Онлайн наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функций

12. Наибольшее и наименьшее значение функций
Исследование степенных и иррациональных функций
просмотреть (55 шт.)
Исследование частных просмотреть (11 шт.)
Исследование произведений просмотреть (29 шт.)
Исследование показательных и логарифмических
функций просмотреть (23 шт.)
Исследование тригонометрических функций
просмотреть (28 шт.)
Исследование функций без помощи производной
просмотреть (16 шт.)
функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис. 1) или
убывает (рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
Значит,
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.
Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее
значения функция f может
принимать в критических точках
функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное
число критических точек, нужно
вычислить значения функции во
всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
Вывод :
Если поведение функции
постоянно внутри отрезка, то
своего наибольшего и
наименьшего значения она
достигает в концах отрезка
Если поведение функции внутри отрезка
не постоянно, то функция может
достигать своего наибольшего и
наименьшего значения либо в концах
отрезка, либо в точках экстремума
1.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
3
-3
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(3) = 33– 27 3 = –54
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
№12
— 5 4
3
10 х
х
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3×2 – 27
3
-3
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
№12
— 5 4
3
10 х
х
Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку
экстремума.
наименьшее
значение
a
b
Если это точка минимума, то в этой
точке функция будет принимать
наименьшее значение.
наибольшее
значение
Если это точка максимума, то в этой
точке функция будет принимать
наибольшее значение.
a
b
Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3×2 – 27
3
-3
2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
0
-3
–
+
3
min
4
x
3)
y(3) = 33– 27 3 = –54
№ 12
— 5 4
3
10 х
х
Наименьшее
значение функция
будет принимать в
точке минимума.
Можно сэкономить
на вычислениях
значений функции в
концах отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в
концах отрезка будет сложным.
2. Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2
1
-1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
x = 1 [-2; 0]
x = –1 [-2; 0]
№ 12
6
3
10 х
х
3. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2×2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3×2 – 4x + 1= 3(x – 1)(x – 1 )
3
3×2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
4+2
x1=
= 1 [1; 4]
6
4-2
1
= [1; 4]
x2=
6
3
y(1) = 3
№ 12
3
3
10 х
х
x3
9x 7
4. Найдите наибольшее значение функции y
3
на отрезке [ -3; 3 ]
3
( 3)
Значения функции в
у ( 3)
9( 3) 7 9 27 7 11
концах отрезка.
3
33
у (3) 9 3 7 9 27 7 25
3
2
Найдем критические
3
х
точки, которые
у/
9 х 2 9 ( х 3)( х 3)
3
принадлежат
заданному отрезку.
x = 3 [-3; 3]
x = –3 [-3; 3]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
y(-3) = 11
y(-3) = -25
В 11
1 1
3
10 х
х
5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
3
2
y x 3x 1
у(1) 1 3 1 1 1 3 1 1
3
2 2
у (9) 9 3 9 1 (3 ) 27 1
27 27 1 1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
3
х 3 0
3
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
1
2
х 2
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
№ 12
1
3
10 х
х
2
6. Найдите наименьшее значение функции y x х 3 x 1
3
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
3
2
3
2
y x 2 31x 1
х 21 3
x 1 1 1
у(1) 1 3y
1 x1
3
2 2
у (9) 9 3 9 13 (3 ) 27 1
y х 2 3x 1
27 27 1 1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
1
Запишем функцию
3 в удобном
х 3 виде
0 2
для дифференцирования
3 2
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
х 2
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
№ 12
— 3
3
10 х
х
х 2 25
7. Найдите наименьшее значение функции y
х
на отрезке [-10; 1 ]
1
D(y): x = 0
y x 25
х
Значения функции в
1
2
концах отрезка.
х
25
у ( 10) 10 25
10 2,5 12,5
y
10
/
х
х
1
1
у (1) 1 25 26
2
1
х
y х 25
х
2
1
25
х
25
х
Найдем критические
у / 1 Запишем
25 функцию
1
в
2
2 удобном
2
точки, которые
х
хвиде
х
для
дифференцирования
принадлежат
( х 5)( х 5)
x = 5 [-10; 1]
заданному отрезку.
х2
x = –5 [-10; 1]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 0 D(y)
1
у ( 5) 5 25
5 5 10
5
№ 12
— 1 2 , 5
3
10 х
х
х 2 25
7. Найдите наименьшее значение функции y
х
на отрезке [-10; 1 ]
D(y): x = 0
Значения функции в
концах отрезка.
Можно решить задание,
применив формулу:
u u / v uv/
v2
v
/
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
№ 12
— 1 2 , 5
3
10 х
х
36
y х
х
8. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
1
Значения функции в
концах отрезка.
/
1
1
2
х
х
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
D(y): x = 0
y x 36
х
1
у (1) Запишем
1 36 функцию
37
в удобном
1
для дифференцирования
виде
1
у (9) 9 36 9 4 13
9
36 х 2 36
1
/
у 1 36 2 1 2
2
х
х
х
( х 6)( х 6)
x = 6 [ 1; 9]
х2
x = –6 [ 1; 9]
x = 0 D(y)
1
у (6) 6 36 6 6 12
6
№ 12
3 7
3
10 х
х
9. Найдите наибольшее значение функции y 8 х e
на отрезке [ 3; 10 ]
1). Первое число меньше 1, т.к.
Значения функции
знаменатель
e4 > 5.в
у (3) (8 3)e 4
концах
отрезка.
2).
Второе
число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.
3
uv u/ v uv/
x 7
5
4
e
у(10) (8 10)e 2e3
/
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
у / (8 х) / e x 7 (8 х)(e x 7 ) /
e x 7 (8 х)e x 7 e x 7 ( 1 8 х)
e
x 7
7
(7 х )
x = 7 [ 3; 10]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
1
у(7) (8 7)e7 7 1e0 1
№ 12
1
3
10 х
х
10. Найдите наименьшее значение функции y х 8 х 8 e
на отрезке [ 1; 7 ]
2
2 х
у(1) (1 8 8)e 1 e
Значения функции в
концах отрезка.
1
uv u v uv у(7) (49 56 8)e e5
Найдем критические у / ( х 2 8 х 8) / e 2 х ( х 2 8 х 8)( e 2 х ) /
/
/
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
5
/
(2 х 8)e 2 х ( х 2 8 х 8)e 2 х ( 1)
e 2 х (2 х 8 х 2 8 х 8) e 2 х ( х 2 10 х 16)
e
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
2 х
( х 10 х 16) e
2
x = 2 [ 1; 7]
x = 8 [ 1; 7]
2 х
8
( х 8)( х 2)
Наименьшее число – 4, т.к.
первые два положительные.
1
у(2) (4 16 8)e0 4
№12
— 4
2
3
10 х
х
lnx
/
1
x
11. Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
1
5
5 x 20
у 5
5
5
х 5
х 5
х 5
y = 5ln(x+5) – 5x
Запишем
функцию
5( x 4) в удобном
2. Найти
x=
-4 [-4,5; 0]
для дифференцирования
виде
х 5
критические точки,
1. Найти f /(x)
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить значения
функции в критических
точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее.
/
y\
y
–
-4,5+ +
-5
-4
max
0
x
0
у ( 4) ln 15 5 ( 4)
0 20 20
№12
2 0
3
10 х
х
Наибольшее
значение функция
будет принимать в
точке максимума.
Можно сэкономить
на вычислениях
значений функции в
концах отрезка.
12. Найдите наибольшее значение функции
1 5
y = ln(11x) – 11x + 9 на отрезке [
; ]
22 22
lnx 1x
/
1
1
1
/
у
(11х) 11
11 11 11
11х
11х
х
1 11x
1
1 5
[ 22 ; 22 ]
x=
11
х
/
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
1
22
y\
y
5
22
–
+
x
1
11
max
0
1
у ln 1 1 9 0 1 9 8
11
№ 12
8
3
10 х
х
Наибольшее
значение функция
будет принимать в
точке максимума.
Можно сэкономить на
вычислениях
значений функции в
концах отрезка.
lnx
/
1. Найти f
/(x)
13. Найдите наименьшее значение функции
5 7
y = 2х2 – 5x + lnx – 3 на отрезке [
; ]
6 6
1
x
1
4( х 1)( х )
2
1
4
х
5
х
1
4
у / 4х 5
х
х
х
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
x=1
y\
y
5
6
–
7
6
+
x
1
min
0
у 1 2 5 ln 1 3 2 8 6
№12
— 6
3
10 х
х
[
5
6
; 76 ]
Наименьшее
значение функция
будет принимать в
точке минимума.
Можно сэкономить на
вычислениях
значений функции в
концах отрезка.
cosx – sinx
/
14. Найдите наибольшее значение функции
3
; 0
y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
2
у 7 sin х 16
/
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
0
7 sin х 16 0
16
sin х
7
т.к. sin х [ 1;1]
Функция на всей области
определения возрастает.
Нетрудно догадаться,
что у / > 0.
Тогда наибольшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
3
3
3
у
7 cos
16
2 24 2
2
2
2
у 0 7 cos 0 16 0 2 7 2 5
№ 12
5
3
10 х
х
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наибольшее.
sinx cosx
15. Найдите наибольшее значение функции
/
y = 10sinx –
у 10 cos х
/
1. Найти f
/(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
10 cos х
36
36
36
5
; 0
x + 7 на отрезке
6
Критических точек нет.
Тогда наибольшее
значение функция будет
принимать в одном из
концов отрезка.
36
cos х
10
т.к. cos х [ 1;1]
Можно было и раньше
догадаться, что
наибольшее значение
будет именно в левом
конце отрезка!
Как?
1
5
5 36 5
у
10 sin
7 10 30 7 32
2
6
6 6
Синус –нечетная функция
0
Формула приведения
5
5
1
у 0 sin
10 sin
7 7 № sin
0 0
sin
sin
12 3 2
6
6
6
3
10 х
х
6
2
cosx – sinx
16. Найдите наименьшее значение функции
/
у / 5 sin x 6
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3
у
2
y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
5 sin x 6 0
6
sin х
5
т.к. sin х [ 1;1]
0
3
5 cos
2
3
6
2
у 0 5 cos 0 0 4 9
№ 12
9
3
10 х
Функция на всей области
определения убывает.
Нетрудно догадаться, что
у / < 0.
Тогда наименьшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
4 9 4
1
х
3
2 ; 0
Если вы не догадались,
то вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наименьшее.
17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1. Найти f /(x)
у / 12 sin x 6 3
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
12 sin x 6 3 0
3
sin х
2
х ( 1)
n
3
3
n
Но нам не нужны ВСЕ
у 12 cos 6 3 2 3 6
12
стационарные
точки.
3
3
3
Необходимо сделать выбор тех
значений, которые попадут в
заданный отрезок
у 12 cos 6 3 2 3 6 6 3 0 ;
2
2
2
у 0 12 cos 0 6 3 0 2 3 6 18 2 3
№ 12
1 2
3
10 х
х
2
17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1. Найти f /(x)
у / 12 sin x 6 3
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
12 sin x 6 3 0
y\
y
0
3
sin х
2
+
3
–
max
2
x
3
Убедимся, что данная точка
является точкой максимума на
заданном промежутке.
Значит, наибольшее значение
функция достигает именно в этой
точке.
Тогда значения функции в концах
отрезка можно не считать.
у 12 cos 6 3 2 3 6 12
3
3
3
№ 12
1 2
3
10 х
х
18. Найдите наименьшее значение функции
7 3
14 3
7 3
y = 11 +
–
х–
cosx на отрезке 0 ;
2
18
3
3
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
y\
y
0
–
7 3 14 3
у
sin x
6
3
3
7 3 14 3
sin x 0
3
3
Можно убедиться, что данная
1
n
точка
является
точкой
х ( 1)
минимума
n
sin x
на заданном промежутке.
6
2
/
+
6 min
2
x
Значит, наименьшее значение
функция
достигает
именно в этой
Но нам не
нужны ВСЕ
точке.
стационарные точки.
Тогда
значения
функции
в концах
Необходимо
сделать
выбор
тех
отрезка
можно
не считать.
значений,
которые
попадут в
заданный отрезок
7 3 7 3 14 3
у 11
cos 11 7 4
18
18
3
6
6
№ 12
4
0 ; 2
3
10 х
х
tgx
/
19. Найдите наименьшее значение функции
1
cos2x y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке 4 ; 4
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
1
у 4
4
2
cos x
/
4
0
4
4 0
2
cos x
cos 2 x 1
Нам не нужны ВСЕ
у 4 5 1
4
у 4 5 9 2
4
у 0 0 0 5 5
4
стационарные точки.
Необходимо сделать выбор тех
значений, которые попадут в
3. Вычислим
значения функции
заданный
отрезок
в критических точках
;
и на концах отрезка.
4 4
4. Из вычисленных значений
сделаем выбор наименьшего.
№ 12
1
3
10 х
х
tgx
/
20. Найдите наибольшее значение функции
1
2
cos x y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке 4 ; 0
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
1
у 3
3
2
cos x
/
0
3
3 0
2
cos x
cos 2 x 1
4
Нам не нужны ВСЕ
3. Вычислим значения функции в критическихстационарные
точках и на концах
точки. отрезка.
Необходимо сделать выбор тех
4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.
значений, которые попадут в
-1
заданный отрезок
3 4 ; 0 3
у 3tg 3 5 3
5 2
4
4
4 0 4 4
у 0 3tg0 0 5 5
№12
5
3
10 х
х
Нахождение точек
минимума (min)
и максимума (max)
функции
Алгоритм нахождения точек
экстремума:
1.Найти производную функции.
2.Решить уравнение f ´(х)=0, и найти тем самым
стационарные точки.
3.Методом интервалов установить промежутки
знакопостоянства производной.
4.Если при переходе через точку х0:
— производная не меняет знак, то х0 – точка перегиба;
— производная меняет знак с «+» на «-», то х0 точка
максимума;
— производная меняет знак с «-» на «+», то х0 точка
минимума.
№1 Найдите точку максимума функции
y x 48x 17
3
y 3x 48
2
1.
y ‘ ( x) 0 3x 2 48 0
2
Решение.
3( x 2 16) 0 : 3
( x 2 16) 0
( x 4)( x 4) 0 ( x 4) 0 или ( x 4) 0 x 4 или x 4
3.
4.
xmax 4
№12
—
4
3
10 х
х

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Начнем с того, что на практике наибольший интерес применение производной представляет для нахождения наибольшего и наименьшего значений заданной функции.

При этом наибольшее и наименьшее значения заданной функции, как правило, разыскивается на некотором интервале, который является или всей областью определения заданной функции или ее некоторой частью. Различают несколько видов рассматриваемых интервалов:

• отрезок $[a;b]$;
• открытый интервал: $(a;b),(a;b],[a;b)$;
• бесконечный промежуток $(-\infty ;a),(-\infty ;a],(a;+\infty ),[a;+\infty ),(-\infty ;+\infty )$.

Функция $y=f(x)$, определенная и непрерывная на некотором отрезке, достигает на данном отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Определение 1

Наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ — это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\le f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\max }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.

Определение 2

Наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ — это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\ge f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\min }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.

Другими словами:

• наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ — это самое большое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $;
• наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ — это самое маленькое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $. {2} +4=16+4=20\]
  1. Вывод:

  Наибольшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(2)=20$.

  Наименьшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(0)=y(-1)=4$.

  Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданной функции на некотором открытом или бесконечном интервале:

  • нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;
  • нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
  • нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
  • вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.
  • вычисление значений заданной функции на концах интервала;
  • выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

  Примечание 1

  Вычисление значений заданной функции на концах интервала зависит от вида рассматриваемого интервала. Если рассматриваемый интервал имеет вид:

  $[a;b)$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $(a;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$; $(a;b)$, то вычисляются односторонние пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $[a;+\infty )$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(a;+\infty )$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(-\infty ;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;b)$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;+\infty )$, то вычисляются пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$.

  {2} } $.

  Производная не существует в точке $x=2$ (критическая точка).

  1. нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;

  Производная не обращается в ноль, следовательно, стационарных точек нет.

  1. вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.

  Нет вычислений, так как точки отсутствуют.

  1. вычисление значений заданной функции на концах интервала;

  \[y(3)=\frac{4}{3-2} =\frac{4}{1} =4\] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{x-2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4/x}{1-2/x} =\frac{0}{1-0} =0\]

  1. выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

  Наибольшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(3)=4$.

  Наименьшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(+\infty )=0$.

  Пример 5

  Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=e^{x} $ на интервале $(-\infty ;+\infty )$. {+\infty } } =\frac{1}{+\infty } =0\]

  1. выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

  Наименьшее значение заданной функции на интервале $(-\infty ;+\infty )$: $y(-\infty )=0$.

  Наибольшего значения нет.

  Сообщество экспертов Автор24

  Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17.02.2022

  Выполнение любых типов работ по математике

  Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

  Подбор готовых материалов по теме

  Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

  Наибольшее и наименьшее значение функции (22 слайда)

  Слайд 1

  Наибольшее и наименьшее значение функции
  Открытый банк заданий по математике http://mathege. ru:8080/or/ege/Main.action
  

  Слайд 2

  a
  b
  a
  b
  Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
  функция возрастает
  функция убывает
  

  Слайд 3

  a
  b
  a
  b
  Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
  Примеры
  

  Слайд 4

  Этапы
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
  4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее
  Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
  1) y / = 3×2 – 27
  2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
  3) y(0) = 0
  1.
  

  Слайд 5

  Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наименьшее из полученных значений.
  1) y(0) = 0
  2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
  

  Слайд 6

  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наибольшее из полученных значений.
  1) y(0) = 4
  2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0]
  2.
  

  Слайд 7

  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наименьшее из полученных значений.
  1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
  y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
  2) y / = 3×2 – 4x + 1=
  y(1) = 3
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2×2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ]
  3.
  3×2 – 4x + 1 = 0
  D=16–4*3*1=4
  

  Слайд 8

  Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ]
  4.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наибольшее из полученных значений.
  y(-3) = 11
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  y(-3) = -25
  

  Слайд 9

  Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
  5.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наибольшее из полученных значений.
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  

  Слайд 10

  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
  6.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наименьшее из полученных значений.
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  

  Слайд 11

  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]
  7.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наименьшее из полученных значений.
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  

  Слайд 12

  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]
  7.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наименьшее из полученных значений.
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  

  Слайд 13

  Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]
  8.
  Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
  Выбрать наибольшее из полученных значений.
  Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
  Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
  

  Слайд 14

  Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
  9.
  Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0. Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.
  0
  

  Слайд 15

  Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка.
  Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?
  Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке
  10.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  0
  

  Слайд 16

  Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
  16.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  1
  0
  Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.
  

  Слайд 17

  Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
  11.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  

  Слайд 18

  Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
  12.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
  Можно рассуждать иначе
  max
  

  Слайд 19

  Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx на отрезке
  13.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
  min
  

  Слайд 20

  Найдите наименьшее значение функции y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке
  14.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  0
  

  Слайд 21

  Найдите наибольшее значение функции y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке
  15.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  0
  -1
  0
  

  Слайд 22

  При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http://le-savchen.ucoz.ru
  

  Максимум функции Калькулятор

  Поиск инструмента

  Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:
  
  Просмотр полного списка инструментов dCode
  

  Максимум функции

  Инструмент для определения максимального значения функции: максимальное значение, которое может принимать функция. Это глобальный максимум, а не локальный максимум.

  Результаты

  Максимум функции — dCode

  Теги: Функции

  Поделиться

  dCode и другие

  dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
  Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

  Калькулятор максимума

  Калькулятор минимума

  ⮞ Перейти к: Минимум функции

  Ответы на вопросы (FAQ)

  Каково определение максимума функции?

  Для любой функции $f$, определенной на интервале $I$, взяв $m$ вещественное число этого интервала, если $f(x) 92 $, определенной над $ \mathbb{R} $, функция достигает своего максимума в $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ и $ f(x)

  максимум функции всегда определяется с интервалом, может быть локальным (между 2-мя значениями) или глобальным: над областью определения функции.

  Как вычислить максимум функции?

  максимума функции обнаруживаются, когда производная становится равной нулю и меняет знак (переходит через 0 с положительной стороны на отрицательную). 9- $. Тогда глобальный экстремум функции равен $1$ при $x=0$.

  Как рассчитать локальный максимум на интервале?

  Добавьте одно или несколько ограничений, указывающих условия для каждой переменной.

  Пример: Найти максимум $ \cos{x} $ для $ -\pi

  Указать dCode несколько уравнений с оператором && (логическое И) для разделения уравнений

  Что такое экстремум?

  Экстремум — это название, данное экстремальному значению функции, значению, которое может быть максимальным ( максимум функции ) или минимум (минимум функции).

  Что такое мажоранта функции?

  Мажоранта — это любое значение, большее или равное максимальному значению, достигнутому функцией.

  Каков максимум постоянной функции?

  Постоянная функция $f(x)=c$ является прямой и всегда равна $c$, поэтому ее максимум $c$ ​​достигается при любом значении $x$

  Каков максимум аффинной функции ?

  Аффинная функция $ f (x) = ax + b $ — это прямая, которая всегда имеет максимум $ +\infty $ 92 + bx + c $ then

  — Если $ a

  — Если $ a > 0 $, максимум $ f $ равен $ +\infty $, когда $ x $ стремится к $ +\infty $ исходный код. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Максимальная функция», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Максимальная функций» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанных на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и все данные загрузка, сценарий или доступ к API для «Максимальной функции» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
  Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

  Цитировать dCode

  Копирование и вставка страницы «Максимум функции» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
  Цитировать как источник (библиографию):
  Максимум функции на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 07 октября 2022 г., https://www.dcode.fr/maximum-function

  Сводка

  • Калькулятор максимума
  • Калькулятор минимума
  • Каково определение максимума функции?
  • Как вычислить максимум функции?
  • Как рассчитать локальный максимум на интервале?
  • Что такое экстремум?
  • Что такое мажоранта функции?
  • Каков максимум постоянной функции?
  • Каков максимум аффинной функции?
  • Каков максимум полиномиальной функции 2-й степени?

  Похожие страницы

  • Минимум функции
  • Производная
  • Экстремум функции
  • Stationary Point of a Function
  • Period of a Function
  • Reciprocal Function
  • Newton Interpolating Polynomial
  • DCODE’S TOOLS LIST

  Support

  • Paypal
  • Patreon
  • More

   

  Forum/Help

  Ключевые слова

  максимум,максимум,функция,производная,калькулятор,минимум,экстремум,найти

  Ссылки

  
  

  ▲

  Локальный максимум и минимум, нахождение локального максимума и минимума

  LearnPracticeDownload

  Локальные максимум и минимум — это точки функций, которые дают максимальный и минимальный диапазон. Локальные максимумы и локальные минимумы можно вычислить, найдя производную функции. Тест первой производной и тест второй производной являются двумя важными методами нахождения локального максимума и локального минимума.

  Давайте узнаем больше о том, как найти локальный максимум и минимум, как найти локальный максимум и минимум, а также о примерах локального максимума и минимума.

  1.	Что такое локальный максимум и минимум?
  2.	Методы поиска локального максимума и минимума
  3.	Важные условия для местного максимума и минимума
  4.	Примеры локальных максимумов и минимумов
  5.	Практические вопросы
  6.	Часто задаваемые вопросы о локальном максимуме и минимуме

  Что такое локальный максимум и минимум?

  Локальные максимумы и минимумы — это входные значения, для которых функция выдает максимальное и минимальное выходные значения соответственно. Функциональное уравнение или графики недостаточно полезны для нахождения точек локальных максимумов и локальных минимумов. Производная функции очень полезна при нахождении локального максимума и локального минимума функции.

  Рассмотрим функцию f(x). Входное значение \(x_1\), для которого \(f(x_1)\) > 0, называется локальным максимумом, а \(f(x_1)\) — локальным максимальным значением, а входное значение \( x_1\), для которых \(f(x_2)\) < 0, называется локальным минимумом, а \(f(x_2)\) - локальным минимальным значением. Локальный максимум и минимум рассчитываются только для определенного интервала и не применяются ко всему диапазону функции.

  методов поиска локального максимума и минимума

  Локальный максимум и минимум можно определить, взяв производную от заданной функции. Проверка первой производной и проверка второй производной полезны для нахождения локального максимума и минимума. Давайте разберемся подробнее в каждом из этих тестов.

  Проверка первой производной

  Проверка первой производной помогает найти поворотные точки, в которых выход функции имеет максимальное или минимальное значение. Для теста первой производной. определим функцию f(x) на открытом интервале I. Пусть функция f(x) непрерывна в критической точке c интервала I. Здесь мы имеем следующие условия для отождествления локального максимума и минимума от первой производной тест.

  • Если f ′(x) меняет знак с положительного на отрицательный по мере увеличения x через c, т. е. если f ′(x) > 0 в каждой точке, достаточно близкой к c и слева от нее, и f ′(x) < 0 в каждой точке, достаточно близкой и правее от c, то c является точкой локальных максимумов.
  • Если f ′(x) меняет знак с отрицательного на положительный по мере увеличения x через c, т. е. если f ′(x) < 0 в каждой точке, достаточно близкой к c и слева от нее, и f ′(x) > 0 в каждой точке, достаточно близкой и правее от c, то c является точкой локального минимума.
  • Если f ′(x) существенно не меняется при увеличении x через c, то c не является ни точкой локальных максимумов, ни точкой локальных минимумов. Фактически такая точка называется точкой перегиба.

  Следующие шаги помогут выполнить тест первой производной и найти предельные точки.

