Решение высшей математики онлайн
‹— НазадТеперь, после изучения формулы Ньютона — Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.Формула замены переменного в определённом интеграле.
Теорема 3.14 Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенствоДоказательство. Пусть — некоторая первообразная для , так что
и — некоторая первообразная для , так чтоПоскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формулато естьгде , то при и имеем и , откудаУчитывая, что и , получаема это и есть доказываемая формула замены переменного.
Замечание 3.4 Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем «забыть», как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона — Лейбница.Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной должны быть указаны пределы изменения именно (то есть и ), в то время как в исходном интеграле по переменной указаны пределы изменения (то есть и )!
Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, — те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.
Теорема 3.15 Пусть функции и имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда имеет место формула Замечание 3.5 Заметим, что эту формулу можно записать в видегде выражениеназывается внеинтегральным членом. Введя обозначения и , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:Доказательство теоремы 3.15. Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона — Лейбница:
иПусть — некоторая первообразная для функции , а — некоторая первообразная для функции .
Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть
Замечание 3.6 Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона — Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.
Пример 3.
4 Вычислим интегралВыгодно взять и , так что получаем:При этом возникший по дороге внеинтегральный член мы вычислили так:
Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.
Пример 3.5 Вычислим интегралприменив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов и , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Интегрирование квадратного трехчлена. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
I.
Интегралы вида
Основной прием вычисления – приведение квадратного трехчлена к виду:
где и – постоянные.
Для выполнения преобразования удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также воспользоваться подстановкой
Если , то приводя квадратный трехчлен к виду (*), получаем табличные интегралы
или
Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 1-2.
II. Интегралы вида
Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу
если
или
если
Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 3-5.
III. Интегралы вида
С помощью обратной подстановки
эти интегралы приводятся к интегралам вида II.
Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 6-7
IV. Интегралы вида
Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов:
Эти интегралы с помощью тригонометрических подстановок соответственно и сводятся к интегралам от выражений, рациональных относительно синуса и косинуса.
Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 8-9.
Методы интегрирования других видов функций:
- Таблица интегралов и правила интегрирования
- Метод интегрирования по частям и подстановкой
- Интегрирование рациональных функций
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование тригонометрических функций
Примеры интегрирования
Пример 1
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 2
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 3
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 4
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 5
Найти неопределенный интеграл:
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 7
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 8
Найти неопределенный интеграл:
Решение
Пример 9
Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:
Решение
Проверка:
2-sin(x)+ln(2x)
| x | y | π | e | 1 | 2 | 3 9 0009 | ÷ | Триггерная функция | |||
| а 2 | а б | а б | эксп | 4 | 90 065 56 | × | удалить | ||||
| ( | ) | |а| | ln | 7 | 8 | 9 | — | ↑ | ↓ | ||
| √ | 3 √ | C | журнал a | 0 | ↵ | + | ← | → | |||
«> .Этот калькулятор для решения неопределённых интегралов взят от ООО «Вольфрам Альфа». Все права принадлежат владельцу!
Неопределенный интеграл
Нахождение неопределенного интеграла — очень распространенная задача в математике и других технических науках. На самом деле решение простейших физических задач редко обходится без нескольких вычислений простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов , приводятся многочисленные таблицы интегралов простых функций. Но со временем все благополучно забывается или у нас нет времени на расчеты или нужно найти неопределенный интеграл от очень сложной функции. Наш сервис идеально подойдет для решения этих проблем. Он позволяет точно находить неопределенные интегралы онлайн.
Решить неопределенный интеграл
Онлайн-сервис OnSolver.com позволяет быстро и бесплатно решить интеграл онлайн.
Вы можете заменить наш сервис на поиск нужного интеграла в таблицах. Здесь вы получите решение неопределенного интеграла в табличном виде, просто набрав нужную функцию. Не все математические сайты могут вычислить неопределенные интегралы от функций онлайн быстро и качественно, особенно если вы хотите найти неопределенный интеграл от сложных функций или функций, которые не входят в общий курс высшей математики. Веб-сайт OnSolver.com поможет решить интеграл онлайн и хорошо справиться с вашей работой. Онлайн-решение интеграла на сайте OnSolver.com всегда даст вам точный ответ.
С помощью нашего сервиса вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или опечатку или просто убедиться, что вы выполнили свою работу безупречно, даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно. Если вы решаете задачу и должны решить неопределенный интеграл в качестве вспомогательной операции, зачем тратить время на то, что вы, возможно, делали уже тысячу раз? Более того, ненужные вычисления интеграла могут быть причиной канцелярских или других мелких ошибок, которые впоследствии приведут к неправильному ответу.
Просто воспользуйтесь нашими услугами и без труда найдите неопределенный интеграл онлайн. Этот сервер очень полезен для практических задач нахождение интеграла функции онлайн. Вы должны ввести заданную функцию, получить неопределенное интегральное онлайн-решение и сравнить решение со своим ответом.
Калькулятор неопределенного интеграла — онлайн Калькулятор неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл — это обратный процесс дифференцирования. Вместо того, чтобы иметь набор предельных значений, можно найти только уравнение, которое будет давать интеграл из-за дифференцирования без необходимости использовать значения для получения определенного ответа.
Что такое калькулятор неопределенных интегралов?
‘ Indefinite Integral Calculator ‘ это онлайн-инструмент, который помогает вычислить значение неопределенных интегралов для заданной функции. Онлайн-калькулятор неопределенных интегралов поможет вам рассчитать значение неопределенных интегралов за несколько секунд.
Калькулятор неопределенного интеграла
Как пользоваться калькулятором неопределенного интеграла?
Чтобы найти значение неопределенного интеграла, выполните следующие действия:
- Шаг 1: Введите функцию относительно x в заданных полях ввода.
- Шаг 2: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы найти значение неопределенных интегралов для заданной функции.
- Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести различные функции.
Как найти калькулятор неопределенного интеграла?
Производные определяются как нахождение скорости изменения функции по отношению к другим переменным. Он имеет дело с такими переменными, как x и y, функциями f(x) и соответствующими изменениями переменных x и y. Производная функции представлена f ‘(x).
Интеграция определяется как процесс, обратный дифференциации. Интегрирование представлено как ‘ ∫ ‘
Неопределенные интегралы являются интегралами, не имеющими верхнего и нижнего пределов.
Он представлен как ∫f(x)dx
Существуют общие функции и правила, которым мы следуем, чтобы найти интегрирование.
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Запись на бесплатный пробный урок
Решенные примеры на калькуляторе неопределенных интеграловПример 1:
Найдите значение интегрирования 5x 3 + 2x 2 и проверьте это с помощью онлайн-калькулятора неопределенных интегралов.
Решение:
= ∫(5x 3 + 2x 2 )
= ∫(5x 3 ) + ∫(2x 2 )
Используя правило умножения на константу и степень,
= [5 × (x 3 + 1 / 3 + 1)] + [2 × x 2 + 1 / 2 + 1]
= (5x 4 / 4) + (2x 3 / 3)
Пример 2:
Найдите значение интегрирования 4x 2 — 6x и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора неопределенного интеграла.