Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры
Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры
Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры.
Упростить выражение примеры
Изменяем порядок действий.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Изменяем порядок действий.
Выносим знак минус из произведения.
Сдавая тесты по математике, указываем ответ:
В следующем примере
Решим еще один пример, в котором в знаменателе стоит не только буквенное выражение, но и числа
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
После того, как сделали упрощение выражения, указываем правильный ответ
Решим еще один подобный пример
Изменяем порядок действий.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Изменяем порядок действий.
Выносим знак минус из произведения.
Таким образом, после упрощения этого выражения получили такой ответ
Решим пример, в котором общий знаменатель тоже составляется и частей знаменетелей разных дробей
Меняем слагаемые местами
Выносим знак минус из произведения.
| PHP |
| Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства |
| Другое |
| Логарифмические, показательные уравнения , неравенства |
| Начала анализа |
| Планиметрия |
| Прогрессии |
| Стереометрия |
| Текстовые задачи |
| Тригонометрия |
| Числа и выражения |
Преобразование рациональных выражений 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема: Алгебраические дроби.
Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Преобразование рациональных выражений
1. Рациональное выражение и методика его упрощения
Вспомним сначала определение рационального выражения.
Определение. Рациональное выражение – алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).
Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел (возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.
2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей
Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.
Пример 1. Упростить рациональное выражение .
Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить, так ли это.
Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .
Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным – очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.
Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.
Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить, что в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе – разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:
и .
В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:
, второе выражение аналогично. Имеем:
.
Ответ. .
Пример 2. Упростить рациональное выражение .
Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:
, здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.
Ответ. .
Пример 3. Упростить рациональное выражение .
Решение.
Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.
.
Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , т. к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым, и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:
.
Ответ.
3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями
Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.
Пример 4. Доказать тождество при всех допустимых значениях переменной.
Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.
. Доказано при всех допустимых значениях переменной.
Доказано.
На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Учимся вместе (Источник).
2. Разработки уроков, презентации, конспекты занятий (Источник).
3. Интернет-портал roman.by (Источник).
Домашнее задание
1. №96-101. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2.
Упростите выражение .
3. Упростите выражение .
4. Докажите тождество .
Упрощение выражений с дробями — Photomath
Исследовать дроби
Вычисление выражения с целыми числами $$2+3\times4-12\div4$$ не составляет труда (спасибо, PEMDAS!). Но, как мы узнали, мы не всегда можем работать с целыми числами. Иногда нам нужно добавить в смесь дроби — но это не повод для паники! Если вы можете выполнять арифметические операции и PEMDAS с целыми числами, вы можете делать это и с дробями!
Что означает упрощение выражений дробями?
Упрощение выражений с дробями означает использование PEMDAS и основных арифметических операций, чтобы сделать выражение с дробями более коротким и менее сложным. Кто бы этого не хотел?
Не будем замалчивать PEMDAS — одну из наших любимых математических пневмоник. Если вы забыли, PEMDAS — это аббревиатура порядка операций: P — скобки, E — возведение в степень, M — умножение, D — деление, A — сложение и S — вычитание.
Но помните: умножение и деление имеют одинаковое значение, поэтому на самом деле не имеет значения, какое из этих двух действий вы сделаете первым. То же самое касается сложения и вычитания.
Почему упрощение выражений с помощью дробей так полезно?
Теперь, когда вы научитесь работать с дробями, вы начнете видеть, как они появляются во всевозможных уравнениях и выражениях — иногда эти выражения слишком длинные или слишком сложные. Всегда проще вычислить меньшее выражение или упрощенную дробь, поэтому мы действительно учимся упрощать себе задачу!
Но это еще не все: упрощение выражений с помощью дробей может помочь вам в реальной жизни! Например, у вас может быть $$\frac{9{10}$$ корзины, полной яблок, а затем друг берет из корзины $$\frac{2}{3}$$ яблок; через несколько дней ваш друг возвращает вам в два раза больше суммы, чем взял! Насколько полна корзина? Это можно решить, упростив выражение:
$$\frac{9}{10}-\frac{2}{3}+2\times\frac{3}{4}$$
Как упростить выражения с дробями
Ладно, пора переходить к делу! Давайте вместе рассмотрим несколько примеров, чтобы мы могли показать вам, как упростить выражения с дробями.
Пример 1
Упростите выражение:
$$\frac{1}{6}-\frac{{3}}{20}\times \frac{5}{9}$$
Отменить наибольшее общий делитель $$3$$:
$$\frac{1}{6}-\frac{1}{20}\times \frac{5}{3}$$
Отменить наибольший общий делитель $$5 $$:
$$\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}$$
Согласно PEMDAS, сначала нам нужно умножить, поэтому умножьте дроби путем умножения числителей и знаменателей:
$$\frac{1}{6}-\frac{1\times1}{4\times3}$$
Завершите умножение в числителе и знаменателе соответственно:
$$\frac{1}{ 6}-\frac{1}{12}$$
Итак, наши дроби имеют разные знаменатели, поэтому нам нужно найти наименьший общий знаменатель. И нам повезло: знаменатель $$12$$ кратен второму знаменателю $$6$$, поэтому первую дробь перепишем как эквивалентную дробь со знаменателем $$12$$:
$$\ frac{2}{12}-\frac{1}{12}$$
Напишите числители над их общим знаменателем $$12$$, перенося знак вычитания:
$$\frac{2-1}{12}$$
Вычтите числа в числителе:
$$\ frac{1}{12}$$
Вот и все! Посмотрим на другой.
Пример 2
Упростим выражение:
$$\frac{1}{10}-\left({\frac{15}{16}+\frac{3}{10}}\right)\div \ frac{1}{2}$$
По словам нашего хорошего друга PEMDAS, мы знаем, что сначала нужно добавить дроби в скобках. Знаменатели дробей в скобках разные, поэтому найдем наименьший общий знаменатель. Поскольку простые факторизации знаменателей равны $$16={2}\times{2}\times{2}\times{2}$$ и $$10={2}\times 5$$, LCD представляет собой произведение $ ${2}\times2\times2\times{2}\times{5}=80$$. Итак, запишем дроби в виде эквивалентных дробей со знаменателем $$80$$:
$$\frac{1}{10}-\left({\frac{75}{80}+\frac{24}{80}}\right)\div \frac{1}{2}$$
Запишите числители над их ЖК-дисплеем, $$80$$, включая оператор:
$$\frac{1}{10}-\left({\frac{75+24}{80}}\right)\ div \frac{1}{2}$$
Добавьте числа в числителе:
$$\frac{1}{10}-\left({\frac{99}{80}}\right)\ div \frac{1}{2}$$
Теперь, когда это всего одна дробь, мы можем убрать круглые скобки:
$$\frac{1}{10}-{\frac{99}{80}}\ div \frac{1}{2}$$
Следующее на очереди деление! Чтобы разделить на дробь, мы умножаем на обратную величину этой дроби:
$$\frac{1}{10}-{\frac{99}{80}}\times \frac{2}{1}$$
Сократить наибольший общий делитель $$2$$:
$$\frac{1}{10}-{\frac{99}{40}}$$
Наша последняя операция – вычитание! К сожалению, наши дроби не имеют одного и того же знаменателя, поэтому нам нужно найти ЛКД $10$$ и $$40$$.
К счастью, число $40$$ кратно $10$$, поэтому наш наименьший общий знаменатель равен $40$$. Это означает, что нам просто нужно записать первую дробь как эквивалентную дробь со знаменателем $$40$$:
$${\frac{4}{40}}-{\frac{99}{40}}$$
Теперь, когда у нас есть дроби с одинаковым знаменателем, запишите числители и оператор над одним и тем же знаменателем:
$$\frac{4-99}{40}$$
Вычесть числа из числителя:
$$\frac{-95}{40}$$
Вынести знак минус:
$$-\frac{95}{40}$$
Мы почти у цели! Эту дробь можно уменьшить на $$5$$, поэтому давайте уменьшим:
$$-\frac{19}{8}$$
Нашу дробь уже нельзя упростить, так что это наш результат!
Видишь? В конце концов, работать с дробями не так уж и страшно.
Подводя итог, можно упростить выражения с дробями, выполнив следующую процедуру:
Резюме исследования
- Используя PEMDAS, упростите выражение.
Сделай сам!
Да, мы знаем, что у вас есть домашнее задание, но не было бы неплохо решить несколько практических задач в безопасном месте без оценок? Попробуйте это и посмотрите, как вы это сделаете:
Упростите выражения:
- $$\frac{1}{5}\times\frac{10}{7}+\frac{8}{21}$$
- $$\frac{3}{4} \div \frac{8}{9}+\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}\right)$$
- $$\frac{3}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{6}{10}\div \frac{5}{7}$$
- $$\frac{9}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{7}{12}\div\frac12$$
Решения:
- $$\frac{2}{3}$$
- $$\frac{11}{32}$$
- $$\frac{63}{500}$$
- $$\frac{8}{3}$$
Если у вас возникли проблемы, ничего страшного! Эти препятствия на самом деле могут помочь вам лучше запомнить процесс, когда вы прорветесь.
Если вы слишком застряли или заблудились, отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас на другую сторону!
Вот краткий обзор того, что вы увидите:
/
Есть домашнее задание по арифметике? 92}{(х+2)(х-3)}(х+2)(х-3)(х-1)2
Показать объяснение
Упрощение
1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+1(x+4)(x+6)+1(x+6)(x+8). \frac{1}{x (x+2)} + \frac{1}{(x+2) (x+4)} + \frac{1}{(x+4) (x+6)} + \frac{1}{(x+6) (x+8)}. х(х+2)1+(х+2)(х+4)1+(х+4)(х+6)1+(х+6)(х+8)1.
2x(x+2) \frac{2}{x(x+2)} x(x+2)2 12x(x+8)\frac{1}{2x(x+8)} 2x(x+8)1 4x(x+8) \frac{4}{x(x+8)} x(x+8)4 1x(x+8) \frac{1}{x(x+8)} x(x+8)1Упрощение
1−11−11−x.