Решатель одновременных линейных уравнений с шестью переменными
Решатель одновременных линейных уравнений с шестью переменными
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Калькулятор собственных значений 2X2 + онлайн-решатель с бесплатными шагами
Калькулятор собственных значений — это онлайн-калькулятор, который используется для определения собственных значений входной матрицы.
Эти собственные значения матрицы описывают силу системы линейных уравнений в направлении определенного собственного вектора.
Собственные значения используются вместе с соответствующими собственными векторами для анализа матричных преобразований, поскольку они, как правило, предоставляют информацию о физических свойствах матрицы для решения реальных задач.
Что такое калькулятор собственных значений матрицы 2×2?
Калькулятор собственных значений матрицы 2×2 – это инструмент, вычисляющий собственные значения для ваших задач, связанных с матрицами, и простой способ решения задач на собственные значения для матрицы 2×2 в режиме онлайн.
Он решает систему линейных уравнений в вашем браузере и дает вам пошаговое решение. Таким образом, собственные значения и их собственные векторы для этих входных матриц имеют огромное значение. Они обеспечивают сильную корреляцию между системой линейных уравнений и их достоверностью в реальном мире.
Собственные значения и собственные векторы хорошо известны
Рисунок 1: Собственные значения и собственные векторы
в области математики, физики и техники. Это потому, что эти значения и векторы помогают в описании многих сложных систем.
Чаще всего они используются для определения направлений и величин напряжений, действующих на нерегулярные и сложные геометрические формы. Такая работа относится к области машиностроения и гражданского строительства. Калькулятор предназначен для получения элементов матрицы и выдает соответствующие результаты после выполнения вычислений.
Калькулятор собственных значений имеет поля ввода для каждого элемента матрицы, и он может предоставить вам желаемые результаты одним нажатием кнопки.
Как пользоваться калькулятором собственных значений 2×2?
Калькулятор собственных значений очень прост и интуитивно понятен в использовании, имеет всего четыре поля ввода и кнопку «Отправить».
Важно отметить, что он может работать только для матриц 2 × 2, а не для любого порядка выше этого, но все же это полезный инструмент для быстрого решения ваших проблем с собственными значениями.
Рисунок 2: Собственные значения матрицы
Рекомендации по использованию этого калькулятора для получения наилучших результатов следующие:
Шаг 1:
Возьмите матричную задачу, для которой вы хотите найти собственные значения.
Шаг 2:
Введите значения вашей матричной задачи 2×2 в 4 поля ввода, доступные в интерфейсе калькулятора.
Шаг 3:
Когда ввод данных завершен, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Отправить», и решение появится в новом окне.
Шаг 4:
Наконец, чтобы просмотреть пошаговое решение проблемы, вы можете нажать соответствующую кнопку. Если вы хотите решить другую проблему, вы можете легко это сделать, введя новые значения в открытом окне.
Как работает калькулятор собственных значений матрицы 2×2?
Этот калькулятор собственных значений работает на основе сложения матриц и умножения для поиска требуемого решения.
Давайте обсудим, как работает калькулятор собственных значений.
Что такое собственное значение?
Собственное значение – это значение, представляющее несколько скалярных величин, соответствующих системе линейных уравнений. Это значение матрицы дает информацию о ее физической природе и количестве. Эта физическая величина обрабатывается в виде величины, действующей в определенном направлении, которое описывается собственными векторами для данной матрицы.
В мире математики эти значения называются множеством разных названий, например характеристическими значениями, корнями, скрытыми корнями и т. д., но во всем мире они чаще всего известны как собственных значений .
Настройте ввод в желаемой форме:
Имея огромное значение в мире физики, математики и техники, собственные значения являются одним из важных наборов величин. Теперь этот калькулятор собственных значений использует матричное сложение и умножение в своей основе для поиска требуемого решения.
Начнем с предположения, что существует матрица A, которая дана вам в порядке n x n . В случае нашего калькулятора, чтобы быть точным, эта матрица должна быть порядка 2 x 2. Теперь пусть есть набор скалярных значений, связанных с этой матрицей, описанной Lambda ($\lambda$). Связь скаляра ( $\lambda $) с входной матрицей A нам предоставляется следующим образом:
|A – $\lambda$ . я| = 0
Решите для новой формы, чтобы получить результат:
Где A представляет входную матрицу порядка 2×2, I представляет собой единичную матрицу того же порядка, а \lambda представляет собой вектор, содержащий собственные значения, связанные с матрицей A. Таким образом, $\lambda$ также известна как собственная матрица или даже характеристическая матрица.
Наконец, вертикальные полосы с каждой стороны этого уравнения показывают, что на эту матрицу действует определитель. Тогда этот определитель будет приравнен к нулю при данных обстоятельствах.
Это делается для вычисления соответствующих скрытых корней, которые мы называем собственными значениями системы.
Следовательно, матрица A будет иметь соответствующий набор собственных значений $\lambda$, когда |A – $\lambda$ . я| = 0.
Шаги для нахождения набора собственных значений:
- Предположим, что существует квадратная матрица, а именно A, с порядком 2×2, где единичная матрица выражается как \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
- Теперь, чтобы получить желаемое уравнение, мы должны ввести скалярную величину, т. е. \lambda, которую нужно умножить на единичную матрицу I.
- После завершения умножения результирующая матрица вычитается из исходной квадратной матрицы A (A – $\lambda$ . I).
- Наконец, мы вычисляем определитель полученной матрицы, |A – $\lambda$ . я|.
- Результат приравнивания к нулю |A – $\lambda$ . я| = 0 приводит к квадратному уравнению.
- Это квадратное уравнение можно решить, чтобы найти собственные значения искомой квадратной матрицы A порядка 2×2.
Связь между матрицей и характеристическим уравнением:
Следует отметить одно важное явление: для матрицы 2×2 мы получим квадратное уравнение и два собственных значения , которые являются корнями, извлеченными из этого уравнения.
Таким образом, если вы определите здесь тенденцию, станет очевидным, что по мере увеличения порядка матрицы увеличивается степень результирующего уравнения и, в конечном счете, количество корней, которые оно дает.
История собственных значений и их собственных векторов:
Собственные значения широко используются наряду с системами линейных уравнений, матриц и задач линейной алгебры в наши дни. Но изначально их история более тесно связана с дифференциальными и квадратичными формами уравнений, чем с линейным преобразованием матриц.
Благодаря исследованию, проведенному математиком 18-го века Леонардом Эйлером, он смог открыть истинную природу вращательного движения твердого тела, а именно то, что главной осью этого вращающегося тела являются собственные векторы матрицы инерции.
Это привело к огромному прорыву в области математики. В начале 19 века Огюстен-Луи Коши нашел способ численного описания квадратичных поверхностей. После обобщения он нашел характеристические корни характеристического уравнения, теперь широко известные как собственные значения, и которые существуют по сей день.
Решенные примеры:
Пример №1
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений и решим ее соответствующие собственные значения:
\[ A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-2 & -3
\end{bmatrix} \]
Рис. 3: Пример решения
Теперь данную матрицу можно представить в виде характеристического уравнения следующим образом:
\[ |A – \lambda \cdot I| =\bigg|\begin{bmatrix}
0 и 1 \\
-2 и -3 92 + 3\lambda + 2 = 0\]
Наконец, решение этого квадратного уравнения приводит к набору корней. Это соответствующие собственные значения данной нам системы линейных уравнений:
$\lambda$1 = -1, $\lambda$2 = -2
Пример № 2Рассмотрим следующую систему линейных уравнения и решить для соответствующих собственных значений:
\[ A = \begin{bmatrix}
-5 & 2 \\
-9 & 6
\end{bmatrix} \]
Наконец, решение этого квадратного уравнения приводит к набору корней.