Вариант 1 1) 2) а) б) 3) а) 0,2387; б) 42,884. | Вариант 2 1) 2) а) б) 3) а) 3,751; б) 0,537. |
Вариант 3 1) 2) а) б) 3) а) 11,445; б) 2,043. | Вариант 4 1) 2) а) б) 3) а) 2,3445; б) 0,745. |
Вариант 5 1) 2) а) б) 3) а) 8,345; б) 0,288. | Вариант 6 1) 2) а) б) 3) а) 12,45; б) 3,4453. |
Вариант 7 1) 2) а) б) 3)
а) 0,374; б) 4,348. | Вариант 8 1) 2) а) б) 3) а) 20,43; б) 0,576. |
Вариант 9 1) 2) а) б) 3) а) 41,72; б) 0,678. | Вариант 10 1) 2) а) б) 3) а) 5,634; б) 0,0748. |
Вариант 11 1) 2) а) б) 3) а) 18,357; б) 2,16. | Вариант 12 1) 2) а) б) 3) а) 0,5746; б) 236,58. |
Вариант 13 1) 2) а) б) 3) а) 14,862; б) 8,73. | Вариант 14 1) 2) а) б) 3) а) 0,3648; б) 21,7. |
Вариант 15 1) 2) а) б) 3)
а) 2,4516; б) 0,863. | Вариант 16 1) 2) а) б) 3) а) 62,74; б) 0,389. |
Вариант 17 1) 2) а) б) 3) а) 5,6432; б) 0,00858. | Вариант 18 1) 2) а) б) 3) а) 0,0384; б) 63,745. |
Вариант 19 1) 2) а) б) 3) а) 12,688; б) 4,636. | Вариант 20 1) 2) а) б) 3) а) 6,743; б) 0,543. |
Вариант 21 1) 2) а) б) 3) а) 15,644; б) 6,125. | Вариант 22 1) 2) а) б) 3) а) 0,3825; б) 24,6. |
Вариант 23 1) 2) а) б) 3)
а) 16,383; б) 5,734. | Вариант 24 1) 2) а) б) 3) а) 0,573; б) 3,6761. |
Вариант 25 1) 2) а) б) 3) а) 18,275; б) 0,00644. | Вариант 26 1) 2) а) б) 3) а) 3,425; б) 7,38. |
Вариант 27 1) 2) а) б) 3) а) 3,75; б) 6,8343. | Вариант 28 1) 2) а) б) 3) а) 3,643; б) 72,385. |
Вариант 29 1) 2) а) б) 3) а) 26,3; б) 4,8556. | Вариант 30 1) 2) а) б) 3) а) 43,813; б) 0,645. |
Контрольная работа по «Вычислительной математике»
Оглавление
Элементарная теория погрешностей
Задание 1 (переделано):
Вариант №21.
- Определить, какое равенство точнее.
;
.
РЕШЕНИЕ:
1,88888889-2,11= — 0,22111111
– отрицательное, поэтому возьмем
2,11-1,88888889=0,104791996=
Далее:
4,123105626-4,12=0,003105626=
Теперь найдет относительные погрешности:
поскольку d(L) >d( d ) то второе равенство является более точным.
ОТВЕТ:
второе равенство является более точным
- Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
а) в узком смысле;
б) в широком смысле.
Определить абсолютную погрешность результата.
а) 5.8425; d=0.23%
б) 0.66385±0.00042
РЕШЕНИЕ:
а) 5.8425; d=0.23%
а) в узком смысле
Абсолютная погрешность числа: = 5,8425*0,0023= 0,013438
Говорят, что n
первых значащих цифр приближенного
числа являются верными в узком
смысле, если абсолютная погрешность этого числа не
превышает половины единица разряда выражаемого
n–ой значащей цифрой, считая слева направо.
Остальные значащие цифры числа называются
сомнительными.
Таким образом, если
,
то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.
Для числа A = 5.8425, a=5.8425+0,013438=5,855938
число a = 5,9 является приближением с двумя верными знаками.
б) в широком смысле:
Абсолютная погрешность числа: = 5,8425*0,0023= 0,013438
Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если его абсолютная погрешность D не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо, т.е.
то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.
Для числа A = 5.8425, a=5.8425+0,013438=5,855938
число a = 5,9 является приближением с двумя верными знаками.
Определить абсолютную погрешность результата
Абсолютная погрешность числа: = 0,0575
б) 0.66385±0.00042
а) в узком смысле
Абсолютная погрешность числа:
Говорят, что n
первых значащих цифр приближенного
числа являются верными в узком
смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает
половины единица разряда выражаемого
n–ой значащей цифрой, считая слева направо.
Остальные значащие цифры числа называются
сомнительными.
Таким образом, если
,
то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.
Для числа A = 0.66385, a=0.66385+0.00042=0,66427
число a = 0,664 является приближением стремя верными знаками.
б) в широком смысле:
Абсолютная погрешность числа: = 0,00042
Число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, если его абсолютная погрешность D не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо, т.е.
то по определению, первые n цифр этого числа являются верными.
Для числа A = 0.66385, a=0.66385+0.00042=0,66427
число a = 0.664 является приближением с тремя верными знаками.
Определить абсолютную погрешность результата
Абсолютная погрешность числа: 0,664-0,66358=0,00042
ОТВЕТ:
а) а1 = 5,9; а1 = 5,9; 0,0575;
b) а1 = 0,664; а1 = 0,664; 0,00042
- Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чи
сел, если они имеют только верные цифры:
а) в узком смысле;
б) в
широком смысле.
а) 0.3825; б) 24.6
РЕШЕНИЕ:
а) 0.3825;
а) в узком смысле;
Значит предельная абсолютная погрешность – 0,00005 (половина разряда значащей цифры). Т.е
Предельная относительная погрешность в этом случае равна:
б) в широком смысле.
Значит предельная абсолютная погрешность – 0,0001 (единица разряда значащей цифры). Т.е
Предельная относительная погрешность в этом случае равна:
б) 24.6
а) в узком смысле;
Значит предельная абсолютная погрешность – 0,05 (половина разряда значащей цифры). Т.е
Предельная относительная погрешность в этом случае равна:
б) в широком смысле.
Значит предельная абсолютная погрешность – 0, 1 (единица разряда значащей цифры). Т.е
Предельная относительная погрешность в этом случае равна:
ОТВЕТ:
а)
b) ;
Задание 2 (переделано):
Вычислить
и определить погрешность результата.
21 | p=3.14 D=72±0.3 d=3.274±0.002 | p=3.14 D=52.6±0.01 d=48.39±0.001 |
РЕШЕНИЕ:
- Соответственно:
Найдем погрешность результата:
Предельная относительная погрешность m-ой степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа, т.е. если , то
(23)
Зная предельную относительную погрешность du степени u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле
(24)
Тогда:
Предельная
относительная погрешность
(21)
Зная предельную относительную погрешность du частного u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле
(22)
Предельная
относительная погрешность 
е.
(19′)
Зная предельную относительную погрешность du произведения u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле
Т.о.
- Соответственно:
Найдем погрешность результата:
Предельная относительная погрешность m-ой степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа, т.е. если , то
(23)
Зная предельную относительную погрешность du степени u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле
(24)
Тогда:
Тогда:
Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т.е. если , тогда
(17)
Предельная
относительная погрешность разн
(18)
Предельная
относительная погрешность коня
m-ой степени в m раз меньше предельной
относительной погрешности 
е. если
, то
(25)
Предельная
относительная погрешность
(19′)
Зная предельную относительную погрешность du произведения u, можно определить предельную абсолютную погрешность Du по формуле
Т.о.
ОТВЕТ:
Задание №3 (переделано)
Задание: Решить уравнение f(x)=0 с точностью e=10-3 следующими методами:
Вариант 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 — Метод хорд
РЕШЕНИЕ:
Уравнение хорды AB будет иметь вид
Для точки пересечения хорды с осью Ox получаем
Поэтому в качестве начального приближения в методе хорд берется конец отрезка противоположный закрепленному, т.е.
если , тогда и последовательные приближения вычисляются по правилу
, (16.1)
Тогда
x | f(x) | ͤ | |
0 | 2,000 | 1,525440854 | |
1 | 1,708 | 0,808165881 | 0,292 |
2 | 1,566 | 0,438301075 | 0,142 |
4 | 1,492 | 0,243696058 | 0,073 |
5 | 1,453 | 0,137684112 | 0,040 |
6 | 1,431 | 0,078532762 | 0,022 |
7 | 1,418 | 0,045042564 | 0,012 |
8 | 1,411 | 0,025917196 | 0,007 |
9 | 1,407 | 0,014940259 | 0,004 |
10 | 1,405 | 0,008621713 | 0,002 |
11 | 1,403 | 0,004978494 | 0,001 |
12 | 1,402 | 0,002875794 | 0,001 |
13 | 1,402 | 0,001661527 | 0,000 |
Т.
о.
При f(x)=0
ОТВЕТ:
Задание №4 (переделано).
Задание:
Найти решение системы Ax=b методом Гаусса (вычисления вести с тремя знаками после запятой).
Найти приближенное решение системы итерационным методом c точностью e=10-3.
Метод | Вариант | Итерационный параметр |
метод Якоби | 1, 9, 7, 25, 5, 13, 21, 29 |
Матрица системы определяется формулой
A=D+kC, где k – номер варианта=21,
, ,
k=21.
РЕШЕНИЕ:
- Найти решение системы Ax=b методом Гаусса (вычисления вести с тремя знаками после запятой).
Найдем матрицы, с которыми будем работать:
1,552 | 0,432 | -0,599 | 0,202 |
0,202 | 1,552 | 0,432 | -0,599 |
-0,599 | 0,202 | 1,552 | 0,432 |
0,432 | -0,599 | 0,202 | 1,552 |
Далее используем метод Гаусса:
A | b | |||
1,552 | 0,432 | -0,599 | 0,202 | 1,941 |
0,202 | 1,552 | 0,432 | -0,599 | -0,230 |
-0,599 | 0,202 | 1,552 | 0,432 | -1,941 |
0,432 | -0,599 | 0,202 | 1,552 | 0,230 |
сложением уравнений с первым, умноженным соответственно на
1,552 | 0,432 | -0,599 | 0,202 | 1,941 |
0,000 | 1,496 | 0,510 | -0,625 | -0,483 |
0,000 | 0,369 | 1,321 | 0,510 | -1,192 |
0,000 | -0,719 | 0,369 | 1,496 | -0,310 |
4.
6: Значащие цифры и округление- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 3555
- Стивен Лоуэр
- Университет Саймона Фрейзера
Цели обучения
- Приведите пример измерения, в котором количество значащих цифр явно слишком велико, и объясните, почему.
- Укажите цель округления и опишите информацию, которую необходимо знать, чтобы сделать это правильно.
