Решить систему линейных уравнений (метод Крамера или метод Гаусса )
Пример 1:
Найти решение системы методом Крамера:
Решение от преподавателя:
Запишем систему в виде:
A = |
|
BT = (1,-3,0)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 10*((-2)*5-1*(-7))-1*(1*5-1*4)+2*(1*(-7)-(-2)*4) = -29
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 | 1 | 4 |
-3 | -2 | -7 |
0 | 1 | 5 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 1*((-2)*5-1*(-7))-(-3)*(1*5-1*4)+0*(1*(-7)-(-2)*4) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
10 | 1 | 4 |
1 | -3 | -7 |
2 | 0 | 5 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 10*((-3)*5-0*(-7))-1*(1*5-0*4)+2*(1*(-7)-(-3)*4) = -145
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
10 | 1 | 1 |
1 | -2 | -3 |
2 | 1 | 0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 10*((-2)*0-1*(-3))-1*(1*0-1*1)+2*(1*(-3)-(-2)*1) = 29
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
10*0+1*5+4*(-1) = 1
1*0-2*5-7*(-1) = -3
2*0+1*5+5*(-1) = 0
Пример 2:
Решить систему линейных уравнений (метод Крамера или метод Гаусса )
Решение от преподавателя:
Запишем систему в виде:
A = |
|
BT = (6,1,11)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 2*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+5*(3*(-1)-(-1)*1) = -24
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
6 | 3 | 1 |
1 | -1 | -1 |
11 | 2 | 4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 6*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+11*(3*(-1)-(-1)*1) = -44
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 | 6 | 1 |
1 | 1 | -1 |
5 | 11 | 4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(1*4-11*(-1))-1*(6*4-11*1)+5*(6*(-1)-1*1) = -18
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 | 3 | 6 |
1 | -1 | 1 |
5 | 2 | 11 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*((-1)*11-2*1)-1*(3*11-2*6)+5*(3*1-(-1)*6) = -2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Пример 3:
Решить систему линейных уравнений
по формулам Крамера и методом Гаусса.
Сравнить полученные результаты.
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Решить систему уравнений с помощью формул Крамера.
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:
Решение от преподавателя:
Находим определитель матрицы системы:
В определителе матрицы системы последовательно меняем 1-й, 2-й, 3-й столбцы на столбец свободных членов и находим полученные определители:
Решение системы:
Ответ: (6; 2; — 4).
Пример 7:
Решить систему линейных уравнений (метод Крамера или метод Гаусса )
Решение от преподавателя:
Запишем систему в виде:
BT = (7,3,4)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 2*(3*(-3)-(-2)*(-1))-7*((-1)*(-3)-(-2)*4)+5*((-1)*(-1)-3*4) = -154
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
7 | -1 | 4 |
3 | 3 | -1 |
4 | -2 | -3 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 7*(3*(-3)-(-2)*(-1))-3*((-1)*(-3)-(-2)*4)+4*((-1)*(-1)-3*4) = -154
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 | 7 | 4 |
7 | 3 | -1 |
5 | 4 | -3 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*(-3)-4*(-1))-7*(7*(-3)-4*4)+5*(7*(-1)-3*4) = 154
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 | -1 | 7 |
7 | 3 | 3 |
5 | -2 | 4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*4-(-2)*3)-7*((-1)*4-(-2)*7)+5*((-1)*3-3*7) = -154
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Ответ:
Пример 8:
Решение от преподавателя:
а)
Ответ:X=1
Y=1
Z=1
б)
Из вышеизложенной таблицы следует:
X=1
Y=1
Z=1
Пример 9:
Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Решить сиситему методом Крамера и сдеать проверку:
Решение от преподавателя:
Запишем систему в виде:
A = |
|
BT = (3,-2,1)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 1*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+3*(5*(-1)-3*1) = -12
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
3 | 5 | 1 |
-2 | 3 | -1 |
1 | 1 | 1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 3*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+1*(5*(-1)-3*1) = 12
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
1 | 3 | 1 |
-2 | -2 | -1 |
3 | 1 | 1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 1*((-2)*1-1*(-1))-(-2)*(3*1-1*1)+3*(3*(-1)-(-2)*1) = 0
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
1 | 5 | 3 |
-2 | 3 | -2 |
3 | 1 | 1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 1*(3*1-1*(-2))-(-2)*(5*1-1*3)+3*(5*(-2)-3*3) = -48
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
1*(-1)+5*0+1*4 = 3
-2*(-1)+3*0-1*4 = -2
3*(-1)+1*0+1*4 = 1
Калькулятор -solve_equations([x+y=3;x-y=2];[x;y]) — Solumaths
Решение уравнений, расчет онлайн
Summary :
Решатель систем линейных уравнений позволяет решать уравнения с несколькими неизвестными: система уравнений с 2 неизвестными, система уравнений с 3 неизвестными, система с n неизвестными.
решить_уравнения онлайн
Описание :
Решение уравнений с несколькими неизвестными другими словами, решение системы уравнений онлайн возможно за счет использования функцииsolve_equations калькулятора. Калькулятор допускает разрешение системы онлайн нескольких типов, это возможно:
- по решать системы уравнений с двумя неизвестными онлайн ,
- — решать системы уравнений с тремя неизвестными онлайн ,
- и, в более общем смысле, разрешение онлайн-систем, уравнение с несколькими неизвестными.
Обладая способностью к алгебре, калькулятор может решить уравнений с двумя неизвестными или
Калькулятор представляет собой решатель системы уравнений , который использует очень простой синтаксис для решения систем линейных уравнений, допускающих единственное решение.
Решение системы 2 уравнений с 2 неизвестными
Существует несколько методов решения системы 2 уравнений с 2 неизвестными: метод замещения , комбинированный метод , графический метод , метод Крамера .
- Комбинированный метод заключается в исключении одной из переменных благодаря арифметическим операциям над уравнениями;
- Метод подстановки состоит в выражении одной из переменных как функции другой и последующей замене для получения уравнения с одним неизвестным;
- Метод графического решения позволяет предположить решение, которое необходимо будет проверить вычислением, графический метод состоит в изображении прямых линий, соответствующих уравнениям, а затем «чтении» координат точки пересечения, графический калькулятор позволяет выполнять этот тип операции;
- Метод Крамера использует определители.
Калькулятор может использовать эти методы для решения уравнений с 2 неизвестными
Чтобы решить систему 2 уравнений с 2 неизвестными согласно x+y=18 и 3*y+2*x=46, необходимо войти solve_equations(`[x+y=18;3*y+2*x=46];[x;y]`), после вычисления возвращается результат [x=8;y=10].
Решение системы 3-х уравнений с 3-мя неизвестными
Чтобы найти решения системы 3-х уравнений с 3-мя неизвестными , калькулятор может использовать метод подстановки, комбинированный метод или метод Крамера.
Так, например, для решения линейной системы уравнений по x+y+z=1, x-y+z=3, x-y-z=1 необходимо ввести solve_equations(`[x+y+z=1;x-y+z=3;x-y-z=1];[x;y;z]`) , после вычисления результат [x=1;y=-1; z=1] возвращается.
Синтаксис:
решить_уравнения([уравнение1;уравнение2;…;уравнениеN];[переменная1;переменная2…переменнаяN])
Примеры:
- x+y=18
- 3*у+2*х=46
solve_equations(`[x+y=18;3*y+2*x=46];[x;y]`), возвращает[x=8;y=10] Рассчитайте онлайн с помощьюsolve_equations (решите систему линейных уравнений)
См.
также
Список связанных калькуляторов:
-
- Расчет дискриминанта онлайн: дискриминант. Калькулятор, который позволяет вычислить дискриминант квадратного уравнения онлайн.
- Найти уравнение прямой линии из двух точек: уравнение_прямой_линии. Калькулятор уравнения прямой позволяет рассчитать уравнение прямой по координатам двух точек с пошаговым расчетом.
- Найдите уравнение касательной линии: уравнение_касательной_линии. Калькулятор уравнения касательной используется для расчета уравнения касательной к кривой в заданной точке абсцисс с поэтапным вычислением.
- Калькулятор теоремы Пифагора: пифагорейский. Калькулятор использует теорему Пифагора, чтобы проверить прямоугольность треугольника или найти длину одной стороны прямоугольного треугольника.
- Калькулятор решения для x: уравнение_решателя. Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестным с шагами расчета: линейное уравнение,
квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
- Калькулятор неравенства: неравенство_решатель. Решатель неравенств, который решает неравенство с деталями расчета: линейное неравенство, квадратное неравенство.
- Решение системы линейных уравнений :solve_equations. Решатель систем линейных уравнений позволяет решать уравнения с несколькими неизвестными: система уравнений с 2 неизвестными, система уравнений с 3 неизвестными, система с n неизвестными.
- Решатель обратного отсчета: arithmetic_solver. Этот решатель обратного отсчета позволяет найти целевое число из набора целых чисел с помощью арифметических операций.
Калькулятор уравнений комплексных чисел возвращает комплексные значения, для которых квадратное уравнение равно нулю.
Список связанных упражнений:
- Решите систему двух уравнений с двумя неизвестными. Целью этого исправленного математического упражнения является решение системы двух уравнений с двумя неизвестными.
- Использование системы уравнений для решения задачи.
