Функция f x g x – —

Композиция функций

Сопряжение движений
Функция наоборот;
Композиция позиций
Словоблудный рифмоплет.

Состояние души утром 1 января

«Композиция» — (от лат. compositio — составление — связывание) объединение, составление, сопоставление, расположение, сложение, соединение частей в единое целое в определенном порядке.

Толковый словарь здравого смысла

В математике композиция функций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

 


Пусть даны числовые функции f(x) и g(x), такие, что E(f) ⊂ UD(g). Их композицией называется новая числовая функция F , заданная на D(f), которая каждому x ∈ D(f) ставит в соответствие число g[f(x)]. Функцию F обозначают также: g ○ f :

(g ○ f) (x) = g(f(x))

Если функции f(x) и  g(x) заданы своими выражениями, то для получения выражения композиции этих функций надо подставить в выражение  функции

g(x) вместо x выражение функции f(x).

Определение композиции функций из школьного учебника

      Давай те же разберемся, что такое композиция функций в переводе на нормальный, человеческий язык. Исходя из первого определения, мы видим, что композицией функций можно назвать их объединение, сопоставление, соединение частей двух функций в единое целое в определенном порядке. Как же происходит это соединение? Обратимся к определению из учебника: … для получения выражения композиции  функций надо подставить в выражение  функции g(x) вместо x выражение функции f(x).

Для понимания смысла этой фразы рассмотрим пример:

Пусть даны две функции f(x)=x²+1 и g(x)= 1/x,

для 

нахождения их композиции заменим в выражении 1/x переменную x на x²+1. В результате мы получаем, что

(g ○ f)(x)= 1/(x²+1)

Следует заметить, что композиции g ○ f  и  f ○ g — это совершенно разные вещи, и при решении ЕГЭ не стоит их путать.

Таким образом на примере мы убедились, что в определении композиции функций нет ничего сложного, и теперь вы с легкостью можете совершать любые операции над функциями.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

Сложная функция (композиция функций)

Термин сложная функция в действительности в математическом языке является «чисто рабочим»: так называют функцию, если она задана в виде у=f(g(x)) с внешней функцией f и внутренней функцией g. Из самого задания этой функции ясно, что для вычисления значения у сложной функции к значению аргумента х сначала применяется функция g, а затем к полученному значению g(x) применяется функция f — тогда и получается значение f(g(x)).

Владение этим термином, умение видеть сложную функцию для начал математического анализа исключительно — чтобы найти производную, функцию часто следует представить в виде сложной функции, причем функция может быть еще более «сложной», когда ее «история» более длинная, т.е., например, если функция задается формулой у=f(g(h(р(х))).

Для того чтобы подчеркнуть, что термин «сложная функция» относится не к самой функции, а к способу ее задания, приведем пример: функции $y=\sqrt[3]{x^3}$ и $y=x$ — это, очевидно, одна и та же функция, однако первую из них можно назвать сложной, а вторую — нет. Заметим также, что сложная функция может оказаться нигде не определенной, например,$y=\sqrt{-x^2-1}$ — под знаком радикала тут всегда стоит отрицательное выражение.

При желании заняться алгеброй функций, т.е. рассматривать операции, действия, которые можно осуществлять с функциями, изучать свойства этих операций, а иногда лишь для терминологического удобства сложную функцию у=f(g(x)) называют композицией функций f и g и обозначают обычно символом $f\circ g$ или, в обратном порядке, $g\circ f$ — математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Далее мы применяем первый порядок f и g, т.е. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.

А между тем композиция двух функций зависит от их порядка: если, например, $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt {x}$, то $f(g(x))=(\sqrt{x})^2=x, (x\geq 0)$ тогда как $g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|$, а значит, это две различные функции — они имеют даже разные области определения. Иными словами, равенство $f\circ g=g\circ f$ выполняется не для всех функций, так что в алгебре функций перестановочный (в математике, в отличие от школы, называют его коммутативным) закон для композиции не имеет места.

