Обратная матрица | это… Что такое Обратная матрица?
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Содержание
|
Свойства обратной матрицы
- , где обозначает определитель.
- для любых двух обратимых матриц и .
- где обозначает транспонированную матрицу.
- для любого коэффициента .
- Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Точные (прямые) методы
Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
- .
- .
Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — .
С помощью матрицы алгебраических дополнений
- — транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.
Использование LU/LUP-разложения
Матричное уравнение для обратной матрицы можно рассматривать как совокупность систем вида .
Обозначим -ый столбец матрицы через ; тогда , ,поскольку -м столбцом матрицы является единичный вектор . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение . Пусть , . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида и . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D.
Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D. получаем равенство .
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма — O(n³).
Итерационные методы
Методы Шульца
Оценка погрешности
Выбор начального приближения
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ).
Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
Примеры
Матрица 2х2
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .
Примечания
- ↑ Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)
Ссылки
- Реализация с полным выбором ведущего элемента на C++
| В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. |
Матрицы 2.
В прошлый раз мы рассмотрели матрицы, их виды, увидели определитель и способ его нахождения, и простейшие действия с матрицами.
Сегодня мы добавим инфы по определителю, узнаем про ранг матрицы, научимся находить обратную матрицу и увидим провождение матрицы к ступенчатому виду.
Свойства определителя.
1. У транспонированной матрицы не меняется определитель. То есть если мы поменяем строки и столбы местами, то нихуя не поменяется.
3. Умножение строк или столбцов матрицы на какое-то число, также умножит определитель на это число. Отсюда можно нахуй выносить общие множители за детерминант.
4. Если в матрице есть ряд нулей, то определитель 0.
5. Если есть 2 одинаковых строки или столбца, либо они пропорциональны, то детерминант равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
7. Если строка или столбец матрицы – это сумма 2-х каких-то чисел (a_(kn)+b_(kn)), то определитель можно расписать суммой 2-х определителей, где в первом мы пишем строку с a_(kn), а во втором b_(kn).
8. Определитель не изменится, если плюсануть какую-то строчку (столбец), помноженную на какое-нибудь число, на какую-нибудь другую строчку (столбец).
Но что такое порядок определителя? А это просто хуйня, показывающая, у матрицы какого размера был взят детерминант (у матрицы 1х1 – определитель 1 порядка, 3х3 – 3 порядка, 27х27 – 27 порядка).
Теперь, давайте приведём матрицу к ступенчатому виду. Но нахуй это нужно делать? Это делается тупо для простоты, так как в итоге у нас получается треугольная матрица, где на изи ищется определитель, а ещё так проще ищется обратная матрица и решаются системы уравнений. Чтобы это делать, мы должны юзать преобразования матрицы:
• Перестановка строк
• Убирание строк, где все элементы равны 0
• Умножение матрицы на число, не равное 0
• Прибавление одной строки к другой
• Транспонирование
Расписывать действия я не буду (та как получается слишком дохуя), но вы можете увидеть приведение на 1 картинке.
(i+j) и получаем алгебраическое дополнение. После этого нам нудно будет поделить алгебраические дополнения ТРАНСПОНИРОВАННОЙ матрицы на определитель матрицы А. Это я сделал на 2 пикче.
И наконец, ранг матрицы. Ранг – это хуйнина, на которой многие делают ошибки; показывает ранг наибольшее число линейно независимых строк (строк, которые нельзя получить из других строк в этой матрице (преобразования матрицы)). Мы находим детерминант, если он не 0, то порядок этого определителя и есть ранг матрицы, если 0, то мы ищем наименьшее алгебраическое дополнение и его определитель и действуем по отработанной схеме. 0 ранг имеет только нулевая матрица, поэтому, если у вас в матрице 2х2 детерминант будет 0, то вы тупо пишите, что её ранг равен 1.
В 3 и последнем посте про матрицы мы рассмотрим всякую оставшуюся хуйню, про которую я сча ещё не знаю.
