28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
Вычислим интеграл , используя замену переменных . Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму: , где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь .
Если , то и , следовательно,
– якобиан преобразования (*).
Пример с полярными координатами.
29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.
Пусть имеется тело (V) с границей (S).
Пусть , тогда .
Замена:
Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:
Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:
Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).
Два последних двойных интеграла равны, так как:
Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .
Пусть ,,, тогда:
Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:
Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:
А для общего случая:
Цилиндрические координаты:
Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:
Получаем, что .
Сферические координаты:
Получаем элемент объёма сферических координат: .
30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
Рассмотрим
кусок поверхностиS,
заданной уравнением F=(x,y,z)=0.
Пусть выполняется условие ,
что означает, что в каждой точке
поверхности существует нормаль с
направляющим вектором .
Разобьем поверхность S
сеткой
гладких кривых на элементарные области (разбиение Z).
Пусть – наибольший из диаметров элементарных
областей. Если независимо от разбиения
Z
существует ,
то он и называется площадью данной
поверхности. Пусть S однозначно
проектируется на плоскость xy
и G
– это
проекция. Элементу площади dxdy
области G
на плоскости
xy
соответствует элемент площади поверхности
S,
равный , где – угол между нормалью к поверхности S
и осью Z.
Поэтому вычисление
площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по
проекции поверхности на плоскость. Если
поверхность задана уравнением
, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.
Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.
Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле .
31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
Кривая должна быть простой кривой, то есть .
Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.
Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.
На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символом или .
Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда .
Основные свойства:
Линейность:
Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):
Монотонность: если f<=g на L, то:
Изменение направления
обхода кривой интегрирования не влияет
на знак:
Оценка модуля интеграла:
Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .
Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции, непрерывны на и различным значениям параметра t из сегмента соответствуют различные точки,. Если точка совпадает с точкой , а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.
Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками . Кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от A к B. Пусть – координаты точки ,,, – длина дуги . На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты ) и составим две интегральные суммы: , . Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода . Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Из определения
криволинейного интеграла второго рода
следует, что при изменении направления
обхода кривой AB изменяется и знак
интеграла
Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность . Аддитивность: . Монотонность: если f≤g, то .
Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: =.
Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство:=.
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направление соответствует направлению движения от А к В (α − угол между векторомв точке M(x, y) и осью Oх).. Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема:.
Из лекций:
Это и есть криволинейный интеграл второго рода.
– то же самое, только по y.
Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.
или
32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Формула
Грина: Если C – замкнутая граница области
D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими
частными производными первого порядка непрерывны в замкнутой области D (включая
границу C), то справедлива формула Грина:
Из лекций (не МВД2015): Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.
Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точкиM1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство: .
.
.
.
studfiles.net
Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов — ПриМат
При вычислении кратных интегралов часто возникает необходимость перейти к более простой области интегрирования для упрощения их вычисления, возможно даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции. Из курса аналитической геометрии известны следующие соотношения между декартовыми и полярными координатами: $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi\quad(*)$.
При этом, $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi$. Рассмотрим вспомогательную плоскость $RO\Phi$, где $r$ и $\phi$ являются декартовыми координатами, и определим на ней множество точек $G$, такое, что: $G = \{(r, \phi)| r > 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}$.
Тогда формулы $(*)$ определяют непрерывно дифференцируемое отображение $F : G \to \widetilde{XOY}$, где $\widetilde{XOY} = XOY \setminus\{(0, 0)\}$.
По определению полярных координат, в декартовой системе координат $XOY$ $r$ задает радиус окружности с центром в начале координат, а $\phi$ определяет луч, исходящий из центра координат, такой что угол между лучом и положительным направлением оси $OX$ равен $\phi$. С геометрической точки зрения очевидно, что они пересекаются в единственной точке.
Таким образом, любую точку $P = (x_0, y_0)$ из $\widetilde{XOY}$ можно однозначно определить пересечением луча, направленного под углом $\phi_0$ и окружности радиусом $r_0$, и тогда точка $P’ = (r_0, \phi_0)$ будет единственным прообразом $P$ в $G$. Очевидно, что любой элемент из $G$ служит прообразом, и что двум различным точкам из $G$ будут соответствовать 2 различные точки из $\widetilde{XOY}$. Таким образом, отображение $F$ между точками плоскостей $G$ и $\widetilde{XOY}$ взаимно однозначное:
Якобиан полученного отображения будет равен:
$J_F = \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array} = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} \end{array} = r$
Теперь рассмотрим множество точек $G’$, полученное добавлением к множеству $G$ отрезка $r = 0$, т.е. $G’ = \{(r, \phi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}.$ $G’$ уже является прообразом всей плоскости $XOY$, но на отрезке $r = 0, 0 \leq \phi < 2\pi$ не достигается взаимная однозначность, а $\left|J_F\right| = 0$. Обратим внимание, что его Жорданова мера равна нулю.
