|
A 1 | 1 | A12 A22 | An2 |
| , | (3. | ||
|
| |||||||
| det A |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A1n | A2n | Ann |
|
| |
т. е. обратная матрица является транспонированной по отношению к матрице, составленной из деленных на величину определителя исходной матрицы алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы.
Доказательство. Необходимость. Пусть у данной матрицы А сущест-
вует обратная, т. е. такая матрица А–1, что выполняется равенство (3.15). Если матрицы равны, то равны и их определители, т. е. det A 1A det Е .
Но по формуле (3.14) и по 16-му свойству определителей отсюда
следует, что |
|
detA–1· detA = 1. | (3.17) |
Но если произведение двух чисел равно единице, то ни одно из них не может равняться нулю. Значит, данная матрица А является невырожденной, и необходимость доказана.
Достаточность. Пусть данная матрица А является невырожденной. Тогда для нее имеет смысл матрица (3.16). Докажем, что она действительно является обратной для А. Для этого надо проверить, что для этой матрицы выполняются равенства (3.15). Но так как матрица (3.16) является транспонированной, то при умножении матрицы А на матрицу (3.16) по правилу «строка на столбец» мы строки матрицы А будем умножать на алгебраические дополнения элементов строк этой матрицы. По теоремам о разложении об аннулировании на главной диагонали произведения окажутся числа detA, а все остальные элементы произведения окажутся равными нулю:
|
|
|
| det A 0 | 0 |
|
| 1 0 | 0 |
|
| ||||
|
|
| 1 |
| 0 | det A | 0 |
|
|
| 0 | 1 | 0 |
|
|
A·A | 1 |
|
|
|
|
|
| E. | |||||||
| det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| 0 | 0 | det A |
|
| 0 | 0 | 1 |
| ||
Это и значит, что матрица (3. 16) – обратная по отношению к А, и достаточность доказана.
Единственность. Предположим противное, т. е. что кроме матрицы А–1, задаваемой формулой (3.16), существует, например, левосторонняя обратная матрица Х для матрицы А, т. е. такая, что ХА = Е. Умножим это равенство справа на матрицу (3.16). Получим ХАА–1 = ЕА–1, т. е. ХЕ = А–1 или Х = А–1. Итак, любая обратная Х совпадает с матрицей А–1, вычисленной по формуле (3.16), и единственность обратной матрицы доказана. Теорема доказана полностью.
38
Следствие. Попутно мы доказали, что
det A 1 | 1 |
| . | (3.18) | |
|
| ||||
det A | |||||
|
|
| |||
Это следует из равенства (3.17).
Замечание. Таким образом, чтобы найти обратную матрицу для данной матрицы п-го порядка, надо вычислить п2 + 1 определителей: один – п- го порядка и п2 определителей (п – 1)-го порядка.
Примеры.
1. Известно, что у некоторой матрицы А третьего порядка detA = 3.
Найти det(2A–2).
Решение. det 2A 2 23 detA 1 | 2 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
|
| 8 |
|
|
|
|
| . | |
|
|
|
| |||||
|
|
| 3 |
|
| 9 |
| |
2. Найти обратную матрицу по отношению к матрице
1 | 4 | 2 |
| |
|
|
|
|
|
A | 2 | 3 | 7 | . |
| 1 | 2 | 3 |
|
|
| |||
Ее определитель был вычислен выше и равен 5. Поэтому надо вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы.
|
| 7 |
|
|
|
|
|
| 2 | 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 3 |
| ||||||
A ( 1)2 | 3 |
| 23; A | ( 1)3 |
|
| ( 6 7) 1; A | ( 1)4 | 7; | ||||||||||||||||||
11 | 2 | 3 |
|
| 12 |
|
|
|
| 1 3 |
|
|
|
| 13 |
|
|
| 1 2 |
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
|
| 2 |
|
| 8; A ( 1)4 |
| 1 2 |
| 1; A ( 1)5 |
| 1 |
|
|
|
| ||||||||||||
A ( 1)3 | 4 |
|
|
|
| 4 | 2; |
| |||||||||||||||||||
21 |
| 2 | 3 |
| 22 |
|
|
|
| 1 3 |
|
| 23 |
|
| 1 2 |
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
| ( 1)5 |
| 1 |
|
|
|
| 1 |
|
|
| |||||||||||||
A ( 1)4 | 4 | 2 | 34; A |
|
|
| 2 | 3; A | ( 1)6 | 4 | 11. |
| |||||||||||||||
31 |
| 3 | 7 |
| 32 |
|
|
|
|
|
| 2 7 | 33 |
|
|
| 2 | 3 |
|
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
Таким образом, обратная матрица имеет вид:
23 8 34
А 1 15 1 1 3 . 7 2 11
Проверьте сами, что для заданной матрицы А и найденной А–1 выполняется равенство (3.15).
Определение. Минором порядка r данной матрицы называется определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих в пересечении любых r ее строк и любых r ее столбцов (и расположенных в том же порядке, что и в матрице).
39
Определение. Рангом матрицы называется максимальный порядок
не равных нулю миноров, которые можно выделить в данной матрице. Иными словами, ранг матрицы равен числу r, если в ней можно найти минор порядка r, не равный нулю, но все ее миноры порядка r + 1 равны нулю (тогда по теореме о разложении определителя все миноры большего порядка тоже равны нулю). Ранг матрицы А обычно обозначается симво-
лом r(A) или rank(A).
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|
| |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
|
|
Примеры. |
| равен 2, r(A) = 2, так | |||||
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
|
|
|
|
| |||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
|
|
как любой минор 3-го порядка содержит пару пропорциональных строк и, следовательно, равен 0, но в ней есть миноры 2-го порядка, не равные 0 (например, составленный из элементов в пересечении 1-й и 2-й строки и 3-
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
|
|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|
|
го и 4-го столбца). |
| равен 3, r(В) = 3, | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
|
|
|
| |||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|
|
так как любой минор 4-го порядка содержит нулевую строку и, значит, равен 0, но минор, составленный из элементов в пересечении 1-й, 2-й и 4-й строки и 2-го, 3-го и 5-го столбца, не равен 0 (он равен 1).
Определение. Элементарными преобразованиями данной матрицы А называются следующие 6 преобразований:
1)перестановка любых двух строк матрицы между собой;
2)умножение или (что то же) деление любой строки матрицы на любое ненулевое число;
3)прибавление к любой строке матрицы любой другой ее строки, предварительно умноженной на любой коэффициент.
Остальные преобразования аналогичны, но относятся к столбцам матрицы:
4)перестановка любых двух столбцов матрицы между собой;
5)умножение или (что то же) деление любого столбца матрицы на любое ненулевое число;
6)прибавление к любому столбцу матрицы любого другого ее столбца, предварительно умноженного на любой коэффициент.
Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы, а также при ее транспонировании ранг матрицы не меняется.
Доказательство. Из свойств определителей следует, что если какойнибудь минор матрицы А до любого из элементарных преобразований был не равен нулю, то и после этого преобразования соответствующий минор будет не равен нулю, а если он был равен нулю, то и останется равным нулю.
40
Отсюда и из определения ранга матрицы и следует утверждение теоремы.
Определение. Матрица А называется матрицей трапециевидной фор-
мы, если она удовлетворяет следующим 3-м условиям:
1)несколько первых элементов ее главной диагонали не равны нулю; обозначим это число через r, т. е. для такой матрицы должно выполняться неравенство a11 · a22 ·…·arr ≠ 0;
2)все ее элементы, лежащие ниже главной диагонали, должны равняться нулю, т. е. должны выполняться равенства aij = 0 при i > j;
3)все ее элементы, лежащие ниже r-й строки, должны равняться ну-
лю, т. е. должны выполняться равенства aij = 0 при i > r.
Иными словами, трапециевидная матрица – это матрица вида
a | a | a | |
| 11 | 12 | 13 |
| 0 a22 a23 | ||
| 0 | 0 | a |
|
|
| 33 |
|
|
| |
|
|
|
|
A |
|
|
|
| 0 | 0 | 0 |
| |||
| 0 | 0 | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0 | 0 |
| |||
a1,r a1,r 1 a2,r a2,r 1 a3,r a3,r 1
. .ar,r ar,r 1
0 0
0 0
a1,n |
|
|
|
a2,n |
|
|
|
|
|
| |
a3,n |
|
|
|
|
|
| |
|
| . | (3.19) |
ar,n |
| ||
|
|
| |
. 0 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Теорема. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ненулевых элементов ее главной диагонали (например, для матрицы (4.7) rank A = r).
Доказательство. Минор матрицы (4.7) порядка r, расположенный в левом верхнем углу этой матрицы, не равен нулю, так как: а) у него все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю и, следовательно, по 15-му свойству определителей он равен произведению элементов главной диагонали, т. е. он равен a11 · a22 ·…·arr ≠ 0; б) все миноры матрицы (3.19) порядков больших, чем r, содержат нулевую строку и, значит, равны нулю, а это в совокупности означает, что rank A = r, что и требовалось доказать.
