Обратная матрица с помощью алгебраических дополнений: Обратная матрица с помощью алгебраических дополнений

07. Обратная матрица и её свойства

Матрицу называют обратной к , если Удовлетворяет условиям

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).

Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле , тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

МатрицаНазывается присоединенной по отношению к матрице , и ее столбцы состоят из алгебраических дополнений к элементам, расположенным в соответствующих строках исходной матрицы .

Доказательство.

Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главной диагонали произведения матрицы на обратную матрицу стоят суммы произведений элементов строк матрицы на соответствующие этим элементам строк алгебраические дополнения. Эти суммы дают значения определителя, который по условию теоремы не равен нулю. Любые элементы произведения матриц , не лежащие на главной диагонали, равны нулю, так как там стоят суммы произведений элементов строк матрицы на алгебраические дополнения к элементам других строк.

Таким образом: .

Аналогично доказывается, что произведение , что означает существование обратной матрицы в виде, указанном в формулировке теоремы.

Покажем, что эта матрица единственная. Предположим, что имеется хотя бы одна матрица , также удовлетворяющая условиям . Умножая равенство слева на матрицу , получим цепочку следований:

,

Что доказывает единственность обратной матрицы.

Докажем, что условие является необходимым, то есть из существования обратной матрицы должна следовать невырожденность исходной матрицы . Действительно, из теоремы об определителе произведения матриц и определения обратной матрицы следует, что . Отсюда можно сделать вывод, что и, так как иначе их произведение не могло бы равняться отличному от нуля числу 1. Теорема полностью доказана.

Отметим, что в процессе доказательства теоремы было показано, что определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, то есть вычисляется по формуле .

Квадратная матрица , обладающая свойством , называется ортогональной. Следующие основные свойства обратных матриц:

1) , 2) , 3)

Доказываются обычно по методу представления в общем виде элементов матриц, стоящих слева и справа от знаков равенств.

Рассмотрим пример вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы, то есть путем составления алгебраических дополнений, для следующей матрицы третьего порядка . Ее определитель вычислим методом разложения по первой строке . Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица неособенная, и поэтому можно составлять обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , ,

, ,,

, , .

Обратной матрицей для матрицы является следующая матрица:

.

Для того чтобы проверить правильность составления обратной матрицы, следует исходную матрицу умножить на обратную ей матрицу. В результате должна получиться единичная матрица соответствующего размера.

С помощью обратной матрицы, найденной вышеуказанным способом, удобно решать невырожденные квадратные системы с небольшим числом неизвестных. При этом решение системы находится за конечное число шагов и явно выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Правило решения такой системы формулируется в следующей теореме.

< Предыдущая		Следующая >

Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения.

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Чурикова И.С. 1Муминов А.Ш. 1

---

1Академический лицей Международного Вестминстерского университета в Ташкенте

Хамраева Р.Р. 1

---

1WIUT

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

I ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования: обратные матрицы.
Предмет исследования: подходы и методынахождения обратных матриц.
Цель работы: овладеть методами нахождения обратных матриц.
Задачи:

ознакомиться с понятием обратной матрицы и ее свойствами;

выделить основные методы нахождения обратных матриц;

Методы исследования:

изучение литературы; обработка материалов и результатов; анализ; классификация; обобщение.
Актуальность работы: Обратные матрицы являются объектом изучения линейной алгебры и находят свое применение как в самой математике, так и в ее приложениях. Они часто используются в самых разнообразных исследованиях, упрощают решение системы уравнений с тремя и более неизвестными, находят широкое применение при программировании задач 3D-графики и компьютерных игр и др.

II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Матрица — прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов и заполненная числами. Обозначается заглавными буквами A, B, С и т. д.

Элементы матрицы (числа) характеризуются их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса (a

ij).

Квадратная матрица – это матрица, содержащая одинаковое количество сток и столбцов.

Единичная матрица E – это диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Транспонированная матрица А’ – это матрица, полученная заменой строк матрицы A на ее столбцы и наоборот, ее столбцов на ее строки.

Присоединённая (союзная) матрица А* — матрица, элементами которой служат алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A’.

Алгебраическим дополнением A

_ijк элементу a_ij определителя n-го порядка называется число Aij = (-1)^{i + j} · M_ij

Минор M_ijк элементу a_ij определителя n-го порядка – это определитель (n — 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA (также |A| или Δ), и вычисляется определённым образом.

III КРИТЕРИЙ ОБРАТИМОСТИ МАТРИЦЫ

Лемма 1. Матрица, обратная к матрице А, будет существовать только, если матрица А является квадратной и их порядок будет одинаковым.

Доказательство:

Предположим, что существует матрица А=[m×n] А^-1=[a×b]

Из определения обратной матрицы:

АА^-1=Е

Из алгоритма перемножения матриц получаем:

[m×n][a×b]=[m×b]

n=a,

-где n и a «транзитны» и должны быть равны.

То же будет выполняться и для обратного:

А^-1 А =Е

[a×b][m×n] =[a×n]

m=b

Отсюда можно заключить, что А=[m×n] А^-1=[n×m]. Согласно определению A·A¹ = A^-1·A = E, поэтому размеры матриц будет строго совпадать.

[m×n] =[n×m]

m=n

Что, в свою очередь, доказывает лемму 1.

Лемма 2. Если матрица А обратима, то для нее существует только одна обратная матрица.

