Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
В разделе «Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами» мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение
где , , — комплексные числа, .
Выполняя те же действия, что и в разделе «Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами», приходим к уравнению
Обозначив , , получим уравнение , где . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если , и один, если . Так как тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет.
| (17.16) |
где означает одно из решений (любое!) уравнения . Отметим, что формулы (17.5) также можно записать в виде (17.16), так как при вещественном выполнено .
Пример 17.10 Решите уравнение .
Решение. Находим дискриминант:
Решим уравнение . Для этого находим . Пусть . Тогда . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на . По формуле (17.15)
По формулам половинного аргумента с учетом того, что , получим
Таким образом, .
По формулам (17.16)
Ответ: , .
Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.
Теорема 17.1 Любой многочлен ненулевой степени с коэффициентами из поля комплексных чисел имеет в этом поле хотя бы один корень.
Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.
Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени . Мы уже знаем, что если , то корень один, если , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен имеет ровно различных корней, если .
Теорема 17.2 Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:
| (17.17) |
Доказательство пропускаем. Читатель может найти его в [5].
Очевидно, что в указанном разложении числа , ,…, являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем . Число одинаковых скобок в разложении (17.17) называется кратностью соответствующего корня. Например, если
то — корень кратности 2, и — корни кратности 1 или, иначе, простые корни.
Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.
Теорема 17.3 В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени — это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.
Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения.
Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов (см. главу 9).
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
ОБУЧЕНИЕ: |
Наших пользователей: Как родитель ребенка с СДВ, я перепробовал много разных репетиторов и обучающих программ, и ни одна из них не сработала. Мой учитель порекомендовал Алгебратор, когда я отстал из-за болезни. Всего за пару дней я вернулся к классу и теперь использую программное обеспечение для проверки своих ответов. До использования Алгебратора я едва мог выполнять деление в длинное число. Теперь я как лучший ученик в классе алгебры, и без этого я бы никогда не смог получить такой результат! Большое спасибо! Математика больше не является рутиной! Спасибо большое! Продолжайте в том же духе, сотрудники Алгебратора! Спасибо! Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 2015-03-29:
|
Так что, должен признаться, я скептически отнесся к использованию твоего. Вскоре после этого, когда учитель математики моего сына позвонил мне, чтобы назначить встречу, я подумал: «Отлично, что теперь?» Но, к моему удовольствию, она захотела узнать, в чем мой секрет, потому что, по ее словам, мой сын сделал полные 180 и теперь был одним из ее лучших учеников! Так что я рассказал ей, в чем был мой секрет: ваше программное обеспечение! 
comНахождение нулей, корней, решений, пересечения по оси x
Нахождение нулей, корней, решений, пересечения по оси x Нули или корни функций и решений уравнений могут быть вещественными
или комплексные числа.
x-перехваты могут быть только действительными числами.
Графический калькулятор TI можно использовать для поиска действительных корней уравнения.
Все калькуляторы
- Если в вашем уравнении есть что-то в правой части, вычтите это из обоих сторон так, чтобы правая часть была равна 0,
- Перейти к Y=
- Введите выражение
- График попаданий
- При необходимости измените окно просмотра, чтобы вы могли видеть, где находится график. пересекает ось х. Вы должны убедиться, что слева достаточно и справа от x-перехвата, чтобы выбрать точку.
- Перейдите к конкретным шагам для вашего калькулятора. Если есть больше чем один x-intercept, вам может потребоваться изменить окно просмотра и повторить шаги для каждого x-перехвата.
ТИ-82
- Press Calc (2 и трассировка)
- Выберите корень (#2)
- Для нижней границы наведите стрелку слева от точки пересечения и нажмите клавишу ввода.
- Для Верхней границы наведите стрелку справа от точки пересечения и нажмите клавишу ввода.
- Для Угадывания наведите стрелку на точку пересечения с х и нажмите клавишу ввода.
- TI-82 вернет значение для x и 0 (или очень близкое к нему) для y.
ТИ-83
Для TI-83 вы можете ввести левые границы, правые границы и догадки из клавиатуры вместо стрелки и нажатия Enter. Когда он запрашивает значение, просто введите свой номер и нажмите ввод.
- Press Calc (2 и трассировка)
- Выберите ноль (#2)
- Для левой границы стрелка слева от точки пересечения и нажмите ввод.
- Для правой границы, стрелка справа от x-перехвата и нажмите ввод.
- Для Угадывания наведите стрелку на точку пересечения с х и нажмите клавишу ввода.
- ТИ-83 будет вернуть значение для x и 0 (или очень близкое к нему) для y.
ТИ-85 / ТИ-86
- Пресс Граф
- Нажмите «Дополнительно», а затем «Математика» (F1)
- Нажмите Нижнее (F1). Стрелка слева от x-перехвата и нажмите Enter.
- Нажмите Верх (F2). Стрелка справа от x-перехвата и нажмите Enter.
- Нажмите Корень (F3). Стрелка на x-перехват и нажмите Enter.
- TI-85 вернет значение для x и 0 (или очень близкое к нему) для y.
Стрелка слева от x-перехвата и нажмите Enter.ТИ-89 / ТИ-92
Для TI-89 и TI-92 вы можете ввести нижние или верхние границы из клавиатуры вместо стрелки и нажатия Enter. Когда это спрашивает для ценность, просто введите свой номер и нажмите ввод.
- Пресс Математика (F5)
- Выберите ноль (#2)
- Для нижней границы наведите стрелку слева от точки пересечения и нажмите клавишу ввода.
- Для Верхней границы наведите стрелку справа от точки пересечения и нажмите клавишу ввода.
- TI-89 вернет значение для x и 0 для y.
Угадывать TI-89 не нужно. Вы должны убедиться, что там
только один x-перехват в указанном интервале, иначе вы не будете знать, какой именно
оно собирается дать вам.