- Округление числа до указанного количества значащих цифр.
- Объясните, как округлить число, у которого вторая по значимости цифра равна 9.
- Выполните простой расчет, включающий две или более наблюдаемых величин, и выразите результат в соответствующем количестве значащих цифр.
Числовые значения, с которыми мы имеем дело в науке (и во многих других аспектах жизни), представляют собой измерения, значения которых никогда точно не известны. Наши карманные калькуляторы или компьютеры этого не знают; они рассматривают числа, которые мы в них вводим, как «чистые» математические объекты, в результате чего арифметические операции часто дают ответы, которые физически нелепы, хотя и математически правильны. Цель этого раздела — помочь вам понять, почему это происходит, и показать, что с этим делать.
Цифры: значащие и прочие
Рассмотрим два утверждения, показанные ниже:
- «Население нашего города составляет 157 872 человека».
- «Количество зарегистрированных избирателей на 1 января составило 27 833 человека.
Какие из них вы бы немедленно уволили? Конечно, не второй, потому что он, вероятно, исходит из базы данных, которая содержит одну запись для каждого избирателя, поэтому число находится просто путем подсчета количества записей.
Первое утверждение не может быть правильным. Даже если бы население города можно было точно определить (постоянные жители? теплые тела?), как мы можем объяснить ежеминутные изменения, происходящие по мере того, как люди рождаются и умирают, въезжают и уезжают?
В чем разница между двумя цифрами населения, указанными выше? Первый выражает величину, которую нельзя точно знать, т. е. несет в себе некоторую степень неопределенности. Вполне возможно, что последняя перепись дала именно 157 872 записи, и это может быть «население города» для юридических целей, но это, конечно, не «настоящее» население. Чтобы лучше отразить этот факт, можно указать население (например, в атласе) как 157 900 или даже 158 000 . Эти две величины были округлены до четырех и трех значащих цифр, соответственно, и имеют следующие значения: в пределах от примерно 1578 50 до примерно 1579 50. Другими словами, население составляет 1579 00±50. «Плюс-минус 50», добавленное к этому числу, означает, что мы считаем абсолютную неопределенность измерения населения равной 50 – (–50) = 100.
Мы также можем сказать, что относительная неопределенность составляет 100/1579.00, что мы также можем выразить как 1 часть на 1579, или 1/1579 = 0,000633, или около 0,06 процента.
Какое из этих двух значений мы будем указывать как «население», будет зависеть от степени нашей уверенности в исходных данных переписи; если перепись была завершена на прошлой неделе, мы могли бы округлить до четырех значащих цифр, но если это было год или около того назад, округление до трех знаков могло бы быть более разумным выбором. В таком случае нет действительно объективного способа выбора между двумя альтернативами.
Это иллюстрирует важный момент: концепция значащих цифр имеет меньше общего с математикой, чем с нашей уверенностью в измерении.
Эта уверенность часто может быть выражена численно (например, высота жидкости в измерительной трубке может быть определена с точностью ±0,05 см), но когда это невозможно, как в примере с нашей популяцией, мы должны полагаться на наш личный опыт и суждения.
Итак, что такое значащая цифра? Согласно обычному определению, это все числительные в измеряемой величине (считая слева), значения которых считаются точно известными, плюс еще одно, значение которого может быть на единицу больше или меньше:
- В « 1579 00» (четыре значащие цифры) точно известны три крайние левые цифры, но четвертая цифра, «9», вполне может быть «8», если «истинное значение» находится в подразумеваемом диапазоне. от 1578 50 до 1579 50.
- В « 158 000» (три значащие цифры) две крайние левые цифры известны точно, а третья цифра может быть либо «7», либо «8», если истинное значение находится в подразумеваемом диапазоне 157 . от 500 до 158 500.
Хотя округление всегда приводит к потере числовой информации, то, от чего мы избавляемся, можно считать «числовым шумом», который не способствует качеству измерения. Цель округления состоит в том, чтобы избежать выражения значения с большей степенью точности, чем это согласуется с неопределенностью измерения.
Подразумеваемая погрешность
Если вы знаете, что точность весов составляет, скажем, 0,1 мг, то погрешность любого измерения массы, выполненного на этих весах, составит ±0,1 мг. Предположим, однако, что вам просто сказали, что объект имеет длину 0,42 см, без указания его точности. В этом случае все, что вам нужно сделать, это количество цифр, содержащихся в данных. Таким образом, количество «0,42 см» указано до 0,01 единицы в 0 42 или одной части в 42 . Подразумеваемая относительная неопределенность этой цифры составляет 1/42, или около 2%. Таким образом, точность любого числового ответа, рассчитанного на основе этого значения, ограничена примерно такой же величиной.
Ошибка округления
Важно понимать, что количество значащих цифр в значении дает лишь приблизительное представление о его точности, и что при округлении информация теряется. Предположим, например, что мы измеряем вес объекта как 3,28 г на весах, которые, как полагают, имеют точность в пределах ±0,05 грамма. Полученное значение 3,28 ± 0,05 грамма говорит нам о том, что истинный вес объекта может быть где-то между 3,23 г и 3,33 г. Абсолютная неопределенность здесь составляет 0,1 г (±0,05 г), а относительная неопределенность составляет 1 часть на 32,8, или около 3 процентов.