Доказательство:

Предположим, что существуют две матрицы В и С, обратные к матрице А. При этом:

В≠С

Тогда по определению обратных матриц будет верным:

AB=BA=Е

AC=CA=Е

Из леммы 1 все четыре матрицы A, B, С и Е являются квадратными матрицами одинакового порядка. Отсюда следует:

ВАС

Так как умножение матриц является ассоциативным будет верным следующее:

BAC=(BA) C=EC=С

BAC=B (AC)=BE=B

BAC=C=B


C=B

Получаем две равные обратные матрицы, что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

Лемма 3. Матрица, обратная к матрице А, существует только в том случае, когда она невырождена, то есть ее определитель |А| не равен нулю.

Доказательство:

Предположим, что |А|= 0 и существует матрица А^-1, обратная к A. Тогда |A| = |A| · |B| = 0 по теореме определителя произведения матриц. В тоже время, по определению обратной матрицы: |AB| = |E| = 1. Полученное противоречие показывает, что матрица, обратная к A, существует только при |A| ≠0.

IV СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1.	Если квадратная матрица А имеет обратную, то:
		, где det – определитель.
2.	Если квадратные матрицы А и В порядок n имеют обратные матрицы, то их произведение AВ также имеет обратную матрицу:
		, для двух квадратных обратимых матриц A и B.
3.	Если матрица А порядка n имеет обратную, то транспонированная матрица AT также имеет обратную:
		, где обозначает транспонированную матрицу.
4.	Если квадратная матрица А имеет обратную, то:

V НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДОПОЛНЕНИЙ

Порядок нахождения обратной матрицы:

1.Нахождение определителя данной матрицы A (Если |А|=0, то обратная матрица не существует).

2. Вычисление дополнительных миноров и алгебраических дополнений и составление союзной матрицы А*.

3. Нахождение матрицы, транспонированной относительно A*.

4. Применение формулы:

где |A| — определитель матрицы А, а — транспонированная союзная матрица с матрицей А.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= методом алгебраических дополнений.

Решение:

Найдем определитель матрицы А:

|A|=3·(-3)·1+ (-4)·1·3 + 5·2·(-5) — 5·(-3)·3 — 3·1·(-5) — (-4)·2·1 = -9 — 12 — 50 + 45 + 15 + 8= -3

|A|≠0 — следовательно, А^-1 существует.

Найдем миноры и алгебраические дополнения для матрицы А

Составим союзную матрицу:

Транспонируем полученную союзную матрицу:

По формуле находим обратную матрицу:

5. Проверим полученный результат умножением данной матрицы A на обратную матрицу (При обратная матрица была найдена верно).

Ответ:

VI НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ МАТРИЦЫ 2×2

Для квадратной матрицы второго порядка обратная матрица А^-1 будет равна при .

Пример:

Найти обратную матрицу для

Решение:

Ответ:

VII НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Порядок нахождения обратной матрицы:

Нахождение определителя данной матрицы A (Если |А|=0, то обратная матрица не существует).

Составление системы линейных уравнений вида

где a_ij — элементы матрицы A, для данной невырожденной матрицы A.

Решение полученной систему относительно y – нахождение обратного линейного преобразования

в котором A_ij — алгебраические дополнения элементов матрицы A, |А| — определитель матрицы A.

Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице*

Нахождение коэффициентов при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A, и запись найденной обратной матрицы.

Метод линейных преобразований можно считать тем же методом алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= методом линейных преобразований.

Решение:

Определитель для данной матрицы отличен от нуля, значит матрица обратима.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется алгебраические дополнения, найденные выше. Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании являются элементами A^-1, следовательно

Ответ:

VIII НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА)

1. Написание матрицы А и Е рядом через черту .

2. Приведение полученной матрицы к виду с помощью элементарных преобразований* над ее строками.

3. Получение обратной матрицы .

*К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= с помощью элементарных преобразований ее строк.

Решение:

Выпишем матрицу:

С помощью элементарных преобразований приводим левую часть к единичной матрице

=

=

Выписывает обратную матрицу A^-1.

Ответ:

IX ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обратные матрицы являясь неотъемлемой частью изучения линейной алгебры, необходимы к применению в различных сферах. Помимо их практического применения при решении различных математических уравнений и задач, использовании их в программировании, они играют роль в формирование умения выделять главное, развивают логическое мышление, внимание и память.

X СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

А.Г. Курош, «Курс высшей алгебры», 1968 год;

А.С. Бортаковский «Линейная алгебра в примерах и задачах», 2005 год;

Д.К. Фаддеев, «Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов», 1984 год;

Б.М. Верников, «Лекция 11: Обратная матрица»;

Peeyush Chandra, «Notes on Mathematics – 102».

Просмотров работы: 179

Вопрос Видео: Решение системы трех уравнений с помощью обратной матрицы

Стенограмма видео

Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений минус четыре 𝑥 минус два 𝑦 минус девять 𝑧 равно минус восемь, минус три 𝑥 минус два 𝑦 минус шесть 𝑧 равно минус три, а минус 𝑥 плюс 𝑦 минус шесть 𝑧 равно семь.

В вопросе сказано, что мы собираемся решать это с помощью обратной матрицы. Мы также знаем, что мы можем переписать систему линейных уравнений эквивалентным образом как матричное уравнение. Наше матричное уравнение будет состоять из трех частей: матрица коэффициентов, матрица переменных и матрица констант.