  • Найдите первую производную заданной функции и найдите предельные точки, приравняв выражение первой производной к нулю.
  • Найдите по одной точке на соседней левой стороне и соседней правой стороне предельной точки и подставьте эти соседние точки в функции первой производной.
  • Если для соседней точки слева производная функции положительна, а для соседней точки справа отрицательна, то предельной точкой являются локальные максимумы.
  • Если производная функции отрицательна для соседней точки слева, а положительна для соседней точки справа, то предельной точкой являются локальные минимумы.

  Проверка второй производной

  Проверка второй производной — это систематический метод нахождения абсолютного максимума и абсолютного минимума значения функции с действительным знаком, заданной на замкнутом или ограниченном интервале. Здесь мы рассматриваем дважды дифференцируемую функцию f(x), определенную на отрезке I, и точку x=k, принадлежащую этому отрезку (I). Здесь у нас есть следующие условия для определения локального максимума и минимума из теста второй производной.

  • x = k, является точкой локальных максимумов, если f'(k) = 0 и f»(k) < 0. Точка при x = k является локальным максимумом, а f(k) называется локальное максимальное значение f(x).
  • x = k является точкой локальных минимумов, если f'(k) = 0 и f»(k) >0 . Точка при x = k является локальным минимумом, а f(k) называется локальным минимальным значением f(x).
  • Тест не пройден, если f'(k) = 0 и f»(k) = 0. А точка x = k называется точкой перегиба.

  Следующая последовательность шагов облегчает проверку второй производной, чтобы найти локальные максимумы и локальные минимумы функции с действительным знаком.

  • Найти первую производную f'(x) функции f(x) и приравнять первую производную к нулю f'(x) = 0, к предельным точкам \(x_1, x_2\).
  • Найдите вторую производную функции f»(x) и подставьте предельные точки во вторую производную\(f»(x_1), f»(x_2)\). .
  • Если вторая производная больше нуля\(f»(x_1) > 0\), то предельная точка \((x_1)\) является локальным минимумом.
  • Если вторая производная меньше нуля \(f»(x_2)<0\), то предельной точкой \((x_2)\) являются локальные максимумы.

  Важные условия для местного максимума и минимума

  Следующие важные термины полезны для лучшего понимания локальных максимумов и минимумов.

  • Максимум: Максимальное входное значение x, при котором функция f(x) имеет максимальный выход, называется максимумом функции. Обычно он определяется в пределах интервала и также называется локальным максимумом.
  • Абсолютный максимум: Абсолютный максимум — это точка x во всем диапазоне функции f(x), в которой она имеет максимальное значение. Абсолютный максимум также иногда называют глобальным максимумом.
  • Минимум: Минимальное входное значение x, при котором функция f(x) имеет минимальный выход, называется минимумом функции. Обычно он определяется в пределах интервала и также называется локальным минимумом.
  • Абсолютный минимум: Абсолютный минимум — это точка x во всем диапазоне функции f(x), в которой она имеет минимальное значение. Абсолютный минимум также иногда называют глобальным минимумом.
  • Точка инверсии: Значение x в области определения f(x), которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом, называется точкой инверсии. Точки в непосредственной близости слева и справа от точки инверсии имеют нулевой наклон.
  • Максимальное значение: Выход, полученный функцией f(x) при подстановке значения точки локального максимума вместо x, называется максимальным значением функции. Это максимальное значение функции во всем диапазоне функции.
  • Минимальное значение: Выход, полученный функцией f(x) при подстановке значения точки локального минимума вместо x, называется минимальным значением функции. Это минимальное значение функции во всем диапазоне функции.
  • Теорема об экстремальном значении: Для функции f, заданной на отрезке [a, b] и непрерывной на этом отрезке, существуют точки c, d на интервале [a, b], в которых эта функция f достигает максимального и минимального значения. ф(с) > ф(х) > ф(д).

  Связанные темы

  Следующие темы помогают лучше понять локальный максимум и минимум.

  • Производная формула
  • Дифференциация
  • Теорема о среднем значении
  • Теорема Ролля
  • Формула дифференциальных уравнений
  • Применение деривативов

   

  Примеры локального максимума и минимума

  1. Пример 1: Найдите локальные максимумы и локальные минимумы функции f(x) = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5, используя критерий первой производной.

     Решение:

     Данная функция есть f(x) = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5

     f'(x) = 6x ^{2 6′ 9003 +} (х) = 0; 6x ² — 6x — 12 = 0, 6(x ² + x — 2) = 0, 6(x — 1)(x + 2) = 0

     Следовательно, предельные точки x = 1 и x = -2.

     Возьмем точки в непосредственной близости от x = 1. Это точки {0, 2}.

     f'(0) = 6(0 ² + 0 — 2) = 6(-2) = -12 и f'(2) = 6(2 ² + 2 — 2) = 6( 4) = +24

     Производная функции отрицательна слева от x = 1 и положительна справа. Следовательно, x = 1 — локальные минимумы.

     Теперь возьмем точки в непосредственной близости от x = -2. Очки равны {-3, -1}.

     f'(-3) = 6((-3) ² + (-3) — 2) = 6(4) = +24 и f'(-1) = 6((-1) ² + (-1) -2) = 6(-2) = -12

     Производная функции положительна слева от x = -2 и отрицательна справа. Следовательно, x = -2 — локальные максимумы.

