Онлайн решение уравнений матричным способом: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Вопрос 15. Системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид: , где — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы называется такая совокупность чисел ( , , …, ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система линейных уравнений с переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: .

Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнении меньше числа переменных , то всякая фундаментальная система решений состоит из решений.

Вопрос 16. Решение систем методом Крамера

Теорема Крамера. Пусть — определитель матрицы системы , а — определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: ( ).

Пример. Решить систему уравнений .

Вычислим определители: , , , .

Итак, , , .

17.Решение систем матричным методом.

Этот способ или, как его еще называеют, метод обратной матрицы называется так потому, что все решение сводится к простому матричному уравнению, для решения которого необходимо найти обратную матрицу. Для того, что бы расставить все точки над и, рассмотрим метод под микроскопом.

Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:

21x₁-45x₂-3.5x₃=10

12x₁-16x

14x₁+13x₂-8x₃=10

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что быранг основной матрицы

и ранг расширенной матрицы

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения

Найдем обратную матрицу A^-1.

Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С

Получили решение системы уравнений X₁=0.227  X₂=-0.209  X₃=-1.194

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии § 2. Определения § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия § 5. Однородные уравнения первого порядка § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным § 7. Линейные уравнения первого порядка § 8. Уравнение Бернулли § 9. Уравнение в полных дифференциалах § 10. Интегрирующий множитель § 11. Огибающая семейства кривых § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка § 13. Уравнение Клеро § 14. Уравнение Лагранжа § 15. Ортогональные и изогональные траектории § 16. (n) = f(x) § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости § 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи § 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7. Дифференцирование изображения § 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал § 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому § 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ

Работа с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg — Real Python

В частности, 9Линейные системы 0003 играют важную роль в моделировании множества реальных проблем, а scipy.linalg предоставляет инструменты для их изучения и эффективного решения.

В этом руководстве вы узнаете, как:

• Применять понятия линейной алгебры к практическим задачам, используя scipy.linalg
• Работа с векторами и матрицами с использованием Python и NumPy
• Моделируйте практические задачи, используя линейные системы
• Решение линейных систем с использованием scipy.linalg

Познакомившись с линейными системами, вы будете готовы к изучению матриц и метода наименьших квадратов в следующем уроке этой серии. А пока читайте дальше, чтобы начать работу с scipy.linalg .

Начало работы с

SciPy — это библиотека Python с открытым исходным кодом, используемая для научных вычислений, включающая несколько модулей для общих задач науки и техники, таких как линейная алгебра, оптимизация, интеграция, интерполяция и обработка сигналов. Это часть стека SciPy, который включает несколько других пакетов для научных вычислений, таких как NumPy, Matplotlib, SymPy, IPython и pandas.

Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий линейные уравнения и их представления с помощью векторов и матриц. Это фундаментальный предмет в нескольких областях инженерии и необходимое условие для более глубокого понимания машинного обучения.

scipy.linalg включает в себя несколько инструментов для работы с задачами линейной алгебры, включая функции для выполнения матричных вычислений, таких как определители, обратные, собственные значения, собственные векторы и разложение по сингулярным числам.

В этом руководстве вы будете использовать некоторые функции из scipy.linalg для решения практических задач, связанных с линейными системами. Чтобы использовать scipy.linalg , вам необходимо установить и настроить библиотеку SciPy, что вы можете сделать с помощью дистрибутива Anaconda Python и пакета conda и системы управления средой.

Для начала создайте среду conda и активируйте ее:

 $ conda create --name linalg
$ conda активировать linalg
 

После того, как вы активируете среду conda , в приглашении отобразится ее имя: linalg . Затем вы можете установить необходимые пакеты внутри среды:

 (linalg) $ conda установить scipy jupyter
 

После выполнения этой команды системе потребуется некоторое время, чтобы определить зависимости и продолжить установку.

Примечание: Помимо использования SciPy, вы также собираетесь использовать Jupyter Notebook для запуска кода в интерактивной среде. Это не обязательно, но облегчает работу с числовыми и научными приложениями.

Чтобы освежить в памяти работу с Jupyter Notebook, ознакомьтесь с документом Jupyter Notebook: An Introduction.

Если вы предпочитаете следовать руководству, используя другой дистрибутив Python и диспетчер пакетов pip , разверните сворачиваемый раздел ниже, чтобы увидеть, как настроить среду:

Во-первых, вы должны создать виртуальную среду, в которой вы будете устанавливать пакеты. Предполагая, что у вас установлен Python, вы можете создать и активировать виртуальную среду с именем 9.0009 линальг :

• Окна
• Linux + macOS

 PS> python -m venv linalg
PS> .\linalg\Scripts\Activate
 

 $ python -m venv linalg
$ источник ./linalg/bin/активировать
 

После того, как вы активируете виртуальную среду, в приглашении отобразится ее имя: linalg . Затем вы можете установить необходимые пакеты внутри среды, используя pip :

 (linalg) $ python -m pip install scipy jupyter
 

Системе потребуется некоторое время, чтобы определить зависимости и продолжить установку. После завершения команды все готово для использования scipy.linalg и Jupyter.

