Онлайн калькулятор решение производных онлайн: Таблица производных

Правила вычисления производных. Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса — sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin x)′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение

.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x .

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .

Ответ

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.

2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Онлайн-калькулятор производных | Калькулятор дифференциации

Калькулятор производных онлайн

Производные — одна из причин, по которой учащиеся не любят исчисление. Производные не сложны, но сложны. Требуется МНОГО времени и усилий, чтобы понять хитрости и применить правильные принципы для решения производных.

Вы, вероятно, уже знаете это, учитывая, что вы ищете онлайн-калькулятор деривативов.

Вы не единственный, кто борется с деривативами. Множество студентов ежедневно пользуются нашим онлайн-калькулятором производных. Почему бы вам тоже не попробовать наш калькулятор производных и не увидеть результаты своими глазами?

Лучшие университеты, студенты которых предпочитают нас для калькулятора производных

Получите мгновенных экспертов

Наш калькулятор производных поможет вам избавиться от стресса

Мы разработали лучший калькулятор производных, чтобы облегчить вам вычисление производных функций. Если вы не можете решить вопросы в математическом задании или вам нужно попрактиковаться, наш калькулятор производных в вашем распоряжении. Наш калькулятор производных поддерживает все типы производных, такие как:

• Первая производная
• Вторая производная
• Третьи производные
• Производная в точке
• Частная производная
• Неявная производная
• Вторая неявная производная
• Производная с использованием определения

Возможно, вам придется вычислять первую, вторую или третью производную или дифференцировать функции в задании. Без проблем; наш калькулятор дифференциации поможет вам.

Выберите тип производной, которую вы хотите решить, и следуйте инструкциям нашего калькулятора дифференцирования. Калькулятор дифференциации применяет адекватные принципы и теории для получения точных результатов. Независимо от того, насколько сложна тема, наш калькулятор производных всегда к вашим услугам.

Заказать сейчас

Как работает калькулятор дифференциации?

Калькулятор дифференциации основан на передовых технологиях, благодаря чему вы получаете только точные результаты. Хотите знать, как работает наш калькулятор дифференцирования? Вот подробный обзор того, как работает наш калькулятор производных:

Вот как работает наш онлайн-калькулятор производных (простая версия)

• Калькулятор дифференцирования использует таблицу тождеств, которая больше, чем те, которые вы найдете в стандартном исчислении. учебник.
• Идентифицирует тип производной.
• Затем решатель производных применяет соответствующие правила, такие как правило произведения, правило цепочки и т. д., в зависимости от типа производных.

Вы получите результаты после того, как калькулятор дифференцирования выполнит все шаги, упомянутые выше.

Так работает наш онлайн-калькулятор производных (Техническая версия)

• Парсер преобразует математическую функцию в понятную компьютеру форму.
• После запуска производного инструмента он отправляет на сервер математические функции и настройки. Калькулятор производной снова анализирует функцию.
• На этот раз инструмент конвертирует его в понятную форму для системы компьютерной алгебры Maxima.
• Теперь Maxima применяет соответствующие принципы и правила для точного расчета производных.
• Результаты конвертируются в LaTex и представляются пользователю.

У вас остались вопросы о нашем калькуляторе дифференцирования? Наша команда по работе с клиентами работает круглосуточно и без выходных. Свяжитесь с нами сегодня.

Как пользоваться калькулятором дифференциации?

Использование нашего калькулятора дифференциалов проще и быстрее, чем их решение вручную. Вот три простых шага для использования нашего дифференциального калькулятора.

• Введите функцию в соответствующее поле калькулятора дифференциации.
• Следуйте инструкциям на инструменте.
• Нажмите «Рассчитать».

Калькулятор дифференциации моментально выдает точные результаты. Наш дифференциальный калькулятор совместим со всеми типами функций. Посетите наш веб-сайт, даже если вы ищете калькулятор частных производных.

Как пользоваться пошаговым онлайн-калькулятором производных?

Наш онлайн-калькулятор производных показывает шаги, необходимые для решения вопросов. С помощью этих шагов вы можете научиться решать проблемы самостоятельно. Вы даже можете включить шаги в свое задание и получить более высокие оценки по математике. Доверьтесь нашему онлайн-калькулятору производных для более высоких оценок.

Вот краткий обзор шагов, которые показывает онлайн-калькулятор производных:

Допустим, вы использовали онлайн-калькулятор производных для решения dxd​(xsin(x)) .

Таким образом, шаги будут такими:

• Применяя правило произведения, мы получаем:

(dxd​(xsin(x))=(dxd​(x)sin(x)+xdxd​(sin(x)))

Производная синуса = dxd​(sin(x))=cos (x)

Итак,

x(dxd​(sin(x)))+sin(x)dxd​(x)=x(cos(x))+sin(x)dxd​(x)

• Применяя силовое правило получаем:

xcos(x)+sin(x)(dxd​(x)) = xcos(x)+sin(x)(1)

d/dx​(xsin(x)) = xcos(x)+sin (Икс).

Ищите дальше, чем MyAssignmenthelp.com, если вы ищете надежный калькулятор дифференцирования с шагами. Попробуйте лучший онлайн-калькулятор производных с мгновенным решением прямо здесь.

Заказать сейчас

Зачем студентам нужен калькулятор производных с решением?

У разных учащихся разные причины решать вопросы с помощью калькулятора производных. Независимо от того, какова ваша причина, наш производный решатель прикроет вашу спину. Вот обычные причины, по которым студенты доверяют нашему производному решателю.

• Отсутствие интереса

Попробуйте наш решатель производных, если математические вычисления вас не интересуют. Сосредоточьтесь на том, что вам нравится, в то время как наш производный калькулятор решит проблемы для вас автоматически.

• Сложные вопросы

Дифференциальный онлайн-калькулятор отлично разбирается в решении любого типа вопросов, какими бы сложными они ни были.

• Нехватка времени

Нехватка времени свойственна всем учащимся, будь то школа или колледж. Воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором дифференциала, если у вас нет времени на решение задач.

Используйте лучший калькулятор частных производных на MyAsignmenthelp.com и получайте точные результаты в кратчайшие сроки. Делитесь вопросами и получайте ответы почти мгновенно.

Почему стоит выбрать калькулятор частных производных от MyAssignmenthelp.Com?

Если вы ищете эффективный онлайн-калькулятор для задач дифференцирования, вы обратились по адресу. Наш решатель производных онлайн фиксирует уровень удовлетворенности клиентов почти 99,8% благодаря своим удивительным функциям. Итак, давайте посмотрим, почему студенты выбирают наш решатель производных:

• Это бесплатно
• Инструмент дает точные результаты.
• Вы получаете результаты мгновенно вместе с шагами.
• Для загрузки результатов с шагами не требуется регистрация.

Чего ты ждешь? Попробуйте наш калькулятор дифференциации, не задумываясь.

 Самые популярные часто задаваемые вопросы, которые искали студенты:

Q1. Что такое производная?

Ответ. Производные все о наклонах. Это наклон линии, касательной к кривой в определенной точке. Скорее всего, вы найдете производную функции y = f(x). Вы также можете вычислять производные других функций, таких как косинус, синус, логарифмы и многое другое.

Q2. Как рассчитать производные?

Ответ. Допустим, вам нужно найти производную функции y = f(x). Итак, вам нужно использовать формулу наклона:

(Изменение Y)/(Изменение X) = Δy/ Δx

Δy/ Δx  = { f(x+Δx) − f(x) }/ Δx

Упрощая формулу, мы уменьшаем Δx до нуля.

Q3. Как найти калькулятор производной?

Ответ. Онлайн-калькулятор деривативов находится всего в нескольких щелчках мыши на MyAssignmenthelp.com. У нас самый продвинутый калькулятор, построенный на основе искусственного интеллекта, машинного обучения и обработки естественного языка. Эти технологии гарантируют, что инструмент будет давать точные результаты.

Q4. Какие существуют методы нахождения производных?

Ответ. Существуют различные методы нахождения производных:

• Правило произведения
• Правило частных
• Цепная линейка

Требуется время, чтобы освоить эти приемы. Таким образом, если у вас мало времени, наш онлайн-калькулятор доступен бесплатно.

Q5. Где я могу найти производный калькулятор?

Ответ. Лучший калькулятор производных находится прямо здесь, на MyAssignmenthelp.com. Он генерирует точные результаты почти мгновенно и без каких-либо сборов. Инструмент поддерживает все типы деривативов. Каким бы сложным ни был ваш вопрос, наш калькулятор решит его за вас.

Jacobian Calculator — Google Suce

ALLBILDERVIDEOSSHOPPINGMAPSNEWSBücher

SUCOOPTION

Jacobian Calculator — EMATHELP

WWW.EMATHELP.NET ›ALLATURATORATORATORATOR ILSULATOR. набор функций и определитель Якоби (если возможно) с показанными шагами.

Wolfram|Alpha Widgets: «Калькулятор Якобиана с двумя переменными»

www.wolframalpha.com › widgets › view

10.11.2012 · Получите бесплатный виджет «Калькулятор Якобиана с двумя переменными» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Галерея виджетов набор функций как с двумя, так и с тремя переменными быстро.

Как рассчитать якобиан? · Критические точки

Калькулятор Якобиана — AllMath

www.allmath.com › jacobian-matrix-calculator

Калькулятор Якобиана используется для нахождения матрицы Якобиана и определителя после взятия производной заданной функции. Калькулятор матрицы Якоби …

Калькулятор Якобиана — Калькулятор первообразных

www.antiderrivativecalculator.net › jacobian-calculator

Калькулятор первообразных (интегральных) вычислений представляет собой инструмент для расчетов. Он выполняет пошаговое интегрирование — процесс нахождения интегралов. Информация. Политика конфиденциальности …

Ähnliche Fragen

Что такое калькулятор матрицы Якоби?

Как работает якобиан?

Калькулятор Якобиана — Калькулятор пределов

www.limitcalculator.online › jacobian-matrix-calcul…

Калькулятор Якобиана находит матрицу Якобиана, взяв две и три переменные. Этот калькулятор матрицы Якоби также предоставляет определитель якобиана . ..

Онлайн калькулятор якобиана — comnuan.com

comnuan.com › cmnn04 › cmnn04003

Онлайн-калькулятор для нахождения якобиана системы действительных функций с использованием автоматического дифференцирования.

Калькулятор Якобиана с тремя переменными — Бесплатная справка по домашнему заданию онлайн

www.geekandnerd.org › three-variable-jacobian-cal…

Калькулятор Якобиана с тремя переменными вычисляет матрицу Якобиана для четырех входных переменных и одной выходной переменная. Матрица Якоби — это матрица …

Матрица Якоби — MathWorks

www.mathworks.com › … › Математика › Исчисление

Якобиан скалярной функции представляет собой транспонирование ее градиента. Вычислить якобиан 2*x + 3*y + 4*z относительно [x,y,z] …

aminialireza/jacobian-calculator — GitHub

github.com › alirezaamn › jacobian-calculator

Калькулятор Якобиана. Матрица Якоби вектор-функции многих переменных — это матрица всех ее частных производных первого порядка.