Метод Гаусса отыскания ранга матрицы. При помощи элементар-
ных преобразований матрица приводится к трапециевидной форме, после чего ее ранг становится очевидным. Приведение к трапециевидной форме любой матрицы можно осуществить по следующему алгоритму: а) за счет перестановки строк и столбцов (1-е и 4-е элементарные преобразования) добиваемся того, чтобы в получившейся матрице элемент в левом верхнем углу стал не равным нулю: а11 ≠ 0; б) затем получившуюся первую строку прибавляем к остальным строкам (3-е элементарное преобразование) с такими коэффициентами, чтобы в 1-м столбце все элементы кроме 1-го стали
41
равны нулю; в) затем снова переставляя строки и столбцы (но не переставляя 1-ю строку и 1-й столбец), добиваемся, чтобы а22 ≠ 0; г) потом опять получившуюся 2-ю строку прибавляем к нижележащим строкам с такими коэффициентами, чтобы во 2-м столбце все элементы, лежащие под 2-м, т. е. под главной диагональю, стали равными нулю; д) аналогично добиваемся того, чтобы оказалось, что а33 ≠ 0, но а3i = 0 при i > 3. Продолжая этот процесс, получим матрицу трапециевидной формы).
Замечание. Элементарные преобразования заменяют матрицу на новую, не равную исходной, но у этих двух матриц одинаковый ранг. Поэтому при записи элементарных преобразований нельзя ставить между матрицами знак равенства. Обычно между такими матрицами ставят знак ~ или знак →.
Вопросы для самопроверки
1.Что называется матрицей размера т × п?
2.Какие матрицы называются равными?
3.Какая матрица называется транспонированной по отношению
кданной?
4.Что такое главная диагональ матрицы?
5.Какая матрица называется нулевой и почему?
6.Какая матрица называется единичной и почему?
7.Какие матрицы называются согласованными?
8.Какие матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число, перемножать между собой? Каков будет результат?
9.Какие подстановки называются четными?
10. Что называется определителем данной квадратной матрицы?
11.Что называется минором и что алгебраическим дополнением данного элемента определителя?
12.Как формулируются теоремы о разложении и об аннулировании?
13.Что значит разложить определитель по данной строке или по данному столбцу?
14.Как вычислить определитель, у которого под главной диагональю все элементы равны нулю?
15.Дайте определение минора матрицы порядка r.
16.Дайте определение ранга матрицы.
17.Какая матрица называется трапециевидной?
18.Чему равен ранг трапециевидной матрицы?
42
Формула обратной матрицы 2×2 – ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – Mathematics
Posted on by J.Meawad & H.Youssef
Intro
Матрица — это массив чисел. Обычно они заключаются в квадратные скобки и выглядят следующим образом:
Если вы не знакомы с матрицами, их сложением и умножением, найдите время, чтобы немного привыкнуть к ним, и вернитесь, когда будете готовы.
Быстрое напоминание, если я возьму матрицу A затем умножаю на матрицу B , делаю операцию BA , что не всегда совпадает с выполнением AB . Порядок очень важен при перемножении матриц. Причина, по которой мы читаем справа налево, заключается в соглашении, подобно функциям и тому, как мы читаем f(g(x)) как применяя g, а затем применяя f.
Итак, если мы можем перемножать матрицы, существует ли матрица, умножение которой ничего не дает? Именно так она и называется единичной матрицей. Я думаю об этом так: единичная матрица — это умножение матриц, как умножение на 1 — это обычное умножение, а добавление на 0 — сложение. Все они ничего не делают. Но это важная концепция, потому что она помогает вам инвертировать вещи.
Скажем, я умножил на 2, а потом понял, что это ошибка, на что я должен умножить, чтобы отменить 2, или что является обратным 2 при умножении? Это ½. и обратите внимание, что, поскольку 2 × 1 = 2, 2 × ½ = 1. Когда я умножаю на два, то на половину это то же самое, что ничего не делать или петь время на 1. 2 и ½ являются обратными значениями друг друга. А применение двух обратных функций друг к другу должно равняться тождеству.
Скажем, я добавил 2 и хотел отменить это. Что мне нужно сделать, чтобы инвертировать это сложение на 2? Я добавляю на -2. и 2 + -2 = 0. Это то же самое, что ничего не делать.
Итак, это матрица идентичности 2×2:
Запомните ее и полюбите.
