Онлайн калькулятор упростить логическое выражение информатика: Калькулятор логических выражений

Содержание

Калькулятор логических выражений

Программа предназначена для получения таблиц истинности логических функций с числом переменных от одной до пяти. Логической (булевой) функцией n переменных y = f(x₁, x₂, …, x_n) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

A B C D

0 1

· + ¬

⊕ ⇒ ⇔

↓ |

( )

Решить!

Другой тип калькулятора для таблицы истинности

Шпаргалка по работе с калькулятором.

Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). Заметим, что логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно.

Из определения логической функции следует, что функция n переменных – это отображение Bⁿ в B, которое можно задать непосредственно таблицей, называемой таблицей истинности данной функции.

Основные функции логики – это функции двух переменных z = f(x,y).

Число этих функций равно 2⁴ = 16. Перенумеруем и расположим их в естественном порядке.

Рассмотрим более подробно эти функции. Две из них f₀ = 0 и f₁₅ = 1 являются константами. Функции f₃, f₅, f₁₀ и f₁₂ являются по существу функциями одной переменной.

Наиболее важные функции двух переменных имеют специальные названия и обозначения.

1) f₁ – конъюнкция (функция И)
Заметим, что конъюнкция – это фактически обычное умножение (нулей и единиц). Эту функцию обозначают x&y;

2) f₇ – дизъюнкция (функция или). Обозначается V.

3) f₁₃ – импликация (следование). Обозначается ->
Это очень важная функция, особенно в логике. Ее можно рассматривать следующим образом: если х = 0 (т. е. х “ложно”), то из этого факта можно вывести и “ложь”, и “истину” (и это будет правильно), если у = 1 (т. е. у “истинно”), то истина выводится и из “лжи” и из “истины”, и это тоже правильно. Только вывод “из истины ложь” является неверным. Заметим, что любая теорема всегда фактически содержит эту логическую функцию;

4) f₆ – сложение по модулю 2. Обозначается знаком “+” или знаком “+” в кружке.

5) f₉ – эквивалентность или подобие. Эта f₉ = 1 тогда и только тогда, когда х = у. Обозначается х ~ у.

6) f₁₄ – штрих Шеффера. Иногда эту функцию называют “не и” (так как она равна отрицанию конъюнкции). Обозначается x|y.

7) f₈ – стрелка Пирса (иногда эту функцию называют штрих Лукасевича).

Три оставшиеся функции, (f₂ , f₄ и f₁₁) особого обозначения не имеют.

Заметим, что часто в логике рассматриваются функции от функций, т.е. суперпозиции перечисленных выше функций. При этом последовательность действий указывается (как обычно) скобками.

Также можно скачать программу “Логический калькулятор” для Windows.

На данный момент логический калькулятор умеет выполнять следующее:

Ввод и проверка переменных на корректность. Под корректностью подразумевается правильное написание букв и операций над ними
Вывод таблицы истинности для выражения
СКНФ и СДНФ

Калькулятор логических выражений онлайн

Можно также попробовать работу калькулятора логики онлайн (это другая версия, а не та, которую можно скачать выше по ссылке). Правда, лучше считать в нем с PC, с телефона может работать не корректно. Пример ввода:

¬¬A & ¬A V A

Таблица истинности онлайн

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения.
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2ⁿ строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Инструкция. При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:

Клавиша	Оператор
!	¬	Отрицание (НЕ)
\|	\|	Штрих Шеффера (И-НЕ)
#	↓	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
*	&	Конъюнкция (И)
+	v	Дизъюнкция (ИЛИ)
^	⊕	Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR)
@	→	Импликация (ЕСЛИ-ТО)
%	←	Обратная импликация
=	≡ (~, ↔)	Эквивалентность (РАВНО)

Логическое выражение: Вывод промежуточных таблиц для таблицы истинности
Построение СКНФ
Построение СДНФ
Построение полинома Жегалкина
Построение карты Вейча-Карно
Минимизация булевой функции методом Квайна

Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис. y).

Максимальное количество переменных равно 10.

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2ⁿ её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1.
2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
3) полученное произведение логически суммируется.
Fднф= X₁*Х₂*Х₃ ∨ Х₁x₂Х₃ ∨ Х₁Х₂x₃ ∨ Х₁Х₂Х₃
ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
3) логически перемножаются полученные суммы.
Fскнф=(X₁ V X₂ V X₃) ∧ (X₁ V X₂ V X₃) ∧ (X₁ V X₂ V X₃) ∧ (X₁ V X₂V X₃)
КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2^N строк, так как существует 2^N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А или B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.

Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR,

исключающее или, строгая дизъюнкция) Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Приоритет логических операций

Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция ( & )
Дизъюнкция ( V ), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
Импликация ( → )
Эквивалентность ( ↔ )

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x₁,x₂,…x_n).
Все логические слагаемые формулы различны.
Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.

Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x₁,x₂,…x_n).
Все элементарные дизъюнкции различны.
Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Калькулятор булевой алгебры — онлайн-упрощение булевых логических выражений

Поиск инструмента

Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Калькулятор логических выражений

Инструмент/калькулятор для упрощения или минимизации логических выражений (булева алгебра), содержащих логические выражения с И, ИЛИ, НЕ, XOR.

Результаты

Калькулятор логических выражений — dCode

Метки: Символьные вычисления, Электроника

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Упрощение логических выражений

Калькулятор логических выражений/упрощение/минификатор
Формат результата
Любой формат
Дизъюнктивная нормальная форма DNF (сумма произведений/SOP/Minterms)
Конъюнктивная нормальная форма CNF (произведение сумм/POS/Maxterms)
Только вентили НЕ-И (НЕ-И ⊼)
Только вентили ИЛИ-НЕ (НЕ-ИЛИ ⊽)

Нотация

Алгебраические (*, +, !)
Логические (∧, ∨, ¬)
Программирование (& ||, ~)
Буквенное (И, ИЛИ, НЕ)

См. также: Таблица истинности — Решатель уравнений — Двоичный код

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое логическое выражение? (Определение)

A Логическое выражение (или Логическое выражение) — это математическое выражение, использующее Булева алгебра , которая использует логические значения (0 или 1, истина или ложь) в качестве переменных и имеет логические значения в качестве результата/упрощения. Выражение может содержать такие операторы, как конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ).

Как упростить/минимизировать логическое выражение?

Для упрощения булевых уравнений можно использовать различные методы: помимо классического развития через ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность и т. д., таблицы истинности или диаграммы Венна обеспечивают хороший обзор выражений.

Пример: Исходное выражение (LaTeX) $$ \overline{a \land b \land (c \lor \bar{d})} \lor \bar{b} $$

dCode допускает несколько синтаксисов:

Алгебраическая запись

Пример: !(ab(c+!d))+!b с неявным умножением ab = a AND b и ! (восклицательный знак) для строки : логический НЕ .

Логические/компьютерные обозначения

Пример: !(a&&b&&(c||!d))||!b с двойным символом и (амперсанд) для И и двойным символом | (прямая, вертикальная черта) для логического ИЛИ .

Буквенное обозначение

Пример: НЕ (a И b И (c ИЛИ НЕ d)) ИЛИ НЕ b

Для одного и того же выражения может быть несколько минимальных представлений, dCode предоставляет решение и выводит алгебраическое обозначение.

Некоторые обозначения неоднозначны, избегайте функционального обозначения ‘XOR(a,b)’ для записи a XOR b , также избегайте суффикса штрих/апостроф перед `a’ и предпочтите !a .

Что такое методы упрощения булевой алгебры?

Булева алгебра обладает многими свойствами (булевыми законами):

1 — Элемент идентичности: $0$ нейтрален для логического ИЛИ, тогда как $1$ нейтрален для логического И

$$a + 0 = a \\a . 1 = a $$

2 — Поглощение: $1$ поглощает для логического ИЛИ, а $0$ поглощает для логического И

$$ a + 1 = 1 \\ a.0 = 0 $$

3 — Идемпотентность: многократное применение одной и той же операции не меняет значение

$$ a + a = a + a + \cdots + а = а \ а . а = а . а . \cdots . a = a $$

4 — Инволюция или двойное дополнение: противоположность противоположности $ a $ est $ a $

$$ a = \overline{\overline{a}} = !(!a) $$

5 — Дополнительность по противоречию: $ a $ AND $ \text{not}(a) $ невозможно, поэтому ложно и равно $ 0 $

$$ а . \overline{a} = 0 $$

6 — Дополнительность по исключенному третьему: $ a $ OR $ \text{not}(a) $ всегда истинно, поэтому $ 1 $

$$ a + \overline{ a} = 1 $$

7 — Закон ассоциативности: скобки между одинаковыми операторами бесполезны

$$ a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c \\ a+(b+c) = (a+b) +c = a+b+c $$

8 — Закон коммуникативности: порядок не имеет значения

$$ a.b = b. a \\ a+b = b+a $$

9 — Закон распределения: И распределено над ИЛИ, но также ИЛИ распределяется по И

$$ a.(b+c) = a.b + a.c \\ a+(b.c) = (a+b).(a+c) $$

10 — Законы Де Моргана (подробнее см. ниже)

$$ \overline{a+b} = \overline{a}.\overline{b} \\ \overline{a.b} = \overline{a}+\overline{b} $$

11 — Другие упрощения комбинации указанных выше

$$ a.(a+b) = a \\ a+(a.b) = a \\ (a.b) + (a.!b) = a \\ (a+b).(a+ !b) = a \\ a + (!a.b) = a + b \\ a.(!a + b) = a.b \\ a.b + \overline{a}.c = a.b + \overline{a}.c + b.c $$

Как показать/продемонстрировать, что 2 логических выражения равны?

Метод 1: упростите их , пока не получите то же самое написание в булевой алгебре .

Метод 2: путем вычисления их таблицы истинности , которая должна быть идентичной.

Что такое закон де Моргана?

Законы де Моргана часто используются для перезаписи логических выражений. Обычно они формулируются так: не (а и б) = (не а) или (не б) и не (а или б) = (не а) и (не б) . Вот эквивалентные логические записи:

$$ \overline{(a \land b)} \leftrightarrow (\overline{a}) \lor (\overline{b}) \iff \overline{AB} = \overline{a} + \overline{b } $$

$$ \overline{(a \lor b)} \leftrightarrow (\overline{a}) \land (\overline{b}) \iff \overline{a+b} = \overline{a} . \overline{b} $$

Что такое дизъюнктивная или конъюнктивная нормальная форма?

В логике можно использовать разные форматы для обеспечения лучшей читабельности или удобства использования.

Нормальная дизъюнктивная форма (DNF) использует сумму произведений (SOP):

Пример: (a&&c)||b

Нормальная конъюнктивная форма (CNF) или клаузальная форма использует произведение сумм (POS):

Пример: (a+b).(b). +c)

Как показать пошаговые расчеты?

Шаги расчета, какими их может себе представить человек, для решателя не существуют. Выполняемые операции являются бинарными побитовыми и не соответствуют выполняемым при разрешении с помощью карандаша и бумаги.

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Калькулятора логических выражений». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Калькулятор логических выражений», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Булевых выражений». Функции калькулятора (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, script или доступ к API для «Калькулятора логических выражений» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Калькулятор логических выражений» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Экспорт результатов в виде файла .csv или .txt можно выполнить бесплатно, щелкнув значок export . 16, https://www.dcode.fr/boolean-expressions-calculator

Сводка

Упрощение логических выражений
Что такое логическое выражение? (Определение)
Как упростить/минимизировать логическое выражение?
Что такое методы упрощения булевой алгебры?
Как показать/продемонстрировать, что 2 логических выражения равны?
Что такое закон де Моргана?
Что такое дизъюнктивная или конъюнктивная нормальная форма?
Как показать пошаговые расчеты?

Похожие страницы

Truth Table
Equation Solver
Boolean Dual
Boolean Minterms and Maxterms
Binary Code
Math Expression Simplifier
Remove Parentheses
DCODE’S TOOLS LIST

Support

Paypal
Patreon
Подробнее

Форум/Справка

Ключевые слова

bool,boole,boolean,выражение,алгебра,логика,логический,упрощение,упрощение,и,или,не,xor,амперсанд,труба,восклицательный знак,морган

Ссылки

▲

Калькулятор булевой алгебры — онлайн-упрощение логических выражений

Поиск инструмента

Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Калькулятор логических выражений

Результаты

Калькулятор логических выражений — dCode

Теги: Символьные вычисления, Электроника

dCode и многое другое

Программа dCode бесплатна, а ее инструменты оказывают ценную помощь в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !