Онлайн решение на сходимость рядов: Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. При х=0 ряд принимает вид , его частичная сумма , и, по определению суммы ряда .

Пусть – фиксированное число, . Исследуем сходимость получившегося числового ряда по интегральному признаку Коши: . Интеграл расходится при всех фиксированных значениях , следовательно, расходится при всех и ряд . Данный ряд получается из вспомогательного ряда умножением на число , что не меняет сходимости ряда. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из одной точки .

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Из условия следует, что . Пусть – фиксированное число, отличное от нуля. Исследуем сходимость получившегося числового ряда по радикальному признаку Коши:

.

Итак, при и ряд расходится, при и ряд сходится. Поэтому область сходимости ряда .

Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд на .

Решение. На справедливо

при , а сходится (по интегральному признаку). Тогда сходится (по теореме сравнения). Значит, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на .

Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд

для .

Решение. при . Значит, , но сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси и абсолютно.

Задания для самостоятельной работы

n10.10. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.4. Степенные ряды

Краткие теоретические сведения

Определение. Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом .

Он является частным случаем функционального ряда, поэтому все теоремы и свойства, справедливые для функциональных рядов, справедливы и для степенных рядов.

Для каждого степенного ряда существует интервал сходимости

E={x, }, где – радиус сходимости, который в случае может быть вычислен по формулам , если эти пределы существуют (конечные или бесконечные). Область сходимости степенного ряда может включать, наряду с интервалом сходимости Е этого ряда, только концы интервала x=x₀ — R, x=x₀+ R. Для выяснения поведения степенного ряда на концах интервала сходимости надо исследовать числовые ряды, получаемые при подстановке этих точек в ряд .

Теорема. На всяком отрезке, целиком принадлежащим интервалу сходимости, степенной ряд сходится равномерно.

Следствие. Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Здесь

Вычислим предел

По признаку Даламбера для сходимости ряда предел должен быть меньше 1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка .

Если x = 4, то получим ряд . Он сходится, так как этот ряд ведет себя как ряд .

Если x = 2, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Окончательно получим, что область сходимости исследуемого ряда отрезок [2; 4].

Пример 2.

Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Данный ряд является степеннным. Он содержит только четные степени , поэтому искать радиус интервала сходимости по соответствующей формуле нельзя. Зафиксируем и исследуем сходимость получившегося числового ряда по признаку Даламбера.

.

Ряд сходится, если , т.е. , откуда .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При функциональный ряд принимает вид

= .

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости: . Поэтому область сходимости данного ряда .

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в виде суммы простейших дробей . Теперь данный ряд можно представить в виде алгебраической суммы двух рядов:

. Степенные ряды почленно интегрируются, поэтому

= ,

при При замене ряда функцией воспользовались известной формулой – суммы бесконечно убывающей прогрессии , .

= =

.

Пример 4. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в следующем виде . Тогда данная сумма распадается на три:

Степенные ряды можно почленно дифференцировать, поэтому

при .

при .

.

При замене суммы функцией воспользовались известной формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: при .

В итоге:

= при n (-1; 1).

Глава 94. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость

Рассмотрим распространенный тип числового ряда, так называемые знакочередующиеся ряды, элементы которых имеют чередующиеся знаки. Полагая первый член положительным, знакопеременный ряд можно записать в виде

(9.4.1)

Где .

Для знакопеременных рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема (признак Лейбница)

Если члены знакочередующегося ряда (9.4.1), будучи взяты по модулю, образуют Не возрастающую бесконечно малую последовательность, т. е. и , то этот ряд Сходится.

Приведем Примеры знакочередующихся рядов.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как его члены убывают по абсолютной величине и при .

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Нетрудно убедиться, что данный ряд удовлетворяет условиям Теоремы 1 и потому сходится.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена ряда , то по признаку Лейбница ряд сходится.

Замечание

В теореме Лейбница существенно не только условие , но и условие . Так, например, для ряда второе условие нарушено и, хотя , ряд расходится. Это видно, если данный ряд представить в виде , т. е. удвоенного гармонического ряда.

Определение

Под Знакопеременным рядом будем понимать ряд, в котором любой его член может быть как Положительным, так и Отрицательным.

Рассмотрим случай ряда с членами, имеющими произвольные знаки:

(9.4.2)

Одновременно рассмотрим ряд

(9. 4.3)

Где – члены ряда (9.4.2).

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Из Сходимости ряда (9.4.3) следует Сходимость ряда (9.4.2).

Определение

Ряд называется Абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение

Ряд называется Условно сходящимся, Если сам ряд сходится, а ряд, составленный абсолютных величин его членов, расходится.

Приведем Примеры Абсолютной и условной сходимости числовых рядов.

Пример

Ряд сходится по признаку Лейбница, однако гармонический ряд расходится, следовательно, сходимость условного ряда является условной.

Пример

, . При этот ряд Сходится абсолютно (как обобщенный гармонический ряд). При данный ряд Сходится условно.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся ряды – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, ряд . Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом: . Перепишем ряд в виде: , т. е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в два раза.

Можно показать (Теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

В заключение приведем без доказательства один важный признак сходимости числового ряда.

Теорема (признак Дирихле –Абеля)

Пусть дан ряд

.

(9.4.4)

Если последовательность частичных сумм ряда Ограничена и последовательность является Не возрастающей и бесконечно малой, то ряд (9. 4.4) Сходится.

Заметим, что признак Лейбница является частным случаем этой теоремы при .

Пример

Применим сформулированный выше признак Дирихле–Абеля к установлению сходимости ряда

, .

(9.4.5)

Решение

Положим , . Вычислим частичные суммы ряда . Для этого умножим и поделим каждое слагаемое этой суммы на постоянную величину :

Таким образом, частичные суммы ряда ограничены, а последовательность является не возрастающей и бесконечно малой; условия Дирихле–Абеля выполняются, т. е. ряд (9.4.5) Сходится.

< Предыдущая		Следующая >

Тесты сходимости: примеры, ряды, исчисление

Когда вы попадаете в лимб, возникает вопрос: «Как низко вы можете опуститься?» В сериале это «насколько близко вы можете подобраться?». Другими словами, насколько близко вы можете приблизить свой ряд к реальному числу, или он вообще не сходится?

В этой статье мы рассмотрим тесты сходимости для рядов.

Тесты сходимости вычислений

Существует много различных тестов сходимости для серий . В исчислении вы смотрите на те, которые относительно просты в применении, и те, которые используются часто. Некоторые тесты будут иметь результат, который говорит вам, когда ряд сходится и когда он расходится. Некоторые из них особенно хороши для проверки дивергенции. Здесь вы увидите некоторые из тех, которые включают сравнение одной серии со второй. 9{\infty}a_n\] сходится или расходится. Если вы знаете что-то о другом сериале, иногда вы можете сравнить тот, который у вас есть, с тем, о котором вы что-то знаете.

Подобные тесты называются сравнительными тестами . Здесь вы увидите два наиболее распространенных из них, , тест прямого сравнения и тест предельного сравнения, , а в следующем разделе этой статьи приведены примеры, показывающие, как их использовать.

Сначала мы начнем с теста прямого сравнения. 9{\infty}\frac{-1}{n}\]

, которое расходится (дополнительную информацию о гармоническом ряду см. в P-рядах), вы обнаружите, что \(a_n\geq d_n\), что приведет вас сделать вывод, что знакопеременный гармонический ряд расходится, потому что расходится гармонический ряд. На самом деле, чередующийся гармонический ряд сходится (подробности см. в «Перемежающийся ряд»), а отрицательный гармонический ряд — нет. Поэтому очень важно убедиться, что серия, с которой вы работаете, имеет правильные свойства, прежде чем применять тест прямого сравнения. 9{\infty} a_n\] расходится.

С тестом прямого сравнения вам нужно, чтобы y наша серия имела неотрицательные члены . Предельный сравнительный тест является более строгим в том смысле, что он требует, чтобы ваш ряд содержал положительных членов . Таким образом, предельный сравнительный тест нельзя использовать и для чередующихся серий.

Всегда ли можно применить предельный сравнительный тест к рядам с положительными условиями?

Рассмотрим две серии: Гармоническую серию и Р-серию с \(p=2\). Вы уже знаете, что гармонический ряд расходится, а при \(p=2\) Р-ряд сходится. 9{\infty} b_n.\]

Но вам нужно, чтобы этот ряд расходился, и вы знаете, что он на самом деле сходится, поэтому вы также не можете применить эту часть теста предельного сравнения.

На самом деле только потому, что два ряда имеют положительные члены, это не означает, что тест предельного сравнения поможет вам определить сходимость.

Примеры теста сходимости

Давайте рассмотрим несколько примеров использования теста прямого сравнения и теста предельного сравнения.

В тех случаях, когда вы не можете применить какой-либо сравнительный тест, вы можете использовать корневой тест или тест соотношения. Дополнительные сведения об обоих этих видах тестов см. в разделах Root Test и Ratio Test. 9n\), что означает \(a_n>c_n\), и неравенство идет в противоположном направлении. Поэтому для решения этой проблемы вам нужно будет попробовать тест на сравнение пределов.

При использовании первой части теста сравнения пределов вы можете поменяться ролями рядов, потому что если вы знаете, что один из них сходится, а предел существует и положителен, то сходятся оба. Если вы попытаетесь использовать ограничение в одну сторону, и это не сработает, попробуйте поменяться ролями в сериале. Итак, пробуя лимит первым способом, 9{\infty}\frac{\ln{n}}{n}\]

сходится или расходится.

