Как раскрыть скобки в 4 степени: Как правильно раскрывать скобки?

Содержание

правила и примеры (7 класс)

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число.

Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\(xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. 3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \(a^2 — b^2 \), т. 2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

То части уравнения находится выражение в скобках. Чтобы раскрыть скобки, посмотрите на знак перед скобками. Если стоит знак плюс, при раскрывании скобок в записи выражения ничего не поменяется: просто уберите скобки. Если стоит знак минус, при раскрытии скобок необходимо поменять все знаки , стоящем изначально в скобках, на противоположные. Например, -(2х-3)=-2х+3.

Перемножение двух скобок.
Если в уравнении присутствует произведение двух скобок, раскрытие скобок по стандартному правилу. Каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки. Полученные числа суммируются. При этом произведение двух «плюсов» или двух «минусов» дает слагаемому знак «плюс», а если множители имеют разные знаки, то получает знак «минус». 3
Формулы возведения выражения больше трех можно при помощи треугольника Паскаля.

Источники:

формула раскрытия скобок

Заключенные в скобки математические действия могут содержать переменные и выражения разной степени сложности. Для перемножения таких выражений придется искать решение в общем виде, раскрывая скобки и упрощая полученный результат. Если же в скобках содержатся операции без переменных, только с численными значениями, то раскрывать скобки не обязательно, так как при наличии компьютера его пользователю доступны весьма значительные вычислительные ресурсы – проще воспользоваться ими, чем упрощать выражение.

Инструкция

Перемножайте последовательно каждое (или уменьшаемое с ), содержащееся в одной скобке, на содержимое всех остальных скобок, если требуется получить результат в общем виде. Например, пусть исходное выражение записано так: (5+x)∗(6-х)∗(x+2). Тогда последовательное перемножение (то есть раскрытие скобок) даст следующий результат: (5+x)∗(6-х)∗(x+2) = (5∗6-5∗х)∗(5∗x+5∗2) + (6∗x-х∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) — (5∗х∗5∗x+5∗х∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) — (х∗x∗x∗x+х∗x∗2∗x) = 5∗6∗5∗x + 5∗6∗5∗2 — 5∗х∗5∗x — 5∗х∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x — х∗x∗x∗x — х∗x∗2∗x = 150∗x + 300 — 25∗x² — 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² — x∗x³ — 2∗x³.

Упрощайте после результат, сокращая выражения. Например, полученное на предыдущем шаге выражение можно упростить таким образом: 150∗x + 300 — 25∗x² — 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² — x∗x³ — 2∗x³ = 100∗x + 300 — 13∗x² — 8∗x³ — x∗x³.

Воспользуйтесь калькулятором, если требуется перемножить икс равен 4.75, то есть (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Для вычисления этого значения перейдите на сайт поисковика Google или Nigma и введите выражение в поле запроса в его исходном виде (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google покажет 82.265625 сразу, без нажатия кнопки, а Nigma нуждается в отправке данных на сервер нажатием кнопки.

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345.

Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

Онлайн тесты по математике ().
Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
Другие задания: № 1258(в), № 1248

В данной статье мы подробно рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как раскрытие скобок. Знать правила раскрытия скобок нужно для того, чтобы верно решать уравнения, в которых они используются.

Как правильно раскрывать скобки при сложении

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак « + »

Эта самый простой случай, ибо если перед скобками стоит знак сложения, при раскрытии скобок знаки внутри них не меняются. Пример:

(9 + 3) + (1 — 6 + 9) = 9 + 3 + 1 — 6 + 9 = 16.

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « — »

В данном случае нужно переписать все слагаемые без скобок, но при этом сменить все знаки внутри них на противоположные. Знаки меняются только у слагаемых из тех скобок, перед которыми стоял знак « — ». Пример:

(9 + 3) — (1 — 6 + 9) = 9 + 3 — 1 + 6 — 9 = 8.

Как раскрыть скобки при умножении

Перед скобками стоит число-множитель

В данном случае нужно умножить каждое слагаемое на множитель и раскрыть скобки, не меняя знаков. Если множитель имеет знак « — », то при перемножении знаки слагаемых меняются на противоположные. 2) * 12 = 1728.

Как раскрыть 3 скобки

Бывают уравнения, в которых перемножаются сразу 3 скобки. В таком случае нужно сначала перемножить между собой слагаемые первых двух скобок, и затем сумму этого перемножения умножить на слагаемые третьей скобки. Пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 — 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 — 6) = — 21.

Данные правила раскрытия скобок одинаково распространяются для решения как линейных, так и тригонометрических уравнений.

Подумаешь, бином Ньютона! | Наука собственными силами

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по русски – двучлен.

(14).

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(15).

(16).

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа (13) для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(17).

(18).

Теперь отдельно выпишем численные коэффиценты в правых частях формул (14) – (18) при возведении бинома в заданную степень:

(рис.5)

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице (рис.4). Легко проверить, что выписанные на рис. 5 численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

Окончательно получим:

(рис.6)

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)ⁿ. А в правой части записываем сумму аⁿ + а^n-1b + … + bⁿ , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

В результате получаем формулу:

(19).

Или, с учетом формулы (11),

(20).

Эта формула и называется формулой бинома Ньютона. Ее правую часть (а иногда и всю формулу) называют еще разложением бинома Ньютона.

Строго говоря, мы не доказали, а только убедились на нескольких примерах, что коэффициенты при a^kb^n-k являются числами треугольника Паскаля. Теперь разберемся, почему так получается. Для этого докажем, что при раскрытии скобок в выражении (a+b)ⁿ при любом показателе n коэффициент при a^kb^n-k будет равен C^k_n .

Напишем n-ю степень двучлена (a+b) в виде произведения n сомножителей:

При раскрытии скобок слагаемое a^kb^n-k будет получаться каждый раз, когда мы из k сомножителей берем a, а из оставшихся n-k сомножителей берем b. k сомножителей, из которых мы берем букву a, можно выбрать C^k_n способами – именно столько раз и будет встречаться слагаемое a^kb^n-k . После приведения подобных при a^kb^n-k будет именно такой коэффициент: C^k_n .

Например, если мы вычисляем (a+b)⁵, то, записав степень в виде произведения 5 сомножителей:

мы увидим, что, например, слагаемое a²b³ мы получим 10 раз, т.е. : C²₅

Здесь индексы обозначают, из какого по счету сомножителя взята буква.

Как вводить ответы в WeBWorK

Предложение: добавить в закладки, сохранить или распечатать эту страницу!

Математические символы, доступные в WeBWorK
- + Дополнение
- — вычитание
- * Умножение. Также может быть указано умножение пространством или сопоставлением, которое это просто написание символов рядом друг с другом, например. 2x, 2x или 2*x, а также 2(3+4). Вы можете использовать последнюю форму без пробела, только если недопонимание невозможно. Например, вы бы не ввели 34 для 3*4. Чтобы быть в безопасности, вы всегда должны использовать * для умножение. 9(1/3)).
- Все виды скобок и скобок: (…), […], {…}
Синтаксис для ввода выражений
- Будьте осторожны при вводе выражений так же, как при вводе выражения в калькуляторе.
- Иногда использование символа * для обозначения умножения делает вещи легче читать. Например, (1+2)*(3+4) и (1+2)(3+4) оба допустимы. Так же 3*4 и 3 4 (3 пробела 4, а не 34), но использование * делает ситуацию более понятной.
- Используйте (‘s и )’s, чтобы прояснить смысл. Вы также можете использовать [‘s и ]’s и {и}.
- Не вводите 2/4+5 (что равно 5,5), если вам действительно нужно 2/(4+5) (что равно 2/9).
- Не вводите 2/3*4 (что равно 8/3), если вам действительно нужно 2/(3*4) (что 2/12).
- Ввод больших частных с квадратными скобками, напр. [1+2+3+4]/[5+6+7+8], есть хорошая практика.
- Будьте осторожны при вводе функций. Всегда полезно использовать скобки при вводе функций. Напишите sin(t) вместо sint или sin t. Но WeBWorK достаточно умен, чтобы принять грех или даже грех. Но sin 2t действительно sin(2)t, то есть (sin(2))*t. Будь осторожен. 94.
  Единственный способ убедиться что вы вводите то, что вы хотите ввести, это использование скобки!!!
- Используйте «Кнопку предварительного просмотра», чтобы точно увидеть, как выглядит ваша запись. Например. сказать разницу между 1+2/3+4 и [1+2]/[3+4] нажмите «Кнопку предварительного просмотра».
- Если задача требует десятичного ответа, укажите не менее четырех знаков после запятой. цифры, или столько, сколько указано в задаче. Например, напишите 2,3453 вместо 2,34.
Интервалы в WeBWork
- Какова область определения f(x)=sqrt(x)? При ответе x>=0 (x больше или равно 0). В WeBWorK это можно ввести в виде интервала: [0, бесконечность).
- Другие интервалы:
  - (2,3] — множество 2
  - (-бесконечность,5) — множество x<5.
  - (-бесконечность, бесконечность) — множество всех действительных чисел.
  - (2,3]U[4,5) — это множество 2
  - Другие корни также делаются с дробными показателями.
- Математические функции, доступные в WeBWork
  - абс( ) Абсолютное значение
  - cos( ) Примечание: cos( ) использует радианы
  - sin( ) Примечание: sin( ) использует измерение в радианах
  - tan( ) Примечание: tan( ) использует радианы
  - sec( ) Примечание: sec( ) использует радианы
  - exp( ) Та же функция, что и e^x
  - log( ) Натуральный log
  - ln( ) Другое название натурального бревна
  - logten( ) Журнал по основанию 10
  - арксинус( )
  - asin() Другое название arcsin
  - арккос( )
  - acos( ) Другое название arccos
  - арктан( )
  - atan( ) Другое название арктана
  - грех( )
  - кош( )
  - тан( )
  - сек( )
  - кв. ( )
  - sign( ) Знаковая функция, либо -1, 0, либо 1
  - step( ) Ступенчатая функция (0, если x < 0, 1, если x >= 0)
  - fact( ) Функция факториала (определена только для неотрицательных целых чисел)

Как оценить выражения с помощью Powers

от: Марк Зегарелли и

Обновлен: 04-25-2016

Math Of Real Life для Dummies

.0006 Возможно, вы слышали, что сила развращает, но будьте уверены, что, когда математики имеют дело со степенью, порядок операций обычно удерживает их в соответствии. Когда выражение содержит одну или несколько степеней, оцените все степени слева направо, прежде чем переходить к операторам Большой четверки. Вот разбивка:

Оцените все силы слева направо.
Возведение числа в степень просто означает умножение числа на себя столько раз. Например, 2 ³ = 2 x 2 x 2 = 8. Помните, что все, что возведено в степень 0, равно 1.
Вычислить все операции умножения и деления слева направо.
Оцените сложение и вычитание слева направо.

Пример вопроса

Оценка 7 – 4 ² / 2 ⁴ + 9 с 2 ³ .
78. Вычислите все степени слева направо, начиная с 4 ² = 4 x 4 = 16:
= 7 – 16 / 2 ⁴ + 9 x 2 ³
Перейдите к оценке оставшихся двух способностей:
= 7 – 16 / 16 + 9 х 8
Затем оцените все операции умножения и деления слева направо:
= 7 – 1 + 9 х 8
= 7 – 1 + 72
Закончите вычислением сложения и вычитания слева направо:
= 6 + 72
= 78

Практические вопросы

Оценка 3 ² – 2 ³ / 2 ² .
Найти 5 ² – 4 ² – (–7) x 2 ² .
70 ¹ – 3 ⁴ / –9 x –7 + 123 ⁰ = ?
Что такое 11 ² – 2 ⁷ + 3 ⁵ / 3 ³ ?

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

3 ² – 2 ³ / 2 ² = 7.
Сначала оцените все способности:
3 ² – 2 ³ / 2 ² = 9 – 8 / 4
Далее оцените деление:
= 9 – 2
Наконец, оцените вычитание:
9 – 2 = 7
5 ² – 4 ² – (–7) x 2 ² = 37 .
Оценить все силы:
5 ² – 4 ² – (–7) x 2 ² = 25 – 16 – (–7) x 4
Оценить умножение:
= 25 – 16 – (–28)
Наконец, оцените вычитание слева направо:
= 9 – (–28) = 37
70 ¹ – 3 ⁴ / –9 x –7 + 123 ⁰ = 8.
No related posts.