Общий знаменатель 12 и 16: Общий знаменатель 12 и 16

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Кратным натурального числа a называют натуральное число, делится без остатка на a.

Первые пять чисел, кратных 8: 8, 16,24, 32, 40.

Признаки делимости

На 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.

На 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

На 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

На 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

На 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Число, делящееся только на 1 и само на себя – простое число.

Число, имеющее более двух делителей – составное число.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

1.)Разложить их на простые множители;

2.)Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3. )Найти произведение оставшихся множителей.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b (НОК).

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

1.)Разложить их на простые множители;

2.)Выписать множители, входящие в разложение одного из этих чисел;

3.)Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4.)Найти произведение получившихся множителей.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

и

60 = 2 · 2 · 3 · 5

168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7

Наименьший общий знаменатель:

2 · 2 · 2 · 3 · ·5 · 7 = 840

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1.)Найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем;

2.)Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели этих дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3.)Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1.)Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2.)Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

5

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1. )Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2.)Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

3

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1.)Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

2.)Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить это число, а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1.)Найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2.)Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

или

a:b=c:d

a·d=b·c

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Числа a и d – крайние члены пропорции; b и с – средние

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

4 : 2 = 56 : 28

7 : 21 = 15 : 45

5 : 25 = 7 : 35

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если две величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

1 : 100000 = – карта выполнена в масштабе одна стотысячная

C = 2·π·r

Длина окружности

r – радиус окружности

π = 3,14

S = π·r²

Площадь круга

r – радиус окружности

π = 3,14

Прямую, с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

2,6 и -2,6

и

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Модулем числа a (|a|) называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

– 8,7 + (– 3,5) = – (8,7 + 3,5) = – 12,2

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

1.)Сложить их модули;

2.)Поставить перед полученным числом знак –.

6,1 + (– 4,2) = + (6,1 – 4,2) = 1,9

или

6,1 + (– 4,2) = 6,1 – 4,2 = 1,9

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

1. )Из большего модуля слагаемых вычесть меньший;

2.)Поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Если A(9) и В(– 5), то |AB|=9 – (– 5)= 14

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

(–1,2)·0,3 = –(1,2·0,3) = –0,36

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак –.

(–3,2)·( –9) = |–3,2|·|–9|=3,2·9=28,8

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

(–12) : ( –4) = 12 : 4 = 3

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

3,6 : (–3) = –(3,6:3) = –1,2

При деление чисел с разными знаками, надо:

1.)Разделить модуль делимого на модуль делителя.

2.)Поставить перед полученным числом знак.

x =

Число x, которое можно записать в виде отношения , где a – целое число, а n – натуральное число, называют рациональным числом.

16–(10–18+12) = 16+(–(10–18+12))=16+(–10+18–12) = 16–10+18–12=12

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак –, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

0,3a·(–0,7b) = 0,3·a·(–0,7)·b = (0,3·(–0,7))·(a·b) = –0,21ab; –0,21 – коэффициент

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

2m – 7m + 3m = m·(2–7+3) = –2m

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Свойства уравнений

1.)Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

2.)Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными ().

Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными ().

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

– система координат на плоскости

О – начало координат, x – ось абсцисс, y – ось ординат

(3;5) – координаты точки А