Онлайн графический метод решения задачи линейного программирования: Графический метод решения задач линейного программирования. Решение задач и контрольных работ по линейному программированию онлайн

Математическое программирование. Графический и симплекс метод. Примеры решения задач

Графический и симплекс метод

Видеоурок: «Решение ЗЛП графическим методом»

Видеоурок: «Решение ЗЛП симплексным методом»

Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении 1 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.

Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течении 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, оборудование второго типа – 60 часов, оборудование третьего типа – 50 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.


1) Составить математическую модель задачи

2) Решить графическим методом

3)Решить симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц

Решение

Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле: .

Запишем математическую модель задачи:

Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости  области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.

         Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.

к. искомое количество изделий положительно).

         График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5).  В этой точке целевая функция будет достигать максимума.

 

         А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .

Симплекс-таблица составляется так:
         В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.

         В следующий столбец  записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi при  i –й переменной.
         Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

         Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов  .

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

         Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:

         Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки  должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.

         Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае минимально, поэтому в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого столбца – 3 (выделен в таблице).

Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса.
        Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.

 

        Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

         Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов  .


Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

         Опять проверяется критерий оптимальности. Отрицательная оценка только одна – в столбце А2.

         Вычисляем:

         Разрешающим элементом будет второй элемент второго столбца – 2/3.

         Новыми базисными переменными становятся A3, A2, A1
Делим вторую строку на 2 и вычитаем из третьей.
Умножаем вторую строку на 5/2 и вычитаем из первой.

        На этот раз отрицательных оценок нет, т.е. критерий оптимальности выполнен.

Таким образом, получается искомое значение целевой функции F(15; 5; 7; 0; 0) = 70, т.е. возвращаясь к системе неравенств, получаем:

Ответы, полученные различными методами, совпадают.

PHPSimplex

PHPSimplex

• ДОМ
• ИЗБРАННОЕ
•  КОНТАКТ
• КРЕДИТЫ

• Дом
• PHPСимплекс
  • Помощь PHPSimple
• Исследование операций
  • История
  • Реальные случаи
• Теория
  • Проблемы моделирования
  • Симплексный метод
  • Двухфазный симплексный метод
  • Графический метод
• Примеры
  • Проблемы моделирования
    • Проблемы с питанием
    • Проблема перевозки войск
    • Проблема перевозки грузов
    • Проблема фруктовых деревьев
    • Задача распределения персонала
    • Задача минимальной дороги
    • Проблема с местоположением
    • Проблема фондовой биржи
  • Симплексный метод
  • Графический метод
• Джордж Б. Данциг
  • Биография
  • Интервью
• Язык
  • Испанский
  • Английский
  • Французский
  • Португальский

PHPSimplex

PHPSimplex — это онлайн-инструмент для решения задач линейного программирования. Использование бесплатное. Для доступа к нему просто нажмите на иконку слева или «PHPSimplex» в верхнем меню.

PHPSimplex может решать задачи с использованием симплексного метода, двухфазного метода и графического метода и не имеет ограничений ни на количество переменных решения, ни на ограничения в задачах.

Этот инструмент разработан, чтобы помочь учащимся в обучении, поскольку он показывает не только окончательные результаты, но и промежуточные операции. Он также предлагает прямое решение для профессионального использования. Другими преимуществами являются то, что он не требует какого-либо языка для постановки задачи, предлагает дружественный интерфейс, он ближе к пользователю, прост и интуитивно понятен, для использования не нужно ничего устанавливать и доступен на нескольких языках (если вы хотите, чтобы PHPSimplex был на вашем языке, свяжитесь с нами).

Также доступно руководство пользователя, позволяющее быстро научиться использовать инструмент PHPSimplex.

Теория используемых методов, частные случаи для рассмотрения, примеры пошаговых решений задач, сравнение симплекс-метода и графического метода, история исследования операций и т. д. также можно найти на этом сайте.

Биография и интервью с Джорджем Бернардом Данцигом, американским математиком, разработавшим симплекс-метод. Узнать больше

Основы и теоретические аспекты симплекс-метода, двухфазного метода, графических методов, моделирования задач и пошаговых примеров решения. Узнать больше

История исследования операций, виды линейного программирования, кейсы и выгоды от их использования. Узнать больше

 

Copyright ©2006-2022 PHPSimplex. Все права защищены.

X

PHPSimple
Версия 0.81

Copyright © 2006-2022. Все права защищены.

Разработчик:
Даниэль Искьердо Гранха
Хуан Хосе Руис Руис

английский перевод:
Лучано Мигель Тобариа

Французский перевод:
Эстер Руте Руис

Португальский перевод:
Розан Бухес

Линейное неравенство — Графический метод, Линейное программирование Экзаменационные уроки

СОДЕРЖАНИЕ

• Линейные неравенства с двумя переменными графическим методом.
• Графическое решение одновременных линейных неравенств с двумя переменными.
• Линейное программирование

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Прямая линия имеет общее уравнение ax+by+c=0, где a,b и c — действительные числа.

Прямая ax + by + c =0 делит плоскость x-y на две области

ОДНОВРЕМЕННЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Множество одновременных неравенств с двумя переменными может быть найдено из пересечения областей, представляющих неравенства.

Вычисление

Покажите области, представляющие множество решений

1)   2y ≤ x + 8, x + 2y + 4 ≥ 0, x ≤ 2y + 12

2)  , x ≥ 0 2y ≤ 4, -x + 2y ≤ 11, -2x + 5y ≤ 10

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Линейная функция z = ax + by называется целевой функцией, а заданный набор неравенств называется ограничением попыток линейного программирования максимизировать или минимизировать целевую функцию при заданных ограничениях.

Вычисление

1) Изобразите графически область, представленную неравенствами (a) y ≥ 4x ² + 11x – 3   (b) y ≥ 6x

9 0 – 9024 Показать) изобразите графически область R, которая удовлетворяет системе неравенств: 2x + 3y ≤ 26, x + 2y ≤ 16, x ≥ 0, y ≤ 0.

y + x ≤ 3, y+ x ≥ 1, y – x ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0,

• показать область R, удовлетворяющую одновременно 2x + y ≤ 7, 3x – 4y ≥ – 6, x ≥ 0, y ≥ 0.

        4.   Используя метод квадрата и формулы, решите 3x ² – 12x + 10 = 0

        5.   Решите следующие показательные уравнения: (b) 2

  2x+1   – 5 (2 ^x ) + 2 = 0

         6.   Джанет покупает p сладких и q шариков. Сладости стоят 5 фунтов стерлингов каждая, а шарики — 6 фунтов стерлингов каждая. Джанет имеет ₦90.     

               Она хочет поделиться сладостями со своими друзьями, поэтому ей нужно как минимум 5 конфет, ей нужно более 4 шариков  

               , чтобы присоединиться к игре. (a) Запишите три неравенства, связывающие p и q (b) Нарисуйте график, показывающий 

                их неравенства (c) Какое максимальное количество сладостей она может купить? (d) Какое наибольшее количество

              шариков она может купить?

  Задание по чтению: F/математика Проект 1 стр. 113 – 119УПРАЖНЕНИЕ 8C Q1, 16 и 17

  Наизена на выходных

  1) Найдите диапазон x, для которого │2x -1│> 3

  (a) 1 <3/2 b) -3/2 < x < -1 c) -3/2 < x < 1 d) x > 3/2 и x < -1

  2) Найдите диапазон значения, удовлетворяющего неравенству x ² + 3x – 18 < 0

       (а) -3 < х < 6 (б)-3 > х < 6 (в)-6 >х >3 (г)-6 >х < 3 (д)-6 < х <3

  3) Найдите диапазон значений x, для которых 2x ² – 5x + 2 ≥ 0

        (a) -2 < x < -½ (b) ½  < x < 2 (c) x < -½ или x ≥ -2 (d) x ≤ ½ или x ≥ 2

  4) Найдите диапазон значений y, удовлетворяющий неравенству 2y – 1 < 3 и 2 – y ≤ 5

        (a) – 3 ≤ y ≤ 1  (b) – 2 ≤y ≤ 3 (c) -3≤ y ≤ 4 (d) -3 ≤ y ≤ 2

  5) Найдите диапазон значений x , для которых 1/x + 3 < 2x равно удовлетворяют

       (a) – 3 < x < 5/2  (b) x < -3 и x > -5/2  (c) x < 1 и x < ½

  Теория

  1) графически иллюстрирует набор P со всех точек (x, y), которые одновременно удовлетворяют следующие неравенства:

  2y ≤ x + 8, x + 2y + 4 ≥ 0, 3x ≤ 2y + 12 .

  No related posts.