Решение

Это похоже на гармонический ряд, за исключением того, что в числителе присутствует натуральный логарифм. Поскольку \(n\geq 1\), вы знаете, что

\[a_n=\frac{\ln{n}}{n}\geq 0,\]

, поэтому рассматриваемый ряд имеет неотрицательные члены. Поскольку это похоже на серию Harmonic, неплохо было бы попробовать сравнить ее с первой. Вы знаете, что \(\ln{(n)}>1\) для \(n>3\), поэтому

\[\frac{\ln{(n)}}{n}>\frac{1} {n}\quad \text{для}\quad n>3. n}\\&=0.\end{align}\] 9n}\]

сходится, поскольку сходится геометрический ряд.

Интегральная проверка сходимости

Вы можете определить, сходится или расходится ряд, если найдете интеграл для сравнения. Объяснение и подробности того, как это сделать, а также примеры см. в разделе Интегральный тест.

Тесты сходимости последовательностей

Хотя знание того, когда последовательность сходится или расходится, может помочь вам при рассмотрении рядов, здесь обсуждается сходимость рядов. Для тестов сходимости последовательности см. Предел последовательности. 9{\infty}d_n\] неотрицательных членов с \(a_n\geq d_n\) для всех \(n>N\) для некоторого \(N\in \mathbb{N}\).

Предельный сравнительный тест

Предположим, \(a_n>0\) и \(b_n>0\) для всех \(n>N\) для некоторого \(N\in\mathbb{N}\) .

1. Если \[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=c\], где \(0 {\infty}a_n\] 9{\infty}a_n\]

расходится.