Матрица коэффициентов состоит из коэффициентов каждой переменной в правильном порядке. Таким образом, в первой строке матрицы коэффициентов будет отрицательная четверка, отрицательная двойка, отрицательная девятка. Вторая строка матрицы коэффициентов будет минус три, минус два, минус шесть. И третья строка матрицы коэффициентов будет отрицательной единицей, единицей и отрицательной шестью. Для этого конкретного уравнения мы должны быть осторожны, потому что, хотя коэффициенты 𝑥 и 𝑦 не видны, они равны единице и единице соответственно.

Итак, давайте двигаться дальше и рассмотрим, что входит в матрицу переменных. Это будут наши переменные для этой системы линейных уравнений. А это 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Итак, теперь давайте заполним записи для постоянной матрицы. Он будет состоять из констант нашей системы линейных уравнений, то есть отрицательной восьмерки, отрицательной тройки и семерки. Итак, вот наша система линейных уравнений, но записанная эквивалентным образом в виде матричного уравнения.

Метод обратной матрицы для решения этого явно будет включать обратную матрицу, но почему? Что ж, назовем эту матрицу коэффициентов 𝐴, матрицу переменных 𝑋 и матрицу констант 𝐵. Таким образом, мы можем представить это матричное уравнение как 𝐴𝑋 равно 𝐵. Помните, наша цель — найти элементы переменной матрицы, то есть 𝑋. Итак, чтобы решить, что 𝐴𝑋 равно 𝐵, помните, что 𝐴, 𝑋 и 𝐵 — матрицы, поэтому нам нужно выполнять только матричные операции. Начнем с умножения слева обратной матрицы коэффициентов в обеих частях уравнения. Мы делаем это, потому что тогда в левой части уравнения у нас есть обратное 𝐴, умноженное на 𝐴.

Мы знаем, что 𝐴, обратное умножение на 𝐴, дает нам единичную матрицу. Мы также знаем, что умножение единичной матрицы на другую матрицу дает нам эту матрицу. Таким образом, 𝑋 равно 𝐴, обратному 𝐵. Как только мы дойдем до этого этапа, мы сможем умножить обратную 𝐴 на 𝐵, потому что мы собираемся найти обратную матрицу 𝐴, и мы уже знаем элементы 𝐵, потому что это наша постоянная матрица. Так что это метод, который мы собираемся использовать. Итак, начнем с поиска обратной матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать сопряженный метод, чтобы получить обратную эту матрицу, если она существует. Напомним, что квадратная матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Итак, начнем с того, что найдем определитель этой матрицы и убедимся, что он не равен нулю. Напомним, что именно так мы находим определитель матрицы три на три, где это миноры матрицы, полученные путем взятия 𝑖-й строки и 𝑗-го столбца из матрицы 𝐴.

Итак, давайте продолжим и применим это, чтобы найти определитель для нашей матрицы коэффициентов. Начнем с того, что возьмем запись 𝑎 один, это минус четыре. И умножаем на определитель минора матрицы 𝐴 единица. Запись в первой строке и первом столбце матрицы 𝐴 равна отрицательной четвёрке. Следовательно, минор матрицы 𝐴 один — это матрица минус два, минус шесть, один, минус шесть.

Итак, мы умножаем минус четыре на определитель матрицы минус два, минус шесть, один, минус шесть. Затем мы вычитаем запись 𝑎 один два. Это минус два. И умножаем на определитель минора матрицы 𝐴 один два. Поскольку запись в первой строке и втором столбце находится здесь, минор матрицы, связанный с этой записью, равен минус три, минус шесть, минус один и минус шесть.

И, наконец, добавляем запись 𝑎 один три. Это запись с отрицательной девяткой. И связанный с ним матричный минор — отрицательная тройка, отрицательная двойка, отрицательная единица и единица.

Теперь мы можем вычислить каждый из этих определителей. Взяв первый в качестве примера, мы вычисляем это, делая отрицательные два, умноженные на отрицательные шесть. Это дает нам 12. Затем мы вычитаем отрицательные шесть, умноженные на единицу. Это дает нам минус шесть. Таким образом, этот определитель равен 12 минус минус шесть, что дает нам 18. Затем мы можем вычислить два других определителя таким же образом. Это 12 и минус пять соответственно.

Затем мы можем перемножить эти члены вместе. Затем путем сложения и вычитания мы находим, что определитель матрицы коэффициентов равен отрицательной трем. Итак, поскольку мы знаем, что определитель этой матрицы отличен от нуля, мы знаем, что обратная матрица существует. Итак, давайте продолжим и найдем это обратное. Я собираюсь расчистить место, чтобы найти обратную матрицу. Напомним себе сопряженный метод нахождения обратной матрицы.

Мы собираемся использовать следующие три шага, чтобы найти обратную матрицу коэффициентов 𝐴. Мы начнем с нахождения его матрицы кофакторов. А затем мы найдем сопряженную матрицу, транспонируя матрицу кофакторов. Затем мы умножаем присоединенную матрицу на обратную величину определителя 𝐴, чтобы получить обратную матрицу. Итак, мы собираемся начать с поиска матрицы кофакторов. Элементы матрицы кофакторов представляют собой определители соответствующих миноров матрицы, умноженные на знак переменного знака минус единица в степени 𝑖 добавить 𝑗.

