Онлайн решение логарифмических неравенств онлайн с подробным решением: Калькулятор онлайн — Решение логарифмических неравенств

методика решения логарифмических неравенств в школьном курсе математики | Методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме:

3)  logfxgx>logfxhx⇔gx>hxhx>0fx>1или hx>gxgx>00

4)           logfxgx≥logfxhx⇔gx≥hxhx>0fx>1или hx≥gxgx>00

Тест.

Среди приведенных высказываний найдите истинное:

1) (5-2)x

2) log3-1×3-1.

3) logx5-1>1⇔x

4) (3-1)x>1 ⇔x>0.

5) log5-2x>1⇔x

Теперь приведем несколько примеров решения логарифмических неравенств.

1. Логарифмирование и потенцирование

3.1. О т б р а с ы в а н и е   в   л е в о й   и   п р а в о й   ч а с т я х

н е р а в е н с т в а   л о г а р и ф м а  

п о   о д н о м у   и   т о м у   же  о с н о в а н и ю

Эти преобразования приводят к наиболее сильному упрощению логарифмических неравенств. Они необходимы для того, чтобы в конце концов получить ответ в задаче. Поэтому важно научиться выполнять их в той или иной форме легко и безошибочно.

1) Отбрасывание в левой и правой частях неравенства логарифма по одному и тому же основанию.

Если левая часть неравенства имеет вид logaF(x),    а правая-вид   logaG(x), то можно перейти к неравенству, левая и правая части которого равны Fx  и  G(x). При этом нужно помнить о следующем: при отбрасывании в неравенстве логарифма по основанию, меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять. Этот факт вытекает из свойства монотонности логарифмической функции.

Указанное преобразование обычно приводит к расширению ОДЗ, поскольку выражения, стоявшие прежде под знаками логарифма, после отбрасывания этих знаков могут принимать и неположительные значения. Игнорирование этого факта очень часто является причиной грубых ошибок на экзамене. В связи с этим особое значение приобретает следующее основное правило: к уравнению или неравенству, полученному в результате отбрасывания логарифма, следует добавить условия положительности обеих его частей. Заметим, что в действительности по меньшей мере одно (не всегда любое) из двух добавленных согласно основному правилу условий непременно можно отбросить, если внимательно приглядеться к полученной системе.

Пример.

log0,5(x+1)>log0,5(2-x).

Логарифмическая функция y=log0,5t- убывающая.  Имеет место равносильный переход:

log0,5(x+1)>log0,5(2-x)⇔x+10⇔x-1

Ответ: -1; 12.

Затем можно рассмотреть пример сложнее. Например, такого вида.

Пример.

Решить неравенство  log123x+1x+1≥-1.

log123x+1x+1≥log122⇔00x-1x+1≤0

+                                               +                               +

-1                    — 1 3                                     1                 x

Ответ: (-13 ;1.

Наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся в этом задание, следующие. Не все смогут  без ошибок представить правую часть неравенства в виде — log122 . Далее, при отбрасывании логарифмов не учли, что 120 или решили, что по «аналогии» с уравнениями равносильность перехода обеспечивается положительностью правой (большей!) части полученного неравенства, т.е. числа 2. Это в данном случае приводит к приобретению посторонних решений, заполняющих промежуток (-1; -13.

Разбирая следующее задание, учащиеся, как правило, правильно отбросив первый логарифм и, видимо, ослабив бдительность, не замечают, что основание второго логарифма уже меньше 1, и не поменяли знак неравенства при отбрасывании.

Пример.

Решить неравенство log3log916(x2-4x+3)≤0.

log3log916(x2-4x+3)≤log33⇔0

+                                                                               +

2-2               34                 _                 134                       2+2            x

Ответ: 2-2; 34∪134; 2+2.

3.2. Н е п о с р е д с т в е н н о е     л о г а р и ф м и р о в а н и е    и

п о т е н ц и р о в а н и е    н е р а в е н с т в а

Эти операции производятся следующим образом: выбирается подходящее положительное число a, отличное от единицы, и каждой из двух частей неравенства дописывается либо логарифм по основанию a (при логарифмировании), либо просто число a в качестве основания степени (при потенцировании). При этом если a

Логарифмирование и потенцирование представляют по существу другую форму преобразований. Действительно, отбрасывание основания степени можно осуществить взятием от обеих частей уравнения или неравенства логарифмической функции, а отбрасывание логарифма – взятием показательной функции. Разберем на примере.