Так же, как умножение 2 на 1 всегда дает 2, так и умножение любой матрицы на единичную матрицу (при условии, что они могут быть умножены) снова дает ту же матрицу. Назовем эту общую матрицу M , а эту единичную матрицу I . Свойство единичной матрицы состоит в том, что MI=M и IM=M . Матрица идентичности повсюду.
Давайте расширим понятие обратной функции. Так же, как 2 × ½ = 1, для некоторых матриц существуют матрицы, которые при умножении дают единичную матрицу. Давайте сформулируем это с помощью букв. Если у меня есть матрица A и матрица B , то, когда я их перемножаю, я получаю I , тогда A должно быть обратным B , или B -1 . B также должен быть A -1 .
Теперь мне интересно, есть ли формула, которая легко дала бы мне обратную любую матрицу, которую я пожелаю (при условии, что мы не делим на ноль). О да есть! Если вы изучали матрицы раньше, возможно, это была одна из формул, которые вы вбили себе в голову. Оно могло показаться абстрактным или словно взято из ниоткуда. Давайте удалим эту иллюзию и выведем ее сами.
Где мы начинаем доказывать!
Я хотел бы призвать вас не читать дальше, пока вы сами не докажете это. Потратьте от нескольких минут до нескольких месяцев (в зависимости от того, что вы можете вынести), пытаясь доказать обратную матрицу. Как только вы закончите свое доказательство, вернитесь и посмотрите, насколько оно похоже на мое. Я бы предпочел не лишать вас удовольствия найти что-то для себя.
Итак, давайте используем M и M -1 для представления общей матрицы и обратной общей матрицы.
Пусть
и
M -1 M=I
Итак, давайте запишем это в уравнении.
Ура, одновременные уравнения! Мы пытаемся выразить M -1 через M . Таким образом, моя стратегия будет заключаться в том, чтобы выписывать каждое уравнение дважды, каждый раз находя букву от e до h, а затем приравнивая эти уравнения, чтобы выяснить, каково каждое из e до h в терминах от a до d.
Ух ты, определитель в знаменателе! Если вы не знаете, определитель матрицы — это площадь, образованная параллелограммом преобразованного единичного квадрата при применении матричного преобразования, она равна ad-bc, что интересно доказать. Еще один забавный факт: я провел годы, думая, что это называется determinat, но обнаружил, что пропустил букву n. И последний факт: если ваш определитель равен 0, обратная матрица не определена из-за деления на 0.
Вуаля! Надеюсь, вам понравилось это доказательство. Если вам нужны дополнительные доказательства, связанные с линейными преобразованиями или математикой и физикой в целом, напишите нам в Instagram: @mathemattersblog и следите за нами, чтобы получать обновления каждый раз, когда мы публикуем!
Фото Ребекки Оливер на Unsplash Теги: обратная матрица, линейные преобразования, Математика, матрицы, решение задач, ProofCategories: Mathematics, Uncategorized
Опубликовано J.
Meawad & H.YoussefПросмотреть все сообщения J.Meawad & H.Youssef
Обратная матрица в R
Улучшить статью
Сохранить статью
- Уровень сложности: Эксперт
- Последнее обновление: 22 апр, 2020
Улучшить статью
Сохранить статью
Обратная матрица — это просто обратная матрица, как это делается в обычной арифметике для одного числа, которое используется для решения уравнений для нахождения значений неизвестных переменных. Обратная матрица — это та матрица, которая при умножении на исходную матрицу дает единичную матрицу. 9-1 — обратная матрица A.
x — столбец неизвестной переменной.
B — матрица решений.
Уравнение для обратной матрицы:
Существует два способа, которыми можно найти обратную матрицу:
- Использование функцииsolve(): общая встроенная функция в R, которая полезна для решения следующего линейного алгебраического уравнения, как показано выше на изображении.
Его можно применять как к векторам, так и к матрице.a1 <-c(3,2,5)a2 <-c(2,3,2)a3 <-c(5,2,4)A <-rbind(a1, a2, a3)print(A)T1 <-solve(A)print(T1)Output:
[1] [2] [3] а1 3 2 5 а2 2 3 2 а3 5 2 4 а1 а2 а3 [1,] -0,29629630 -0,07407407 0,4074074 [2,] -0,07407407 0,48148148 -0,1481481 [3,] 0,40740741 -0,14814815 -0,1851852 - Использование функции inv():
Функция inv()— это встроенная функция в R, которая особенно используется для поиска обратной матрицы.