Сколько значащих цифр должно быть в сообщаемом измерении? Так как только крайняя левая «3» в «3,28» определена, вы, вероятно, предпочтете округлить значение до 3,3 г. Все идет нормально. Но что кто-то другой должен думать об этой цифре, когда увидит ее в вашем отчете? Значение «3,3 г» предполагает подразумеваемую неопределенность , равную 3,3±0,05 г, что означает, что истинное значение, вероятно, находится между 3,25 г и 3,35 г.
Этот диапазон на 0,02 г ниже, чем связанный с первоначальным измерением, поэтому округление внесло погрешность в результат на эту величину. Поскольку это составляет менее половины погрешности взвешивания ±0,05 г, само по себе это не очень серьезно. Однако, если в расчете объединяются несколько значений, округленных таким образом, ошибки округления могут стать значительными.
Правила округления
Стандартные правила округления хорошо известны. Прежде чем мы их изложим, давайте договоримся, как называть различные компоненты числового значения.
- Самая значащая цифра — самая левая цифра (не считая начальных нулей, которые служат только заполнителями и никогда не являются значащими цифрами).
- Если округлить до n значащих цифр, то младшая значащая цифра — это n -я цифра от старшего разряда. Младшая значащая цифра может быть нулем.
- Первая незначащая цифра — это n +1-я цифра.
Правила округления
- Если первая незначащая цифра меньше 5, то младшая значащая цифра остается неизменной.
- Если первая незначащая цифра больше 5, младшая значащая цифра увеличивается на 1.
- Если первая незначащая цифра равна 5, младшая значащая цифра может быть либо увеличена, либо оставлена без изменений ( см. ниже! )
- Все незначащие цифры удаляются.
Фантазии о пятерках
Иногда учащимся предлагается увеличить младшую значащую цифру на 1, если она нечетная, и оставить ее без изменений, если она четная. Интересно, отражает ли это какую-то идею о том, что четные числа как-то «лучше» нечетных! (Древнее суеверие как раз противоположное, что только нечетные числа являются «счастливыми».)
На самом деле, вы могли бы сделать то же самое и наоборот, увеличивая только четные числа. Если вы округляете только одно число, на самом деле не имеет значения, что вы делаете.
Однако при округлении ряда чисел, которые будут использоваться в расчетах, если вы одинаково обрабатываете каждую первую незначащую 5, вы завышаете или занижаете значение округленного числа, тем самым накапливая ошибку округления. . Поскольку существует одинаковое количество четных и нечетных цифр, увеличение только одного из них предотвратит возникновение ошибки такого рода. Конечно, вы могли бы сделать то же самое, подбросив монетку!
число округлить до | количество значащих цифр | результат | комментарий |
|---|---|---|---|
| 34,216 | 3 | 34,2 | Первая незначащая цифра (1) меньше 5, поэтому число просто усекается. |
| 2,252 | 2 | 2,2 или 2,3 | Первая незначащая цифра — 5, поэтому наименьший знак. цифра может либо оставаться неизменной, либо увеличиваться. |
| 39,99 | 3 | 40,0 | Пересечение «десятичной границы», поэтому все числа меняются. |
| 85 381 | 3 | 85,4 00 | Два нуля — это просто заполнители |
| 0,04597 | 3 | 0,0460 | Два начальных нуля не являются значащими цифрами. |
Округление девяток
Предположим, что вес объекта составляет 3,98 ± 0,05 г. Это поместит его истинный вес где-то в диапазоне от 3,93 г до 4,03 г. Решая, как округлить это число, вы подсчитываете количество цифр в «3,98», которые точно известны, и не находите ни одной! Поскольку «4» — это самая левая цифра, значение которой является неопределенным, это будет означать, что результат следует округлить до одной значащей цифры и указать просто как 4g. Альтернативой может быть изменение правила и округление до двух значащих цифр, что дает 4,0 г. Как вы можете решить, что делать? В таком случае вы должны посмотреть на подразумеваемые неопределенности в двух значениях и сравнить их с неопределенностью, связанной с исходным измерением.
округленное значение | подразумеваемый максимум | подразумеваемый минимум | абсолютная неопределенность | относительная неопределенность |
|---|---|---|---|---|
| 3,98 г | 3,985 г | 3,975 г | ±0,005 г или 0,01 г | 1 из 400, или 0,25% |
| 4 г | 4,5 г | 3,5 г | ±0,5 г или 1 г | 1 из 4, 25% |
| 4,0 г | 4,05 г | 3,95 г | ±0,05 г или 0,1 г | 1 из 40, 2,5% |
Ясно, что округление до двух цифр является единственным разумным вариантом в этом примере.
Наблюдаемые значения следует округлить до числа цифр, наиболее точно отражающего неопределенность измерения.
- Обычно это означает округление до количества значащих цифр в количестве; то есть количество цифр (считая слева), которые точно известны, плюс еще одна.
- Если это невозможно (как в приведенном выше примере, когда добавление вычитания абсолютной неопределенности связывает десятую степень), то мы округляем таким образом, чтобы относительная подразумеваемая неопределенность результата была как можно ближе к неопределенности наблюдаемое значение.
Округление результатов вычислений
При выполнении вычислений, состоящих из нескольких шагов, следует избегать округления до получения окончательного результата. Предположим, вы используете свой калькулятор для расчета площади прямоугольника:
округленное значение | относительная подразумеваемая неопределенность |
|---|---|
| 1,58 | 1 часть на 158 или 0,6% |
| 1,6 | 1 часть на 16, или 6 % |
Примечание
Ваш калькулятор, конечно, верен в чистом виде, но вы ошибетесь, записав «1,57676 см 9».
0404 2 «. Справа показаны два возможных варианта округления ответа калькулятора.
Понятно, что ни один из вариантов не является полностью удовлетворительным; правило, и округление до двух цифр в «.42» приводит к потере некоторой точности. В этом случае можно утверждать, что округление до трех цифр оправдано, поскольку подразумеваемая относительная неопределенность в ответе, 0,6%, больше в соответствии с двумя факторами.
«Правила» округления, как правило, полезны и удобны, но они не всегда приводят к желаемому результату. В случае сомнений лучше полагаться на относительную подразумеваемую неопределенность.
Сложение и вычитание
В операциях со значащими цифрами ответ сообщается таким образом, чтобы он отражал надежность наименее точной операции. Ответ не более точен, чем наименее точное число, использованное для получения ответа. При сложении или вычитании мы идем по числу десятичных знаков (т.
е. количество цифр справа от десятичной точки), а не по количеству значащих цифр. Определите количество, имеющее наименьшее количество знаков после запятой, и используйте это число, чтобы задать количество знаков после запятой в ответе.
Умножение и деление
Результат должен содержать такое же количество значащих цифр, как и значение с наименьшим количеством значащих цифр.
Логарифмы и антилогарифмы
Если число выражено в виде a × 10 b («научная запись») с дополнительным ограничением на то, что коэффициент a не меньше 1 и меньше 10, число находится в его нормализованная форма . Выразите логарифм по основанию 10 значения, используя то же количество значащих цифр, которое присутствует в нормализованной форме этого значения. Точно так же для антилогарифмов (числа, выраженные в степени 10) используйте то же количество значащих цифр, что и в этой степени.
Примеры \(\PageIndex{1}\)
Следующие примеры иллюстрируют наиболее распространенные проблемы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь при округлении результатов вычислений.
Они заслуживают вашего внимательного изучения!
результат калькулятора | закругленный | замечания |
|---|---|---|
| 1,6 | Округление до двух значащих цифр дает подразумеваемую неопределенность 1/16 или 6 %, что в три раза больше, чем у наименее точно известного коэффициента. Это хорошая иллюстрация того, как округление может привести к потере информации. | |
| 1.9E6 | Фактор «3.1» указан как 1 часть из 31, или 3%. В ответе 1. 9 значение выражено в 1 части 19, или 5%. Эти точности сопоставимы, поэтому правило округления дало нам разумный результат. | |
Некая книга имеет толщину 117 мм; найдите высоту стопки из 24 одинаковых книг: | 281 0 мм | «24» и «1» являются точными, поэтому единственным неопределенным значением является толщина каждой книги, представленная 3 значащими цифрами. Конечный ноль в ответе — это только заполнитель. |
| 10,4 | При сложении или вычитании найдите термин с наименьшим числом знаков после запятой и округлите ответ до такого же числа знаков. | |
| 23 см | см. ниже |
Последний из показанных выше примеров представляет очень распространенную операцию преобразования одной единицы в другую. Здесь есть некоторая двусмысленность; если мы возьмем «9дюймов» означает расстояние в диапазоне от 8,5 до 9,5 дюймов, то подразумеваемая неопределенность составляет ±0,5 дюйма, что составляет 1 часть на 18, или примерно ± 6%. Относительная неопределенность ответа должна быть одинаковой, поскольку все значения умножаются на один и тот же коэффициент 2,54 см/дюйм. В этом случае мы вправе записывать ответ с двумя значащими цифрами, что дает погрешность около ±1 см. Если бы мы использовали ответ «20 см» (один значащий цифра), его подразумеваемая неопределенность будет ±5 см, или ±25%.
Если возникает вопрос о подходящем количестве значащих цифр, расчет относительной неопределенности может помочь вам принять решение.
Эта страница под названием 4.6: Значимые цифры и округление распространяется под лицензией CC BY 3.
0 и была создана, изменена и/или курирована Стивеном Лоуэром с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Стивен Лоуэр
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 3,0
- Показать страницу TOC
- № на стр.
- Теги
- источник@http://www.chem1.com/acad/webtext/virtualtextbook.html
2.4: Значимые цифры — Химия LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 98528
Развитие навыков
- Определение точности и аккуратности
- Различать точные и неопределенные числа
- Правильно представить неопределенность величин, используя значащие цифры
- Применение надлежащих правил округления к вычисляемым величинам
Мы видели, насколько важны измерения для научного процесса.
Ученым необходимо производить измерения как можно точнее, чтобы делать выводы из своих экспериментов. Однако, чтобы избежать ошибок, ученые также должны четко понимать, насколько точны или нет их измерения при представлении своих данных. Ни один измерительный инструмент не является совершенным, и поэтому каждое измерение, которое мы делаем с помощью несовершенных инструментов, имеет некоторую долю неопределенности , связанную с ним.
Подсчет — единственный вид измерения, свободный от неопределенности, при условии, что количество подсчитываемых объектов не меняется в процессе подсчета. Результатом такого счетного измерения является пример точного числа . Если мы посчитаем яйца в коробке, то точно знаем, сколько яиц содержится в коробке. Числа определяемых величин также точны. По определению, 1 фут — это ровно 12 дюймов, 1 дюйм — это ровно 2,54 сантиметра, а 1 грамм — это ровно 0,001 килограмма. Однако количества, полученные в результате измерений, отличных от подсчета, в той или иной степени являются неопределенными из-за практических ограничений используемого процесса измерения.
Химики используют понятие значащие цифры для указания уровня неопределенности измеренных величин или значений, рассчитанных на основе измеренных значений.
Значимые цифры в измерении
Числа измеряемых величин, в отличие от определяемых или непосредственно подсчитываемых величин, не точны. Чтобы измерить объем жидкости в градуированном цилиндре, вы должны сделать отсчет на дне мениска, самой низкой точке на изогнутой поверхности жидкости.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Чтобы измерить объем жидкости в этом градуированном цилиндре, необходимо мысленно разделить расстояние между отметками 21 и 22 мл на десятые доли миллилитра, а затем снять показания (оценка) в нижней части мениска.
См. рисунок на рисунке \(\PageIndex{1}\). Нижняя часть мениска в этом случае четко лежит между отметками 21 и 22, что означает, что объем жидкости определенно больше 21 мл, но меньше 22 мл. Мениск кажется немного ближе к отметке 22 мл, чем к отметке 21 мл, поэтому разумная оценка объема жидкости будет 21,6 мл.
Таким образом, в числе 21,6 цифры 2 и 1 являются точными, а 6 — оценочным. Некоторые люди могут оценить положение мениска как одинаково удаленное от каждой из отметок и оценить десятую цифру как 5, в то время как другие могут подумать, что она даже ближе к отметке 22 мл, и оценить эту цифру как 7. Примечание. что было бы бессмысленно пытаться оценить цифру для сотого знака, учитывая, что цифра для десятого знака неопределенна. В общем, числовые шкалы, такие как шкала на этом градуированном цилиндре, позволяют выполнять измерения с точностью до одной десятой наименьшего деления шкалы. Шкала в этом случае имеет деление в 1 мл, поэтому объемы можно измерять с точностью до 0,1 мл.
Эта концепция верна для всех измерений, даже если вы не делаете активных оценок. Если вы поместите четвертак на стандартные электронные весы, вы можете получить показание 6,72 г. Цифры 6 и 7 являются точными, а 2 указывает на то, что масса четверти, вероятно, составляет от 6,71 до 6,73 грамма. Четверть весит около 6,72 грамма, с номинальной погрешностью измерения ± 0,01 грамма.
Если мы взвесим четвертак на более чувствительных весах, то обнаружим, что его масса равна 6,723 г. Это означает, что его масса находится между 6,722 и 6,724 грамма с погрешностью 0,001 грамма. Каждое измерение имеет некоторую погрешность, которая зависит от используемого устройства (и способностей пользователя). Все цифры измерения, включая последнюю неопределенную цифру, называются 9.0053 значащие цифры или значащие цифры. Обратите внимание, что ноль может быть измеренным значением; например, если вы стоите на весах, которые показывают вес с точностью до фунта и показывают «120», то 1 (сотни), 2 (десятки) и 0 (единицы) являются значимыми (измеренными) значениями.
При правильном измерении все цифры в результате являются значащими. Но что, если вы анализируете сообщаемое значение и пытаетесь определить, что важно, а что нет? Ну, во-первых, все ненулевые цифры значащие, и только нули требуют некоторого размышления. Мы будем использовать термины «ведущий», «замыкающий» и «захваченный» для нулей и рассмотрим, как с ними бороться.
Начиная с первой ненулевой цифры слева, посчитайте эту цифру и все остальные цифры справа. Это количество значащих цифр в измерении, если последняя цифра не является замыкающим нулем, лежащим слева от десятичной точки.
Закрепленные нули являются результатом измерения и поэтому всегда значимы. Однако ведущие нули никогда не являются значащими — они просто говорят нам, где находится десятичная точка.
Начальные нули в этом примере не имеют значения. Мы могли бы использовать экспоненциальную запись (как описано в Приложении B) и выразить число как 8,32407 \(\times\) 10 −3 ; тогда число 8,32407 содержит все значащие цифры, а 10 −3 указывает десятичную точку.
Количество значащих цифр в числе, оканчивающемся нулем слева от десятичной точки, является неопределенным. Нули в измерении 1300 граммов могут быть значительными или просто указывать, где находится десятичная точка. Неоднозначность может быть разрешена с использованием экспоненциальной записи: 1,3 \(\times\) 10 3 (две значащие цифры), 1,30 \(\раз\) 10 3 (три значащие цифры, если измерялся разряд десятков), или 1,300 \(\раз\) 10 3 (четыре значащие цифры, если место единиц также было измерено).
8 \) человек.
Значимые цифры в расчетах
Второй важный принцип неопределенности заключается в том, что результаты, рассчитанные на основе измерения, являются по меньшей мере такими же неопределенными, как и само измерение. Мы должны учитывать неопределенность в наших измерениях, чтобы избежать искажения неопределенности результатов расчетов. Один из способов сделать это — сообщить результат вычисления с правильным количеством значащих цифр, которое определяется следующими тремя правилами округления чисел:
- Когда мы складываем или вычитаем числа, мы должны округлить результат до того же количества знаков после запятой, что и число с наименьшим количеством знаков после запятой (наименее точное значение с точки зрения сложения и вычитания).
- Когда мы умножаем или делим числа, мы должны округлить результат до того же количества цифр, что и число с наименьшим количеством значащих цифр (наименее точное значение с точки зрения умножения и деления).
