Общая формула обратной матрицы: определение, свойства и примеры решения задач

§1.4. Обратная матрица

Теорема о существовании обратной матрицы Свойства обратных матриц Ортогональная матрица Симметричная матрица

Теорема о существовании обратной матрицы

Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т.е. В противном случае она называется вырожденной.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если выполняется равенство

. (8)

Следующая теорема устанавливает условия существования обратной матрицы.

(о существовании обратной матрицы)

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.

◄Необходимость. Пусть матрица имеет обратную матрицу . Тогда . Используя свойство 11 определителя, получаем , откуда вытекает . Следовательно, . Матрица является невырожденной.►

◄Достаточность. Пусть матрица является невырожденной: . Матрицу транспонируем и на основе транспонированной матрицы построим новую матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы . Назовем эту матрицу присоединенной. Итак

.

Найдем новую матрицу как произведение матриц и : . Она имеет вид

.

Элементы матрицы вычислим по отдельности и воспользуемся равенством , которое легко проверяется.

.

.

………………………………………………………………………..……….

Продолжая вычисления дальше, обратим внимание на то, что отличными от нуля окажутся только диагональные элементы матрицы :

Поэтому матрица имеет вид

.

Следовательно, .

Аналогично можно доказать, что .

Рассмотрим соотношение .

Разделив его на , получим .

Поскольку для матрицы выполнено равенство (8), эта матрица является обратной по определению .►

Единственность обратной матрицы. ◄Пусть кроме обратной матрицы к матрице существует еще одна обратная матрица . Тогда выполняется равенство . Умножим это равенство справа на . Получим , откуда или . Таким образом, не существует обратной матрицы , отличной от . Аналогично доказывается, что равенство выполняется в том единственном случае, когда .►

Свойства обратных матриц

1) .

◄Умножим обе части равенства слева на .

.

Слева стоит произведение матрицы на обратную ей , которое равно единичной матрице, справа произведение обратной матрицы на исходную, также равное единичной матрице. Следовательно, равенство верно.►

2) .

◄Умножим обе части равенства слева на :

.

Далее воспользуемся 4-м свойством транспонирования матрицы и перепишем левую часть соотношения так: . Правая часть равенства есть произведение матрицы на обратную ей. Получаем . Откуда следует тождество .►

3) .

◄Умножим слева равенство на .

.

Левую часть равенства представим в виде произведения сомножителей

.

Левая часть равенства свертывается до матрицы , правая часть равенства есть произве­дение матрицы на обратную ей. Следовательно, равенство обращается в тождество .►

4) .

◄Для равенства воспользуемся свойством 11 определителей. Получим , откуда следует . Поэтому .►

5)

◄Умножим равенство слева на матрицу .

.

Правая часть соотношения примет вид или . Итак

.

Умножим последнее равенство слева на . Получим

.

Слева стоит произведение матрицы на обратную ей , справа — произведение матрицы на обратную ей . Следовательно, . Свойство 5 доказано. ►

Доказанная теорема дает способ вычисления обратной матрицы.

ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную данной

.

Решение. Обратную матрицу будем искать, делая последовательно следующие шаги:

1) Находим определитель матрицы . Его величина . Следовательно, обратная матрица существует.

2) Находим транспонированную к матрицу

.

3) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы

, , …, .

Выписываем присоединенную матрицу:

.

4) Вычисляем обратную матрицу:

.

Другой способ вычисления обратной матрицы дает метод Жордана.

Но вначале познакомимся с ортогональной матрицей, с симметричной матрицей и с матрицами элементарных преобразований, на использовании которых основан этот метод.

Ортогональная матрица

Матрица называется ортогональной, если .

Из определения следуют следующие свойства.

1. – квадратная матрица.

3. — ортогональная матрица.

5. Если и ортогональные матрицы и то является ортогональной матрицей.

6. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда

и .

Симметричная (симметрическая) матрица

Матрица называется симметричной, если .

Перечислим некоторые свойства симметричной матрицы

1. Если симметричная матрица имеет обратную, то она инволютивна, т. е. , и ортогональна.

2. Если матрица симметрична и имеет обратную, то она ортогональна и инволютивна.

лекции_1_курс_2_поток_осень_2017 | Кафедра высшей алгебры

Лектор: Э.Б. Винберг

1-я лекция 02.09. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Системы однородных линейных уравнений с числом уравнений, меньшим числа неизвестных.

2-я лекция 06.09. Абелевы группы (аддитивные и мультипликативные). Подгруппы. Кольца и поля. Подкольца и подполя.

3-я лекция 09.09. Операции над матрицами: сложение, умножение на число (элемент поля), умножение матриц; их свойства. Кольцо M_n(K) квадратных матриц.

Поле комплексных чисел (аксиоматическое определение), его существование и единственность (с точностью до изоморфизма).

4-я лекция 16.09. Матричная модель поля C.

Комплексное сопряжение. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме. Группа корней n-й степени из единицы.

Общая конструкция квадратичного расширения поля.

5-я лекция 20.09. Векторные пространства. Простейшие следствия аксиом. Подпространства. Линейные комбинации векторов и линейная выражаемость. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Три леммы о линейной зависимости, в том числе третья — «основная». Линейная оболочка <S> подмножества S векторного пространства. Порождающие системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Следствие основной леммы о линейной зависимости: если векторное пространство порождается n векторами, то любые m>n векторов линейно зависимы.

6-я лекция 27.09. Базис и размерность (конечномерного) векторного пространства. Изоморфность векторных пространств одинаковой размерности.

Дополнение любой линейно независимой системы векторов до базиса. Максимальные линейно независимые системы векторов заданного подмножества S векторного пространства V как базисы линейной оболочки этого подмножества. Ранг подмножества S<V. Теорема о размерности подпространства.

Ранг матрицы (ранг системы ее строк). Теорема о том, что ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк.

7-я лекция 30.09. Применение понятия ранга матрицы к исследованию систем линейных уравнений: критерии совместности и определенности, размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Теорема о том, что ранг матрицы равен рангу системы ее столбцов и, следовательно, не меняется при элементарных преобразованиях столбцов. Ранг произведения матриц.

8-я лекция 04.10. Транспонирование матриц, его свойства.

Квадратные системы линейных уравнений. Невырожденные квадратные матрицы (ранг равен порядку матрицы).

Обратная матрица, ее единственность. Теорема о том, что квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований строк.

Описание всех базисов n-мерного векторного пространства. Формулы преобразования координат.

9-я лекция 07.10. Определители 2-го и 3-го порядков, их геометрический смысл.

Перестановки, их четность и знак. Изменение знака перестановки при транспозиции.

Определение определителя квадратной матрицы (явное выражение). Основные свойства определителя. Определитель треугольной матрицы. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований строк.

10-я лекция 14.10. Критерий вырожденности матрицы в терминах ее определителя. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.

Задача интерполяции и определитель Вандермонда.

Разложение определителя по строке (столбцу).

11-я лекция 17.10. Определитель произведения матриц. Выражение объема параллелепипеда через длины его ребер и углы междк ними.

Теорема о ранге матрицы.

Формулы Крамера.

12-я лекция 18.10. Явные формулы для элементов обратной матрицы.

Кольцо вычетов по модулю n и группа его обратимых элементов. Выяснение того, когда оно является полем.

13-я лекция 21.10. Малая теорема Ферма.

Определение алгебры и подалгебры. Таблица умножения алгебры.

Алгебра K[x} многочленов над бесконечным полем K как подалгебра алгебры функций. Линейная независимость степенных функций.

Определение алгебры многочленов над любым полем посредством таблицы умножения.

Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.

14-я лекция 28.10. Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора для многочлена над полем нулевой характеристики.

Кратность корня многочлена, ее геометрический смысл для многочленов над R.

15-я лекция 01.11. Число корней многочлена с учетом кратностей и разложение многочленов на линейные множители. Формулы Виета.

Основная теорема алгебры комплексных чисел (схема доказательства).

16-я лекция 06.11. Мнимые корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение на линейные и квадратичные множители в R[x].

Теорема Декарта.

17-я лекция 11.11. Целостные кольца. Делимость, обратимые и ассоциированные элементы в целостных кольцах. Наибольший общий делитель, его единственность (при условии существования).

Евклидовы кольца. Примеры — Z, K[x], Z[i]. Существование н.о.д. и его линейное выражение в евклидовом кольце. Взаимно простые элементы. Существование и единственность разложения на простые множители.

18-я лекция 15.11. Рациональные корни целочисленных многочленов. Примитивные целочисленные многочлены. Лемма Гаусса. Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.

Многочлены от нескольких переменных над бесконечным полем как функции. Линейная независимость одночленов. Формальное построение алгебры многочленов от нескольких переменных над произвольным полем (как алгебры с заданной таблицей умножения базисных векторов). Степень многочлена по совокупности переменных.

19-я лекция 18.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Старший член произведения двух многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.

Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

20-я лекция 25.11. Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по знаку его дискриминанта.

Поле отношений целостного кольца.

21-я лекция 29.11. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Явная формула для случая, когда знаменатель разлагается на различные линейные множители, связь с интерполяционной формулой Лагранжа.

Понятие группы. Группа невырожденных матриц и группа подстановок.

22-я лекция 02. 12. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме. Определитель матрицы и знак подстановки как примеры гомоморфизмов.

23-я лекция 09.12. Отношение сравнимости элементов группы по модулю подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Связь между порядками группы и образа и ядра ее гомоморфизма в другую группу. Гомоморфизм S_4→S_3.

Степени элемента группы. Порядок элемента. Циклическая подгруппа, порожденная элементом, ее изоморфизм с одной из групп Z_n или Z. Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера: их групповой смысл.

24-я лекция 13.12. Подгруппы циклических групп. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Квадратичные вычеты по модулю p. Критерий того, когда -1 является квадратичным вычетом.

Простое подполе поля характеристики p. Число элементов конечного поля.

Квадратичное расширение F(\sqrt d) поля F. Построение поля из p^2 элементов при p>2.

Что такое обобщенная инверсия? – Ник Хайэм

Обратная матрица определена только для квадратных невырожденных матриц. Обобщенная инверсия — это расширение концепции инверсии, которая применяется к квадратным сингулярным матрицам и прямоугольным матрицам. Существует много определений обобщенных инверсий, все из которых сводятся к обычной инверсии, когда матрица квадратная и невырожденная.

Большой класс обобщенных обратных матриц может быть определен в терминах условий Мура-Пенроуза, в которых :

Здесь верхний индекс обозначает сопряженное транспонирование. 1-инверсия — это любое выполнение условия (1), (1,3)-инверсия — это любое выполнение условий (1) и (3) и т. д. для любого подмножества четырех условий.

Условие (1) означает, что if then , so решает уравнение, а это означает, что любая 1-обратная функция является обратным решением уравнения. Из условия (2) следует, что если .

Обратное (1,3) можно показать, чтобы получить решение по методу наименьших квадратов для противоречивой линейной системы. Можно показать, что обратное (1,4) обеспечивает минимальное решение с 2 нормами согласованной линейной системы (где 2-норма определяется как ).

Не существует единственной матрицы, удовлетворяющей одному, двум или трем условиям Мура–Пенроуза. Но существует единственная матрица, удовлетворяющая всем четырем условиям, и она называется псевдообратной Мура-Пенроуза , обозначаемой или . Для любой системы линейных уравнений минимизирует и имеет минимальную 2-норму по всем минимизаторам.

Псевдообратное выражение может быть выражено в терминах разложения по сингулярным числам (SVD). Если SVD, где матрица и матрица ортогональны, и с (так что ), то

В MATLAB функция pinv вычисляется по этой формуле. Если то краткая формула верна.

Для квадратных матриц обратная Дразина является уникальной матрицей, такой что

где . Первое условие такое же, как второе из условий Мура-Пенроуза, но второе и третье имеют другой оттенок. Индекс матрицы является наименьшим неотрицательным целым таким, что ; он характеризуется как размер наибольшей жордановой клетки с нулевым собственным значением.

Если то также известна как группа , обратная , и обозначается . Обратное уравнение Дразина является обратным решением уравнения именно тогда, когда , для тогда , которое является первым из условий Мура – ​​Пенроуза.

Обратное Дразина можно явно представить следующим образом. Если

где и невырожденны и имеют только нулевые собственные значения, то

Вот псевдообратная и обратная Дразина для конкретной матрицы с индексом:

Приложения

Псевдоинверсия Мура-Пенроуза тесно связана с ортогональностью, тогда как обратная функция Дразина имеет спектральные свойства, связанные со свойствами исходной матрицы. Псевдообратное происходит во всех видах задач наименьших квадратов. Приложения обратного Дразина включают моделирование населения, цепи Маркова и сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений. Обычно нет необходимости вычислять обобщенные инверсии, но они являются ценным теоретическим инструментом.

Ссылки

Это минимальный набор ссылок, который содержит дополнительные полезные ссылки.

• Ади Бен-Исраэль, Мур обратного Мура-Пенроуза, Электрон. Журнал линейной алгебры 9, 150–157, 2002.
• Ади Бен-Исраэль и Томас Н. Э. Гревилль, Обобщенные инверсии: теория и приложения, второе издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2003 г.
• Стивен Кэмпбелл и Карл Мейер, Обобщенные инверсии линейных преобразований, Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, США, 2009 г.. опубликовано (Первоначально опубликовано Pitman в 1979 г.)
• Стивен Дж. Киркланд и Майкл Нойманн, Групповые обратные и -матрицы и их приложения, Чепмен и Холл/CRC, 2013
• Guorong Wang, Yimin Wei and Sanzheng Qiao, Generalized Inverses: Theory and Computations, второе издание, Springer-Verlag, Singapore, 2018.

Похожие сообщения в блоге

• Что такое матрица? (2020)

Эта статья является частью серии «Что есть», доступной по адресу https://nhigham.