Наконец, пусть дана область $\Omega \subset XOY$ и функция $f$, непрерывная на измеримом множестве $\overline{\Omega}$. Ее прообразом при отображении $F$, заданного формулами $(*)$, будет некоторая область $\Omega’ \subset G’$. Если область $\Omega$ не содержит точки O — начала координат, то выполнены все условия теоремы о замене переменной в кратных интегралах, и справедлива формула:
$$\iint\limits_{\Omega} f(x, y)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi})r\,drd\phi$$
Если же точка $O \in \Omega$, то взаимная однозначность и не обращение якобиана в нуль не выполняются на множестве $r = 0$, что не влияет на справедливость данной формулы (следует из замечания к указанной теореме).
Пример №1
Вычислить интеграл:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy, \Omega = \{(x, y)| y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2\}.$
Заметим, что в полярных координатах полукруг будет представлять из себя более простую область интегрирования:
Поэтому, воспользуемся формулой замены переменной и перейдем к полярным координатам:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’}r^2r\,drd\phi = \int\limits_0\limits^{\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^ar^3\,dr = $ $ \int\limits_0\limits^{\pi}\frac{a^4}{4}\,d\phi = \frac{\phi a^4}{4}|_0^{\pi} = \frac{\pi a^4}{4}$.
[свернуть]
Рассмотрим теперь пространство $\mathbb{R}^3$, в котором задана декартова система координат $OXYZ$. Цилиндрические координаты связанны с декартовыми следующим образом:
$x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi,\quad z = t\quad(**),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}$ (величины $r$ и $\phi$ для любой точки $A = (x, y, z)$ определяются таким же образом, как и в полярных координатах для ее проекции $P’ = (x, y, 0)$ на $XOY$). Теперь, аналогично случаю с полярными координатами, рассмотрим вспомогательное пространство $OR\Phi T$, где $r, \phi, t$ — декартовы координаты, а в нем — множество точек $G = \{(r, \phi, t)| r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$.
Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(**)$, является непрерывно дифференцируемым.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0 \,\\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0 \,\\ 0 & 0 & 1\,\end{array} = r$
Очевидно, что как и в случае с полярными координатами, отображение $F$ — взаимно однозначное, и его якобиан не равен нулю. Данные условия не выполняются только при $r = 0$, т.е. на множестве $L = \{(r, \phi, t)| r = 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$. Пересечение такого множества с любым другим ограниченным множеством есть ограниченное линейное множество, и жорданова мера этого пересечения равна нулю.
Тогда, если дана область $\Omega \subset OXYZ$, и функция $f$ непрерывна на измеримом множестве $\overline{\Omega}$, а $\Omega’ \subset G$ — прообраз данной области при отображении $F$, то выполнены все условия теоремы о замене, и справедлива следующая формула:
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = \iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}, t)r\,drd\phi dt$$
Наконец, рассмотрим сферические координаты, связанные с декартовыми следующими соотношениями: $x = r\cos{\phi} \cos{\psi},\quad y = r\sin{\phi} \cos{\psi},\quad z = r\sin{\psi}\quad (***),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi, -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$. Введем вспомогательное пространство $OR\Phi\Psi$, где $r, \phi, \psi$ — декартовы координаты, а в нем рассмотрим множество точек $G = \{(r, \phi, \psi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\}$.
Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(***)$, непрерывно дифференцируемо.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \psi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \psi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \psi} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array} = $ $ r^2\cos{\psi}$.
Взаимная однозначность данного отображения устанавливается по тем же рассуждениям, что и в предыдущих двух случаях, и не выполняется только при $r = 0, \psi = -\frac{\pi}{2}, \psi = \frac{\pi}{2}$, когда и якобиан равен нулю. Однако любое подмножество множества, задаваемого такими равенствами, будет представлять собой ограниченную часть плоскости с жордановой мерой нуль в пространстве $OXYZ$, что не помешает совершить замену.
