Глава 87. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Уравнения вида
, | (8.4.1) |
Называется Однородным, если и однородные функции степени .
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с понятием однородной функции.
Определение
Функция называется Однородной функцией степени , если для произвольного числа выполняется равенство .
Пример
Выяснить, являются ли однородными следующие функции:
А) . Так как , то данная функция однородна степени 2.
Б) . . Функция однородна степени 0.
В) . . Данная функция неоднородная.
Дифференциальное уравнение вида (8.4.1) можно привести к виду
(8.4.2) |
И при помощи подстановки ( – неизвестная функция) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными.
Поскольку , то Þ Þ Þ .После того, как общее решение последнего уравнения будет найдено, необходимо вернуться к старой функции .
Пример
Решить уравнение .
Решение
Разделим уравнение почленно на . Получим . Выполним замену . Следовательно, . Подстановка в исходное уравнение дает Þ – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Возвращаясь к функции , получим общее решение уравнения: .
Логарифмирование решения дает: .
Пример
Найти частное решение уравнения в точке .
Решение
Уравнение однородное нулевой степени – или . В результате подстановки (, ) получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .
Определение
Дифференциальное уравнение вида
. | (8. |
4.3)Где и – непрерывные функции, называется Линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно, что и объясняет название уравнения.
Если , то уравнение (8.4.3) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.4.3) называется Линейным неоднородным уравнением.
Пусть линейное однородное уравнение.
(8.4.4) |
Соответствует уравнению (8.4.3). Мы рассмотрим так называемый метод вариации постоянной – метод решения неоднородного уравнения, основанный на предварительном решении однородного уравнения (8.4.4).
Уравнение (8.4.2) можно решить методом разделения переменных:
, откуда .
Потенцируя, получаем общее решение уравнения (8.4.4):
, | (8. |
4.5)Где .
Общее решение неоднородного уравнения (8.4.3) ищем в виде (8.4.5), полагая константу новой неизвестной функцией от аргумента.
. | (8.4.5а) |
Подставим решение (8.4.5а¢) в уравнение (8.4.3).
,
Откуда после приведения подобных получаем уравнение для :
. | (8.4.6) |
Интегрирование уравнения (8.4.4) дает выражение для : .
Подставляя выражение для в формулу общего решения, получаем окончательное выражение для решения неоднородного уравнения:
, | (8.4.7) |
Где – произвольная постоянная.
Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции .
К таковым относится Уравнение Бернулли:
, | (8.4.8) |
Где и – непрерывные функции, а – некоторое постоянное число. При имеем линейное неоднородное уравнение, а при – линейное однородное уравнение .
Пусть и . Введем новую функцию . Тогда . Поделим обе части уравнения (8.4.8) на и умножим на : .
Выполняя замену, получим линейное неоднородное уравнение относительно новой функции : . Метод решения последнего нами уже изучен.
Пример
Решить уравнение .
Решение
Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала решим соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные, получим Þ .
Полагая функцией от и подставляя найденное решение в исходное неоднородное уравнение, получаем после приведения подобных дифференциальное уравнение для : .
После интегрирования этого уравнения и подстановки в уже найденное решение однородного уравнения получим искомое общее решение исходного уравнения: .
Пример
Решить уравнение .
Решение
Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид .
Пример
Решить уравнение .
Решение
Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при . Заменой искомой функции мы получим линейное неоднородное уравнение относительно : . По формуле (8.4.7) получаем общее решение этого уравнения . Теперь выполняя обратную замену , получаем решение исходного нелинейного уравнения:
Рассмотрим еще один из возможных способов решения линейного неоднородного уравнения (8.4.3) и уравнения Бернулли (8.4.8).
Решение этих уравнений ищем в виде произведения двух функций . Тогда линейное уравнение и уравнение Бернулли сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
Так как , то линейное уравнение (8.
4.3) преобразуется к виду .
Найдем сначала какое–нибудь частное решение уравнения . Тогда функция Решение уравнения .
Пример
Решить уравнение .
Решение
Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение . Пусть , тогда . Следовательно, или . Положим . Проинтегрировав это уравнение, найдем какое–нибудь частное решение этого уравнения . Например, при получаем . Подставляя в уравнение Функцию , получим уравнение относительно функции : . Решением этого уравнения с разделяющимися переменными есть функция . Окончательное выражение для решения исходного уравнения имеет вид .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
. | (3.1) |
Например, функция — однородная функция первого измерения, так как
;
— однородная функция третьего измерения , так как
;
— однородная функция нулевого измерения, так как
, т.е..
Определение 2.Дифференциальное уравнение первого порядкаy‘ = f(x,y) называется однородным, если функцияf(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy, или, как говорят,f(x,y) – однородная функция степени нуль.
Его можно представить в виде
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, | (3. |
2)где P(x,y) иQ(x,y) – однородные функции одинакового измерения: отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения (см. третий из приведенных выше примеров).
Возможна следующая форма записи уравнения (3.2):
, | (3.3) |
что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, после подстановкиу = xzполучим,Разделяя переменные и интегрируя, найдем:,
Пример 1.Решить уравнение .
Полагаем у = zx, Подставляем эти выраженияy иdyв данное уравнение:илиРазделяем переменные:и интегрируем:,
Заменяя zна, получим.
Пример 2. Найти общее решение уравнения.
В данном уравнении P (x,y) =x2-2y2,Q(x,y) =2xy– однородные функции второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным. Его можно представить в видеи решать так же, как и представленное выше. Но используем другую форму записи. Положимy =
,
то есть
или
dx+2zxdz = 0.
Разделяем переменные, считая
.
Интегрируем почленно это уравнение
, откуда
то есть . Возвращаясь к прежней функциинаходим общее решение
Пример 3. Найти общее решение уравнения.
Цепочка преобразований: ,y = zx,, , , , , , , , , .
Лекция 8.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
, | (4.1) |
где ,,c(x) – непрерывные функции.
Если, то уравнение (4.1) можно записать в приведённом виде
(4. |
1a)Здесь – свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем.
Если 0, то уравнение (4.1а) называется линейным неоднородным. Если же0, то уравнение принимает вид
(4.2) |
и называется линейным однородным.
Название уравнения (4.1а) объясняется тем, что неизвестная функция y и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой степени.
В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Переписав его в виде откудаи интегрируя, получаем:,т.е.
(4. |
3)При делении на теряем решение. Однако оно может быть включено в найденное семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.
Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:
(4.4) |
Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).
Дифференцируя обе части равенства (4.4), находим .
Подставляя полученное выражение производной , а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем, или
. | (4.5) |
Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы
, | (4.6) |
т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):
. | (4.3а) |
Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):
, | (4. |
7)откуда
(4.8) |
(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).
Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).
Подставляя иv(x) в формулу (4.4), окончательно получаем
,
или
. | (4.9) |
Пример 1.Найти общее решение уравнения
Положим , тогда. Подставляя выраженияив исходное уравнение, получимили(*)
Приравняем нулю коэффициент при :
Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем
(произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x.
Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):
,,.
Следовательно, общее решение исходного уравнения.
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:
.
Произвольно выбирая функцию u, а неv, мы могли полагать. Этот путь решения отличается от рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv), так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.
На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Приводим рассматриваемое уравнение к виду.
Используя подстановку, находими подставляем эти выражения в уравнение.
Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки.
Находим
вторую функцию, приравняв выражение в
скобках нулю и решив полученное
уравнение.Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.
Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство.
Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.
Находим
вторую функцию, приравняв выражение в
скобках нулю и решив полученное
уравнение.Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.
Пример 2. Решить уравнение .
Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что,его можно привести к виду
(4. |
1 б)Заменив на,получимили. Разделив обе части последнего уравнения на произведениеydy, приведем его к виду
, или. (**)
Здесь P(y)=,. Это линейное уравнение относительноx. Полагаем,. Подставляя эти выражения в (**), получаем
или.
Выберем vтак, чтобы,, откуда;. Далее имеем,,.
Т.к. , то приходим к общему решению данного уравнения в виде
.
Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение
(4. |
10)можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:
;.
Отсюда ;;; где. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения
(здесь).
При b=0 приходим к решению уравнения
(4.10а) |
в виде
(4.11) |
(см. уравнение показательного роста (2.4) при ).
Применим далее для интегрирования
неоднородного линейного уравнения
(4.
1а) метод вариации произвольной
постоянной (метод Лагранжа).
Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель Св (4.3) функцией отх, т.е. по существу делаем замену переменной
, | (4.3а) |
где C(x)-новая неизвестная функцияx. Подставляя производнуюв исходное неоднородное уравнение (4.1а), получим:, или
, | (4.12) |
откуда, интегрируя, находим
dx+C1, | (4. |
13)где С1-постоянная. Следовательно,
. | (4.14) |
Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).
При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).
Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:
.
Интегрируем соответствующее однородное
уравнение
.
Разделяя переменные, получаем и далее. Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного уравнения ищем в видеy = C(x)x. Подставив это выражение в заданное уравнение, получим;;,. Общее решение исходного уравнения имеет вид
.
В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
, () | (4.15) |
которое можно записать в виде
. | (4.15а) |
Заменой оно приводится к линейному уравнению:
,,.
Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Пример 3. Найти общее решения уравнения.
Цепочка преобразований: ,,,,,,,,,,,,,,
Число, математика и статистика — комплект академических навыков
Гомогенные уравнения по дифференциалам первого порядка
ContentStoggle Основное меню 1 Определение 2 Решение по замене 3 Работочные примеры 4 Пример 5 См. 6 Внешние ресурсы
Определение
является однородным , если оно принимает вид:
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=F\left(\frac{y}{x}\right),\ ]
где $F\left(\dfrac{y}{x}\right)$ — однородная функция. В данном контексте однородным называется функция от $x$ и $y$, которая остается неизменной при умножении обоих аргументов на константу, т. е. 9.2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+y=0.\]
Различные типы однородных уравнений представляют собой совершенно разные объекты, и важно не путать их.
два.
Решение подстановкой
Однородное дифференциальное уравнение часто можно решить, сделав замену $v(x)=\dfrac{y}{x}$, где $v=v(x)$ — функция $x .$ Перестановка дает $y=vx$.
Выражение для $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $x$ и $v$ можно найти, продифференцировав обе части $y=xv$ относительно $x$:
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigl[xv \Большой]\\ &= v + x \ frac{\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}. \end{align}\]
Обратите внимание, что правило произведения использовалось для различения правой части.
Это можно выразить более компактно, используя простую запись:
\[y’ = v + xv’.\]
Напомним, что общая форма однородного дифференциального уравнения первого порядка такова:
\[y’=F \left(\frac{y}{x}\right).\]
Подстановка $y’=v+xv’$ и $v(x)=\dfrac{y}{x}$ в уравнение дает:
\[v+xv’=F(v).\]
Это можно преобразовать, чтобы сформировать отделимое дифференциальное уравнение:
\[\begin{align} xv’ &= F(v)-v \\
v’ &= \frac{F(v)-v}{x} \\
\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} &= \ frac {F (v) -v} {x} \\
\ frac {\ mathrm {d} v} {F (v) -v} & = \ frac {\ mathrm {d} x} {x}.
2}.\] 9{-2} \mathrm{d} v &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \mathrm{d} x, \\
-\frac{1}{1-v} &= \frac{1}{2}\ln(x) + C, \end{align}\]
, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Чтобы выразить это уравнение в $v$ через $y$ и $x$, подставьте обратно, используя $v = \dfrac{y}{x}$, чтобы получить:
\[-\frac{1}{1 -\frac{y}{x} } = \frac{1}{2}\ln(x) + C.\]
Наконец, это можно изменить, чтобы найти $y$ как функцию $x$:
Сначала положим $\ln(D)=C$, затем по законам логарифмов: 92,\]
с помощью замены $y = \dfrac{1}{v}$.
Решение
Первый шаг — выразить $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $v$. Для этого продифференцируем данную замену:
\[\begin{align} y &= \frac{1}{v}, \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = \ frac {\ mathrm {d {\ mathrm {d} x} \left ( \ frac {1} {v} \верно). \end{align}\]
Цепное правило используется для дифференцирования правой части:
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} & = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} \ cdot \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} v} \ left ( \ frac {1} {v} \ верно), \\
\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} &= — \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}.
{-\ln(x)} = \frac{1}{x},\] 92}v = -\frac{1}{x}.\]
Левая часть может быть выражена как единственная производная (в результате правила произведения), и уравнение принимает вид:
\[\ frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \right) = -\frac{1}{x}.\]
Интегрирование обеих частей дает решение в терминах $v$:
\[\begin{align} \int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \ справа) &=\int -\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x}v &= -\ln(x) + C. \конец{выравнивание}\]
Решение в терминах $y$ можно найти, вспомнив исходную замену $y=\dfrac{1}{v}$. Преобразование этого дает $v = \dfrac{1}{y}$, а подстановка этого в решение для $v$ дает:
\[\frac{1}{xy} = — \ln(x) + C. \]
Преобразование дает решение, выраженное в форме $y=y(x)$:
\[\begin{align} \frac{xy}{1} &= \frac{1}{-\ln (х) + С}, \\ xy &= \frac{1}{C — \ln(x)}, \\ y &= \frac{1}{x \left( C — \ln(x) \right)}. \конец{выравнивание}\] 92$.
vimeo.com/video/30080791″ frameborder=»0″ webkitallowfullscreen=»» mozallowfullscreen=»» allowfullscreen=»»> Пример видео
Профессор Робин Джонсон находит общее решение $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3y-4x}{x}$.
См. также
- Разделяемые ОДУ
- Коэффициент интегрирования
Внешние ресурсы
- Видео по однородным уравнениям первого порядка в Академии Хана.
Однородные уравнения первого порядка
Функция А f ( x,y ) называется однородным степени n , если уравнение
выполняется для всех x,y и z (для которых определены обе стороны).
Пример 1 : Функция f ( x,y ) = x 2 + y 2 является однородной степени 2, так как
Пример 2 : Функция является однородной степени 4, так как
Пример 3 : Функция f ( x,y ) = 2 x + y является однородной степени 1, так как
Пример 4 : Функция f ( x,y ) = x 3 – y 2 неоднородна, так как
, который не равен z n f ( x,y ) для любого n .
Пример 5 : Функция f ( x,y ) = x 3 sin ( y/x ) является однородной степени 3, так как
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x,y ) и N ( x,y ) являются однородными функциями одной и той же степени.
Пример 6 : Дифференциальное уравнение
Число
является однородным, поскольку оба M ( x,y ) = x 2 – y 2 и N ( x,y ) = xy — однородные функции одного и того же степень (а именно, 2).
Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:
Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) превращает однородное уравнение в разделимое.
Пример 7 : Решите уравнение ( x 2 — Y 2 ) DX + XY DY = 0,
Это уравнение является однородным, как видно из примера 6.
Таким образом, чтобы решить его, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :
Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,
Следовательно, решение разделимого уравнения, включающего x и v , можно записать как
Чтобы получить решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто заметьте, что
Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:
Это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пример 8: Решите IVP
Так как функции
оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразуют уравнение в
, что упрощается следующим образом:
Теперь уравнение разделимо.