     Следовательно, локальные максимумы равны -2, а локальные минимумы -1.

  2. Пример 2: Найти локальные максимумы и локальные минимумы функции f(x) = x ³ — 6x ² +9x + 15. с использованием теста второй производной.

     Решение:

     Данной функцией является f(x) = x ³ — 6x ² +9x + 15.

     f'(x) = 3x ^{2 + 90×70 — 12 Пусть us найти нули выражения. f'(x) = 0.}

     f'(x) = 3(x ² — 4x + 3)

     x ² — 4x + 3 = 0 или (x — 1)(x — 3) =0.

     Здесь х = 1, а х = 3

     f»(x) = 6x — 12

     f»(1) = 6(1) — 12 = 6 — 12 = -6., f» (1) < 0, а x = 1 — максимумы.

     f»(3) = 6(3) — 12 = 18 — 12 = 6, f»(3) > 0, x = 3 — минимумы.

     Следовательно, при использовании теста второй производной локальные максимумы равны 1 с максимальным значением f(1) = 19, а локальные минимумы равны 3 с минимальным значением f(3) = 15

  перейти к слайдуперейти к слайду

  Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

  Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

  Записаться на бесплатный пробный урок

  Практические вопросы по локальному максимуму и минимуму

   

  перейти к слайдуперейти к слайду

  Часто задаваемые вопросы о локальном максимуме и минимуме

  Как найти локальный минимум и максимум?

  Локальный минимум и максимум можно найти, продифференцировав функцию и найдя точки поворота, в которых наклон равен нулю. Далее эти поворотные точки можно проверить разными методами, чтобы найти локальный максимум и минимум. Тест первой производной или тест второй производной помогает найти локальный минимум и максимум.

  В чем разница между локальными максимумами и абсолютными максимумами?

  Локальный максимум — это точка внутри интервала, в которой функция имеет максимальное значение. Абсолютные максимумы также называются глобальными максимумами и представляют собой точку во всей области определения данной функции, которая дает максимальное значение функции.

  Каково использование локальных максимумов и минимумов?

  Локальный максимум и минимум можно использовать для поиска оптимального решения реальной проблемной ситуации, выраженного в виде уравнения. Входные значения, для которых эти выражения имеют максимальный или минимальный результат, могут быть вычислены из локального максимума и минимума.

  Математические листы и
  Визуальная учебная программа

  Найти минимальное и максимальное значение в массиве

  Сложность: Среда

  . A[] размера n вам нужно найти максимальный и минимальный элемент, присутствующий в массиве. Ваш алгоритм должен делать минимальное количество сравнений.

  Например:

  Ввод: A[] = {4, 2, 0, 8, 20, 9, 2}

  Вывод: Максимум: 20, Минимум: 0

  Ввод: A[] = {-8, -3, -10, -32, -1}

  Вывод: Максимум: -1, Минимум: -32

  Возможные дополнительные вопросы, которые можно задать интервьюеру: —

  1. Обязательно ли элементы массива положительны? ( Ответ: Нет, они могут быть положительными, отрицательными или нулевыми)
  2. Отсортирован ли элемент массива? (Ответ: Нет, они могут быть в любом порядке)
  3. Может ли массив содержать дубликаты? ( Ответ: Конечно, это возможно.)

  Примечание к проблеме: — Интервьюер не будет судить о вашем алгоритме для этого вопроса на основе временной сложности, поскольку все решения имеют временную сложность O(n). Узким местом в этой задаче является количество сравнений, которое требуется вашему алгоритму для определения максимального и минимального элемента. Вам нужно максимально уменьшить количество сравнений.

  Решения

  1. Линейный поиск: увеличение цикла на 1
  2. Разделяй и властвуй: метод турнира
  3. Сравнение в парах: увеличение цикла на 2

  1. Линейный поиск: увеличение цикла на 1

  Мы инициализируем как минимальный, так и максимальный элемент к первому элементу, а затем пройтись по массиву, сравнивая каждый элемент и при необходимости обновляя минимум и максимум.

  Псевдокод

   int[] getMinMax(int ​​A[], int n)
  {
      интервал макс = А [0]
      интервал мин = А [0]
      для ( я = 1 до n-1 )
      {
          если (А[i] > макс)
              макс = А [я]
          иначе, если ( A[i] < min )
              мин = А [я]
      }
      // По соглашению пусть ans[0] = максимум и ans[1] = минимум
      int ans[2] = {макс, мин}
      возврат ответа
  } 

  Анализ сложности

  На каждом этапе цикла мы делаем 2 сравнения в худшем случае. Общее количество сравнений (в худшем случае) = 2*(n-1) = 2n - 2

  Временная сложность = O(n), пространственная сложность = O(1)

  В лучшем случае всего n-1 сравнений были сделаны. ( Как? )

  Критические идеи!

  • Мы инициализировали максимум и минимум первым элементом массива - почему?
  • Какими будут входные данные в лучшем и худшем случае?
  • Как мы можем уменьшить количество сравнений, сделанных здесь?

  2. Разделяй и властвуй: метод турнира

  Еще один способ сделать это — следовать стратегии разделяй и властвуй. Как и при сортировке слиянием, мы можем разделить массив на две равные части и рекурсивно найти максимум и минимум этих частей. После этого сравните максимум и минимум этих частей, чтобы получить максимум и минимум всего массива.

  Шаги решения

  1. Напишите рекурсивную функцию, принимающую массив и его начальный и конечный индексы в качестве параметров
  2. Базовые случаи будут

  • Если размер массива равен 1, верните элемент как максимальный и минимальный
  • Если размер массива равен 2, сравнить два элемента и вернуть максимум и минимум

  3. Рекурсивная часть равна

  • Рекурсивно вычислить и сохранить максимум и минимум для левой и правой частей
  • Определить максимальное и минимальное значения путем 2 сравнений

  4. Вернуть максимальное и минимальное значения.

  Псевдокод

   int[] findMinMax(int ​​A[], int start, int end)
  {
      инт макс;
      инт мин;
      если (начало == конец)
      {
          макс = А [начало]
          мин = А [начало]
      }
      иначе если (начало + 1 == конец)
      {
          если ( А [начало] < А [конец] )
          {
              макс = А[конец]
              мин = А [начало]
          }
          еще
          {
              макс = А [начало]
              мин = А[конец]
          }
      }
      еще
      {
          int mid = начало + (конец - начало)/2
          int left[] = findMinMax(A, начало, середина)
          int right[] = findMinMax(A, середина+1, конец)
          если ( слева [0] > справа [0] )
              макс = слева [0]
          еще
              макс = справа [0]
          если ( слева [1] < справа [1] )
              мин = слева[1]
          еще
              мин = справа[1]
      }
      // По соглашению, мы принимаем ans[0] как максимум, а ans[1] как минимум
      int ans[2] = {макс, мин}
     возврат ответа
  } 

  Анализ сложности

  Для подсчета количества сравнений, поскольку это рекурсивная функция, определим рекуррентное соотношение:

   T(n) = 2 T(n/2) + 2
  Т(2) = 1
  Т(1) = 0
  Мы можем решить это рекуррентное отношение с помощью основного метода/метода рекурсивного дерева. 
  если n является степенью числа 2
  T(n) = 3n/2 - 2 

  Временная сложность = O(n) и пространственная сложность = O(logn) (для стека рекурсивных вызовов)

  Если n является степенью 2, алгоритму требуется ровно 3n/2 –2 сравнения, чтобы найти минимум и максимум. Если это не степень 2, потребуется еще несколько (незначительно).

  Критические мысли!

  • Как анализировать рекурсию с помощью теоремы мастера и метода дерева рекурсии?
  • Как получается, что пространственная сложность равна O(logn)?
  • Почему 2 базовых варианта? Что, если мы удалим базовый вариант с размером массива 2?
  • Почему при вычислении середины массива предпочтение отдается середине = начало + (конец - начало)/2, а не (начало + конец)/2?
  • Можно ли еще уменьшить количество сравнений?

  3. Сравнение в парах: Увеличьте цикл на 2

  В этом подходе мы выбираем элементы массива парами и обновляем минимальное и максимальное значения. Если размер массива нечетный, мы инициализируем первый элемент как min и max, а если он четный, мы сравниваем первые два элемента и соответственно инициализируем min и max.

  Этапы решения

  1. Создайте максимальную и минимальную переменные.
  2. Проверить размер массива

  • Если нечетно, инициализировать min и max первым элементом
  • Если четное, сравните элементы и установите min с меньшим значением, а max с большим значением. элемент большего размера с максимальным значением, при необходимости обновите максимальное значение.
  • Сравните меньший элемент с минимумом, при необходимости обновите минимум.

  5. Возврат макс. и мин.

  Псевдокод

   int[] findMinMax(int ​​A[], int n)
  {
      инт макс, мин
      в я
      если (n нечетно)
      {
          макс = А[0]
          мин = А[0]
          я = 1
      }
      еще
      {
          если (А[0] < А[1])
          {
              макс = А[1]
              мин = А[0]
          }
          еще
          {
              макс = А[0]
              мин = А[1]
          }
          я = 2
      }
      в то время как ( я < п )
      {
          если (А[я] < А[я+1])
          {
              если (А[i] < мин)
                  мин = А [я]
              если (А[i+1] > макс. )
                  макс = А[я+1]
          }
          еще
          {
              если (А[i] > макс)
                  макс = А [я]
              если (А[i+1] < мин)
                  мин = А[я+1]
          }
          я = я + 2
      }
      // По соглашению, мы принимаем ans[0] как максимум, а ans[1] как минимум
      int ans[2] = {макс, мин}
     возврат ответа
  } 

  Анализ сложности

  Временная сложность — O(n), пространственная сложность — O(1).

  Для каждой пары всего три сравнения, первое среди элементов пары, а два других с минимальным и максимальным значениями.

  Общее количество сравнений:-

  • Если n нечетное, 3 * (n-1) / 2
  • Если n четное, 1 + 3*(n-2)/2 = 3n/2-2

  Критические идеи!

  • Почему min и max инициализируются по-разному для массивов четного и нечетного размера?
  • Почему увеличение цикла на 2 помогает уменьшить общее количество сравнений?
  • Есть ли другой способ решить эту проблему? Считать.

    No related posts.