Онлайн решение логарифмических уравнений: Решение логарифмических уравнений | Онлайн калькулятор

Степенные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на

Степенные уравнения

 

Вернемся в начальную школу. Вспомните, как мы начинали учиться писать. Сначала писали прописи, учились работать с базовыми элементами: как писать буквы, как правильно их соединять в слоги и слова. А уже потом перешли к написанию предложений и длинных текстов. Такой путь можно проследить в любом деле, которое осваивает человек.

 

Плотник не сразу сделает деревянную мебель, сначала он должен научиться обрабатывать древесину. Программист сначала учит простейшие команды, синтаксис языка и только потом он сможет разрабатывать сайты и писать сложные программы.

Этот же путь, от базовых вещей к сложным задачам, можно проследить и в курсе алгебры. Сначала мы изучали основы: сложение с умножением, извлечение корня, преобразование тригонометрических выражений. А затем учились применять изученные базовые принципы и свойства для решения математических моделей реальных задач.

Глобально можно выделить две такие задачи. Первая – это исследование функций. Любой процесс можно с некоторой точностью описать функцией одной или нескольких переменных. Построив график функции, описав ее свойства, мы сможем исследовать и охарактеризовать этот процесс: быстро ли он проходит, от чего зависит и прочее.

Вторая глобальная задача – решение уравнений, неравенств и их систем. Вспомните: при решении различных практических задач мы чаще всего получаем математическую модель в виде уравнения, неравенства или их систем, которые нужно научиться решать.

Мы изучили свойства степеней и логарифмов, научились работать с графиками соответствующих функций. Теперь перейдем ко второй задаче: решению степенных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Начнем со степенных уравнений. Для их решения нам понадобится следующее утверждение: если , то  для всех действительных . Исключение – четные значения . Для них, если , то  или .

Это легко увидеть, построив графики левой и правой частей равенства. Для всех показателей степени , каждому значению функции  соответствует ровно один аргумент (см. рис. 1).

Рис. 1. Для всех показателей степени , каждому значению функции  соответствует ровно один аргумент

Таким образом, если значения функции равны, то равны и аргументы. Исключение – четные значения . По графику видим, что каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента (см. рис. 2). И если значения функций равны, то их аргументы или равны, или противоположны.

Рис. 2. При четных  каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента

Идея решения степенных уравнений: представить левую и правую части как степени с одинаковым показателем. И затем использовать указанное ранее свойство.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Слева третья степень, представим правую часть как третью степень выражения:

Получаем:

Показатели равны, это нечетные числа. Поэтому можем сказать, что равны и основания:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

Как видите, используя указанное свойство мы свели решение нашего уравнения к тому, которое мы уже умеет решать. В дальнейшем мы будем подробно останавливаться лишь на первой части решения – сведению уравнения к линейному, квадратному или любому другому, алгоритм решения которых вы уже знаете.

 

Задание 2. Решить уравнение:

Решение.

Сразу отметим, что степень с отрицательным целым показателем определена только для ненулевого основания:

Т. е. ОДЗ: . Слева – минус четвертая степень, сделаем справа такую же степень:

Тогда:

Степень четная, значит основания или равны, или противоположны:

Получили линейные уравнения, которые вы можете решить самостоятельно. Получаем ответ:

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: .

 

Задание 3. Решить уравнение:

Решение.

Слева – седьмая степень, нужно представить число справа в виде седьмой степени. Подобрать целое число, которое при возведении в  степень даст , не получится. Поэтому используем свойство степени:

Тогда:

Получим:

Степени равны и нечетные, поэтому:

Ответ: .

 

Сформулируем общий алгоритм решения степенных уравнений:

1. указать ОДЗ уравнения, для отрицательных степеней – основание не равно , для нецелых степеней – основание больше либо равно нулю;

2. представить уравнение в виде , при необходимости использовать свойства степени;

3. записать следствие:

или  для четных значений ;

 для всех остальных степеней;

4. решить полученное уравнение и сверить ответы с ОДЗ.

 

Простейшие показательные уравнения и неравенства

 

 

Мы рассмотрели степенные уравнения – уравнения, у которых неизвестная стояла в основании степени. Теперь рассмотрим уравнения, в которых неизвестная стоит в показателе степени – показательные уравнения. Идея их решения очень похожа на ту, что мы использовали при решении степенных уравнений. Нужно свести уравнение к виду:

 

Т. е. так, чтобы слева и справа были степени с одинаковым основанием.

Из того, что  следует, что . Это следует из монотонности графика показательной функции: каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента (см. рис. 3). Если значения функций равны, то равны и их аргументы.

Рис. 3. Графики функций при  и  

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Слева – основание , сделаем справа такое же:

Тогда:

Из этого следует, что:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

 

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Здесь видим в основании  и . Это все целые степени тройки, поэтому удобно левую и правую части привести к основанию . Применяя свойства степени, получаем:

Получаем уравнение:

Основание равны, значит, равны и степени:

Решая это линейное уравнение, получаем ответ:

Ответ: .

Идея решения показательных неравенств очень похожа. Нужно привести неравенство к виду ; между частями может быть любой другой знак, все выводы будут аналогичными. Затем возможны два варианта.

Первый вариант – основание . Тогда соответствующая показательная функция будет возрастающей (см. рис. 4). Значит, большему значению функции соответствует больший аргумент. И из  будет следовать, что . Знак неравенства не поменялся.

Рис. 4. График функции при  

Второй вариант – основание . Тогда соответствующая функция будет убывающей (см. рис. 5). Большему значению функции соответствует меньший аргумент. Значит, из  следует, что . Знак неравенства изменился на противоположный.

Рис. 5. График функции при  

В обоих случая получаем неравенство, обычно линейное или квадратное, которое решаем стандартными методами. Если вы не помните методы решения неравенств, можете их повторить, посмотрев уроки Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств; Решение квадратных неравенств. Метод интервалов.

 

Задание 6. Решить неравенство:

Решение.

Приводим левую и правую часть к одинаковым основаниям. Слева – основание . Справа из  можно сделать степень с любым основанием: . Нужно  – делаем :

Получаем:

Основания одинаковы и больше . Значит, для показателей степени знак неравенства не поменяется:

Решая неравенство, получаем:

Ответ: .

 

Задание 7. Решить неравенство:

Решение.

Неравенство выглядит громоздко, но оно не сложнее предыдущего. Действуем по алгоритму. Смотрим на основания степеней – это взаимообратные дроби. Чтобы сделать основания одинаковыми, запишем:

Тогда:

Получаем неравенство:

Основание уже одинаковые. Они больше или меньше ? , значит,  будет меньше . Поэтому записываем неравенство для показателей степени и меняем знак:

Получили квадратное неравенство. Решая его, получаем ответ:

Ответ:.

Теперь рассмотрим несколько задач, где не так очевидно, как можно привести обе части к одинаковому основанию.

 

Задание 8. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы представить число  в виде степени с основанием , воспользуемся основным логарифмическим тождеством. Вспомним:  для любых положительных  и . Тогда:

Получаем неравенство:

Основания равны и больше . Значит:

Получаем ответ:

Ответ: .

 

Задание 9. Решить уравнение:

Решение.

Здесь в левой части стоит разность степенных выражений. Прежде чем решать по алгоритму, упростим левую часть, разложив ее на множители:

Получим уравнение:

Разделив обе части уравнения на , получим:

, т. е.:

Ответ: .

С решением еще одного показательного уравнения вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Пример решения показательного уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Здесь мы видим разные основания:  и , которые сложно будет свести к одному. Можно попробовать это сделать с помощью основного логарифмического тождества, но это долгий путь. Если не получается привести к одинаковым основаниям, то можно попробовать привести к одинаковым показателям степени – в этом случае тоже можно воспользоваться свойствами степени для упрощения выражений. Поступим следующим образом.

Для начала отметим, что , следовательно:

Теперь можем разделить обе части уравнения на  и применить свойство степеней, поскольку степени  и  теперь одинаковые:

Теперь представим  в виде степени с основанием :

В итоге:

Ответ: .

---

 

Простейшие логарифмические уравнения и неравенства

 

 

Рассмотрим теперь решение логарифмических уравнений. Общая идея решения нам уже знакома – привести левую и правую части к логарифмам с одинаковым основанием:

 

Как и показательная, логарифмическая функция также имеет лишь один аргумент для каждого значения функции (см. рис. 6).

Рис. 6. Графики функций при  и

Из равенства логарифмов будет следовать равенство подлогарифмических выражений:

Итак, наша задача: привести левую и правую части уравнения к логарифмам с одинаковым основанием, используя различные свойства логарифмов. Все так же, как и в показательных уравнениях. Единственное, что нужно учесть ОДЗ: подлогарифмическое выражение всегда больше 0 (ОДЗ: ).

 

Задание 10. Решить уравнение:

Решение.

Для начала выпишем ОДЗ: . Переходим к решению. Основания логарифмов равны, можем приравнять выражения под логарифмами:

Корни данного квадратного уравнения:

Выполним проверку:

:

Неравенства верны.

:

Неравенства верны.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: .

 

Задание 11. Решить уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Чтобы привести левую часть к логарифму с основанием , воспользуемся одним из свойств логарифма:  для любого значения .

Таким образом:

Получаем уравнение:

Основания логарифмов равны, значит:

Решая уравнение, получаем . Корень входит в ОДЗ:

Ответ: .

Это же уравнение можно было решить и с помощью определения логарифма. Подробнее об этом – ниже.

---

 

Еще один способ решения уравнения

Посмотрим на уравнение . По определению, логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить то, что под логарифмом. Т. е.,  нужно возвести в  степень, чтобы получить :

Мы получили такое же уравнение, корнем которого также будет . Это вполне естественно – решая разными способами, мы получили такой же ответ. Возможно, кому-то этот способ покажется более простым. Что ж, можете его использовать. Но обратите внимание, что он не такой универсальный. Он подойдет только в случае, если в одной из частей уравнения стоит число.

---

Задание 12. Решить уравнение:

Решение.

Записываем ОДЗ:

Теперь нужно привести обе части уравнения к одинаковому основанию. По слагаемым понятно, что это будет основание . По свойству логарифмов:

Получаем уравнение:

Основание логарифмов равны, значит, можем записать:

Получили квадратное уравнение. Попробуйте решить его самостоятельно. Его корни:

Проверяем ОДЗ:

:

Неравенства верны.

:

Первое и второе неравенства неверны.

Получаем ответ:

Ответ: .

С решением еще одного логарифмического уравнения вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Пример решения логарифмического уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Сразу записываем ОДЗ:

Вспомним, что:

Чтобы удобнее было приводить к одинаковому основанию, так и запишем:

Слева и справа основания разные. Что делать? Вспомним свойство логарифма для положительных  и :

Поскольку , то:

Теперь внесем коэффициент перед логарифмом, используя свойство:

Получили уравнение:

Основания равны, значит:

По свойству степени:

Получили квадратное уравнение:

Его корни: , .

Проверяем:

:

Неравенства неверны.

:

Неравенства верны.

Получаем ответ:

Ответ: .

---

Наконец, рассмотрим простейшие логарифмические неравенства. Идея та же: привести к одинаковому основанию. Далее, как и в показательных неравенствах, смотрим на основание.

Если , то записываем неравенство уже без логарифмов и знак не меняем:

Если , то знак меняем на противоположный:

Также на забываем учесть ОДЗ: .

 

Задание 13. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Левую часть неравенства нужно представить, как логарифм с основанием . По свойству логарифмов:

Тогда:

Основания логарифмов одинаковые и больше 1. Можем записать неравенство для подлогарифмических выражений, не меняя знак:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Получаем ответ:

Ответ: .

 

Метод замены в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах

 

 

Мы разобрали простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. В них мы всегда могли свести левую и правую части к одинаковым основаниям. Сейчас мы разберем несколько задач, которые можно свести к этим самым простейшим уравнениям и неравенствам.

 

Метод, который нам понадобится, мы уже использовали при решении рациональных и тригонометрических уравнений – это метод замены. Нужно увидеть одинаковые блоки выражений в условии и заменить их новой переменной (Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства. Базовый уровень).

Задание 14. Решить уравнение:

Решение.

Укажем ОДЗ:

Обратите внимание, что в первом слагаемом логарифм в квадрате. Поэтому использовать свойства логарифмов с одинаковым основанием не получится. Но у нас есть повторяющийся элемент: . Введем замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. Его корни:

Не забываем выполнить обратную замену:

Теперь у нас два простейших уравнения. Итак, в первом уравнении:

Во втором:

Значение  можно вычислить:

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: .

В некоторых уравнениях замена не сразу очевидна. Сначала нужно преобразовать уравнение, чтобы ее увидеть.

 

Задание 15. Решить уравнение:

Решение.

Тут у нас два слагаемых с неизвестными. Давайте сначала приведем их к одинаковому основанию:

Значит:

Чтобы увидеть замену, воспользуемся свойствами степени:

Теперь видно, какую замену нужно сделать:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Решая его, получаем:

Делаем обратную замену:

В первом уравнении:

Второе уравнение не имеет решений, поскольку показательные выражение могут быть только положительными.

Ответ: .

Еще раз обратим внимание, как мы преобразовали выражение :

Такой прием достаточно распространен в показательных уравнениях, поэтому можете запомнить его.

С помощью замены можно решать и неравенства.

 

Задание 16. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы увидеть замену, преобразуем , используя свойства степеней:

Теперь видно замену:

Тогда:

Получаем неравенство:

Получили дробно-рациональное неравенство. Вы уже знаете, как решать такие неравенства. Попробуйте решить его самостоятельно, свериться можно ниже.

---

 

Решение дробно-рационального неравенства

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону:

И решим соответствующее уравнение:

ОДЗ:

Умножаем обе части равенства на :

По теореме Виета корни уравнения:

Расставляем особые точки ОДЗ и корни на оси (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Методом пробной точки определяем знаки на интервалах (см. рис. 2):

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

Выбираем интервалы со знаком :

Ответ: .

---

Решив неравенство, получаем:

Делаем обратную замену:

Решим каждом по отдельности:

 выполняется автоматически (вспомните почему). Тогда первое неравенство превращается в . Решаем его:

Второе неравенство:

Получаем:

Ответ: .

 

Показательные уравнения повышенной сложности

 

 

Давайте рассмотрим более сложные примеры показательных уравнений.

 

Задание 17. Решить уравнение:

Решение.

Мы видим похожие выражение, но основания их – обратные дроби. Значит, можем записать:

Тогда можем применить прием, о котором мы говорили ранее:

Можем сделать замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

ОДЗ:

Умножаем обе части на :

Решая это уравнение, получаем единственный корень . Делаем обратную замену:

Хоть у нас в показателе и стоит синус, принцип неизменный: приводим обе части уравнения к одному основанию:

Основания равны, следовательно . Как видите, вся сложность состоит лишь в том, что в итоге мы получили не линейное или квадратное уравнение, а тригонометрическое. Но и их мы уже умеем решать:

Ответ: .

Есть еще один тип показательных уравнений, которые решаются заменой. Это однородные уравнения. С подобным типом мы уже сталкивались ранее, например, в тригонометрии. Показательные однородные уравнения похожи на них: у них также должна быть одинаковая степень у всех слагаемых, а в правой части – стоять ноль.

 

Задание 18. Решить уравнение:

Решение.

Для начала, как и во всех показательных уравнениях, попробуем привести степени к одинаковым основаниям, разложив имеющиеся основания на простые множители:

Получаем:

Видим, что это однородное уравнение: у слагаемых степени одинаковы: , справа в уравнении стоит . Идея решения похожа у всех однородных уравнений: делим на . Это выражение не равно нулю, имеем право делить. Получим:

Или, применив свойства степеней:

Теперь уже можем сделать замену:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Его корни:

Делаем обратную замену:

Первое уравнение не имеет решений, второй уравнение имеет корень .

Ответ: .

 

Логарифмические уравнения и неравенства повышенной сложности

 

 

Последнее, на что мы обратим наше внимание на сегодняшнем уроке, это более сложные логарифмические уравнения и неравенства.

 

Задание 19. Решить уравнение:

Решение.

Вся сложность заключается лишь в том, что неизвестная стоит в основании логарифма, с этим мы еще не сталкивались. Но ничего страшного, действуем по обычному алгоритму.

Первое – указываем ОДЗ. Основание логарифма больше нуля и не равно . Т. е. ОДЗ:

. Приводим левую и правую части к одинаковому основанию. По свойству логарифма:

Получаем:

Основания равны, значит:

Получили квадратное уравнение, корни которого  и . Второй корень не входит в ОДЗ. Получаем ответ: .

Ответ: .

В неравенстве также может встретиться переменная в основании логарифма. Алгоритм решения при этом никак не изменится, но будет одно отличие – мы не будем знать, основание больше или меньше 1. А это, напомним, влияет на смену знака неравенства. Поэтому нужно будет рассмотреть два случая: когда основание больше и когда меньше 1. С примером решения подобного неравенства вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Неравенство с неизвестной в основании логарифма

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Для начал выпишем ОДЗ. Под логарифмом – положительная величина:

В основании логарифма – положительная величина не равная единице:

Переходим к решению. Представим левую часть неравенства в виде логарифма с основанием :

Получим:

Основание одинаковы. Но мы не знаем, больше они  или меньше. Рассматриваем 2 случая:

1. при  знак неравенства не изменится:

Решая неравенство, получим:

Но в рассматриваемом случае  , следовательно, останутся только значения  (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

2. при  знак неравенства изменится противоположный:

Решая неравенство, получим:

Это соответствует нашему случаю, значит, все решения подойдут (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

В итоге получаем (см. рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к заданию

Осталось учесть ОДЗ: . Изобразим эти условие на оси и найдем пересечение ОДЗ с областью полученных решений (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к заданию

Получаем ответ: .

---

В конце урока разберем еще одно логарифмическое неравенство. Алгоритм его решения абсолютно такой же, как и в более простом примере, разобранном ранее: указываем ОДЗ, приводим к одному основанию и решаем полученную систему неравенств. Сложность данного примера будет заключаться лишь в количестве полученных неравенств в системе. Поэтому мы посмотрим, как их количество можно уменьшить и упростить решение.

Задание 20. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Приведем обе части к одному основанию. По свойству логарифмов:

Получаем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше . Записываем неравенство для подлогарифмических выражений и меняем знак неравенства:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Осталось решить эту систему. Можно решать каждое по отдельности. А можно и облегчить себе задачу: , , значит, их произведение также положительное. А из первого неравенства мы знаем, что  больше либо равно этому произведению. Значит, оно тоже точно положительно. Получается, второе неравенство автоматически выполняется, если верны 1, 3 и 4 неравенства. Значит, можем его не рассматривать. Остается система из трех неравенств:

Их уже придется решать. Попробуйте сделать это самостоятельно, проверить себя можно ниже.

---

 

Решение системы неравенств

Задание. Решить систему неравенств:

Решение.

Решим первое неравенство:

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую сторону

Разделим на :

Решим полученное неравенство методом интервалов:

По теореме Виета:

Расставим точки на оси (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Это квадратичный многочлен с положительным коэффициентом при , значит, знаки на интервалах будут  (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

Выберем нужные интервалы (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к заданию

На этой же оси отметим решения двух остальных неравенств (см. рис. 4):

, значит:

, значит:

Рис. 4. Иллюстрация к заданию

Видим, что пересечений у всех трех решений нет. Значит, система не имеет решений.

Ответ: .

---

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет-портал «yaklass.​ru»
2. Интернет-портал «yaklass.​ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «math.md»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Решить уравнения:  а)  ;  б)  
2. Решить уравнения:  а)  ;  б)  
3. Решить неравенства:  а) ;  б)  

 

Решение логарифмических уравнений — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

2. 1. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. 2.Основные свойства логарифмов. 3. Частные свойства.

4. Основные свойства логарифмов

6. Частные свойства:

Что значит «решить
уравнение»?
Решить уравнение – это
значит найти все его корни
(решения) или установить,
что их нет.
Что такое корень уравнения?
Корнем (решением)
уравнения называется
число, которое при
подстановке в уравнение
превращает его в верное
равенство.
Какие уравнения называют
логарифмическим?
Логарифмическим уравнением
– уравнение, содержащие
неизвестное под знаком
логарифма.
Определение простейшего
логарифмического уравнения:
Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0,
называется
простейшим
логарифмическим
уравнением, оно равносильно уравнению х = ав,
причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется.
Простейшие логарифмические
уравнения:
1. logх-18 = 1
2. log7(50х-1) = 2
3. log3х = log39
4. log7(2х-3) = log7х
При решении логарифмических уравнений
часто используются следующие методы:
•метод решения с помощью определения
логарифма;
• применение основного логарифмического
тождества;
•метод потенцирования;
•метод введения новых переменных;
•метод логарифмирования;
•метод приведения логарифмов к одному и
тому же основанию;
•графический метод.
Метод решения с помощью определения
логарифма
Например,
уравнение log а х = b (а > 0, а≠ 1,
х>0 ) имеет решение x= ab
ПРИМЕРЫ:
x=16
1) log 4 x=2
2) log 0,5 x=2
x=0,25
3) log x 5=1
x=5
4) log 5 x=-2
x=0,04
Метод
решения
с
определения логарифма
ПРИМЕР:
5) logх-18 =1
Решение:
(х-1)1 = 8
х-1 = 8
х=9
помощью
Метод решения с помощью определения логарифма
ПРИМЕР:
6) log7(50х-1) = 2
Решение:
72 = 50х-1
50х-1 = 49
х=1
Применение основного логарифмического
тождества: alog a b =b (где b>0, a>0 и a≠1)
Примеры: 1) 9x =0,7
2) 2x =10
3) 0,3x =7
Решение:
9x =0,7
9x =9 log 90,7
x= log 90,7
2x =10
2x =2 log 210
X= log 210
0,3x =7
0,3x =0,3 log 0,37
X= log 0,37
Метод потенцирования
Суть метода — переход от уравнения
log а f( х)= log а g(х)
к уравнению следствию f(х)=g(х).
При решении уравнений log a f(x) = log a g(х)
часто происходит расширение области
определения уравнения (за счёт решения
уравнения
f(х)=φ(х)),а значит, могут
появиться посторонние корни. Поэтому, решив
уравнение, следует проверить найденные
корни подстановкой в данное уравнение.

18. Примеры на метод потенцирования

1) log3х = log39
Решение: 1) х=9 Проверка:
подставим найденное значение x=9
в исходное уравнение log39 = log39
Ответ: х=9
Примеры на метод потенцирования
2) log7(2х-3) = log7х
Решение: 2х-3=х; х=3
Проверка: подставим найденное
значение x=3 в исходное уравнение
log7(2.3-3) = log73;
log73 = log73
Ответ: х=3

20. Примеры на метод потенцирования

3) log 5 (2x+3)= log 5 (x+1)
Решение: log 5 (2x+3)= log 5 (x+1)
2x+3= x+1;
x=1-3=-2
Проверка: подставим найденное значение x= -2 в
исходное уравнение log 5 (2x+3)= log 5 (x+1) и
получим log 5 (2 . (-2)+3)= log 5 (-2+1), log 5 (-1)=
log 5 (-1), это равенство неверно (оно не имеет
смысла, так как выражения под логарифмом всегда
больше нуля)
Ответ: нет решения

21.

Примеры на метод потенцирования4) log 5 x= log 5 (6-x2)
Решение: log 5 x log 5 (6 x )
2
x 6 x
2
x2 x 6 0
x1 3
x2 2
Проверка:
1) x1 3
2) x2 2
log 5 ( 3) не существует -3 посторонний
корень
log 5 2 log 5 (6 2 2 ) log 5 2 log 5 2
Ответ: 2.

22. Метод введения новых переменных

Суть метода -приведение логарифмического
уравнения к квадратному A log 2 x B log x C 0
a
a
1) ввести новую переменную y log a x
2) решить уравнение Ay 2 By Cотносительно y;
3) выполнить обратную подстановку и решить
уравнения относительно х.

23. Метод введения новых переменных

2 log x 5 log 5 x 2 0
log 5 x y
Пример: 1)
2
5
2y 5y 2 0
2
D 25 16 9 3
2
5 3
1
y1 , 2
y1 2, y2
2 2
2
log 5 x 2
x 5
2
1
25
1
log 5 x
2
1
x 5
2
1
5
Ответ:
1
25
;
1
5

24. Метод введения новых переменных

Решение: 2)
lg x lg x 1 0
2
2
lg x 2 lg x 1 0
lg x y
2
y2 2 y 1 0
D 0
b
y
2a
,
y 1
lg x 1
x 10
Ответ: 10

25.

1.Решите уравнения методом потенцирования: Закрепление
Вариант 1. № 1 (а)
№2 (а)
Вариант 2. №1 (б)
№2 (б)
1.Решите уравнения методом потенцирования:
2. Решите уравнения методом введения вспомогательной
переменной:
а)
б)
2
05
x 5 log 0,5 x 2 0;
2
0,3
x 7 log 0,3 x 4 0.
3 log
2 log

English     Русский Правила

Используя знания о логарифмических функциях и логарифмических уравнениях, определите ограничения на переменную x в следующем уравнении.

Предварительное вычисление Логарифм Логарифмические функции

Энн Б.

спросил 19.07.21

Уравнение: log(2x-5) + log(x-3) = 1

После определения и объяснения ограничений включите решение уравнения в свой ответ.

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Дуг С.

ответил 19.07.21

Репетитор

5,0 (1382)

Репетитор по математике с репутацией, чтобы объяснить сложные понятия

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

desmos.com/calculator/unoht7oj7i

Голосовать за 2 голос против

Подробнее

Отчет

Ефим С. ответил 19.07.21

Репетитор

5 (20)

Репетитор по математике с опытом

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

2x — 5 > 0 и x — 3 > 0

x > 2,5 и x > 3.

Итак, x > 3 (1)

log[(2x — 5)(x — 3)] = 1;

Итак, 2х ² — 11х + 15 = 10; 2x ² — 11x + 5 = 0; (х — 5)(2х — 1) = 0; x = 5 или x = 1/2

Из (1) мы должны отбросить x = 1/2.

Ответ: х = 5

Голосовать за 1 голос против

Подробнее

Отчет

Раймонд Б. ответил 19.07.21

Репетитор

5 (2)

Математика, микроэкономика или уголовное правосудие

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

2x-5> 0

2x>5

x> 5/2

x-3 > 0

x > 3

x = около 4

, если вы интерпретируете логарифм как натуральный логарифм. Хотя ln используется для естественного журнала, сам журнал также может использоваться таким же образом. Хотя на ранних курсах математики логарифм, как правило, представляет собой обычный логарифм с основанием 10

ln(2(4)-5) = ln3 = чуть меньше 1,1

ln(4-3) = ln1 = 0

1,1 + 0 близок к 1

Если вы намеревались использовать log в качестве базы 10

, тогда log(2(5)-5) = log5 = около 0,7

и log(5-3) = log2 = около 0,3

.7+.3 = 1

для натурального логарифма с основанием e, решение уравнения составляет около 4

для обычного логарифма с основанием 10 , решение 5

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Что такое логарифм? — Криста Кинг Математика

9х=8???

Логарифм — это то, что мы использовали бы, чтобы найти значение ???x??? в этом выражении, потому что логарифм позволяет нам найти значение показателя степени. Логарифмы  скажите нам, сколько раз мы умножаем одно число само на себя, чтобы получить другое число. Итак, когда у нас уже есть число, которое мы умножаем само на себя, ???2???, и у нас есть результат, ???8???, логарифмы (или «журналы», для краткости) говорят нам, что значение показателя степени должно быть, чтобы уравнение было верным. 93=8??? и ???\log_2{(8)}=3???, ???2??? является основой. Запоминание этого может помочь нам, когда мы конвертируем туда и обратно между журналами и экспонентами.

Не умножение

Стоит также отметить, что в уравнении ???\log_2{(8)}=3???, ???\log_2??? не умножается на ???(8)???. Заманчиво думать, что скобки означают умножение, но это не так. Вместо этого большое число, которое следует за основанием, всегда является «аргументом» функции журнала.

Вспомните обозначения функций, где мы говорили о таких функциях, как ???f(x)=2x+1???. Помните, что обозначение функции ???f(x)??? не указывает ???f??? умножить на ???х???. Вместо этого это означает, что «функция ???f??? оценивается в ???x???», или что «???f??? является функцией ???x???».

И то же всегда верно для логарифмов. При ???\log_2{(8)}=3??? функция журнала вычисляется при ???8???.

Общее правило журнала

Это основное правило журнала, которое связывает экспоненты с журналами, которые мы можем записать как 9x=y???,

связанный журнал ???\log_a{(y)}=x???,

и наоборот.