Тогда, при соответствующих условиях, справедлива формула замены переменной ($\Omega \subset OXYZ, \Omega’ \subset G$):
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = $$ $$\iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\psi})r^2\cos{\psi}\,drd\phi d\psi$$
Пример №2
Вычислить интеграл $\iiint\limits_{\Omega} e^{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz$, где граница области $\Omega$ задается уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
Область интегрирования представляет собой шар радиуса с центром в начале координат. Следовательно, будет удобно воспользоваться переходом к цилиндрической системе координат. В ней новая область интегрирования будет определятся следующими неравенствами: $0 \leq \phi \leq 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq r \leq 1$. Воспользуемся формулой замены переменной для сферических координат:
$\iiint\limits_\Omega e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz = $ $\iiint\limits_{\Omega’} e^{r^{2^{\frac{3}{2}}}}r^2\cos{\psi} \,drd\phi d\psi = \int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}\limits^{\frac{\pi}{2}}\cos{\psi}\,d\psi = $ $\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr \cdot (\sin{\psi})|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1\frac{1}{3}e^{r^3}\,d(r^3) = $ $\frac{2}{3}\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi \cdot e^{r^3}|_0^1 = \frac{2}{3}(e — 1)\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi = \frac{2}{3}(e — 1) \cdot \phi|_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}(e — 1)$
[свернуть]
Лимит времени: 0
Информация
Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов
Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
Сопоставьте каждой системе координат якобиан, соответствующий переходу из декартовой системы координат в данную.
- $J_F = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi}\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi}\, \end{array}$
- $J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0\, \\ 0 & 0 & 1\,\end{array}$
- $J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array}$
Полярные координаты
Цилиндрические координаты
Сферические координаты
Задание 2 из 5
Пусть $R$ — заданная область интегрирования в декартовых координатах, а $S$ — область интегрирования, получаемая при переходе к полярным координатам. В каких формулах замена переменных при переходе к полярным координатам была выполнена правильно?
Задание 3 из 5
Расположите данные интегралы в порядке возрастания их значений (для вычисления каждого из них воспользуйтесь переходом к цилиндрическим, сферическим или полярным координатам).
$\iint\limits_U {xy\,dydx}, U: 1 \leq x^2 + y^2 \leq 5$
$\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz} , U: 0 \leq z \leq 1, x^2 + y^2 \leq 1$
$\iiint\limits_U {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}\,dxdydz}, U: x^2 + y^2 + z^2 \leq 25$
Задание 4 из 5
Переход к каким координатам (полярным, сферическим или цилиндрическим) наиболее упростит вычисление интеграла $\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz},$ где область $U$ задается следующим образом: $x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1?$
Задание 5 из 5
Вычислите c помощью перехода к полярным координатам интеграл $\iint\limits_Uxy^2\,dxdy,$ $U = \{(x, y)| 4 \leq x^2 + y^2 \leq 16, x \geq 0, y \leq 0\}.$ Для обозначения деления используйте символ «/», для обозначения числа $\pi$ — «pi».
Таблица лучших: Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам при вычислении кратных интегралов
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
Поделиться ссылкой:
Похожее
ib.mazurok.com
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Обратная связь
ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
Как определить диапазон голоса — ваш вокал
Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
Целительная привычка
Как самому избавиться от обидчивости
Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
Тренинг уверенности в себе
Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»
Натюрморт и его изобразительные возможности
Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.
Как научиться брать на себя ответственность
Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
Световозвращающие элементы на детской одежде
Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
Как слышать голос Бога
Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и у как
и
Если эти функции имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от 0 определитель
,
а функция непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .
В качестве u и v возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами и .
Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.
Якобиан преобразования определяется как
Формула замены переменных принимает вид:
,
Где – область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область имеет вид, изображенный на рисунке
(ограничена лучами и , где , и кривыми и , где , т.е. область правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы можно записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном .
Тройной интеграл.
Основные понятия.
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл.
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.
Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области V.
Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т.у. диаметр области стремится к нулю, т.е. ), то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают
или
Таким образом, по определению, имеем:
Здесь dv=dxdydz – элемент объема.
Теорема(существования).
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при и существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:
1. ,
2.
3. ,если V = , а пересечение и состоит из границы, их разделяющей.
4. , если в области V функция . Если в области интегрирования , то и
5. , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.
6.Оценка тройного интеграла:
,
где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области V.
7. Теорема о среднем значении: если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела,
megapredmet.ru