Итак, мы собираемся вычислить определитель этих девяти миноров матриц, каждый из которых имеет соответствующий знак. Мы получаем этот соответствующий знак от отрицательного в степени 𝑖 добавить 𝑗. Например, для этого первого минора матрицы это дает нам отрицательную единицу в степени один плюс один. Поскольку это всего лишь отрицательная единица в квадрате, это дает нам единицу. Но если мы посмотрим на минор матрицы 𝐴, например, два единицы, мы найдем соответствующий знак, сделав минус один в степени два, прибавив один. Это дает нам отрицательную единицу в третьей степени. И это отрицательное, поэтому говорит нам, что это имеет отрицательный знак.

Итак, давайте продолжим, выписав каждый из определителей, которые нам нужно найти. Начнем с нахождения минора матрицы 𝐴 единицы. Мы можем сделать это, вычеркнув первую строку и первый столбец нашей матрицы. Это оставляет нам матрицу минус два, минус шесть, один, минус шесть. И это минор матрицы 𝐴 один. Затем мы можем использовать тот же метод, чтобы найти минор матрицы 𝐴 один два. Мы вычеркиваем первую строку и второй столбец, и у нас остается матрица минус три, минус шесть, минус один, минус шесть. Затем тем же методом находим остальные миноры матрицы.

Следующим шагом является фактическое вычисление каждого из этих определителей. Помните, что мы делаем это для определителей два на два, вычитая произведение диагоналей. Например, для этого первого мы делаем отрицательные два, умноженные на отрицательные шесть. Это дает нам 12. Затем мы вычитаем отрицательные шесть, умноженные на один. Это минус шесть. Итак, определитель этой матрицы равен 12 минус минус шесть. И это дает нам 18.

Затем эти детерминанты, которые мы вычислили, дают нам элементы для матрицы кофакторов. Я подчеркнул эти значения оранжевым цветом. Теперь я собираюсь очистить эти вычисления и написать нашу матрицу кофакторов, состоящую из элементов, подчеркнутых оранжевым цветом. Итак, мы завершили первый шаг, используя сопряженный метод, чтобы найти обратную матрицу, и это нахождение матрицы кофакторов.

Теперь переходим ко второму шагу. То есть нам нужно найти присоединенную матрицу, транспонируя 𝐶. Помните, что транспонирование матрицы означает, что строки становятся столбцами, а столбцы — строками. Итак, шаг второй сделан. Мы транспонировали матрицу 𝐶, что дало нам присоединенную матрицу 𝐴. Теперь мы можем перейти к третьему и последнему шагу, чтобы найти нашу обратную матрицу.

На третьем шаге мы умножаем только что найденную сопряженную матрицу на обратную величину определителя, вычисленного ранее. Помните, мы обнаружили, что этот определитель равен трем отрицательным числам. Этот последний шаг дает нам обратную матрицу 𝐴. У нас есть еще пара шагов, которые нам нужно сделать, чтобы закончить этот вопрос. Возвращаясь к началу нашей задачи, помните, мы говорили, что можем переписать это матричное уравнение так, что 𝐴𝑋 равно 𝐵. А чтобы найти 𝑋, нам нужно будет умножить слева обратную матрицу 𝐴. И поскольку умножение обратной матрицы на саму матрицу просто дает нам единичную матрицу, поэтому мы можем изменить это матричное уравнение, чтобы дать нам 𝑋 равно 𝐴 обратной, умноженной на 𝐵.

Итак, чтобы найти 𝑋 и, следовательно, записи 𝑥, 𝑦, 𝑧, нам нужно сделать обратное 𝐴, умноженное на 𝐵. Поэтому я собираюсь освободить место, чтобы мы могли выполнить этот расчет. Итак, теперь мы можем найти 𝑋, вычислив это матричное умножение. Мы делаем это обычным методом умножения матриц. Давайте теперь упростим. И отсюда нам просто нужно умножить каждую из трех записей на отрицательную единицу на три. Это дает нам 41, минус 24, минус 12. Следовательно, мы нашли, что матрица 𝑥, 𝑦, 𝑧 равна 41, минус 24, минус 12. Следовательно, 𝑥 равно 41, 𝑦 равно минусу 24, а 𝑧 равно минусу 12.

Обратите внимание, как мы можем проверить этот ответ, подставив найденные значения в матрицу переменных и умножив матрицу коэффициентов на матрицу переменных, что должно дать нам постоянную матрицу минус восемь, минус три, семь.

Поскольку это был довольно длинный вопрос, давайте кратко рассмотрим шаги, которые мы предприняли, чтобы найти ответ. Мы начали с того, что записали нашу систему линейных уравнений в виде матричного уравнения. Затем мы поняли, что если мы умножим слева на матрицу, обратную матрице коэффициентов, это даст нам переменную матрицу. Для этого нам нужно было найти матрицу, обратную матрице коэффициентов, используя сопряженный метод. Затем, наконец, нам просто нужно было умножить обратную, которую мы нашли, на постоянную матрицу, чтобы получить переменную матрицу и, следовательно, значения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

Объяснение урока: обратная матрица: операции со строками

В этом объяснении мы узнаем, как использовать элементарные операции со строками, чтобы найти обратную матрицу, если это возможно.

В линейной алгебре одним из самых полезных и универсальных понятий является понятие (мультипликативная) обратная квадратной матрицы. Подобно понятию деления в обычной алгебре, обратная матрица в некотором смысле обеспечивает полную алгебраическую структуру к линейной алгебре. Независимо от конкретного использования, которое мы могли бы иметь в виду, это часто бывает очень полезно знать обратную матрицу, особенно когда ее понимают в тандеме с алгебраическими свойствами обратной матрицы.

В традиционной алгебре, если бы мы умножили число 𝑎 на взаимное 𝑎, то мы нашли бы 𝑎𝑎=1=𝑎𝑎 при условии, что 𝑎≠0. Мы можем думайте об обратном 𝑎 как об «обратном» 𝑎 и мы должны разумно ожидать, что обратная матрица будет подчиняться подобные свойства. На самом деле это очень точное предположение, поскольку обратная матрица следует почти идентичным алгебраическим свойствам аналогичной операции в обычном алгебра. К этому утверждению есть несколько оговорок. Во-первых, обратная матрица существует только для квадратных матриц. Во-вторых, точно так же, как мы не можем взять обратное 𝑎 при 𝑎=0 аналогичное условие вычисления матрицы обратный 𝐴. Конкретно не получается найти 𝐴 для матрицы, если она имеет определитель нулевого значения, что означает что матрица «сингулярна». Имея в виду эти два ограничения, мы теперь формально определить обратную матрицу.

Определение: обратная квадратная матрица

Для квадратной матрицы 𝐴 порядка 𝑛×𝑛 «мультипликативная обратная» (если она существует) — это квадратная матрица 𝐴 такой, что 𝐴𝐴=𝐼=𝐴𝐴, , где 𝐼 — единичная матрица.

Матрица 𝐴 также должна быть квадратной матрицей порядка 𝑛×𝑛. Существование обратной матрицы заведомо не гарантировано, существует только в том случае, если рассматриваемая матрица невырожденна. Есть несколько методов для определения того, является ли матрица сингулярной или неособой, либо с помощью определителя, либо в качестве альтернативы с помощью подходящих операций со строками для вычисления ранга матрицы. В этом объяснитель, мы продемонстрируем, как можно ответить на вопрос как неотъемлемую часть метод вычисления обратной матрицы, известный как исключение Гаусса-Жордана. Это также можно использовать метод сопряженной матрицы для вычисления обратного, и это будет покрыты другими объяснителями.

Прежде чем перейти к матрицам 3×3, мы сначала продемонстрируем понятие для матриц 2×2. Предположим, что у нас есть матрица 𝐴=1−3−22 и что нам сказали, что обратная матрица 𝐴 существует и имеет вид 𝐴=⎛⎜⎜⎝−12−34−12−14⎞⎟⎟⎠. 

Тогда по приведенному выше определению мы могли бы проверить, что это верно, вычислив 𝐴𝐴=1−3−22⎛⎜⎜⎝−12−34−12−14⎞⎟⎟⎠=1001=𝐼.

Поскольку результатом является единичная матрица 2×2, мы имеем подтвердил, что 𝐴 является мультипликативной инверсией 𝐴. В равной степени мы может подтвердить, что 𝐴𝐴=𝐼. Существует известный способ вычисление обратной матрицы 2 × 2, которую легко запомнить и использовать. Однако часто этот метод производится без понимания того, как он устроен. получена, и она не обобщается каким-либо простым способом на обратные квадратные матрицы, которые имеют более крупный заказ. Напротив, существует хорошо известный метод вычисления обратной квадратную матрицу любого порядка, просто используя элементарные операции со строками. Мы предоставим один пример этого метода для матрицы 2×2, приведенный выше, для обратное известно. После этой демонстрации мы применим тот же метод к матрицы порядка 3×3, имея в виду, как техника будет обобщить на матрицы с еще большими порядками.

Теорема: вычисление мультипликативной обратной квадратной матрицы

Предположим, что матрица 𝐴 имеет порядок 𝑛×𝑛 и что обратный 𝐴 существует. Тогда это обратное можно вычислить по формуле создание объединенной матрицы 𝐴𝐼 и использование элементарной строки операции по преобразованию этой большей матрицы в форму 𝐼𝐴, где 𝐼 единичная матрица 𝑛×𝑛.

Как мы увидим позже, если матрица 𝐴 необратима, то она не будет быть в состоянии завершить эти вычисления. Чтобы описать описанный выше метод, мы будем теперь пересмотреть матрицу 𝐴=1−3−22.

Следуя описанному выше методу, мы используем единичную матрицу 𝐼=1001, а затем запишите это рядом с исходной матрицей в дайте 𝐴𝐼=1−310−2201.

Мы включили разделительную линию между двумя матрицами, чтобы избежать путаницы при попытке определить, какие записи следует удалить следующими. Как правило, полезно выделить первые ненулевые элементы в каждой строке, которые известны как «стержни»: 1−310−2201.

Затем мы завершаем процесс исключения Гаусса–Жордана и приводим матрицу к виду желаемая форма. Процесс, который мы собираемся завершить, эквивалентен нахождению редуцированного ступенчатая форма матрицы выше.

