Примеры решения задач
Задача 1.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Требуется 1) вычислить длину стороны АВ; 2) составить уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) определить величину угла В в радианах; 4) составить уравнение высоты СD и определить ее длину; 5) составить уравнение медианы AE и указать координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.
Решение:
1. Расстояниеdмежду точкамиA(x1,y1) иB(x2,y2) определяется по формуле(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
2. Уравнение прямой, проходящей через точкиA(x1,y1) иB(x2,y2)имеет вид
(2)
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:
или откуда
3.
Известно, что тангенс угла
между двумя прямыми, угловые коэффициенты
которых соответственно равныи
вычисляется
по формуле (3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
или рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
(4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D— точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
находим т.е.D(8;0).
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5.
Чтобы
найти уравнение медианы АЕ,
определим
сначала координаты точки Е,
которая
является серединой стороны ВС,
применяя
формулы деления отрезка на две равные
части:
(5)
Следовательно,
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
Находим .
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке имеет вид:
Применяя (1), находим длину стороны АЕ:
Так как медиана
(АЕ) является диаметром искомой окружности,
то ее центр Q
есть
середина отрезка АЕ.
Далее, используя
формулы деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, иИспользуя формулу (6), получим уравнение искомой окружности:
Задача 2.
Даны точка А(-1,2) и вектор =(3,5). Требуется 1) написать уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору; 2) написать уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору; 3) определить угол между полученными прямыми.
Решение:
Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором прямой.
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(), с направляющим векторомимеет вид
. (1)
Подставим координаты точки и вектора в формулу (1), получим ,
Окончательно имеем 5x-3y+11=0
Вектор, перпендикулярный прямой, называют вектором нормали прямой.
Общее уравнение прямой, проходящей через точку А(), с вектором нормалиимеет вид
(2)
Подставим координаты вектора в формулу (2), получим
.
Чтобы определить C, подставим координаты точки A вместо x и y: , С= -7. Уравнение прямой имеет вид
.
Угол между прямыми определяется аналогично п. 3 из задачи 1.
Теорема Стюарта онлайн
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Первые полторы тысяч разложений.
Угол между ними.
Калькулятор медианы — Вычислите медиану набора чисел
Используйте этот калькулятор медианы, чтобы легко вычислить медиану набора чисел.
Медианный искатель с подробными пояснениями.
Быстрая навигация:
- Что такое медиана?
- Как рассчитать медиану?
- Полезные свойства и практическое применение
Медиана представляет собой простую описательную статистику, представляющую среднее значение в упорядоченном наборе чисел, разделяющем большую и меньшую половины набора. Для непрерывного распределения вероятностей медианное значение таково, что число равновероятно будет выше или ниже его.
Нахождение медианы полезно, когда требуется значение, которое разбивает набор чисел на две половины, соответственно ниже и выше отметки 50 процентов. Как сводная описательная статистика данного набора, она имеет свойство разграничивать 50-й процентиль его распределения.
Как рассчитать медиану? Чтобы найти медиану набора чисел, во-первых, упорядочить их от низшего к высшему (то же самое работает и от высшего к низшему).
Во-вторых, определить, являются ли элементы множества нечетным или четным числом. В-третьих, если количество точек данных равно нечетный , всегда есть средняя точка, т.е. в наборе 1, 2, 3, 4, 5 это 3. В наборах из даже элементов медиана является средним арифметическим двух точек, следующих за средней точкой, например, в наборе 1, 2, 3, 4 медиана между 2 и 3, так что это (2 + 3) / 2 = 2,5. Используя наш калькулятор медиан, он, конечно же, позаботится обо всех трех шагах за вас.
Одна из причин предпочтения медианы заключается в том, что она меньше искажается экстремальными значениями (большими или малыми) и в некоторых случаях является лучшим приближением к «типичному» значению. По этой причине он в основном используется в асимметричных распределениях, где он суммирует набор данных иначе, чем среднее значение и мода. Если думать в процентилях, медиана — это 2-й квартиль, 5-й дециль и 50-й процентиль. Тем не менее, выбор того, какое среднее значение использовать, должен основываться в первую очередь на вопросе, заданном о данных, как подробно описано в разделе «Когда использовать среднее значение, медиану или моду».
Статистические агентства часто сообщают средний доход домохозяйства и основывают некоторые индексы на медиане. Например, Центр контроля заболеваний США (CDC) сообщает медианные значения роста и веса для мальчиков и девочек в возрасте от 0 до 21 года, в то время как для взрослых чаще используется среднее арифметическое.
Давайте рассмотрим пример, где медиана более информативна, чем среднее значение. Это зарплаты 3 компаний по 17 сотрудников в каждой:
Несмотря на очевидные различия, все три имеют одно и то же среднее значение: 57 705,88 долларов США, что посторонний человек без доступа к полным данным и плохого понимания статистики может интерпретировать как по сути то же самое. Однако медианы, рассчитанные с помощью нашего калькулятора медиан, показывают совсем другую картину:
Медианы показывают нам, что в компании B 50% заработной платы превышают 23 000 долларов, в то время как в компании A половина зарплат превышает 41 000 долларов, а в компании C ситуация еще лучше, поскольку половина работников получает 49 000 долларов или больше. Таким образом, если бы у вас был выбор стать сотрудником одной из этих компаний и вы знали бы, что ваша зарплата будет определяться случайным образом на основе существующих зарплат, тогда на основе медианы ваш лучший выбор с точки зрения минимизации риска для очень низкого зарплата, это компания C. Однако, если вы хотите пойти на риск убытков и получить прибыль, вы можете выбрать компанию B, так как там у вас есть шанс получить годовую зарплату в размере 450 000 долларов. У вас не было бы такого преимущества, если бы вы смотрели только на среднее арифметическое.
Конечно, приведенный выше пример является лишь иллюстрацией — во многих случаях медиана не лучше и не хуже среднего, либо они могут совпадать, поэтому выбор статистики должен быть максимально обоснованным.
Пример медианного калькулятора — MathCracker.com
Решатели Статистика
Инструкции: Чтобы использовать этот образец медианного калькулятора, предоставьте приведенные ниже образцы данных, и этот решатель предоставит вам пошаговый расчет:
Введите образец (через запятую или пробел)
Имя переменной (необязательно)
Медиана выборки — это одна из часто используемых мер центральной тенденции, которая используется для суммирования данных в одно «среднее» значение, которое обеспечивает меру местоположения распределения.
Для вычисления медианы формулы медианы не существует. Что вам нужно сделать, так это упорядочить выборочные данные в порядке возрастания, и если в выборке есть четное число \(n\) элементов, то вы берете среднее значение тех, кто находится в позициях \(\frac{n}{ 2}\) и \(\frac{n]{2}+1\), чтобы получить медиану. Если, с другой стороны, в выборке нечетное число \(n\) элементов, то вы берете медиану значение, которое находится в позиции \(\frac{n+1}{2}\).
Медиана выборки обычно используется в качестве репрезентативной меры центра распределения, когда среднее значение выборки считается неподходящим из-за того, что данные искажены или имеют выбросы. В этом случае медиана даст лучшее представление о центре распределения.
Однако, в зависимости от уровня измерения, иногда подходящей мерой центральной тенденции является
режим
.