1 часть: https://vk.com/wall-147914213_6494
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
линейная алгебра — обратная матрица 2×2 с примером
$\begingroup$
Нужно найти обратную этой матрице:
$ \начать {bmatrix} 1 и 3/5\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $
Вот как это было решено:
$ \начать {bmatrix} 1 и 3/5\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $ $ \начать {bmatrix} х_1 и х_2\\ х_3 и х_4\\ \конец {бматрица} $ = $ \начать {bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $ — шаг 1
$ \начать {bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $ $ \начать {bmatrix} х_1 и х_2\\ х_3 и х_4\\ \конец {бматрица} $ = $ \начать {bmatrix} 1 и -3/5\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $ — шаг 2
От шага 1 к шагу 2, -3/5 добавляется к первой строке, второму столбцу $ \начать {bmatrix} 1 и -3/5\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $ Кроме того, -3/5 к первой строке, второму столбцу $ \начать {bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1\\ \конец {бматрица} $
Мой вопрос заключается в том, правильно ли прибавлять или вычитать конкретное число из, скажем, первого столбца, первой строки с правой и левой стороны, и оба оставить уравнение нетронутым?
- линейная алгебра
- матрицы
- обратная
- исключение Гаусса
$\endgroup$
$\begingroup$
Обратная матрица может быть найдена операциями над строками расширенной матрицы:
$$ \left[\begin{массив}{rr|rr} 1 и 3/5 и 1 и 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{массив}\right]\overset{R_1’=-3/5R2+R1}{\longrightarrow} \left[\begin{массив}{rr|rr} 1 & 0 & 1 & -3/5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \конец{массив}\справа], $$ 9{-1}=\frac{1}{ad-bc} \начать {bmatrix} д&-б\\ -с и а\\ \конец {бматрица} $$
, если определитель $ad-bc\neq 0.
$\endgroup$
$\begingroup$
Возможно, это скорее комментарий к вашему сообщению, но стоит перейти к ответу.
Special $\;$ Вы хотите инвертировать матрицу, которая является верхнетреугольной , поэтому обратная форма будет той же формы, и ваш анзац упрощается до $$\begin{bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1 \конец {бматрица} \:\stackrel{!}{=}\: \begin {bmatrix} 1 и 3/5\\ 0 & 1\end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 & x_2\\ 0 & x_4\end {bmatrix} знак равно \begin{bmatrix} x_1 & x_2+\frac35 x_4\\ 0 & x_4\end {bmatrix}$$ Отсюда $x_1=x_4=1\,$ и $\,x_2=-3/5\,$. 9{-1} \:=\:\operatorname{trace}(M)\ \mathbb 1 \,-M\;=\; \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end {bmatrix}\,.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
На самом деле вы умножаете элементарные матрицы.
При этом вы можете выполнять элементарные преобразования.
Это
- замена двух строк/столбцов
- умножение строки/столбца на скаляр
- добавление нескольких строк/столбцов к другой строке/столбцу В зависимости от того, умножаете ли вы слева или справа, выполняется действие строк или столбцов. В вашем случае с шага 1 на шаг 2 вы добавляете $(-3/5) \cdot (\text{row} 2)$ в $(\text{строка}1).$ И это вы делаете с обеих сторон.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
2: Определители и обратные числа — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 40861
- Ларри Грин
- Общественный колледж Лейк-Тахо
Детерминанты
Рассмотрим сокращение строки стандартной матрицы 2×2. Предположим, что \(а\) отличен от нуля.
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\nonumber \]
\[\frac{1}{a} R_1 \rightarrow R_1, \;\;\; R_2-cR_1 \rightarrow R_2\nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 &\frac{b}{a} \\ c &d \end{pmatrix}\nonumber \]
\[\begin{pmatrix } 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & d-\frac{cb}{a}\end{pmatrix}\nonumber \]
Теперь обратите внимание, что мы не можем сделать нижний правый угол равным 1, если
\[d — \frac{cb}{a} = 0\nonnumber \]
или
\[ad — bc = 0.
\nonumber \]
Определение: Определитель
Мы называем \(ad — bc\) определителем матрицы 2 на 2
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\nonumber \]
говорит нам, когда можно уменьшить строку матрицы и найти решение линейной системы.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Определитель матрицы
\[\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}\nonumber \]
is
\[3(2) — 1(5) = 6 — 5 = 1.\nonnumber \]
Определители матрицы 3 x 3
Определим определитель треугольной матрицы
\[\ begin{pmatrix} a &d &e \\ 0 &b &f \\ 0 &0 &c \end{pmatrix}\nonumber \]
by
\[\text{det} = abc.\nonumber \]
Обратите внимание, что если мы умножаем строку на константу \(k\), тогда новый определитель в \(k\) раз больше старого. Ниже мы перечисляем эффект всех трех операций над строками.
Теорема
Влияние трех основных операций со строками на определитель следующее:
- Умножение строки на константу умножает определитель на эту константу.
- Перестановка двух строк меняет знак определителя.
- Замена одной строки этой строкой + умножение другой строки не влияет на определитель.
Чтобы найти определитель матрицы, мы используем операции, чтобы сделать матрицу треугольной, а затем работаем в обратном порядке.
Пример \(\PageIndex{2}\)
Найдите определитель числа
\[\begin{pmatrix} 2 & 6 &10 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix}\nonumber \]
Мы используем операции со строками, пока матрица не станет треугольной.
\[\dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \text{(Умножает определитель на } \dfrac{1}{2})\nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 и 3 &5 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix}\nonumber \]
\[R_2 — 2R_1 \rightarrow R_2 \text{ (Не влияет на определитель)}\nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix}\nonumber \]
Обратите внимание, что нам не нужно обнулять верхнюю середину количество. Нам нужно только обнулить нижние левые числа.
\[R_3 + 2R_2 \rightarrow R_3 \text{ (Не влияет на определитель)}.\nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &0 &-24 \end{pmatrix}\nonumber \]
Обратите внимание, что нам не нужно делать среднее число равным 1.
Определитель этой матрицы равен 48. Поскольку эта матрица имеет \(\frac{1}{2}\) определитель исходной матрицы, определитель исходной матрицы имеет
\[\text{детерминант} = 48(2) = 96.\nonumber \]
Инверсия
Мы называем квадратную матрицу I со всеми единицами по диагонали и нулями везде матрицей тождества . Он обладает тем уникальным свойством, что если \(A\) является квадратной матрицей тех же размеров, то
\[AI = IA = A.\nonumber \] 9{-1}= \begin{pmatrix} 3 &-5 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Проверьте это!
Теорема: ExistEnce
Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель отличен от нуля.
Чтобы найти обратную матрицу, мы пишем новую расширенную матрицу с единицей справа.
Затем мы полностью сокращаем строку, получившаяся матрица справа будет обратной матрицей.
Пример \(\PageIndex{4}\)
\[\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}\nonumber \]
Во-первых, обратите внимание, что определитель этой матрицы равен
\[-2 + 1 = -1\нечисло \]
, следовательно, существует обратное. Теперь мы устанавливаем расширенную матрицу как
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}2&-1&1&0 \\1&-1&0&1\end{array}\end{pmatrix}\nonumber \]
\[R_1 {\leftrightarrow} R_2\nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\2&-1&1&0\end{массив}\end{pmatrix}\ неномер \]
\[ R_2 — 2R_1 {\rightarrow} R_2\неномер \] 9{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Решение уравнений с использованием матриц
Пример \(\PageIndex{5}\)
Предположим, что у нас есть система
\[2x — y = 3\нечисло \]
\[ x — y = 4\нечисло \]
Тогда мы можем записать это в матричной форме
\[Ax = b\нечисло \]
где
\[A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \;\;\; х= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\; \текст{и} \; b=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\nonumber \] 9{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Следовательно, наше решение
\[\begin{pmatrix} -1&-5 \end{pmatrix }\nonumber \]
или
\[x = -1 \text{ и } y = 5\nonumber \]
Участники
Эта страница под названием 2: Детерминанты и инверсии распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором был Ларри Грин.