Перед открытием Jupyter Notebook вам необходимо зарегистрировать среду linalg , чтобы вы могли создавать ноутбуки, используя ее в качестве ядра. Для этого при активированной среде linalg выполните следующую команду:

 (linalg) $ python -m ipykernel install --user --name linalg
 

Теперь вы можете открыть Jupyter Notebook, выполнив следующую команду:

 $ ноутбук jupyter
 

После загрузки Jupyter в браузере создайте новую записную книжку, нажав New → linalg , как показано ниже:

Внутри ноутбука вы можете проверить успешность установки, импортировав пакет scipy :

>>>

 В [1]: импорт scipy
 

Если вы не видите ошибки импорта, вы готовы продолжить.

Теперь, когда вы закончили настройку среды, вы увидите, как работать с векторами и матрицами в Python, что является основой использования scipy.linalg для работы с приложениями линейной алгебры.

Удаление рекламы

Работа с векторами и матрицами с помощью NumPy

Вектор — это математическая единица, используемая для представления физических величин, которые имеют как величину, так и направление. Это фундаментальный инструмент для решения инженерных задач и задач машинного обучения. Так же матрицы , которые используются для представления векторных преобразований, среди прочего.

NumPy — наиболее часто используемая библиотека для работы с матрицами и векторами в Python и используется с scipy.linalg для работы с приложениями линейной алгебры. В этом разделе вы познакомитесь с основами его использования для создания матриц и векторов и выполнения над ними операций.

Чтобы начать работать с матрицами и векторами, первое, что вам нужно сделать в Jupyter Notebook, это импортировать число . Обычный способ сделать это — использовать псевдоним np :

 В [1]: импортировать numpy как np
 

 В [2]: A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
   ...: А
Выход[2]:
массив([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
 

 В [3]: A.dtype
Выход[3]:
dtype('int64')
 

 В [4]: ​​A = np.array([[1.0, 2], [3, 4], [5, 6]])
   ...: А
Выход[4]:
массив([[1., 2.],
       [3., 4.],
       [5., 6.]])
В [5]: A.dtype
Выход[5]:
dtype('float64')
 

 В [6]: A.shape
Выход[6]:
(3, 2)
 

 В [7]: А.Т.
Выход[7]:
массив([[1., 3., 5.],
       [2., 4., 6.]])
 

 В [8]: v = np.array([1, 2, 3])
   ...: в
Выход[8]:
массив([1, 2, 3])
 

 В [9]: v.shape
Выход[9]:
(3,)
 

 В [10]: v = np.array([[1, 2, 3]])
   ...: v.форма
Выход[10]:
(1, 3)
 

 В [11]: v = np.array([[1], [2], [3]])
   ...: v.форма
Выход[11]:
(3, 1)
 

 В [12]: v = np.array([1, 2, 3]).reshape(3, 1)
   ...: v.форма
Выход[12]:
(3, 1)
 

 В [13]: v = np.array([1, 2, 3]).reshape(-1, 1)
   ...: v.форма
Исход[13]:
(3, 1)
 

 В [1]: импортировать numpy как np
В [2]: np.zeros((3, 2))
Выход[2]:
массив([[0., 0.],
       [0., 0.],
       [0., 0.]])
 

 В [3]: np.ones((2, 3))
Выход[3]:
массив([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])
 

 В [4]: ​​np.random.rand(3, 2)
Выход[4]:
массив([[0.8206045 , 0.54470809],
       [0,94
, 0,05677859],
       [0,71148476, 0,4709059 ]])
 

 В [5]: np. random.randn(3, 2)
Выход[5]:
массив([[-1.20019512, -1.78337814],
       [-0,22135221, -0,38805899],
       [0,17620202, -2,05176764]])
 

 В [1]: импортировать numpy как np
В [2]: 10 * np.ones ((2, 2))
Выход[2]:
массив([[10. , 10.],
       [10., 10.]])
 

 В [3]: A = 10 * np.ones((2, 2))
   ...: B = np.array([[2, 2], [5, 5]])
   ...: А * Б
Выход[3]:
массив([[20., 20.],
       [50., 50.]])
 

 В [4]: ​​A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
   ...: v = np.массив ([[5], [6]])
   ...: А@в
Выход[4]:
массив([[17],
       [39]])
 

 В [5]: A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
   ...: v = np.массив ([[5], [6]])
   ...: np.dot(A, v)
Выход[5]:
массив([[17],
       [39]])
 

 1In [1]: импортировать numpy как np
 2 ...: из scipy import linalg
 3
 4В [2]: A = np.array(
 5 ...: [
 6...: [3, 2],
 7 ...: [2, -1],
 8 ...: ]
 9...:)
10
11В [3]: b = np.array([12, 1]).reshape((2, 1))
12
13В [4]: ​​x = linalg.solve(A, b)
14 ...: х
15Аут[4]:
16массив([[2.],
17 [3.]])
 

 В [1]: импортировать numpy как np
   ...: из scipy import linalg
В [2]: A = np.array(
   ...: [
   ...: [1, 9, 2, 1, 1],
   ...: [10, 1, 2, 1, 1],
   ...: [1, 0, 5, 1, 1],
   ...: [2, 1, 1, 2, 9],
   ...: [2, 1, 2, 13, 2],
   ...: ]
   ...:)
В [3]: b = np.array([170, 180, 140, 180, 350]).reshape((5, 1))
В [4]: ​​x = linalg.solve(A, b)
   . ..: Икс
Выход[4]:
массив([[10.],
       [10.],
       [20.],
       [20.],
       [10.]])