- Если отбрасываемая цифра (та, которая находится непосредственно справа от сохраняемой цифры) меньше 5, мы «округляем в меньшую сторону» и оставляем сохраненную цифру без изменений; если больше 5, «округляем» и увеличиваем оставшуюся цифру на 1; если выпала цифра равно 5, мы округляем вверх или вниз, в зависимости от того, что дает четное значение для сохраненной цифры. (Последняя часть этого правила может показаться вам немного странной, но она основана на надежной статистике и направлена на то, чтобы избежать какой-либо предвзятости при отбрасывании цифры «5», поскольку она одинаково близка к обоим возможным значениям сохраняемой цифры. )
Следующие примеры иллюстрируют применение этого правила при округлении нескольких различных чисел до трех значащих цифр:
- 0,028675 округляет «вверх» до 0,0287 (отброшенная цифра 7 больше 5)
- 18,3384 округляет «вниз» до 18,3 (отброшенная цифра 3 меньше 5)
- 6,8752 округляет «вверх» до 6,88 (отброшенная цифра 5, а сохраненная цифра четная)
- 92,85 округляет «вниз» до 92,8 (отброшенная цифра 5, а сохраненная цифра четная)
Давайте рассмотрим эти правила на нескольких примерах.
Пример \(\PageIndex{1}\): округление чисел
Округлить до указанного числа значащих цифр:
- 31,57 (до двух значащих цифр)
- 8,1649 (до трех значащих цифр)
- 0,051065 (до четырех значащих цифр)
- 0,
(до четырех значащих цифр)
Решение
- 31,57 округлить «вверх» до 32 (отброшенная цифра 5, а сохраненная цифра четная)
- 8,1649 округляет «вниз» до 8,16 (отброшенная цифра 4 меньше 5)
- 0,051065 округляет «в меньшую сторону» до 0,05106 (отброшенная цифра равна 5, а сохраненная цифра четная)
- 0,
округляет «вверх» до 0,9028 (отброшенная цифра 5, а сохраненная цифра четная)
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Округлите до указанного числа значащих цифр:
- 0,424 (до двух значащих цифр)
- 0,0038661 (до трех значащих цифр)
- 421,25 (до четырех значащих цифр)
- 28 683,5 (до пяти значащих цифр)
- Ответить на
0,42
- Ответ б
0,00387
- Ответ c
421,2
- Ответ d
28 684
Пример \(\PageIndex{2}\): сложение и вычитание со значащими цифрами Правило:
Когда мы складываем или вычитаем числа, мы должны округлять результат до того же числа десятичных знаков, что и число с наименьшим числом десятичных знаков (т.
е. наименее точное значение с точки зрения сложения и вычитания).- Добавить 1,0023 г и 4,383 г.
- Вычесть 421,23 г из 486 г.
Решение
(a)
\[\begin{align*}
&\mathrm{1.0023\: g}\\ +\: &\underline{\mathrm{4.383\: g}\:\ :}\\ &\mathrm{5.3853\: g}
\end{align*}\]Ответ: 5,385 г (округлить до тысячных; три десятичных знака)
(b)
\[\begin{align*}
&\mathrm{486\: g }\\ -\: &\underline{\mathrm{421.23\: g}}\\ &\mathrm{\:\:64.77\: g}
\end{align*}\]Ответ: 65 г ( округлить до единиц; без десятичных знаков)
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
- Добавьте 2,334 мл и 0,31 мл.
- Вычесть 55,8752 м из 56,533 м.
- Ответить на
2,64 мл
- Ответ б
0,658 м
Пример \(\PageIndex{3}\): Умножение и деление со значащими цифрами
Правило: Когда мы умножаем или делим числа, мы должны округлить результат до того же количества цифр, что и число с наименьшим количеством значащих цифр.
цифры (наименее точное значение с точки зрения умножения и деления). 92}\:\textrm{(округлить до двух значащих цифр)}\]
\[\textrm{четыре значащие цифры}\times \textrm{две значащие цифры}\rightarrow \textrm{ответ из двух значащих цифр}\](b)
\[\mathrm{\dfrac{421,23\: г}{486\: мл}=0,86728…\: г/мл\результат, стрелка вправо\: равно\: 0,867\: г/мл} \ : \textrm{(округлить до трех значащих цифр)}\]
\[\mathrm{\dfrac{пять\: значащие\: цифры}{три\: значащие\: цифры}\стрелка вправо три\: значащие\: цифры \: ответ}\]
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
- Умножьте 2,334 см и 0,320 см.
- Разделите 55,8752 м на 56,53 с.
- Ответить на
0,747 см 2
- Ответ б
0,9884 м/с
Многошаговые вычисления
Что делать, если вам нужно выполнить вычисление, включающее несколько шагов или включающее сложение/вычитание и умножение/деление? В этом случае для округления применяются те же правила, но вам не обязательно округлять рассчитанное значение на каждом шаге вычисления.
По общему правилу округляйте только в середине вычисления, если вы переключаетесь между этапом сложения/вычитания и этапом умножения/деления . Пример такого расчета показан ниже в примере \(\PageIndex{4}\).Если вычисление выполняется в несколько шагов, но все они относятся к одному и тому же типу вычислений (т. е. все сложение/вычитание или все умножение/деление), вы должны перенести несколько «лишних» значащих цифр через этапы вычисления до конца до округления. В противном случае вы можете получить небольшую «ошибку округления» в своем ответе из-за накопления промежуточных округлений. Это может произойти при выполнении длинной серии преобразований единиц измерения, например, когда каждый шаг представляет собой умножение или деление. Вы можете выполнить все эти умножения за один шаг в калькуляторе или разбить его на более мелкие шаги. Ожидание округления до конца гарантирует, что какой бы способ вы ни выбрали, вы получите тот же результат.
Среди всех этих технических деталей важно помнить о причине, по которой мы используем значащие цифры и правила округления, — чтобы правильно представить достоверность значений, которые мы сообщаем, и гарантировать, что расчетный результат не будет представлен как недостоверный.
более достоверно, чем наименее определенное значение, используемое в расчетах.Пример \(\PageIndex{4}\): Определение плотности с помощью вытеснения воды
Взвешивается кусок арматурного стержня, который затем погружается в градуированный цилиндр, частично заполненный водой, и получаются следующие результаты. 93} \nonumber\]
(округлено до двух значащих цифр по правилу умножения и деления)
Плотность железа 7,9 г/см 3 , очень близка к плотности арматуры, что в некоторой степени подтверждает тот факт, что арматура в основном железная.
Упражнение \(\PageIndex{4}\)
Кусок неправильной формы из блестящего желтоватого материала взвешивают, а затем погружают в градуированный цилиндр. Результаты показаны на рисунке.
- Используйте эти значения для определения плотности этого материала.
- Есть ли у вас разумные предположения относительно происхождения этого материала? Объясните свои рассуждения.
- Ответить на
19 г/см 3
- Ответ б
Вероятно, золото; он имеет правильный внешний вид для золота и очень близок к плотности, указанной для золота.
Точность и прецизионность
Ученые обычно проводят повторные измерения количества, чтобы гарантировать качество своих результатов и знать как точность и точность их результатов. Измерения называются точными, если они дают очень похожие результаты при повторении одним и тем же способом. Измерение считается точным, если оно дает результат, очень близкий к истинному или принятому значению. Точные значения согласуются друг с другом; точные значения согласуются с истинным значением. Эти характеристики можно распространить на другие контексты, например на результаты соревнований по стрельбе из лука (рис. \(\PageIndex{2}\)).
Рисунок \(\PageIndex{2}\): (a) Эти стрелки расположены близко как к мишени, так и друг к другу, поэтому они точны и точны.
(b) Эти стрелы находятся близко друг к другу, но не в цель, поэтому они точны, но не точны. (c) Эти стрелы не попадают ни в цель, ни близко друг к другу, поэтому они не точны и не точны. Предположим, химику по контролю качества в фармацевтической компании поручено проверить точность и воспроизводимость трех разных машин, предназначенных для дозирования 10 унций (29 унций).6 мл) сиропа от кашля во флаконы для хранения. Она использует каждую машину для наполнения пяти бутылок, а затем тщательно определяет фактический выданный объем, получая результаты, представленные в таблице \(\PageIndex{2}\).
Таблица \(\PageIndex{2}\): Объем (мл) лекарства от кашля, поставляемый дозаторами на 10 унций (296 мл) Дозатор №1 Дозатор №2 Дозатор №3 283,3 298,3 296,1 284,1 294,2 295,9 283,9 296,0 296,1 284,0 297,8 296,0 284,1 293,9 296,1 Принимая во внимание эти результаты, она сообщит, что дозатор № 1 является точным (все значения близки друг к другу, в пределах нескольких десятых миллилитра), но неточным (ни одно из значений не близко к целевому значению 296 мл).
, каждый из которых более чем на 10 мл ниже нормы). Результаты для дозатора № 2 показывают улучшенную точность (каждый объем отличается менее чем на 3 мл от 296 мл), но худшую точность (объемы различаются более чем на 4 мл). Наконец, она может сообщить, что дозатор №3 работает хорошо, дозируя сироп от кашля как точно (все объемы в пределах 0,1 мл от целевого объема), так и точно (объемы отличаются друг от друга не более чем на 0,2 мл).Сводка
Количество может быть точным или измеренным. Измеряемые величины имеют связанную с ними неопределенность, которая представлена количеством значащих цифр в измерении. Неопределенность расчетного значения зависит от неопределенностей значений, используемых при расчете, и отражается в том, как значение округляется. Измеренные значения могут быть точными (близкими к истинным значениям) и/или точными (показывающими небольшие отклонения при повторном измерении).
Авторы
Пол Флауэрс (Университет Северной Каролины, Пембрук), Клаус Теопольд (Университет Делавэра) и Ричард Лэнгли (Государственный университет Стивена Ф.
е. наименее точное значение с точки зрения сложения и вычитания).
цифры (наименее точное значение с точки зрения умножения и деления). 92}\:\textrm{(округлить до двух значащих цифр)}\] 
По общему правилу округляйте только в середине вычисления, если вы переключаетесь между этапом сложения/вычитания и этапом умножения/деления . Пример такого расчета показан ниже в примере \(\PageIndex{4}\).
более достоверно, чем наименее определенное значение, используемое в расчетах.
(b) Эти стрелы находятся близко друг к другу, но не в цель, поэтому они точны, но не точны. (c) Эти стрелы не попадают ни в цель, ни близко друг к другу, поэтому они не точны и не точны. 
, каждый из которых более чем на 10 мл ниже нормы). Результаты для дозатора № 2 показывают улучшенную точность (каждый объем отличается менее чем на 3 мл от 296 мл), но худшую точность (объемы различаются более чем на 4 мл). Наконец, она может сообщить, что дозатор №3 работает хорошо, дозируя сироп от кашля как точно (все объемы в пределах 0,1 мл от целевого объема), так и точно (объемы отличаются друг от друга не более чем на 0,2 мл).