Окружность определение: Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Содержание

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\). \circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). 2\).

 

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


 

Что такое единичная окружность в тригонометрии: определение, связь, понятие

Определение

Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным единице, и центром в начале прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнения для задания единичной окружности: x2+y2=1

Понятие единичной окружности непосредственно связано с тригонометрией. Угол поворота можно рассматривать, как движение по окружности. При этом величина угла поворота не зависит от радиуса окружности, что делает использование единичной окружности при математических описаниях очень удобным.

Через координаты точек на единичной окружности дается определение основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обосновываются их свойства и выводятся основные формулы тригонометрии.

                                     

С использованием уравнения единичной окружности и определения синуса и косинуса может быть записано основное тригонометрическое тождество: sin2x+cos2x=1.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Тригонометрия

Следующая статья

Основные тригонометрические формулы

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  • Градусы и радианы
  • Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  • Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
  • Основные тригонометрические тождества
  • Все темы по математике
  • Курсовые работы
  • Рефераты
  • Контрольные работы
  • Отчет по практике
  • Эссе

Узнать подробнее

  • ПЛАСТИНЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК В Компас А Бумага теплообменник кожухотрубчатый

    • Вид работы:

      Чертёж

    • Выполнена:

      27 июня 2022 г.

    • Стоимость:

      2 400 руб

    Заказать такую же работу

  • Математические модели инфодемии

    Заказать такую же работу

  • Нужно рассчитать теплообменник

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      28 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      3 600 руб

    Заказать такую же работу

  • Задания прикреплены

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      21 января 2022 г.

    • Стоимость:

      1 400 руб

    Заказать такую же работу

  • Особенности исторической застройки Красноярска от появления острога до конца века

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      27 декабря 2021 г.

    • Стоимость:

      1 000 руб

    Заказать такую же работу

  • по Строительным материалам

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      30 ноября 2021 г.

    • Стоимость:

      1 100 руб

    Заказать такую же работу

  • Смотреть все работы по чертежам в компас

    Что такое центр окружности определение. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

    Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

    Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

    Что такое длина окружности и площадь круга: определение

    Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

    Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

    Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

    Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

    В случае если известен радиус: L=2 πR

    Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

    Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

    Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

    Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

    Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

    Чем круг отличается от окружности: объяснение

    Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

    • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
    • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
    • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
    • У круга и окружности единый центр;
    • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
    • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

    Круг и окружность: примеры, фото

    Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

    Формула длины окружности и площади круга: сравнение

    Формула длины окружности L=2 πR

    Формула площади круга S= πR²

    Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

    Площадь круга по длине окружности: формула

    S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

    Видео: Что такое круг, окружность и радиус

    И круг — геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

    Определение. Окружность — замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

    Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

    Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

    Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

    d = 2r
    D = 2R

    Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

    Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

    C = ¶d
    C = 2¶r

    • Примеры
    • Дано: d = 100 см.
    • Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
    • Дано: d = 25 мм.
    • Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

    Секущая окружности и дуга окружности

    Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

    Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

    Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

    Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше — большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

    Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

    Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

    Так как круг — это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

    Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

    • Примеры
    • Дано: r = 100 см
    • Площадь круга:
    • S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
    • Дано: d = 50 мм
    • Площадь круга:
    • S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

    Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

    Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

    Данная точка (O) называется центром окружности .
    Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
    Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
    Длина единичной полуокружности обозначается через π .
    Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
    Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
    Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
    Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
    Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

    Взаимное расположение прямой и окружности

    1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
    2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
    3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
    4. .

    Центральные и вписанные углы

    Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
    Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

    Теорема о вписанном угле

    Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    • Следствие 1.
      Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    • Следствие 2.
      Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

    Основные формулы

    • Длина окружности:

    C = 2∙π∙R

    • Длина дуги окружности:

    R = С/(2∙π) = D/2

    • Диаметр:

    D = C/π = 2∙R

    • Длина дуги окружности:

    l = (π∙R) / 180∙α ,
    где α — градусная мера длины дуги окружности)

    • Площадь круга:

    S = π∙R 2

    • Площадь кругового сектора:

    S = ((π∙R 2) / 360)∙α

    Уравнение окружности

    • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

    (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2

    • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

    x 2 + y 2 = r 2

    Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

    Окружность: определение и основные средства описания

    Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

    Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

    Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

    Свойства хорд

    1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
    2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
    3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

    Длина окружности: общее понятие и основные формулы

    Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

    Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус.

    Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

    Что такое окружность: основные постулаты

    • не иметь общих точек;
    • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
    • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

    2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

    3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

    4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

    5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

    • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
    • относительно точки О;
    • зеркальная симметрия относительно диаметра.

    6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

    7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

    Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

    Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

    1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
    2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
    3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
    4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

    Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

    1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
    2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
    3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
    4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
    5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

    Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности. {\circ}}

  • Используя радианную меру: CD = \alpha R
  • Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

    В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

    AN\cdot NB = CN \cdot ND

    Касательная к окружности

    Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

    Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

    Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

    Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

    AC = CB

    Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

    \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

    На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

    Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

    \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

    Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

    \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

    Вписанная окружность

    Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

    В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

    Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

    Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

    S = pr ,

    p — полупериметр многоугольника,

    r — радиус вписанной окружности.

    Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

    r = \frac{S}{p}

    Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

    AB + DC = AD + BC

    В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

    Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

    r = \frac{S}{p} ,

    где p = \frac{a + b + c}{2}

    Описанная окружность

    Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ}

    Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

    Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

    R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

    R = \frac{abc}{4 S}

    a , b , c — длины сторон треугольника,

    S — площадь треугольника.

    Теорема Птолемея

    Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

    Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

    AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

    Что такое окружность? : Геометрия

    Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



    Правила форума

    В этом разделе нельзя создавать новые темы.

    Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

    Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

    Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

    Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.


     
    AlgolHater 

     Что такое окружность?

    22.03.2008, 14:21 

    17/02/08
    7

    Всем привет.

    Тут на лекции дали такое определение:

    Цитата:

    Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

    При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости». Сказал, что некоторые авторы это почему-то забывают писать. И начертил нечто вроде конуса (нечто, потому что образующие, вершина и внутренняя область окружности на плоскости к самой окружности, естественно, не относятся). Спорить с ним там было несколько неудобно, в особенности глядя на его уверенность.

    Но я не понял, что он хотел этим доказать. Что полученная фигура, постоенная относительно фиксированной точки, находящаяся вне плоскости получемой фигуры не является окружностью? Или дело в том, что назвать фиксированной точку можно только в случае однозначного её местонахождения, что невозможно сделать без введения единичного отрезка для указания расстояния на котором находится эта точка от данной плоскости?

    Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?


       

                      

    enko 

     Re: Что такое окружность?

    22.03.2008, 14:39 

    19/08/07
    113
    Краснодар

    AlgolHater писал(а):

    Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?

    Действительно и в вашем случае получится окружность, но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости.


       

                      

    Профессор Снэйп 

     Re: Что такое окружность?

    22.03.2008, 15:21 

    Заморожен

    18/12/07
    8774
    Новосибирск

    AlgolHater писал(а):

    Тут на лекции дали такое определение:

    Цитата:

    Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

    При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости».

    Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.


       

                      

    Бабай 

     

    22.03.2008, 17:18 

    29/12/05
    228

    Цитата:

    Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.

    А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

    С пустым множеством я бы был осторожен. Как там вообще вводить метрику собираемся?

    Я думаю что оговорка здесь не особо нужна. Лектор может этим хотел только подчеркнуть, что определяя окружность, мы не обязятельно находимся на двумерном подпространстве. Но какой толк в этом? Определите, что такое n-мерный шар, и отсекайте от него гиперплоскостями шары измерением меньше! Тогда и отпадёт надобность в фиксировании точек.


       

                      

    незваный гость 

     

    22.03.2008, 22:18 

    Заслуженный участник

    17/10/05
    3709

    Бабай писал(а):

    А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

    Вопрос, удобно ли такое определение? Например, можно опустить требование «большее 1» в определении простого числа, но что нам это даст?

    Принадлежность же центра плоскости столь же важна, сколь и положительность радиуса. Мы можем не оговаривать, что радиус положительный, но радости с этого мало.


       

                      

    Бабай 

     

    22.03.2008, 23:31 

    29/12/05
    228

    Цитата:

    Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

    В первой строке определения говорится, что окружность сама по себе уже двумерная фигура. 2. Вся плоскость — это объединение непересекающихся окружностей — орбит точек плоскости, включая орбиту начала отсчёта -окружность нулевого радиуса. Так вот, если точку не принимать за окружность, то смысла в этом действии было бы мало. Ну хотя эта ситуация, конечно, довольно специфическая.
    Ну скажем так — окружность эквивалентна точке, потому что строение евклидова пространства позволяет стянуть окружность в точку.


       

                      

    Gordmit 

     

    23.03.2008, 01:33 

    Заслуженный участник

    19/06/05
    486
    МГУ

    Бабай писал(а):

    А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

    Получится порочный круг: точка и окружность будут определяться друг через друга. С одной стороны, точка — это окружность нулевого радиуса, а с другой стороны окружность — это множество точек

    , равноудаленных от данной фиксированной точки


       

                      

    AlgolHater 

     

    23.03.2008, 01:45 

    17/02/08
    7

    Цитата:

    но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости

    Не понял.

    Равно (и меньше) быть просто не может — у прямоугольного треугольника гипотенуза (расстояние от фиксированной точки до какой-либо из точек, образующих окружность) всегда больше катетов (т.е. и больше перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки на данную плоскость).
    Ну а если больше — то всё хорошо.

    UPD. Хм…Имеете ввиду просто перпендикуляр, опущенный на плоскость к точке, которая будет по определнию и называться окружностью?


       

                      

    Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
       Страница 1 из 1
     [ Сообщений: 8 ] 

    Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



    Кто сейчас на конференции

    Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


    Вы не можете начинать темы
    Вы не можете отвечать на сообщения
    Вы не можете редактировать свои сообщения
    Вы не можете удалять свои сообщения
    Вы не можете добавлять вложения

    Найти:

    Определение по окружности.

    Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

    Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

    Данная точка (O) называется центром окружности .
    Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
    Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
    Длина единичной полуокружности обозначается через π .
    Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
    Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
    Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
    Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
    Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

    Взаимное расположение прямой и окружности

    1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
    2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
    3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
    4. .

    Центральные и вписанные углы

    Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
    Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

    Теорема о вписанном угле

    Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    • Следствие 1.
      Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    • Следствие 2.
      Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

    Основные формулы

    • Длина окружности:

    C = 2∙π∙R

    • Длина дуги окружности:

    R = С/(2∙π) = D/2

    • Диаметр:

    D = C/π = 2∙R

    • Длина дуги окружности:

    l = (π∙R) / 180∙α ,
    где α — градусная мера длины дуги окружности)

    • Площадь круга:

    S = π∙R 2

    • Площадь кругового сектора:

    S = ((π∙R 2) / 360)∙α

    Уравнение окружности

    • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

    (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2

    • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

    x 2 + y 2 = r 2

    Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. {\circ}}

  • Используя радианную меру: CD = \alpha R
  • Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

    В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

    AN\cdot NB = CN \cdot ND

    Касательная к окружности

    Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

    Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

    Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

    Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

    AC = CB

    Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

    \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

    На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

    Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

    \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

    Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

    \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

    Вписанная окружность

    Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

    В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

    Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

    Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

    S = pr ,

    p — полупериметр многоугольника,

    r — радиус вписанной окружности.

    Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

    r = \frac{S}{p}

    Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

    AB + DC = AD + BC

    В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

    Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

    r = \frac{S}{p} ,

    где p = \frac{a + b + c}{2}

    Описанная окружность

    Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ}

    Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

    Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

    R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

    R = \frac{abc}{4 S}

    a , b , c — длины сторон треугольника,

    S — площадь треугольника.

    Теорема Птолемея

    Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

    Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

    AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

    Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

    Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

    Что такое длина окружности и площадь круга: определение

    Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

    Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

    Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

    Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

    В случае если известен радиус: L=2 πR

    Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

    Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

    Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

    Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

    Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

    Чем круг отличается от окружности: объяснение

    Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

    • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
    • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
    • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
    • У круга и окружности единый центр;
    • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
    • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

    Круг и окружность: примеры, фото

    Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

    Формула длины окружности и площади круга: сравнение

    Формула длины окружности L=2 πR

    Формула площади круга S= πR²

    Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

    Площадь круга по длине окружности: формула

    S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

    Видео: Что такое круг, окружность и радиус

    Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

    Окружность: определение и основные средства описания

    Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

    Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

    Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

    Свойства хорд

    1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
    2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
    3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

    Длина окружности: общее понятие и основные формулы

    Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

    Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус.

    Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

    Что такое окружность: основные постулаты

    • не иметь общих точек;
    • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
    • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

    2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

    3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

    4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

    5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

    • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
    • относительно точки О;
    • зеркальная симметрия относительно диаметра.

    6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

    7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

    Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

    Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

    1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
    2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
    3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
    4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

    Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

    1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
    2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
    3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
    4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
    5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

    Окружность и её элементы. Знакомство с понятиями. 2-й класс

    УМК: «Начальная школа XXI века».

    Цели урока:

    • Образовательная: создать условия для формирования представления об окружности и круге, как о геометрических фигурах и познакомить с их элементами, развивать практическое умение – пользоваться циркулем.
    • Развивающая: создать условия для развития творческой деятельности, речи и мыслительных операций: обобщение, анализ, сравнение.
    • Воспитательные: создать условия для воспитания трудолюбия, самостоятельности, активности, способности к познанию.

    Оборудование: геометрические фигуры (квадрат, куб, шар, круг), модель круга (на каждого ученика), учебник для 2 класса В. Н. Рудницкой  «Математика» 1 часть, рабочая тетрадь, циркуль, линейка, картинка с изображением Карандаша (человечка), альбомные листы с изображением окружностей, карточки.

    Ход урока

    I. Организация класса

    «Долгожданный дан звонок,
    Начинается урок.
    Тут затеи и задачи,
    Игры, шутки, всё для вас!
    Пожелаю всем удачи —
    За работу, в добрый час!»

    II. Актуализация знаний

    Игра. На столе разложены различные геометрические фигуры (накрыты платком).

    — Найдите на ощупь: квадрат, куб, шар, круг.

    — Чем отличаются? (учитель держит в руках и показывает шар и круг).

    III. Сообщение темы урока

    — Сегодня на уроке, мы с вами отправимся в удивительную страну геометрию, где познакомимся с новой геометрической фигурой и её элементами.

    IV. Работа по теме урока

    1. Знакомство с понятием «окружность».

    — Найдите на столе у каждого из вас круг. Возьмите его в руки. Обведите пальчиком границу круга так же как я.

    — Может быть, кто-нибудь из вас знает, как называется граница круга? (выслушав ответы детей, учитель вывешивает карточку на доску).

    — Прочитайте слово: по слогам, с ударением. Закройте глаза, представьте это слово и ещё раз проговорите его по слогам.

    — Какие буквы в этом слове похожи на окружность? («О»). А что вы можете рассказать об этих буквах? (Это безударные гласные, которые нужно запомнить.)

    — А теперь возьмите круг, положите его на страницу тетради и обведите шаблон по его границе.

    — Уберите шаблон. Посмотрите, у вас получилась окружность. Но для того, что бы построить окружность, не обязательно каждый раз пользоваться шаблоном.

    2. Построение окружности с помощью циркуля.

    а) — Для построения окружности существует специальный инструмент.

    — Послушайте загадку:

    «Сговорились две ноги
    Делать дуги и круги».  Это …… (циркуль).

    Учитель вывешивает карточку на доску и показывает инструмент.

    — Обратите внимание на гласную, которая пишется после буквы «Ц». Кто может объяснить?

    — Какое слово спряталось в слове «циркуль»? («цирк»).

    — Слово «цирк» в переводе с латинского языка означает «круг».

    — Как вы думаете, почему значение слова связано с кругом? Вспомните, как выглядит арена. (Она круглая,  как-будто её построили с помощью циркуля).

    б) — У циркуля есть 2 ножки: одна — с остриём, другая — с грифелем.

    С циркулем нужно работать очень осторожно. Назовите правила пользования циркулем (нельзя подносить к лицу и глазам, нельзя передавать циркуль соседу иглой вперёд, нельзя им играть, циркуль должен находиться в специальном футляре).

    — А теперь посмотрите, как работают с этим инструментом (показ учителя): «Разведу ножки  на небольшое расстояние: ножку с остриём ставлю на бумагу, а ножка с грифелем касается бумаги. Аккуратно поворачиваем циркуль вокруг своей оси, при этом сохраняя расстояние между ножками, и получаем окружность. Если расстояние изменится — окружность не получится».

    в) — Начертите окружность в тетрадях так же как я. (самостоятельная работа детей, помощь учителя), но сначала повторим порядок работы.

    г) Обобщение:

    — Что вы начертили? (окружность). Как вы думаете, почему её так назвали?

    — Окружность — линия, которая идёт по границе круга.

    — Посмотрите на свои фигуры. Чем круг отличается от окружности? (показать).

    — Круг — это окружность вместе с внутренней областью, ограниченной этой окружностью; его можно погладить. Погладьте. Окружность — это только граница круга (проведите пальчиком по линии), внутри пустая. Круг и окружность как брат и сестра. Они всегда вместе! Нарисовали окружность — возник круг, вырезали круг — ножницы обозначили окружность.

    Физминутка.

    — А теперь отдохнём, встаньте!- Начертите окружность:

    • левой рукой в воздухе;
    • правой ногой на полу;
    • на спине у соседа;
    • носом на потолке.

    —  Садитесь! Продолжаем работать дальше!

    3. Работа по учебнику.

    — Откройте учебник на странице 88, найдите №6.

    Рассмотрите: как изображаются на плоскости круг и окружность. Сравните. В чём сходство и различие?

    — А  какие предметы в учебнике на странице 87 в №1 являются окружностью? (Обруч, огненное кольцо, оправа от очков). Назовите предметы, которые имеют форму круга. (Стекло от очков, леденец, солнышко). Приведите свои примеры.

    — Ребята, к нам на урок пришёл гость — весёлый Карандаш и принёс с собой замечательную песенку про круг и окружность (вывешивается картинка с изображением Карандаша).

    — Послушайте её (учитель поёт):

    «У круга есть одна подруга
    Знакома всем её наружность.
    Она идёт по краю круга
    И называется ….. » (окружность).

    4. Элементы окружности

    — Дома вы можете сочинить свою песенку про круг и окружность.

    — А сейчас Карандашик просит вас помочь ему выполнить некоторые задания:

    а) — Как и любая фигура, окружность тоже имеет свой центр. Помогите найти её Карандашу.

    — Как вы думаете, где она будет находиться? (Найдите у себя прокол от острой ножки циркуля — это и есть центр окружности).

    — Отметьте его точкой и обозначьте латинской буквой «O».

    б)  — На странице 87 учебника, на чертеже найдите центр окружности.

    — А какой ещё элемент окружности вы видите на чертеже? Прочитайте!

    — Карандашик просит вас помочь ему построить радиус окружности.

    — Как же это сделать?

    в) — Отметим на окружности точку в любом месте. Я здесь, а вы можете поставить точку в другом месте (показать), но обязательно на окружности и обозначим её латинской буквой «А». (Учитель и дети работают одновременно).

    — Соедините точку «А» с центром окружности (по линейке, цветным карандашом).

    — Какая получилась фигура? (отрезок ОА).

    — Отрезок ОА и есть радиус.

    — Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности.

    — А можно ещё провести радиус? Кто сможет, попробуйте? (2 ученика у доски).

    — Как можно узнать длину радиуса? (с помощью линейки и циркуля).

    — Как вы думаете, радиусы, которые мы построили  будут одинаковыми или разными? Докажите! (измерьте с помощью линейки или циркуля).

    г) — А ведь знаете, в математике есть ещё одно определение окружности.

    — Представьте себе, что вы бы отметили множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии  от центра, и когда их соединили между собой, то, что получилось тогда? (окружность).

    — Вот вы и сами дали второе определение окружности: окружность — это множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

    5. Рефлексия

    — А теперь подведём итог урока, то есть выясним: какие же открытия вы совершили сегодня для себя на уроке? (высказываются дети).

    — Ребята, а полученные знания вам в жизни пригодятся? Где?

    — Итак, что такое окружность? (2 определения: Окружность — это граница круга, замкнутая кривая линия. Окружность — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности).

    — Как называется этот элемент окружности? (учитель показывает на центр окружности)

    — Как называется расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности? (радиус)

    6. Творческое задание

    – Вы сегодня отлично поработали на уроке, узнали много нового. Молодцы!

    А теперь Карандашик предлагает вам немного отдохнуть и выполнить творческое задание.

    а)  – Посмотрите, что изображено у каждого из вас на альбомном листе? (окружность)

    — Проявив свою фантазию, дорисуйте окружности так, чтобы получились разные предметы. А для этого вам пригодятся знания, полученные на уроках «Окружающего мира» и «Технологии».

    — А может быть, кто-нибудь из вас захочет использовать в своей работе не окружность, а круг.

    — Что же тогда нужно сделать? Как превратить окружность в круг? (закрасить).

    — Итак, приступаем к работе. А интересные работы вы  продемонстрируете нашему Карандашику в конце урока. (Включить музыку).

    б) Просмотр интересных работ детей и учителя (эмблема олимпийского флага – на основе окружности и дорожный знак «Движение пешеходов запрещено» — на основе круга).

    7. Домашнее задание
    • Дома потренироваться в построении окружности с помощью циркуля и нахождении её элементов: центра и радиуса (всем учащимся обязательно).
    • Сочинить песенку или стихотворение про круг и окружность (по желанию учащихся).

    Окружность Определение и значение | Dictionary.com

    • Верхние определения
    • Синонимы
    • Викторина
    • Связанный контент
    • Примеры
    • British
    • Scientific
    • Cultural

    Это показывает уровень класса, основанный на сложности слова.

    [ ser-kuhm-fer-uhns ]

    / sərˈkʌm fər əns /

    Сохранить это слово!

    См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com

    Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.


    сущ.

    внешняя граница, особенно круглой области; периметр: длина окружности.

    длина такой границы: окружность в одну милю.

    область внутри ограничивающей линии: обширная окружность его разума.

    ДРУГИЕ СЛОВА ДЛЯ окружности

    1 периферия, контур.

    См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com

    ТЕСТ

    Сыграем ли мы «ДОЛЖЕН» ПРОТИВ. «ДОЛЖЕН» ВЫЗОВ?

    Следует ли вам пройти этот тест на «должен» или «должен»? Это должно оказаться быстрым вызовом!

    Вопрос 1 из 6

    Какая форма используется для указания обязательства или обязанности кого-либо?

    Начало окружности

    1350–1400; Среднеанглийское <позднелатинское окружность, эквивалентное окружности- + fer- (основа от ferre для переноски) + -entia-ence

    СЛОВА, КОТОРЫЕ МОГУТ СПУТАТЬСЯ С окружностью

    окружность , диаметр, радиус, касательная

    Слова рядом с окружностью

    обрезание, обрезание, обрезание, околостолбцовый, обрезание, окружность, окружность, окружность волокнистого хряща, окружность пластинки, окружность, циркумфикс

    Dictionary. com Unabridged Основано на словаре Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc., 2022

    Слова, относящиеся к окружности

    обхват, амбит, граница, граница, границы, контур, компас, границы, оконечность, бахрома, пределы, губа, край, контур , периферия, ободок, грань

    Как использовать окружность в предложении

    • Эта шапка будет расти вместе с вашими детьми, подходит для размера окружности от 7 до 12 дюймов.

      Лучшие зимние шапки: удобные шапки, которые согреют вас|Carsen Joenk|20 января 2021 г.|Popular-Science

    • Вместо этого, помимо измерения окружности талии, ваш лечащий врач отметит клинические маркеры, указывающие на висцеральные ожирение, говорит Джей.

      Некоторые тренеры рекламируют ВИИТ как лучший способ сжечь жир на животе. Вот что говорит наука.|Пэм Мур|15 декабря 2020 г.|Washington Post

    • Прицельная дальность — это расстояние, на котором вы можете надежно поместить выстрел в пределах круга, который соответствует размеру жизненно важных органов животного — примерно окружности бумажной тарелки для оленя или лося.

      Руководство по охоте для начинающих|Ян Форман|30 октября 2020 г.|Outside Online

    • Каждый ремешок поставляется с двумя разными длинами для более длинной стороны, чтобы соответствовать запястьям с окружностью от 5 до 8 дюймов.

      Аксессуары для умных часов, которые можно подарить вашим высокотехнологичным друзьям и родным|Команда PopSci Commerce|1 октября 2020 г.|Popular-Science

    • Для пейзажных снимков установите камеру в экранный режим, чтобы вас не ослеплял видоискатель, и снимайте прямо на солнце и вокруг него.

      11 замечательных микроприключений, которые вы можете совершить прямо сейчас|Редакция|1 октября 2020 г.|Внешний Интернет

    • Остальное, что выходит за пределы окружности мяса, быстро тает на поверхности плоской поверхности.

      Настоящий чизбургерный рай|Джейн и Майкл Стерн|22 июня 2014 г.|DAILY BEAST

    • Пи официально определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.

      17 фактов, чтобы разгадать тайну числа Пи|Эбби Хэглейдж|14 марта 2013 г.|DAILY BEAST

    • Трасса составляет около полутора миль в окружности, а «прямая» – около пяти фарлонгов в длину.

      Бирмингемский словарь Шоуэлла | Томас Т. Харман и Уолтер Шоуэлл

    • Их ветви описывают круг более восьмидесяти футов в окружности, но они больше не приносят плодов.

      Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер

    • Высота скалы достигает двухсот пятидесяти футов, а ее окружность составляет около мили.

      Британские автомагистрали и переулки от автомобиля|Томас Д. Мерфи

    • Его окружность не очень велика, но почти одинакова на всем протяжении, что придает ему вид башни.

      Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер

    • По окружности ствола расположены зубья шестерни, и эти зубья входят в зацепление с соответствующими зубьями на оси центра.

      The Wonder Book of Knowledge|Various

    British Dictionary definitions for circumference

    circumference

    / (səˈkʌmfərəns) /


    noun

    the boundary of a specific area or geometric figure, esp of a circle

    длина замкнутой геометрической кривой, особенно окружности. Длина окружности равна диаметру, умноженному на π

    Производные формы окружности

    окружность (səˌkʌmfəˈrɛnʃəl), прилагательное окружность, наречие

    Происхождение слова для окружности

    C14: от старофранцузского circonference, от латинского окружность — носить, от окружности + ferre — медведь

    Английский словарь Коллинза — полное и полное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

    Научные определения окружности

    окружность

    [ sər-kŭm′fər-əns ]

    0020 Граничная линия круга.

    Граничная линия фигуры, области или объекта.

    Длина такой границы. Длина окружности вычисляется путем умножения диаметра на число Пи.

    Научный словарь American Heritage® Авторские права © 2011. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены.

    Культурные определения окружности

    окружность

    [ (suhr-kum-fuhr-uhns) ]


    Мера расстояния по окружности.

    Новый словарь культурной грамотности, третье издание Авторское право © 2005 г., издательство Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены. Определение

    в кембриджском словаре английского языка

    Примеры окружности

    Окружность

    Исследователи обнаружили, что бедро окружность и рост были тесно связаны с жировыми отложениями.

    Из ВРЕМЕНИ