Пример.

5log32x+2

log55log32x+20xx+2>0⟺x>0

Ответ: 0; ∞.

Есть мнение о том, что операции непосредственного логарифмирования универсальны, т.к. применять их якобы можно не задумываясь в любых случаях без каких бы то ни было предосторожностей. Это не совсем так. Во-первых, логарифмировать неравенство можно лишь при тех значениях неизвестной, при которых обе его части положительные (или одна, «меньшая» в случае неравенства). Во-вторых, при потенцировании, как правило, возникают выражения вида alogaF(x), которые с помощью основного логарифмического тождества мгновенно преобразуются к виду F(x). Одна из самых распространенных ошибок состоит в том, что при использовании основного логарифмического тождества не принимается во внимание возможное расширение ОДЗ, которое в данном случае обязывает добавить ограничения F(x)>0.  Таким образом, неприятности, связанные с расширением ОДЗ при отбрасывании логарифмов, никуда не исчезают, а, наоборот, появляются в более завуалированном виде на следующем этапе.

Обычно учащиеся ошибаются в том, что не понимают, что именно в действительности делают: то ли отбрасывают логарифм, то ли дописывают основание – потенцируют.

Вывод один: при логарифмировании и потенцировании нужна определенная дисциплина мышления.

4. Различные упрощения

Решая логарифмические неравенства, учащиеся часто совершают первые приходящие на ум преобразования, продиктованные возможностью применить ту или иную формулу. При этом учащиеся не всегда удовлетворительно знают сами формулы, а также не обращают внимание на вопросы расширения или сужения ОДЗ и связанных с ними вопросов приобретения и потери решений. Но главный недостаток – это отсутствие ясного представления о целях производимых ими упрощений.

Решая логарифмические неравенства, прежде  всего следует подумать о том, нельзя ли привести данное неравенство к виду, удобному для логарифмирования или потенцирования.

Рассмотрим случаи, когда приведение к такому виду можно осуществить.

4.1. П р е д с т а в л е н и е    в ы р а ж е н и я    в    в и д е

л о г а р и ф м а    и л и    с т е п е н и    с   з а д а н н ы м

о с н о в а н и е м

Пусть некоторые части неравенства уже представляют собой логарифмы или степени с некоторым основанием a (a>0, a≠1), а другие – еще нет. В этой ситуации могут оказаться полезными преобразования, опирающиеся на формулы Fx=logaaF(x),logbFx=logaF(x)logab, а для тех значений  x,  при которых F(x)>0, возможно использование основного логарифмического тождества Fx=alogaF(x).

Применяя эти преобразования, можно например, получить равенства: 0=log51,  1=log33=30,  -2=log214,   14=2-2, log7x=2log7x и т.п. В таких простых случаях не всегда необходимо употребление указанных формул – достаточно бывает одного лишь знания определения логарифма данного числа по основания a и умения его находить.

Пример.

logsinπ3(x2-3x+2)≥2

logsinπ3(x2-3x+2)≥logsinπ3(sinπ3)2⇔00x-0,5(x-2,5)≤0

+                                                                               +

0,5                     1                 _                 2                       2,5          x

Ответ: 0,5;1)∪(2; 2,5.

4.2.  П р е о б р а з о в а н и е    с у м м ы    и л и    р а з н о с т и

л о г а р и ф м о в

Эти преобразования производятся с помощью формул:

logaFx+logaGx=logaFxGx,

logaFx-logaGx=logaF(x)G(x)

И позволяют объединять несколько выражений в один логарифм. Применение формул осложняется тем, что в левой их части под знаком логарифма находится каждое из выражений Fx и Gx, а в правой – только их произведение или частное, которое может быть положительным также и при отрицательных значениях Fx и Gx.  Поэтому при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного следует добавлять ограничения на неизвестную величину, связанные с расширением ОДЗ.

Количество таких ограничений зависит от вида самих выражений Fx и Gx, но в любом случае заведомо достаточно потребовать положительности обоих этих выражений (даже одного из них, т.к. их произведение или частное все еще находится под знаком логарифма).

Пример.

7log9x2-x-6≤8+log9(x+2)7x-3

Преобразуем неравенство: log9x2-x-67-log9(x+2)7x-3≤8

log9(x-3)7*(x+2)7*(x-3)(x+2)7≤8x-3(x+2)>0

log9(x-3)8≤8x-3(x+2)>0

Решим первое неравенство:  0

При x≠3 получаем:   x-3≤9          -9≤x-3≤9        -6≤x≤12.

Решим второе неравенство системы: x3.

Решение системы:  -6≤x

Ответ: -6;-2)∪(3; 12.

4.3.  В н е с е н и е    м н о ж и т е л я    п о д    з н а к

л о г а р и ф м а

Эта операция предполагает использование формулы:

F(x)logaGx=logaG(x)F(x)

Не следует забывать о том, что если выражение Fx представляет собой четное число, то в левой части первой формулы выражение Gx обязано быть положительным, в то время как в правой части этой формулы оно должно быть всего лишь не равным нулю. Таким образом, при внесении множителя под знак логарифма может расширяться ОДЗ, в связи с чем возникает необходимость добавлять ограничения на неизвестную величину.

Еще более коварной является обратная операция – вынесение показателя степени за знак логарифма (ведущее иногда к сужению ОДЗ).

Пример.

logx-39-x2-116logx+32(x-3)2≥2

Преобразуем неравенство:

logx+33-x3+x-14logx+32x-3≥2

Найдем, при каких значениях  x левая часть неравенства имеет смысл:

9-x2>0x+3>0x+3≠1,  x-3≠0

Получаем: -3

Значит,x-3=3-x при всех допустимых значениях x.

Поэтому  logx+33-x+logx+33+x-14logx+32(3-x)≥2

logx+33-x+1-14logx+32(3-x)≥2

Сделаем замену        logx+33-x=y.           

y-14y2≥1 ,      y=2.

Таким образом,         logx+33-x=2                (x+3)2=3-x

Корни уравнения -6 и -1. Условию -3

Ответ: -1.

1. Способы расщепления

1. С у т ь   с п о с о б а   р а с щ е п л е н и я

Ключевой момент в решении неравенства – преобразование его к виду, в котором левая часть представляет собой произведение каких-либо выражений, а правая – равна нулю. При этом правило расщепления для строгого неравенства можно сформулировать так: произведение отрицательно в тех и только тех случаях, когда нечетное число его сомножителей отрицательно, а остальные положительны; произведение положительно в тех и только тех случаях, когда четное ( в частности, нулевое) число его сомножителей отрицательно, а остальные положительны.

Для расщепления неравенства следует сначала аккуратно выписать все случаи, когда это неравенство справедливо, а затем решить каждую из имеющихся систем, объединив в ответе полученные множества решений. При этом попытки сэкономить работу на каких-то случаях, кажущихся при беглом изучении невозможными, особенно попытки заменить нестрогие неравенства строгими, чаще всего оборачиваются потерей решений.

Аналогично расщепляются неравенства, в которых какие-либо выражения стоят в знаменателе дроби.

Пример.

x-5log2x-4-1≥0

Заметим, что неравенство 1F(x)≥0   (1Fx≤0 )  равносильно неравенству Fx>0 (соответственно Fx

Для расщепления неравенства нужно предварительно перенести все в одну его часть и разложить полученное выражение на множители.

2.  О б о б щ е н н ы й   м е т о д   и н т е р в а л о в

Расщепление можно упростить, применив обобщенный метод интервалов. В некоторых задачах расщепление сопровождается более детальным разбором случаев.

Пример.

xlog15(12-x)≥x

В большинстве случаев учащиеся рассматривают два случая:

1) x

Однако главная логическая ошибка была сделана в самом начале. Ведь в случае x≥0 исходное неравенство приводится к виду

x(log1512-x-1)≥0,

а значит, при его расщеплении возникает еще один случай

3) x≥0x≤0log1512-x≤1  который дает решение 0. Именно это решение теряют учащиеся даже при безукоризненном исследовании первых двух случаев.

Эта задача призвана лишний раз предостеречь учащихся от деления неравенства на функцию и от всяческих «усовершенствований» основного правила расщепления неравенства.

Ответ: -∞;-4,5∪0∪0,3;0,5.

3.  З а м е н а   н е и з в е с т н ы х

Одним из основных приемов, облегчающих расщепление логарифмических неравенств, можно считать замену неизвестных. Новая независимая подбирается по возможности так, чтобы относительно нее неравенство уже не было логарифмическим. В результате такой замены операции логарифмирования и потенцирования отодвигаются как бы на задний план, возникая только при нахождении значений исходной неизвестной по заданным значениям новой. Введению новой неизвестной обычно предшествует некоторая предварительная обработка исходного неравенства с использованием формул, а иногда и преобразований.

2. Переход к новому основанию

1. Ф о р м у л а   п е р е х о д а   л о г а р и ф м а   к   н о в о м у

о с н о в а н и ю

Часто на экзаменах приходится сталкиваться с ситуацией, когда в одном неравенстве присутствуют логарифмы, имеющие разные основания. Простым является случай, когда все основания представляют собой различные, но легко угадываемые степени одного и того же числа. Тогда переход во всех выражениях к одинаковому основанию не вызывает особых затруднений. Если же основания не связаны указанным способом, то некоторые учащиеся не берутся за задачу из-за психологической неподготовленности к такой ситуации. Однако для решения подобных задач не требуется никаких дополнительных знаний. Предполагается лишь умение переходить к новому основанию.

Отдельного внимания заслуживают логарифмы, основаниями которых являются функции от неизвестной величины. При работе с ними нужно иметь в виду следующее важное обстоятельство: выражение, стоящее в основании логарифма, по определению может быть только положительным и к тому же не равным 1. Это означает, что значения неизвестной, при которых указанные условия не выполнены, попросту не входят в область определения. Одна из ошибок учащихся происходит как раз по причине расширения ОДЗ неравенства в результате потенцирования по основанию, зависящему от x.

Самый надежный способ предостеречься от ошибок, связанных с расширением ОДЗ, — это перейти к другому основанию, роль которого может сыграть произвольное конкретное число a>0, a≠1. Сама формула перехода   logF(x)G(x)=logaG(x)logaF(x)   представляет собой тождество. Особое значение указанный способ приобретает при решении неравенств.

Пример.

logx+1(x2+x-6)2≥4

Решение, использующее переход к новому основанию, сводит все трудности к вопросам обыкновенного расщепления неравенства.

lgx2+x-62-4lg⁡(x+1)lg⁡(x+1)≥0

Неравенство равносильно совокупности систем:

1) lg⁡(x+1)>0lgx2+x-62≥lg(x+1)4 ⟺x+1>1×2+x-62≥(x+1)4⟺0

2) lg⁡(x+1)

Ответ:0;1.

2.  В т о р о й   с п о с о б   п е р е х о д а   л о г а р и ф м а   к

н о в о м у     о с н о в а н  и ю

Видно, что неравенство заметно упростилось в результате логарифмирования по основанию a. Но такие преобразования не всегда возможны. Поэтому более общий способ упрощения представляет собой переход к основанию a по формуле  F(x)Gx=aG(x)logaF(x).

Такой переход оказывается полезным также и при дифференцировании рассматриваемого выражения.

Пример.                        2*x2lg⁡(x-1)≥1+(x-1)lgx

2*102lg⁡(x-1)lgx≥1+10lg⁡(x-1)lgx

Обозначим  y=10lg⁡(x-1)lgx:

2y2-y-1≥0y>0⟺2y+1(y-1)≤0y>0⟺y≥1.

Возвратимся к x:   10lg⁡(x-1)lgx≥100 ⟺ lg⁡(x-1)lgx≥0.

Неравенство равносильно совокупности систем:

1)      lg⁡(x-1)≥0lgx≥0⟺x≥2

2)       lg⁡(x-1)≤0lgx≤0   решений нет

Ответ: 2;∞.

3. Метод интервалов для решения логарифмических неравенств.

В курсе математического анализа для 11 класса доказывается теорема: если функция fx непрерывна на отрезке a;b и не обращается в ноль на открытом промежутке a;b, то fx имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка a;b.

Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули fx и определить знаки fx на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Кроме того, очень часто школьники вообще не проверяют знаки, а расставляют их по аналогии с тем, как это делается для рациональной функции, не задумываясь о том, действительно ли данная функция меняет знак при переходе через «ноль».

Рассмотрим такие условия равносильности, которые часто за один шаг сведут решение самых распространенных логарифмических неравенств к решению рациональных неравенств.

Пример.

4×2-16x+7log2x-3>0

x-0,5(x-3,5)log2(x-3)>0

                                                 +                  —                  +

                          0,5            3               3,5                 4                  х

Поясним, что все значения x≤3, не входят в ОДЗ; число 4 возникло в результате исследования знака сомножителя log2(x-3) , положительного при x>4 и отрицательного при 3

Ответ: 3;3,5∪(4;∞).

Рассмотрим теперь некоторые частные приемы решения логарифмических неравенств.

4. Частные приемы решения логарифмических неравенств.

Ведущее место в этом направлении занимает метод применения условий равносильности. Преимущество  использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим 1 является основание. Кроме того, нет необходимости писать фразы о той или другой монотонности. Это особенно важно при решении тестов ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.

Перечислим основные условия равносильности для решения логарифмических неравенств.

1) Знак logaf(x) совпадает со знаком  произведения a-1(fx-1) в ОДЗ.

2) Знак разности logaf(x)-logag(x) совпадает со знаком произведения a-1(fx-g(x)) в ОДЗ.

3) Знак функции loga(x)f(x)   совпадает со знаком произведения

a(x)-1(fx-1) в ОДЗ.

4) Знак разности loga(x)f(x)-loga(x)g(x) совпадает со знаком произведения  ax-1(fx-g(x)) в ОДЗ.

Пример.

lg3x2-3x+7- lg6+x-x210x-7(10x-3)≥0

Найдем ОДЗ:

3×2-3x+7>06+x-x2>0⇔x∈Rx∈-2;3⇔x∈-2;3

lg3x2-3x+7- lg6+x-x210x-710x-3≥0⟺3×2-3x+7-6-x+x2x-710x-310≡2x-12x-710x-310≥0⟺

x∈-∞; 310⋃12⋃710;+∞

Теперь с учетом ОДЗ получаем ответ.

Ответ: -2; 310⋃12⋃710;3.

Решение рассмотренного неравенства определялось знаками множителей. Мы воспользовались перечисленными условиями равносильности и освободились от всех логарифмов за один шаг.  Если же основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Но, как показывает практика, полными условиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, что мы и сделали в примере.

Заключение

Эффективные методы решения

логарифмических неравенств. Выводы.

В данной работе были рассмотрены наиболее важные и часто встречаемые приемы решения логарифмических неравенств в школе. Напомнив некоторые основные понятия и свойства логарифмов, были разобраны основные приемы решения логарифмических неравенств. Они опирались на свойства логарифмической функции. Основной прием решения состоит в построении цепочки равносильных переходов. После нескольких переходов мы приходили к простейшему неравенству, системе или совокупности простейших неравенств.

Большинство разобранных задач взяты из тренировочных вариантов ЕГЭ и вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты МГУ разных лет.

Но какие бы приемы и методы не были рассмотрены по теме «Решение логарифмических неравенств», к каждому неравенству дать ученику рецепт невозможно. «Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно»,- говорил А.Н.Колгоморов.

Список литературы

1. Б.П. Гейдман. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. — М.: МГУ, 2003
2. С.И. Колесникова.  Математика. Интенсивный курс подготовки  к ЕГЭ.- М.: АЙРИС ПРЕСС, 2006
3. Ф.Ф.Лысенко. Математика. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа для 11 класса. — Ростов-на-Дону: ЛЕГИОН-М, 2011
4. И.И. Мельников, И.Н. Сергеев. — Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. — М.: УНИВЕР-ПЕРСС
5. А.Л. Семенов, И.В. Ященко.  ЕГЭ, универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. — М.: Интеллект-центр, 2011.
6. А.Л. Семенов, И.В. Ященко.  ЕГЭ. Математика. Типовые экзаменационные материалы.-  М.: Национальное образование, 2011
7. Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. Изучение алгебры и начал анализа 10-11.-  М.: Просвещение, 2004г.

Урок 5. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств. Теория. 11 класс онлайн-подготовка на

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

 

Эксперимент

 

Урок 5. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств

 

Теория

 

Схема решения логарифмических неравенств

 

 

Конспект урока

 

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение логарифмических уравнений и их систем. На этом уроке речь пойдет о логарифмических неравенствах и их системах.

Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 — возрастающая функция: чем больше , тем больше . Значит, . В отличие от уравнений, здесь проверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: .

Объединяя, получаем: .

 

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 — убывающая функция: чем больше , тем меньше . Значит, .

ОДЗ: .

Объединяя, получаем:

.

 

 

Проверка ОДЗ при решении логарифмических неравенств

 

 

Лучше всего начинать решение неравенств с проверки ОДЗ. Поскольку даже на первом шаге решения можно получить выражение с измененной ОДЗ.

 

Например:

 

ОДЗ:    

             

             

А после преобразований:

ОДЗ:

   

 

Как быстро определить знак логарифма

 

 

Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?

 

Рассмотрим два случая:

1)  : 

2)  :

Таким образом, , если  и  лежат по одну сторону от 1, и , если  и  лежат по разные стороны от 1.

 

Основные виды логарифмических неравенств

 

 

1) Простейшие

 

2) Сводящиеся к простейшим

3) С использованием свойств логарифмов

4) С заменой

5) С переменной в основании

 

Системы логарифмических неравенств

 

 

Системы логарифмических неравенств решаются аналогично системам показательных неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем находится пересечение.

 

Пример:

На этом уроке мы обсудили метод решения простейших логарифмических неравенств, виды логарифмических неравенств и их систем. В практической части мы разберем основные методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: «Логарифмические неравенства»

2) Алгебра 11 класс: «Решение логарифмических неравенств»

3) Алгебра 11 класс: «Решение логарифмических неравенств (продолжение)» 

 

Видеоурок: Урок 5. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств. Теория. по предмету Алгебра за 11 класс.

6.4: Логарифмические уравнения и неравенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

80790

• Carl Stitz & Jeff Zeager
• Общественный колледж Лейкленда и Общественный колледж округа Лорейн

В разделе 6. 2-7x-4=0\). Решая, находим \(x = -\frac{1}{2}\) и \(x=4\). Построив график, находим \(y = f(x) = \frac{\ln(1-2x)}{\ln(7)}\) и \(y=g(x) = 1 — \frac{\ln (3-x)}{\ln(7)}\) пересекаются только в точке \(x=-\frac{1}{2}\). Проверка \(x=4\) в исходном уравнении дает \(\log_{7}(-7) = 1 — \log_{7}(-1)\), что является явным нарушением предметной области. 9{3} = \frac{x+3}{6-x}\nonumber\] Это сводится к линейному уравнению \(8(6-x) = x+3\), которое дает нам \(x = 5\ ). Когда мы рисуем \(f(x) = \frac{\ln(x+3)}{\ln(2)}\) и \(g(x) = \frac{\ln(6-x)}{ \ln(2)} + 3\), мы находим, что они пересекаются в точке \(x=5\).

Начиная с \(1 + 2 \log_{4}(x+1) = 2 \log_{2}(x)\), мы собираем бревна в одну сторону, чтобы получить уравнение \(1 = 2 \log_{ 2}(x) — 2 \log_{4}(x+1)\). Однако, прежде чем мы сможем складывать логарифмы, нам нужно общее основание. Поскольку \(4\) является степенью \(2\), мы используем замену базы для преобразования \[\log_{4}(x+1) = \frac{\log_{2}(x+1)} {\log_{2}(4)} = \frac{1}{2} \log_{2}(x+1)\nonumber\] Следовательно, наше исходное уравнение принимает вид 92-2x-2 = 0\).

Используя квадратичную формулу, мы получаем \(x = 1 \pm \sqrt{3}\). Графики \(f(x) = 1 + \frac{2\ln(x+1)}{\ln(4)}\) и \(g(x) = \frac{2 \ln(x)}{ \ln(2)}\), мы видим, что графики пересекаются только в точке \(x = 1 + \sqrt{3} \приблизительно 2,732\). Решение \(x = 1 — \sqrt{3} < 0\), что означает, что при подстановке в исходное уравнение член \(2 \log_{2}\left(1 - \sqrt{3}\right) \) не определено.

Как минимум, пример 6.4.1 демонстрирует важность проверки на наличие посторонних решений ² при решении уравнений с логарифмами. Несмотря на то, что мы проверили наши ответы графически, посторонние решения легко обнаружить — любое предполагаемое решение, которое приводит к отрицательному числу внутри логарифма, должно быть отброшено. Как и в случае с уравнениями в примере 6.3.1, многое можно узнать, проверив все ответы в примере 6.4.1 аналитически. Мы оставляем это читателю и обращаем наше внимание на неравенства с логарифмическими функциями.

{1}\), что допускает \(x = 9\). Мы выбираем тестовые значения \(x\) так, чтобы \(x+1\) было степенью \(10\), и мы получаем \(-1 < -0,9 < 0 < \sqrt{10} -1 < 9 < 99\). Наша диаграмма знаков дает решение \((-1,0] \cup [9, \infty)\). Калькулятор указывает, что график \(y= f(x) = x \log(x+1)\) находится выше \(y=g(x) = x\) на интервалах решения, и графики пересекаются в \ (х=0\) и \(х=9\).

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Наш следующий пример вновь обращается к концепции pH, впервые использованной в упражнении 77 в разделе 6.1. 9{-1}(x)\) и проверьте свой ответ графически с помощью калькулятора.

Решение

Сначала запишем \(y=f(x)\), затем поменяем местами \(x\) и \(y\) и найдем \(y\).

\[\begin{array}{rclr} y & = & f(x) & \\ y & = & \dfrac{\log(x)}{1-\log(x)} & \\[8pt ] x & = & \dfrac{\log(y)}{1-\log(y)} & \mbox{Поменять местами $x$ и $y$.}\\[8pt] x\left(1-\log (y)\right) & = & \log(y) & \\ x — x\log(y) & = & \log(y) & \\ x & = & x \log(y) + \log( y) & \\ x & = & (x+1) \log(y) & \\ \dfrac{x}{x+1} & = & \log(y) & \\ y & = & 10^{ \frac{x}{x+1}} & \mbox{Перепишите как показательное уравнение. }\\ \end{массив}\nonumber\] 9{-12}}\справа) = 150\)

\(6-3\log_{5}(2x)=0\)

\(3\ln(x)-2=1-\ln(x)\)

\(\log_{3}(х — 4) + \log_{3}(х + 4) = 2\)

\(\log_{5}(2x + 1) + \log_{5}(x + 2) = 1\)

\(\log_{169}(3x + 7) — \log_{169}(5x — 9) = \dfrac{1}{2}\)

\(\ln(x+1) — \ln(x) = 3\)

\(2\log_{7}(x) = \log_{7}(2) + \log_{7}(x+12)\)

\(\лог(х) — \лог(2) = \лог(х+8) — \лог(х+2)\)

\(\log_{3}(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x) + 8\) 9{-1}(x)\) и найти его область определения и область значений.

Объясните уравнение в упражнении 10 и неравенство в упражнении 28 выше, используя шкалу Рихтера для магнитуды землетрясения. (См. упражнение 75 в разделе 6.1.)

Объясните уравнение в упражнении 12 и неравенство в упражнении 27 выше с точки зрения уровня интенсивности звука, измеренного в децибелах. (См. упражнение 76 в разделе 6.1.)

Объясните уравнение в упражнении 11 и неравенство в упражнении 29 выше с точки зрения рН раствора. (См. упражнение 77 в разделе 6.1.) 9{-1}\) равно \((-\infty, \infty)\), и его диапазон совпадает с доменом \(f\), а именно \((-1, 1)\).

---

Ссылка

¹ Однако они представляют одно и то же семейство комплексных чисел. На этом мы останавливаемся и отсылаем читателя к хорошему курсу по комплексным переменным.

² Напомним, что постороннее решение – это полученный аналитически ответ, не удовлетворяющий исходному уравнению.

³ Обратитесь к странице 4 для обсуждения того, что это означает.

---

Эта страница под названием 6.4: Логарифмические уравнения и неравенства распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Карлом Ститцем и Джеффом Зигером посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Карл Стиц и Джефф Зигер

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www.

      No related posts.