У нас уже есть 1 в верхней левой записи, и мы должны попытаться оставить эту запись без изменений, если возможно, поскольку единичная матрица 2 × 2 𝐼 имеет 1 в верхняя левая запись, а также каждая диагональная запись. Поэтому мы стремимся удалить −2 сводная запись во второй строке. Этого можно добиться с помощью элементарного операция строки 𝑟→𝑟+2𝑟, которая дает матрицу 1−3100−421.

Теперь у нас есть нулевая запись в левом нижнем углу, что означает, что первый столбец равен этому единичной матрицы 2×2. Можем двигаться дальше к желаемому форме, сосредоточившись на сводной записи во второй строке. Чтобы левая сторона была максимально похожей к единичной матрице 2 × 2, мы должны сделать эту запись равной 1. Мы можем масштабировать всю вторую строку на константу, используя операцию строки 𝑟→−14𝑟, что дает 1−31001−12−14.

Левая часть теперь идентична единичной матрице 2×2, за исключением для второй записи первой строки. Чтобы сделать эту запись равной нулю, мы используем операция строки 𝑟→𝑟+3𝑟: ⎛⎜⎜⎝10−12−3401−12−14⎞⎟⎟⎠.

Теперь левая часть равна 𝐼 и мы пришли к выражению 𝐼𝐴=⎛⎜⎜⎝10−12−3401−12−14⎞⎟⎟⎠.

Таким образом, мы нашли, что 𝐴=⎛⎜⎜⎝−12−34−12−14⎞⎟⎟ ⎠ , которая идентична форме, приведенной выше. Мы уже проверили, что это действительно правильная инверсия для 𝐴, поэтому сейчас в этом нет необходимости, хотя обычно разумно проверить правильность обратного, особенно для матриц более высокого заказ.

Теперь применим описанную выше технику к матрице 3×3. Скорее, чем начнем с матриц, которые заполнены многими ненулевыми элементами, мы начнем с матриц для которого вычисление обратного менее утомительно. Мы также должны иметь в виду, что это может не можно вычислить обратную матрицу, а это означает, что в какой-то момент описанный выше метод использовать будет невозможно. Проще говоря, если мы не сможем получить соответствующие единичная матрица в левой части объединенной матрицы, то данная матрица не будет иметь обратный.

Пример 1. Нахождение обратной матрицы 3 × 3

Найдите мультипликативную обратную следующую матрицу: 1470010001.

Ответ

Пометив приведенную выше матрицу как 𝐴, мы уже видим, что она похожа к единичной матрице 𝐼: 𝐴=1470010001,𝐼=100010001.

Это указывает на то, что для маневрирования требуется сравнительно небольшое усилие. матрица 𝐴𝐼 в виде 𝐼𝐴 , если это вообще возможно. Мы создаем объединенный матрица 𝐴𝐼=⎛⎜⎜⎝1470100010010001001⎞⎟⎟⎠.

Все опорные записи были выделены, что подтверждает сходство левой части сторона единичной матрицы 3×3: ⎛⎜⎜⎝1470100010010001001⎞⎟⎟⎠.

Нам нужно только удалить запись в первой строке и втором столбце, которая заполнена операцией строки 𝑟→𝑟−47𝑟: ⎛⎜⎜⎝1001−470010010001001⎞⎟⎟⎠.

Мы уже получили единичную матрицу 3×3 слева. стороны, что означает, что выражение в правой части является обратной матрицей 𝐴=1−470010001.

Хотя в приведенном выше примере это маловероятно, всегда возможно, что мы допустили ошибку расчет при нахождении обратной матрицы. Чтобы подтвердить, что у нас есть правильный результат для 𝐴 нам нужно проверить, что 𝐴𝐴=14700100011−470010001=100010001=𝐼.

стих следующей матрицы: 100710801.

Ответ

Если указанную выше матрицу обозначить 𝐴, то имеем 𝐴=100710801,𝐼=100010001 и ясно, что две матрицы довольно похожи. Запишем объединенную матрицу 𝐴𝐼=⎛⎜⎜⎝100100710010801001⎞⎟⎟⎠.

Мы выделяем сводные записи каждой строки. Мы должны оставить верхнюю левую запись без изменений, поскольку эта запись используется совместно с идентификационной матрицей 3 × 3: ⎛⎜⎜⎝100100710010801001⎞⎟⎟⎠.

Сводные записи во второй и третьей строках должны быть преобразованы в нули с помощью элементарные операции со строками. Мы можем изменить сводную запись во второй строке, используя первая строка с операцией 𝑟→𝑟−7𝑟. Этот дает результирующую матрицу ⎛⎜⎜⎝100100010−710801001⎞⎟⎟⎠, которая больше похожа на единичную матрицу 3×3. Сводная запись в третьей строке должна быть изменена с помощью операция строки 𝑟→𝑟−8𝑟, оставляя ⎛⎜⎜⎝100100010−710001−801⎞⎟⎟⎠.

Мы успешно получили правильную форму в левой части матрицы, это означает, что правая часть на самом деле является единичной матрицей 𝐴=100−710−801.

Плохой тон – закончить такой вопрос, не проверив, что 𝐴 правильный мультипликатив, обратный 𝐴. Хотя вряд ли мы ошиблись в приведенном выше вопросе из-за простоты 𝐴, мы рекомендуется, чтобы это было выполнено в порядке рутины. Для более сложных матриц (таких как в вопросах ниже), было бы удручающе легко сделать арифметическую ошибку который размножается в результирующих вычислениях, создавая матрицу, которая наиболее определенно не мультипликативная обратная.

Пример 3. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных операций над строками

Используя элементарные операции над строками, найдите 𝐴 для матрицы 𝐴=−50−1231−1103.

Ответ

Начнем с объединения матрицы 𝐴 с единичной матрицей 3×3 𝐼=100010001.

Соединим эти две матрицы как преобразовать эту матрицу в вид 𝐼𝐴. С этой целью мы выделяем сводные записи, как показано: ⎛⎜⎜⎝−50−1210031−1010103001⎞⎟⎟⎠.

Было бы удобно поменять местами ряды 1 и 3, чтобы в верхнем левом элементе была 1. Мы используйте операцию строки 𝑟↔𝑟, чтобы получить ⎛⎜⎜⎝10300131−1010−50−12100⎞⎟⎟⎠.

Сводка во второй строке может быть преобразована в нулевую запись с помощью операции строки 𝑟→𝑟−3𝑟, давая ⎛⎜⎜⎝10300101−1001−3−50−12100⎞⎟⎟⎠.

Аналогичную операцию со строками можно применить к стержню в третьей строке. Операция строки 𝑟→𝑟+5𝑟 таким образом получается крайний левый столбец, который идентична единичной матрице 3 × 3: ⎛⎜⎜⎝10300101−1001−3003105⎞⎟⎟⎠.

В этот момент мы решили изменить новую опорную точку в третьей строке, чтобы она была равна 1. Мы используем операцию строки 𝑟→13𝑟, чтобы найти ⎛⎜⎜⎝10300101−1001−300113053⎞⎟⎟⎠.

Чтобы получить единичную матрицу в левой части, нам нужно удалить два ненулевых элемента которые находятся над стержнем в третьем ряду. Операции со строками 𝑟→𝑟+10𝑟 и 𝑟→𝑟−3𝑟 дают ⎛⎜⎜⎜⎜⎝100−10−4010103141300113053⎞⎟⎟⎟⎟⎠.

Мы получили именно ту форму, которую искали, а значит, правильный сторона объединенной матрицы является обратной 𝐴=⎛⎜⎜⎜⎝−10−4103141313053⎞⎟⎟⎟⎠.

Можно подтвердить, что это правильная единичная матрица, показав, что 𝐴𝐴=𝐼 или что 𝐴𝐴=𝐼.

До сих пор каждая квадратная матрица, которую мы видели, была обратимой, что означает, что мы могли использовать элементарные операции со строками для преобразования матрицы 𝐴𝐼 в матрицу 𝐼𝐴. Мы неоднократно указывали, что это не всегда возможно, хотя мы не указали, как мы могли бы распознать или даже предсказать это свойство, когда вычисление обратной матрицы. Для этого приведем следующую теорему, которая указать условия, которые позволят нам определить, можем ли мы завершить Процесс Гаусса – Жордана для нахождения обратной матрицы.

Теорема: сводные элементы и обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу 𝐴 порядка 𝑛×𝑛 и объединенная матрица 𝐴𝐼, где 𝐼 — единичная матрица 𝑛×𝑛. Если можно выполнять элементарные операции над строками на 𝐴𝐼 так, чтобы сводная запись появилась справа, затем матрица 𝐴 не может быть обращена.

Пример 4. Использование операций с элементарными строками для поиска обратной матрицы

Используя операции с элементарными строками, найдите 𝐴 для матрицы 𝐴=303112−330.

Ответ

Начнем с двух матриц 𝐴=303112−330,𝐼=100010001.

Две матрицы явно не похожи, и поэтому мы ожидаем, что нам придется выполните несколько операций над строками, по крайней мере, чтобы найти обратную (если она существует). Мы создаем объединенная матрица 𝐴𝐼=⎛⎜⎜⎝303100112010−330001⎞⎟⎟⎠.

Выделим опорные элементы, которые являются первыми ненулевыми элементами в каждой строке: ⎛⎜⎜⎝303100112010−330001⎞⎟⎟⎠.

Учитывая, что мы надеемся использовать операции со строками для получения формы 𝐼𝐴, будет будет полезно, если мы сможем сразу настроить матрицу, чтобы она больше походила на матрицу идентичности 𝐼 с левой стороны. Если бы мы поменяли местами строку 1 и строку 2, то у нас будет 1 в верхнем левом элементе, что также верно для единичной матрицы 3 × 3 𝐼. Затем мы должны выполнить строку операция 𝑟↔𝑟, дающая ⎛⎜⎜⎝112010303100−330001⎞⎟⎟⎠.

Сводная запись во второй строке отлична от нуля, и эту ситуацию следует изменить. Простая операция со строками для достижения этого использует первую строку: 𝑟→𝑟−3𝑟, которая возвращает матрицу ⎛⎜⎜⎝1120100−3−31−30−330001⎞⎟⎟⎠.

Теперь сосредоточимся на опорной записи в третьей строке, которая также не равна нулю. Это может быть исправляется с помощью операции строки 𝑟→𝑟+3𝑟. результирующая матрица имеет первый столбец, который идентичен столбцу единичной матрицы 3 × 3: ⎛⎜⎜⎝1120100−3−31−30066031⎞⎟⎟⎠.

Ненулевая сводная запись третьей строки теперь находится во второй записи. Мы можем сделать это введите ноль, выполнив 𝑟→𝑟+2𝑟. Это дает матрица ⎛⎜⎜⎝1120100−3−31−300002−31⎞⎟⎟⎠.

Теперь мы находимся в ситуации, когда сводная запись одной из строк находится справа матрицы. Это означает, что матрица 𝐴 необратима. В других словами, не существует матрицы 𝐴 такой, что 𝐴𝐴=𝐼=𝐴𝐴.

Какие бы дальнейшие операции над строками мы ни пробовали в приведенном выше вопросе, у нас никогда не было бы удалось получить форму 𝐼𝐴 из объединенной матрицы. Был небольшой путь знать это до начала процесса исключения Гаусса-Джордана, если только мы не случайно заметил, что третья строка может быть построена из первой и второй строк используя заданные операции со строками. Обычно это трудно заметить, поэтому неудобство запуска метода Гаусса-Жордана, даже если мы в конечном итоге обнаружим, что это не так. можно вычислить обратное.

Теперь мы перейдем к вычислению обратного для 4×4 матрица. Как мы увидим, мало что отличается от метода, который мы применили к предыдущие проблемы. Хотя вполне вероятно, что будет большее количество строковых операций (и, следовательно, больше шансов сделать ошибку), метод в принципе не сложнее.

Пример 5. Нахождение обратной матрицы 4 × 4

Ответ

Начнем с единичной матрицы 4×4. 𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠, а затем мы соединяем это с 𝐴, чтобы дайте 𝐴𝐼=⎛⎜⎜⎜⎝120210001120010021−32001012120001⎞⎟⎟⎟⎠. и затем мы присоединяем это с 𝐴 к дайте 𝐴𝐼=⎛⎜⎜⎜⎝120210001120010021−32001012120001⎞⎟⎟⎟⎠.

Мы будем использовать операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в форму 𝐼𝐴 , если это возможно. Сначала подсвечиваются опоры: ⎛⎜⎜⎜⎝120210001120010021−32001012120001⎞⎟⎟⎟⎠.

Чтобы начать движение к желаемой форме, мы должны исключить все появляющиеся сводные записи. ниже оси в первом ряду. Этого можно добиться, применяя операции над строками 𝑟→𝑟−𝑟, 𝑟→𝑟−2𝑟 и 𝑟→𝑟−𝑟, давая ⎛⎜⎜⎜⎝120210000−12−2−11000−3−3−2−20100010−1001⎞⎟⎟⎟⎠.

Сводка в третьей строке также может быть превращена в нулевую запись с помощью операции строки 𝑟→𝑟−3𝑟 дать ⎛⎜⎜⎜⎝120210000−12−2−110000−941−3100010−1001⎞⎟⎟⎟⎠.

Чтобы отложить введение дробей в наши расчеты, мы масштабируем четвертую строку с операция строки 𝑟→9𝑟: ⎛⎜⎜⎜⎝120210000−12−2−110000−941−3100090−9009⎞⎟⎟⎟⎠.

Теперь легко удалить сводную запись в четвертой строке с помощью операции строки 𝑟→𝑟+𝑟, уходит ⎛⎜⎜⎜⎝120210000−12−2−110000−941−3100004−8−319⎞⎟⎟⎟⎠.

Теперь мы должны сосредоточиться на удалении всех ненулевых элементов, которые появляются над опорной точкой в четвертый ряд. Этого можно достичь разными способами, но сначала мы выберем масштабирование. четвертый ряд как 𝑟→12𝑟: ⎛⎜⎜⎜⎜⎝120210000−12−2−110000−941−3100002−4−321292⎞⎟⎟⎟⎟⎠.

Теперь все записи над опорной точкой в ​​четвертой строке можно удалить с помощью строки операции 𝑟→𝑟−2𝑟, 𝑟→𝑟+𝑟 и 𝑟→𝑟−𝑟. результат ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1200532−12−920−120−5−12129200−90900−

−4−321292⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Поскольку теперь у нас есть много записей, которые являются дробями, мы могли бы также изменить масштаб второго, третья и четвертая строки, чтобы все сводные записи были равны 1. Мы используем строку операции 𝑟→−𝑟, 𝑟→−19𝑟 и 𝑟→12𝑟 чтобы дать ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1200532−12−9201−20512−12−920010−10010001−2−341494⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Мы почти завершили процесс и теперь нам нужна только операция строки 𝑟→𝑟+2𝑟: ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1200532−12−920100312−12−520010−10010001−2−341494⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠, за которой следует операция строки 𝑟→𝑟−2𝑟 : ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1000−11212120100312−12−520010−10010001−2−341494⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

Поскольку левая часть теперь равна единичной матрице 4×4, матрица в правой части, следовательно, является обратной матрицей 𝐴=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1121212312−12−52−1001−2−341494⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Ключевые моменты

• Для квадратной матрицы 𝐴 порядка 𝑛×𝑛 обратная матрица 𝐴 также имеет порядок 𝑛×𝑛 и обладает свойством 𝐴𝐴=𝐼=𝐴𝐴, где 𝐼 — единичная матрица 𝑛×𝑛.
• Мы находим обратную 𝐴 (если она существует), взяв объединенную матрицу 𝐴𝐼 и используя элементарные операции со строками для переместите это в форму 𝐼𝐴.
• Если при выполнении этого процесса в правой половине матрицы, то обратной не существует.

  No related posts.