Интересно, что сочетательный (в математике говорят ассоциативный) закон остается в силе:

$[(f\circ g)\circ h](x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))$,

$[f\circ(g\circ h)](x)=f[(g\circ h)(x)]=f(g(h(x)))$

(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:

$f\circ(g+h)=(f\circ g)+ (f\circ h)$ и $(g+h)\circ f=(g\circ f)+(h\circ f)$

и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

Интересующиеся этими вопросами легко могут узнать, какой из них именно выполняется, рассмотрев какой-нибудь простой пример, и почти со стопроцентной вероятностью вы найдете ответ с первой попытки, если, конечно, вам не повезет попасть как раз на те функции, для которых выполняются оба закона. А доказать верный закон тоже будет небесполезным — с точки зрения будущего изучения высшей алгебры в вузе: для студентов она вовсе не проще, чем математический анализ, однако с его идеями вы более или менее знакомитесь в школе, а основные идеи алгебры, связанные со свойствами операций, полностью остаются в стороне.

Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому, обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Сложная функция

Сложная функция

Пример 1. Дана функция f(x) = 3x2 – 4. Найти:

Решение: f(4) = 3•42 – 4 = 48 – 4 = 44;

f(a3 + 1) = 3(a3 + 1)2 – 4 = 3(a6 + 2a3 + 1) – 4 =

= 3a6 + 6a3 – 1;

f(t) = 3t2 – 4;

Пример 2. Найти функцию f(x), если  f(x + 1) = x2 + 2x + 2.

Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1;  f(a) = (a – 1)2 + 2(a – 1) + 2 = a2 – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a2 + 1.

Ответ: f(x) = x2 + 1.

Пример 3. F(2x – 1) = 4x – 7; F(g(x)) = x3. Найти g(x).

Решение. Пусть 2x – 1 = a, тогда

т. е.  F(x) = 2x – 5. Значит,

F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x3.

Ответ:

Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что

f(g(x)) = x, g(x) = x2 + 1, x Ј 0.

Решение. По условию f(x2 + 1) = x, x Ј 0.

Пусть x2 + 1 = t, тогда

Ответ:

Пример 4. Найти F(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

F(sin x) + F(cos x) = 3(sin2 x + cos2 x).

В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:

x = arccos (sin m).

Уравнение примет вид

F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin2 m + sin2 m),

2F(sin m) = 3•2sin2 m,

т. е.  F(sin m) = 3sin2 m; F(x) = 3x2.

Ответ: F(x) = 3x2.

Пример 5. Найти функцию f(x

), если

Решение. В дроби

  заменив x на m, получим

Пусть 

Выразим x через m, получим

Найдем значение дроби через m:

и значение дроби в правой части данного уравнения тоже при

Получим новое уравнение (при аргументе m)

или, заменив букву m на x,

Вместе с данным уравнением составим систему

Эта система, линейная относительно неизвестных

и

решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):

или

Найдем f(t), если допустим, что

Выразим x через t:

Тогда

Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.

Ответ:

Пример 6. Найти функцию f(x), если

Решение. Пусть

тогда

Получим новое уравнение с переменной

t

Заменив t на x, запишем

Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые

Исключим из системы неизвестное

Ответ:

Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

Тогда

и первое уравнение примет вид

Заменим t на x. Получим систему

Вычитая уравнения почленно, находим

а затем и

Пусть 2x + 1 = a, тогда

Следовательно,

Ответ:

Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

откуда

и второе уравнение перепишется в виде

Система примет вид

Исключим функцию F(•):

Значит,

Пусть

тогда

F(a) = 2a + 3.

Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите функцию F(x) из уравнений:

2. Найдите g(x), если

1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.

3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:

Ответы

М Селиванова,
г. Реутов

mat.1sep.ru

Производная функции y=f(x)^g(x) чему равна?

производная первой функции умноженная на вторую функцию + производная второй функции умноженная на первую функцию (ф штрих * ж + ж штрих * ф) —— (сорри, но уровень на «ответах» не позволяет писать латиницей)

f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) вроде так

ребята, там в степени функция и производную не так находят… там что то вроде того что сначала находят производную от степени и умножают на производную степени

Указанная функция равносильна вот такой y = e^(g(x)ln(f(x)) а это уже сложная степенная. По формуле. Вопросы в агент.

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *