Глава 60. Общая схема исследования функций и построение их графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить соответственно уравнения и .
4. Найти вертикальные асимптоты.
5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
6. Найти критические точки.
7. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
8. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
9. Построить график функции.
Заметим, что исследование функции удобно проводить одновременно с заполнением таблицы, в которой отражены все характерные особенности.
Пример
Построить график функции .
Решение
1. Областью определения функции является вся числовая прямая.
2. , т. е. функция четная.
3. Из уравнения следует, что , т. е. график функции пересекается с осями координат в точке .
4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет точек разрыва функции.
5. Наклонные и горизонтальные асимптоты находим с помощью известных формул и применением правила Лопиталя:
.
Значит – горизонтальная асимптота. Других асимптот нет.
6. Найдем критические точки (точки возможного экстремума и точки возможного перегиба). Для этого приравняем к нулю первую и вторую производные: или , откуда получаем и – точки возможного экстремума. Далее , откуда . Следовательно, критические точки даются решениями биквадратного уравнения : . – точки возможного перегиба.
7. Поскольку рассматриваемая функция четна, рассмотрим ее график на положительной полуплоскости, а потом отразим его симметрично на отрицательную. Для облегчения построения графика, поместим результаты исследования вопросов монотонности, экстремума, выпуклости, точек перегиба в следующую таблицу:
«–» | 0 | «+» | “+” | 0 | “–” | ||||
“+” È | 0 | “+” Ç | 0 | “–” È | |||||
| Убыв. | Возр. | Перегиб | Возр. | Убыв. | Перегиб | Убыв. |
Поскольку область определения функции – вся числовая прямая, то минимум и максимум этой функции совпадают с ее локальными экстремумами.
Учитывая проведенное исследование функции, ее неотрицательность, а также ее четность, построим график (рис. 5.11.1).
Рис. 5.11.1
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Полное исследование функции. Построение графиков
Цель: Формирование навыков исследования функции и построения графиков
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Общая схема построения графиков функций
1. Найдите область определения функции.
2. Выясните, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
3. Найдите точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найдите асимптоты графика функции.
5. Найдите промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.
Пример
Построить график функции .
Решение:
1. Функция определена на всей числовой оси, то есть .
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим .
Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.
4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
5. Найдем производную: . Далее, имеем Точки и делят область определения функции на три промежутка: , и . В промежутках и , то есть функция возрастает, а в промежутке , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку — с минуса на плюс. Значит, , .
6. Найдем вторую производную: ; , . Точка делит область определения функция на два промежутка и . В первом из них , а во втором , то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба .
7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1).
Задания для практической работы
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте определение возрастания и убывания функции.
2. Дайте определение экстремума функции.
3. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?
4. Сформулируйте определение асимптоты. Перечислите основные виды асимптот.
5. Сформулируйте общую схему исследования функции для построения графика.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Практическая работа №14
Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
Цель: Формирование навыков нахождения неопределенных интегралов методами замены переменной и по частям
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.
Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Проинтегрировать функцию — значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.
В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где — произвольная дифференцируемая функция от .
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:
1) — где — новая переменная, а — непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:
(14.1)
Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;
2) , где — новая переменная.
В этом случае формула замены переменной имеет вид
(14.2)
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
, (14.3)
где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью формулы (14.3) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве — та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, при нахождении интегралов вида
за следует принять многочлен , а за — соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида
за принимаются соответственно функции , , , а за — выражение .
Примеры
Найти интегралы: 1) ; 2) .
Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент подынтегральной функции . Так как , то . Следовательно, подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: . Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим .
2) Предполагая , , найдем , . Следовательно,
.
Задания для практической работы
1. Найдите интегралы методом непосредственного интегрирования:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
2. Найдите интегралы способом подстановки:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
3. Найдите интегралы при помощи интегрирования по частям:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом?
3.
Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?
4. Перечислите основные формулы интегрирования.
5. Какие методы интегрирования вы знаете? В чем заключается их сущность?
Практическая работа №15
IF.2.4 — Для функции, которая моделирует взаимосвязь между двумя величинами, интерпретируйте ключевые характеристики графиков и таблиц с точки зрения величин и рисуйте графики, показывающие ключевые характеристики с учетом словесного описания взаимосвязи. Ключевые особенности включают в себя: перехваты; интервалы возрастания, убывания, положительной или отрицательной функции; относительные максимумы и минимумы; симметрии; конечное поведение; и периодичность.
Экспорт
Распечатать
Связанные точки доступа
Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.
Связанные ресурсы
Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.
Уроки STEM — Активность по моделированию
До предела:
«До предела» MEA предлагает учащимся определить несколько факторов, которые могут повлиять на рост населения. Учащиеся изучат фотографии, чтобы составить список ограничивающих факторов и обсудить их влияние на население. Вместе они разработают решение, позволяющее свести к минимуму воздействие загрязнения на популяцию рыб.
Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.
Формирующие оценки MFAS
Велогонка:
Учащихся просят оценить три словесных описания и указать, почему каждое из них соответствует или не соответствует данному графику.
Высота вдоль тропы:
Учащихся просят интерпретировать ключевые особенности графа (симметрию) в контексте проблемной ситуации.
Surf’s Up:
Учащимся выдается таблица функциональных значений и предлагается описать и интерпретировать ключевые особенности графика в контексте задачи.
Поездка на такси:
Учеников просят нарисовать график на основе словесного описания.
Подъем и спуск:
Учащихся просят интерпретировать ключевые характеристики графика (точки пересечения и интервалы, на которых график увеличивается) в контексте проблемной ситуации.
Оригинальные учебные пособия для учащихся Математика — классы 9-12
Экспоненциальные функции Часть 1:
Узнайте об экспоненциальных функциях и их отличиях от линейных функций, изучив реальные ситуации, их графики и таблицы в этом интерактивном учебном пособии.
Экспоненциальные функции. Часть 2. Рост:
Узнайте об экспоненциальном росте в контексте процентов, заработанных по мере того, как деньги помещаются на сберегательный счет, изучив уравнения, графики и таблицы в этом интерактивном учебном пособии.
Экспоненциальные функции. Часть 3. Затухание:
Узнайте об экспоненциальном затухании при расчете стоимости подержанных автомобилей, изучая уравнения, графики и таблицы в этом интерактивном руководстве.
Линейные функции: Работа:
Узнайте, как интерпретировать ключевые особенности линейных функций и переводить между представлениями линейных функций, изучая задания для подростков в этом интерактивном учебном пособии.
Ресурсы для учащихся
Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом тесте.
Оригинальные учебные пособия для студентов
Экспоненциальные функции Часть 3: Затухание:
Узнайте об экспоненциальном затухании при расчете стоимости подержанных автомобилей, изучая уравнения, графики и таблицы в этом интерактивном руководстве.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Линейные функции: задания:
Узнайте, как интерпретировать ключевые особенности линейных функций и переводить между представлениями линейных функций, изучая задания для подростков в этом интерактивном учебном пособии.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Экспоненциальные функции, часть 2: рост:
Узнайте об экспоненциальном росте в контексте процентного дохода, когда деньги помещаются на сберегательный счет, изучив уравнения, графики и таблицы в этом интерактивном руководстве.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Экспоненциальные функции, часть 1:
Узнайте о экспоненциальных функциях и их отличиях от линейных функций, изучив реальные ситуации, их графики и таблицы в этом интерактивном учебном пособии.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Видео перспективы: Эксперт
Jumping Robots and Quadratics:
Перейдите к нему и узнайте больше о том, как квадратные уравнения используются при решении задач навигации роботов!
Тип: Перспективы Видео: Эксперт
Задачи решения проблем
Как вращается колесо:
В этом задании учащиеся используют тригонометрические функции для моделирования движения точки вокруг колеса и в пространстве.
Студенты также интерпретируют особенности графиков с точки зрения данного реального контекста.
Тип: Задание на решение проблем
Нагрев и охлаждение:
Это задание предназначено для прямой оценки навыков чтения и интерпретации графиков. Эта задача помогает укрепить идею о том, что когда переменная представляет время, t = 0 выбирается как произвольный момент времени, а положительные времена интерпретируются как времена, которые происходят после этого.
Тип: Задание на решение проблем
Метание бейсбольных мячей:
Это задание можно использовать для оценки или для тренировки. Это позволяет учащимся сравнивать характеристики двух квадратичных функций, каждая из которых представлена по-разному, одна в виде графика квадратичной функции, а другая в алгебраическом виде. В частности, студентов просят определить, какая функция имеет наибольший максимум и наибольший неотрицательный корень.
Тип: Задача решения проблем
Средняя стоимость:
В этом задании учащимся предлагается найти среднее значение, написать уравнение, найти домен и построить график стоимости производства DVD.
Тип: Задание на решение задач
Рассказ с помощью графиков:
В этом задании учащимся даются графики величин, связанных с погодой. Цель задания — показать, что графики — это больше, чем набор координатных точек; они могут рассказать историю о задействованных переменных, и вместе они могут нарисовать очень полную картину ситуации, в данном случае погоды. Функции на одном графике, такие как максимальные и минимальные точки, соответствуют функциям на другом графике. Например, в дождливый день солнечное излучение очень низкое, а график накопленных осадков увеличивается с большим наклоном.
Тип: задача решения проблем
Модель логистического роста, явная версия:
Эта задача представляет модель логистического роста в конкретных условиях оценки населения США.
Модель дает удивительно точную оценку, и ее следует противопоставить линейные и экспоненциальные модели.
Тип: Задание на решение проблем
Модель логистического роста, абстрактная версия:
Это задание предназначено только для учебных целей, и учащиеся уже должны быть знакомы с некоторыми конкретными примерами функций логистического роста. Цель этого задания — дать учащимся понять, как различные константы влияют на форму графика.
Тип: Задание на решение проблем
Как погода?:
Это задание можно использовать в качестве быстрой проверки, чтобы увидеть, могут ли учащиеся понять график в контексте реальной ситуации. Студенты также должны обратить внимание на шкалу по вертикальной оси, чтобы найти правильное соответствие. Первый и третий графики на первый взгляд очень похожи, но значения функций сильно различаются, так как масштабы по вертикальным осям сильно различаются. Задание также можно использовать для проведения группового обсуждения интерпретации функций, заданных графами.
Тип: Задача-решение
Сумма четного и нечетного:
Учащиеся изучают выражения и управляют ими на основе следующего утверждения:
Функция f, определенная для -a
Тип: Задача-решение
Каноэ Поездка, вариант 2:
Основная цель этого задания — привести учащихся к численному и графическому пониманию поведения рациональной функции вблизи вертикальной асимптоты в терминах выражения, определяющего функцию.
Тип: Задание на решение проблем
Путешествие на каноэ, вариант 1:
Цель этого задания — дать учащимся возможность попрактиковаться в построении функций, представляющих интересующую величину в контексте, а затем интерпретировать особенности функции в контексте. свет контекста. Он может быть использован как в качестве оценивания, так и в качестве обучающей задачи.
Тип: задача решения проблем
Виртуальные манипуляторы
Ползунок наклона:
В этом упражнении учащиеся настраивают ползунки, которые регулируют коэффициенты и константы линейной функции, и исследуют, как их изменения влияют на график.
Уравнение линии может быть в форме пересечения наклона или в стандартной форме. Это задание позволяет учащимся исследовать линейные уравнения, наклоны и точки пересечения с осью Y, а также их визуальное представление на графике. Это задание включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с апплетом Java.
Тип: Virtual Manipulative
Графические линии:
Предоставляет учащимся доступ к декартовой системе координат, в которой можно рисовать линейные уравнения и наблюдать детали линии и наклона.
Тип: виртуальный манипулятор
Листовка с данными:
С помощью этого виртуального манипулятора учащиеся могут построить график функции и набора упорядоченных пар на одной координатной плоскости. Константы, коэффициенты и показатели степени можно регулировать с помощью ползунков, поэтому учащийся может изучить влияние на график изменения параметров функции.
Студенты также могут исследовать отклонение данных от функции. Это задание включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с апплетом Java.
Тип: Virtual Manipulative
Флаер функций:
В этом онлайн-инструменте учащиеся вводят функцию для создания графика, где константы, коэффициенты и показатели степени можно регулировать с помощью ползунков. Этот инструмент позволяет учащимся изучать графики функций и то, как корректировка чисел в функции влияет на график. Используя вкладки в верхней части страницы, вы также можете получить доступ к дополнительным материалам, включая справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с java-апплетом.
Тип: Virtual Manipulative
Ресурсы для родителей
Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.
Задачи решения проблем
Когда колесо вращается:
В этом задании учащиеся используют тригонометрические функции для моделирования движения точки вокруг колеса и в пространстве. Студенты также интерпретируют особенности графиков с точки зрения данного реального контекста.
Тип: Задание на решение проблем
Нагрев и охлаждение:
Это задание предназначено для прямой оценки навыков чтения и интерпретации графиков. Эта задача помогает укрепить идею о том, что когда переменная представляет время, t = 0 выбирается как произвольный момент времени, а положительные времена интерпретируются как времена, которые происходят после этого.
Тип: Задание на решение задач
Метание бейсбольных мячей:
Это задание можно использовать для оценки или тренировки.
Это позволяет учащимся сравнивать характеристики двух квадратичных функций, каждая из которых представлена по-разному, одна в виде графика квадратичной функции, а другая в алгебраическом виде. В частности, студентов просят определить, какая функция имеет наибольший максимум и наибольший неотрицательный корень.
Тип: Задание по решению проблем
Средняя стоимость:
В этом задании учащимся предлагается найти среднее значение, написать уравнение, найти домен и построить график стоимости производства DVD.
Тип: Задание на решение задач
Рассказ с помощью графиков:
В этом задании учащимся даются графики величин, связанных с погодой. Цель задания — показать, что графики — это больше, чем набор координатных точек; они могут рассказать историю о задействованных переменных, и вместе они могут нарисовать очень полную картину ситуации, в данном случае погоды. Функции на одном графике, такие как максимальные и минимальные точки, соответствуют функциям на другом графике.
Например, в дождливый день солнечное излучение очень низкое, а график накопленных осадков увеличивается с большим наклоном.
Тип: задача решения проблем
Модель логистического роста, явная версия:
Эта задача представляет модель логистического роста в конкретных условиях оценки населения США. Модель дает удивительно точную оценку, и ее следует противопоставить линейные и экспоненциальные модели.
Тип: Задание на решение проблем
Модель логистического роста, абстрактная версия:
Это задание предназначено только для учебных целей, и учащиеся уже должны быть знакомы с некоторыми конкретными примерами функций логистического роста. Цель этого задания — дать учащимся понять, как различные константы влияют на форму графика.
Тип: Задание на решение проблем
Как погода?:
Это задание можно использовать в качестве быстрой проверки, чтобы увидеть, могут ли учащиеся понять график в контексте реальной ситуации.
Студенты также должны обратить внимание на шкалу по вертикальной оси, чтобы найти правильное соответствие. Первый и третий графики на первый взгляд очень похожи, но значения функций сильно различаются, так как масштабы по вертикальным осям сильно различаются. Задание также можно использовать для проведения группового обсуждения интерпретации функций, заданных графами.
Тип: Задача-решение
Сумма четного и нечетного:
Учащиеся изучают выражения и управляют ими на основе следующего утверждения:
Функция f, определенная для -a
Тип: Задача-решение
Каноэ Поездка, вариант 2:
Основная цель этого задания — привести учащихся к численному и графическому пониманию поведения рациональной функции вблизи вертикальной асимптоты в терминах выражения, определяющего функцию.
Тип: Задание на решение проблем
Путешествие на каноэ, вариант 1:
Цель этого задания — дать учащимся возможность попрактиковаться в построении функций, представляющих интересующую величину в контексте, а затем интерпретировать особенности функции в контексте.
свет контекста. Он может быть использован как в качестве оценивания, так и в качестве обучающей задачи.
Тип: задача решения проблем
Виртуальный манипулятор
Графические линии:
Предоставляет учащимся доступ к декартовой системе координат, в которой можно строить графики линейных уравнений и наблюдать детали линии и наклона.
Тип: виртуальный манипулятивный
Рассуждение с линией-уравнением-Калькулятор-Google Suce
Allebildervideosbüchermapsnewshopping
Sucoptionen
Уравнение линейного уравнения.
Бесплатный калькулятор линейных уравнений — шаг за шагом решайте линейные уравнения.
2x-4=10 · X/3+x/2 =10 · 3/4 x+5/6 =5x-125/3
Решение системы линейных уравнений — HackMath.net
www.hackmath .net › калькулятор › решение системы.
..
Решатель уравнений онлайн. Решите линейную систему уравнений с несколькими переменными, квадратное, кубическое и любое другое уравнение с одним неизвестным.
Решение систем уравнений с помощью алгебраического калькулятора — MathPapa
www.mathpapa.com › calc › учебник › система решения…
Как решить систему уравнений в алгебраическом калькуляторе. Сначала перейдите на главную страницу калькулятора алгебры. Введите следующее: Первое уравнение x+y=7; Затем …
Калькулятор многоэтапных уравнений — Mathepower
www.mathepower.com › уравнений
Этот калькулятор шаг за шагом решает произвольные уравнения. Просто введите свое уравнение, и оно будет решено. … Как решить основные линейные уравнения?
Калькулятор решения линейных уравнений
www.polymathlove.com › середина прямой › решение…
Калькулятор решения линейных уравнений. Добро пожаловать в наш пошаговый математический решатель! Решить · Упростить · Фактор · Расширить · График · GCF .
..
Решатель систем уравнений онлайн — Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › Калькулятор системных уравнений
разнообразные системы уравнений. Он может решать системы линейных уравнений или системы, включающие нелинейные уравнения, …
Es fehlt: рассуждение- | Muss Folgendes enthalten:reasoning-
Ähnliche Fragen
Может ли PhotoMath решать линейные уравнения?
Может ли PhotoMath решать уравнения?
Каковы 5 шагов решения линейного уравнения?
Удачи!! Калькулятор ниже решает квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Рассуждения с помощью линейных уравнений Google Classroom Ответьте на два вопроса …
Решение линейных уравнений — Примеры алгебры — Mathway
www.mathway.com › примеры › решение линейного уравнения…
Бесплатное средство решения математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике с пошаговыми объяснениями, .