Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Крамера, пример № 1
СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
Условие
|
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера
Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!
Систему уравнений можно представить в матричной форме: Ax = B, где А — основная матрица
(квадратная матрица), В — матрица свободных членов.
Теперь необходимо найти 4 определителя: определитель основной матрицы (определитель системы) и 3 определителя дополнительных матриц. Перед нахождением определителей советуем ознакомиться с теорией определителей матриц, а для нахождения определителей советуем использовать нашу программу — нахождение определителя матрицы.
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.
Найдем определитель основной матрицы:
| Δ = | = | — 2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 — 2 · 3 · 1 + 2 · 1 · 4 + 2 · 1 · 2 — 5 · 1 · 3 = -11 |
Определитель основной матрицы не равен нуля, значит система невырожденная.
Найдем определители 3 дополнительных матриц:
Дополнительная матрица получается из основной путем замены элементов одного из трех
столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов.
| Δ 1 = | = | — 1 · 1 · 5 — 1 · 2 · 3 — 2 · 1 · 1 — 2 · 1 · 3 + 2 · 1 · 1 — 5 · 1 · 1 = -22 |
| Δ 2 = | = | 2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 — 2 · 3 · 3 — 2 · 1 · 4 + 2 · 3 · 2 — 5 · 1 · 3 = -11 |
| Δ 3 = | = | 2 · 1 · 3 + 1 · 1 · 4 — 1 · 3 · 1 + 1 · 1 · 4 + 1 · 1 · 2 + 3 · 1 · 3 = 22 |
Найдем решения системы алгебраических уравнений
х1 = Δ1/Δ = 2
х2 = Δ2/Δ = 1
х3 = Δ3/Δ = -2
Вы поняли, как решать? Нет?
Другие примеры
Решение методом Крамера системы линейных уравнений 3-4-го порядка
Решать системы линейных алгебраических уравнений второго, третьего, изредка четвертого порядка методом Крамера достаточно часто придется студентам младших курсов учебы при изучении основ линейной алгебры.
Для большинства студентов стационарной формы учебы такие задания не являются сложными, однако кто выбрал заочную учебу или дистанционную, или пропустил по определенным причинам практические занятия, вычисления выглядят непонятными и тяжелыми. Чтобы исправить такую ситуацию в данной статье будут приведены наиболее распространены примеры данной темы и схема их решения. Если Вы хорошо поймете принцип их решения, то на практике у Вас не будет трудностей с подобными заданиями.
Для начала выберем задание из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика».
————————————
Примеры
Решить систему линейных алгебраических уравнений.
1) (1. 153)
2) (4. 165)
3) (4. 174)
Решение.
1) В случае двух уравнений решение можно получить более простым способом. Выражаемый из второго уравнения
и подставим в первое
Раскрыв скобки, сгруппируем подобные слагаемые
Отсюда получим решение
Переменнуюнайдем подстановкой в любое из уравнений
Таким образом решением системы двух уравнений будут следующие значения
Поскольку цель статьи научить студентов решать по методике Крамера то решим данный пример и етим методом.
Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде
Найдем детерминант основной части
Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для и на место второй для . В результате получим
Подставим найденные значения в формулы Крамера
и найдем неизвестные
Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.
2) Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде
Найдем детерминант системы по правилу треугольников
Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим
Вычисляем неизвестные за формулами Крамера
Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.
3) Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде
Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой
и найдем соответствующие детермиінанты третьего порядка
Подставим найденные значения в определитель
По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом). Я не буду приводить детальных излаганий, однако Вы можете проверить, что детерминанты примут значение
Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь
На этом пример решено.
Системы четырех линейных уравнений наиболее трудоемкие в вычислениях, для вычисления их решения нужно решать 5*4 определители третьего порядка, в то время как системы трех уравнений лиш 4.
Будьте внимательные при вычислениях ведь самая малая ошибка может иметь следствием неверный результат.
———————————————-
Посмотреть материалы:
- Матричный метод решения системы линейных уравнений
- Метод Гаусса
- Метод Крамера
- Решение СЛАУ 3-4 порядка матричным методом
- Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка
калькулятор правил Cramer — (2×2, 3×3 и 4×4) Матрицы
Формула правила краса
x = D x /D
Y = D Y /D
Z = D y /D
Z = D Z /D
Z = D y /D
Z = D y /D
Z = D y /D
/D
Where,
D x, D y, and D z are determinant of matrix x, y, and z соответственно и
D — определитель главной матрицы.
Калькулятор правила Крамера эффективно решает одновременные линейные уравнения и мгновенно находит значения переменных в уравнении. Он также применяет правило Крамера для матриц 2×2 , 3×3, и 4×4 .
Если вы знаете, как использовать правило Крамера в системе 2×2 и ищете реализацию правила Крамера в системах 3×3 или 4×4, продолжайте читать следующие разделы.
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера — это метод оценки значения заданных неизвестных переменных в линейных уравнениях. Оно было предложено Габриэлем Крамером в 1750 году. Используя это правило, можно с легкостью решать одновременные линейные уравнения.
Как решать линейные уравнения по правилу Крамера?
Чтобы решить одновременные линейные уравнения с использованием правила Крамера, выполните следующие действия.
Пример:
Решите приведенные ниже уравнения для х, у, и z.
2x+3y+5z = 10
5x+3y+2Z = 12
x+5y+0z =
. Шаг 1: Используя коэффициенты, переменные и константы, составьте матрицу, как показано ниже.
Шаг 2: Найдите определитель главной матрицы. Предположим, что основная матрица равна D.
= 2[(3×0)-(2×5)] — 3[(5×0)-(2×1)] + 5[( 5×5)-(3×1)]
= 2(0-10) — 3(0-2) + 5(25-3)
= -20 + 6 + 110
|Д| = 96
Шаг 3: Построить матрицы x, y, и z , заменив 9000 0 0 0 5 9002 и z столбцов основной матрицы D постоянной матрицы соответственно.
Шаг 4: Возьмите определитель всех трех новых матриц x, y, и z .
D x = 10[(3×0)-(2×5)] — 3[(12×0)-(2×8)] + 5[(12×5) -(3×8)]
D x = -100 + 48 + 180
D x = 128
D y = 2 [12 × 0)- (2 × 8]- 100005 = 2 (2×1)] + 5[(5×8)-(12×1)]
D y = -32 + 20 + 140
7 D6
D z = 2[(3×8)-(12×5)] — 3[(5×8)-(12×1)] + 10[(5× 5)-(3×1)]
D Z = -72 — 84 + 220
D Z = 64
Шаг 4: Примените правила Крамера и поместите значения.
x = D x /D = 128/96
x = 1.33
y = D y /D = 128/96
y = 1,33
z = D z /D = 64/96
z = 0,67
Таким образом, мы получили x = 1,33, Y = 1,33, и Z = 0,67 после применения правила CRAMER на данный 3X3931931 800008. уравнение.
Ссылки:- Stapel, Правило Э. Крамера. Purplemath.com
Калькулятор правила Крамера — Бесплатный онлайн калькулятор правила Крамера
Калькулятор правила Крамера вычисляет значения переменных для заданных линейных уравнений. Линейное уравнение определяется как уравнение, написанное для двух разных переменных. Это уравнение будет линейной комбинацией этих двух переменных и константы.
Что такое калькулятор правила Крамера?
Калькулятор правила Крамера – это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значение переменных для заданных линейных уравнений. Этот онлайн-калькулятор правил Крамерса поможет вам рассчитать значение переменных за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор правил Крамера, введите коэффициенты в соответствующем поле ввода.
Как пользоваться калькулятором правил Крамера?
Чтобы найти значение переменных с помощью онлайн-калькулятора по правилу Крамера, выполните следующие действия:
- Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору правил Крамера от Cuemath.
- Шаг 2: Введите коэффициенты уравнений в данное поле ввода калькулятора правила Крамера.
- Шаг 3: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти значение переменных.
- Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает калькулятор правила Крамерса?
Правило Крамера используется для решения линейных уравнений и нахождения значений переменных для заданных линейных уравнений.
Пусть A 1 x + B 1 y = C 1 и A 2 x + B 2 y = C 2 – линейные уравнения.
Формула, используемая для решения переменных для данных двух линейных уравнений с использованием правила Крамерса, имеет следующий вид:
x = ∆x/∆ и y = ∆y/∆ }{ll} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{массив}\right| ,\,\,∆x=\left|\begin{массив}{ll } C_{1} & B_{1} \\ C_{2} & B_{2} \end{массив}\right| \,\,и \,\,∆y=\left|\begin{массив}{ ll} A_{1} & C_{1} \\ A_{2} & C_{2} \end{массив}\right|\)
Есть два условия для правила Крамерса:
Условие 1: Если все определители равны нулю, то система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.
Условие 2: Если ∆=0 и ∆x и ∆y не равны нулю, то система несовместна и уравнения не имеют решений.