Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Смешанное произведение векторов (теория)
Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [
Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:
Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ ab],c) равно нулю.
Следствие 1. Имеет место следующее равенство:
Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:
Следовательно нам достаточно доказать, что
Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.
Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).
Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами
Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:
Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):
Тогда скалярное произведение векторов [ ab] и c можно записать так:
Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:
Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.
Теорема доказана.
Следствие 3. Для компланарности трех векторов
необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:
Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.
Смешанное произведение векторов на примерах
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где
Решение.
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
Ответ.
Смешанное произведение векторов
Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где
Начальная точка вектора a:
Конечная точка вектора a:
Вектор b:
Начальная точка вектора c:
Конечная точка вектора c:
Решение.
Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:
Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
Ответ.
Смешанное произведение векторов a, b, c
равен :matworld.ru
Вычислить векторное произведение векторов онлайн
Как известно, в результате скалярного произведения векторов получается число. Итогом векторного произведения векторов является вектор.
Итак, векторным произведением двух неколлинеарных векторов (а и b) называется третий вектор ©, имеющий следующие свойства:
1. длина его численно равняется площади параллелограмма, построенного на векторах а и b
2. вектор с перпендикулярный плоскости векторов а и b.
3. направление вектора с таково, что кратчайший поворот от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки, если посмотреть с конца вектора с.
В зависимости от направления вектора с тройка векторов а, b, с называется правой или левой. В данном случае тройка векторов а, b, с — правая.
Модуль произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
Половина модуля векторного произведения двух векторов (a и b) равняется площади треугольника, построенного на этих векторах:
Векторное произведение можно представить в координатной форме через координаты векторов а и b. Пусть а = {ах;ау;az} и b = {bх;bу;bz}, тогда произведение двух векторов можно рассчитать по формуле:
Свойства векторного произведения векторов:
Векторное произведение двух параллельных между собой не нулевых векторов равняется нулевому вектору.
Векторное произведение произвольного вектора на нулевой равняется нулевому вектору. Быстро рассчитать векторное произведение векторов вам поможет онлайн калькулятор. Вводим координаты каждого из векторов. Жмем Вычислить.
infofaq.ru
Скалярное произведение векторов онлайн
Скалярное произведение векторов это произведение модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними:
Из приведенной выше формулы следует, что скалярное произведения векторов является числом. Кроме того, скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Коммутативность:
Ассоциативность, относительно числового множителя (α):
Дистрибутивность:
Реклама
Два не нулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
В координатной форме записи скалярное произведение двух векторов выражается формулой:
Наш онлайн калькулятор позволяет найти скалярное произведение векторов с описанием подробного хода решения на русском языке бесплатно.
www.mathforyou.net
Расчет векторного произведения онлайн
| Заданные вектора и результирующий вектор |
Умножение двух векторов в пространстве
Достаточно простая задача которая встречается в школьных учебниках: Найти векторное произведение двух векторов
Например: и
Одним из способов решения является матричный метод
Таким образом наш результирующий вектор имеет значения
Все вычисления проивзодятся в правой системе координат. Если же вам надо умнодить вектора в левой системе координат, то каждый результирующее значение надо взять с обратным знаком.
В левой системе координат наш ответ будет
Расширение исходной темы
Рассмотрим более общую задачу как вычислить «результирующий вектор» когда есть матрица без одной верхней строки. Вернее, каждый элемент верхней строки является неизвестной величиной- переменной.
Когда у нас есть вот такая матрица
И необходимо разложить её в «вектор»
Практического применения я пока еще не нашел, но сама идея интересная и главное, при возникновении такой задачи для вас упрощаются все вычисления.
Update 04.01.2019. Практическое применение найдено, с помощью такого «расширенного вектора» достаточно легко решаются неоднородные линейные системы уравнений. Кому интересно просьба ознакомится: Общее решение неоднородной системы уравнений
Итоговым решением заданной матрицы будет выражение.
Естественно все это работает и в поле комплексных чисел.
То есть если у нас есть матрица
То результирующий вектор имеет вид
Ограничение опять же одно — матрица не более чем 10 на 10.
Надеюсь это поможет кому то в работе.
- Расчет детерминанта комплексной матрицы(DETERMINANT OF THE COMPLEX MATRIX) >>
abakbot.ru