19s Ch20 M142 HMWK

Математика 142 Глава 10 Домашнее задание Домашнее задание будет публиковаться по мере его поступления.
секция		примечание	домашние задания
10.1 последовательности			Просмотрите неопределенные формы (правило Лопиталя) из исчисления I: 9.0260 Просмотрите домашнее задание Maple Lab по ограничениям функций. Рекомендуемый обзор L’Hopital находится по адресу Подготовка к математике 142.
			Онлайн HW
		нужно больше практики?	проблемы (предложение: обведенные) и solns Varberg, Purcell, Ridgon (8-е изд.) § 10.1
10.2 Числовое Бесконечное Серия Основы —- Геометрическая серия Телескопическая серия			Чтобы найти сумму (или частичную сумму) геометрического ряда ∑ a r n , использовать метод из класса поиска формулы (без . ..-знака или ∑-знака) для s n путем создания небес отмены с с н — р с н . Используйте ли , а не какую-нибудь формулу, которую нужно запомнить, из какой-нибудь книги. Для этого набора домашних заданий, если не указано иное, когда мы говорим n th частичное сумма s n , мы имеем в виду сумму первых n слагаемых. Ниже приведены некоторые примеры для пояснения. Если сумма начинается с a 1 , тогда s n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n . Если сумма начинается с a 0 , тогда s n = a 0 + а ​​ 1 + а ​​ 2 +… + а п-1 . Если сумма начинается с a 2 , тогда s n = a 2 + a 3 + a 4 +. .. + a n+1 . , если сумма начинается с A 17 , Затем S N = A 16 +1 +A 16 +2 +A 16 16 +3 776 +2 +A 16 +3 6 +2 +A 16 +3 . 16+n .
			Онлайн аппаратное обеспечение
		нужно больше практики?	проблемы и решения Обложки: гео. серия, телескопическая серия и тест n-го члена для divg. Варберг, Перселл, Ридгон (8-е изд.) § 10.2.
Числовой ряд с положительным термином
10.3 Интегральный тест			Онлайн аппаратное обеспечение
		нужно больше практики?	проблемы и решения Варберг, Перселл, Ридгон (8-е изд.) § 10.3
10.2 и 10.3			Практическая викторина. (соль)
10.4 Тест прямого сравнения (DCT) и Сравнительный тест предельных значений (LCT) для серии			Аппаратное обеспечение онлайн
		Off-Line HW   нужна интуиция: 10.3vs10.4	Решите задачи 40 и 41 из этих ДКП/ЛКП для серийных практических задач (соль), которые из другого учебника. Сначала выполните 40a и 41a. Затем выполните 40b и 41b, используя DCT. Для сравнения выбрать серию ∑ b n , вспомнить (из класса) полезную интуицию о росте скорости функций log&exp. Теперь выполните 40b и 41b, используя LCT. Выбрать серию ∑ b n для сравнения с методом LCT, см. ваш выбор для ∑ b n , используя способ DCT. Стюарт (6-е изд., ET), §11.4.
		нужно больше практики?	проблемы и решения Сделайте как минимум: 1,2,3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 29, 31, 39, 43 Stewart (6-е изд. , ET), §11.4.
			Практическая викторина. (соль)
Числовой ряд с произвольным обозначением До сих пор мы рассматривали ряды с положительными членами, которые либо сходились (к конечному числу), либо расходящиеся (на бесконечность). Теперь мы рассмотрим произвольные (не обязательно положительные) термины. ряд, который может быть: абсолютно сходящимся (AC), условно сходящимся (CC) или расходящиеся (ДВГ).
10,5 Тесты соотношения/корня			Аппаратное обеспечение онлайн
			Практическая викторина. (соль)
10.4&10.5 DCT/LCT& Отношение/корень		нужно больше практики?	проблемы а также решения Варберг, Перселл, Ридгон (8-е изд.) § 10.4
			Практическая викторина. (soln) Первую задачу можно (правильно) решить с помощью DCT или LCT. Какой способ вам больше нравится?
10,6 Тест чередования серий			Аппаратное обеспечение онлайн
		нужно больше практики?	проблемы и решения Варберг, Перселл, Ридгон (8-е изд.) § 10.5
Обзор числового ряда: § 10.2–10.6
10.2–10.6: Обзор задач для Подготовка к экзамену			Определите, является ли данный ряд AC, CC или расходящимся. От 38 Серьезные проблемы серии, сделать по крайней мере нечетные (опустить 29). Попробуйте решить проблемы, прежде чем заглянуть в растворы Стюарт (6-е изд., ET), §11.7.
			Определите, является ли данный ряд AC, CC или расходящимся. Сделайте каждое из этих 15 Серьезные проблемы с сериалом. Дайте им хороший честный шанс, прежде чем подглядывать намеки. [pdf-файлы объединены]
Экзамен 2 завершен § 10. 1-10.6
10,7 Серия Power			Аппаратное обеспечение онлайн
			Упражняться Задача 0 для §10.7: Степенной ряд (soln) Задачи 0.1–0.3 относятся к части 1, а 0.4 — к части 2.
		Часть 1: основы (AC/CC/DVG)	Для начала 7 (=1+6) проблемы с домашним заданием. Соль на первая проблема так же как остальные 6 задач.
		Часть 2: Операции с Power Series	Из другой книги §11.9 домашнее задание установить сделать: 1, 5, 7, 11, 13, 14, 15, 23. Если вас попросят найти степенное представление функции и центр не указан, выберите любой центр, который вы хотите (солнс выбрал ноль). (soln) Stewart (6-е изд., ET), §11.9.
10.TS Taylor Series (в книге: 10.8-10.10)		Необходимые Ресурсы и Решения	Практическая задача 0 для ряда Тейлора. [soln] a-c для многочленов Тейлора d-e для серии Taylor без остатка f для серии Taylor с остатком Домашнее задание серии Тейлор (3 задачи, каждая с частями a-i) a-b для полиномов Тейлора c-f для ряда Тейлора без остатка g-i для ряда Тейлора с остатком Попробуйте честно решить проблемы, прежде чем переходить к решениям для функциональности: (1),&nbsp (2)&nbsp (3). Приятно читать по полиномам Тейлора (стр. 50-54) и Тейлору Серия (стр. 54-61) от Как освоить остальную часть исчисления Адамса, Хасса и Томпсона. Ассорти из домашних заданий онлайн с пометкой 10.TS (для главы 10, серия Тейлор).
		Часть 0: Введение. к Полиномы Тейлора	Ознакомьтесь с введением в Многочлены Тейлора. Хорошие видеоролики, наглядно иллюстрирующие конвергенцию серии Тейлора для синуса и Геометрический ряд Тейлора.
		Часть 1: Полином Тейлора	Online HW: 10.TS Часть 1: Полиномы Тейлора. Выполните части a-c из Практическая задача 0 для ряда Тейлора. Выполните части а-б для каждой из 3 задач в Тейлор Серия ХМВК.
		Часть 2: Taylor Series (без остатка)	Аппаратное обеспечение в сети: 10.TS, часть 2. Выполните части d-e из Практическая задача 0 для ряда Тейлора. Выполните части c-f для каждой из 3 задач в Тейлор Серия ХМВК.
		Часть 3: Тейлор Остаток	Аппаратное обеспечение в сети: 10.TS, часть 3. Выполните часть f из Практическая задача 0 для ряда Тейлора. Выполните части g-i для каждой из 3 задач в Тейлор Серия ХМВК.
		Часть 4: Обычно используемые серии	Аппаратное обеспечение в сети: 10.TS, часть 4. Нет домашних заданий в офлайне. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт